3.3抛物线-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 3.3抛物线-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 197.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-02 21:24:56 | ||
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文档简介
11950700123190003.3抛物线
一、单选题
1．抛物线false的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，false，垂足为A，若直线AF的斜率为false，则false等于（ ）
A．8 B．false C．4 D．false
2．已知命题false：false表示焦点在false轴的正半轴上的抛物线，命题false：false表示椭圆，若命题“false”为真命题，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false
C．false且false D．false且false
3．抛物线false的焦点到准线的距离为（ ）．
A．false B．false C．false D．1
4．已知双曲线false的两条渐近线互相垂直，且焦距为false，则抛物线false的准线方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知false为抛物线false的焦点，false为false上一点，且false，则false到false轴的距离为（ ）
A．4 B．false C．8 D．16
6．已知抛物线false：false，直线false抛物线false交于false，false两点，false，令false，若false，则false的最大值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知点false是抛物线false上的一点，false是其焦点，定点false，则false的外接圆的面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知false为坐标原点，抛物线false上一点false到焦点false的距离为false，若点false为抛物线false准线上的动点，给出以下命题：
①当false为正三角形时，false的值为false；
②存在false点，使得false；
③若false，则false等于false；
④false的最小值为false，则false等于false或false.
其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③ C．①③ D．②③④
二、填空题
9．已知 false为抛物线false的焦点，false为false上一点，false，则当false周长最小时点false的坐标______________.
10．已知抛物线false，过点false的直线与抛物线交于false，且false的长为10，设false的中点为false，则false到false轴的距离为______．
11．已知false为抛物线false的焦点，点false在抛物线上，若点false是抛物线准线上的动点，false为坐标原点，且false，则false的最小值为__________．
12．已知抛物线false：false（false）的焦点为false，准线false：false，点false在抛物线false上，点false在准线false上，若false，直线false的倾斜角为false，则false__________．
三、解答题
13.如图，已知椭圆C1： x22 +y2＝1，抛物线C2：y2＝2px（p＞0），点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若p＝ 116 ，求抛物线C2的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
14.已知抛物线C： y2 =2px（p>0）的准线方程为x=- 12 ,F为抛物线的焦点
（I）求抛物线C的方程；
（II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（ 72 ,2）,求 |PA|+|PF| 的最小值；
（III）若过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点坐标．
15.等腰直角△ AOB 内接于抛物线 C:y2=2px ( p>0 )，其中O为抛物线的顶点， OA⊥OB ，△ AOB 的面积是16.
（1）求抛物线C的方程；
（2）抛物线C的焦点为F，过F的直线交抛物线于M?N两点，交y轴于点E，若 EM=λ1MF ， EN=λ2NF ，证明： λ1+λ2 是一个定值.
16.已知抛物线 y2=2px?(p>0) 的焦点为 F ，过点 F 且与 x 轴不垂直的直线 l 与抛物线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2) ，且 y1y2=?4 ．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线 l 与 y 轴交于点 D ，试探究：线段 AB 与 FD 的长度能否相等？如果相等，求直线 l 的方程，如果不等，说明理由．
参考答案
C2．C3．B4．B5．A6．C7．B8．A9．false10．311．false.12．false
13.【答案】 解：（Ⅰ）p＝ 116 ，则 p2 ＝ 132 ，则抛物线C2的焦点坐标（ 132 ，0），
（Ⅱ）直线l与x轴垂直时，此时点M与点A或点B重合，不满足题意，
设直线l的方程为y＝kx+t，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x0 ， y0），
由 {x22+y2=1y=kx+t ，消y可得（2k2+1）x2+4kty+2t2﹣2＝0，
∴△＝16k2t2﹣4（2k2+1）（2t2﹣2）≥0，即t2＜1+2k2 ，
∴x1+x2＝﹣ 4kt1+2k2 ，∴x0＝ 12 （x1+x2）＝﹣ 2kt1+2k2 ，
∴y0＝kx0+t＝ t1+2k2 ，∴M（﹣ 2kt1+2k2 ， t1+2k2 ），
∵点M在抛物线C2上，∴y2＝2px，
∴p＝ y22x ＝ t2(1+2k2)22??2kt1+2k2 ＝ t?4k(1+2k2) ，
联立 {y2=2pxy=kx+t ，解得x1＝ t(1+2k2)?2k3 ，y1＝ t2?2k2 ，
代入椭圆方程可得 t2(1+2k2)28k6 + t24k4 ＝1，解得t2＝ 8k6(1+2k2)2+2k2
∴p2＝ t216k2(1+2k2)2 ＝ 8k616k2(1+2k2)2?[(1+2k2)2+2k2]
＝ k42(1+2k2)2?[(1+2k2)2+2k2] ≤ k42(22k)2?[(22k)2+2k2] ＝ 1160 ，
∴p≤ 1040 ，当且仅当1＝2k2 ， 即k2＝ 12 ，t2＝ 15 时等号成立，
故p的最大值为 1040 ．
【解析】（Ⅰ）直接由抛物线的定义求出焦点坐标即可；（Ⅱ）设直线方程y＝kx+t，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x0 ， y0），由 {x22+y2=1y=kx+t ，根据韦达定理定理求出M（﹣ 2kt1+2k2 ， t1+2k2 ），可得p，再由 {y2=2pxy=kx+t ，求出点A的坐标，代入椭圆方程可得t2＝ 8k6(1+2k2)2+2k2 ，化简整理得p2＝ k42(1+2k2)2?[(1+2k2)2+2k2] ，利用基本不等式即可求出p的最大值．
14.【答案】 解：（I）∵准线方程x=- 12 ,得 p =1，
∴抛物线C的方程为 y2=2x
（II）过点P作准线的垂线，垂直为B，则 |PB| = |PF|
要使 |PA| + |PF| 的最小，则P，A，B三点共线
此时 |PA| + |PF| = 72 + 12 =4·
（III）直线MN的方程为y=x- 12 ·
设M（ x1,y1 ），N（ x2,y2 ），把y=x- 12 代入抛物线方程 y2=2x ,得 x2 -3x+ 14 =0
∵△=9-4×1× 14 ＝8＞0
∴ x1 + x2 =3， x1+x22 = 32
线段MN中点的横坐标为 32 ，纵坐标为 32?12=1
线段MN中点的坐标为（ 32，1 ）
【解析】（I）由准线方程 x=?p2=?12 求得 p ，可得抛物线标准方程．（II）把 |PF| 转化为 P 到准线的距离 |PB| ，可得 B,P,A 三点共线时得所求最小值．（III）写出直线 MN 方程，代入抛物线方程后用韦达定理可得中点坐标．
15.【答案】 （1）解：设点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，则 y12=2px1 ， y22=2px2 ，
因为△ AOB 为等腰直角三角形， OA⊥OB ，所以 x12+y12=x22+y22 ，
所以 x12+2px1=x22+2px2 ，化简得 (x1?x2)(x1+x2+2p)=0 ，
由 x1>0 ， x2>0 ， p>0 可得 x1+x2+2p>0 ，
所以 x1?x2=0 即 x1=x2 ，所以点A、点B关于x轴对称，
又△ AOB 的面积是16，所以 AO=42 ，
不妨设点 A(4,4) ，所以 16=2p?4 ，解得 p=2 ，
所以抛物线 C 的方程为 y2=4x ；
（2）证明：由题意可知点 F(1,0) ，直线 MN 的斜率存在且不为0，
设直线 MN:x=my+1(m≠0) ，点 M(x3,y3) ， N(x4,y4) ，
所以点 E(0,?1m) ， EM=(x3,y3+1m) ， MF=(1?x3,?y3) ， EN=(x4,y4+1m) ，
NF=(1?x4,?y4) ，
因为 EM=λ1MF ， EN=λ2NF ，
所以 λ1=y3+1m?y3=?1?1my3 ， λ2=y4+1m?y4=?1?1my4 ，
所以 λ1+λ2=?1?1my3?1?1my4=?2?1m?(y3+y4y3y4) ，
由 {y2=4xx=my+1 消去x可得 y2?4my?4=0 ， Δ>0 ，
所以 y3+y4=4m ， y3y4=?4 ，
所以 λ1+λ2=?2?1m?(y3+y4y3y4)=?2?1m?4m?4=?1 ，
所以 λ1+λ2 是一个定值, 且 λ1+λ2=?1 .
【解析】（1）设点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，由抛物线方程、两点之间距离公式可得 x1=x2 ，结合面积即可得点A坐标，代入即可得解；（2）设直线 MN:x=my+1(m≠0) ，点 M(x3,y3) ， N(x4,y4) ，由平面向量的知识可得 λ1+λ2=?2?1m?(y3+y4y3y4) ，联立方程组，结合韦达定理即可得证.
16.【答案】 （1）解：设直线 l:y=k(x?p2) ，代入抛物线方程得： ky2?2py?kp2=0
∴y1y2=?p2=?4 ，解得： p=2
∴ 抛物线方程为： y2=4x
（2）解：由（1）知： l:y=k(x?1)(k≠0)
联立 {y=k(x?1)y2=4x 得： k2x2?2(k2+2)x+k2=0
此时 Δ=4(k2+2)2?4k4=16k2+16>0 恒成立
∴x1+x2=2(k2+2)k2=2+4k2 ， x1x2=1
∵l 过焦点 F ∴|AB|=x1+x2+p=4+4k2
由 D(0,?k) ， F(1,0) ??? ∴|DF|=1+k2
由 |AB|=|FD| 得： 1+k2=4+4k2 ，即： (k2+1)(k4?16k2?16)=0
∵k2+1>0 ??? ∴k4?16k2?16=0 ，解得： k2=8+45 或 k2=8?45 （舍）
∴k=±8+45=±22+5
∴ 当直线 l 方程为： y=±22+5(x?1) 时， |AB|=|FD|
【解析】（1）先设出直线方程， 代入抛物线方程， 解得 p=2 ， 即可求出抛物线的方程；
（2）先由（1）设出的直线方程与抛物线方程联立，由 Δ>0 恒成立，得到 |AB|=x1+x2+p=4+4k2 ， 再由 |AB|=|FD| 列式， 得到 k4?16k2?16=0 ，解出k的值，即可求出直线 l 的方程 .
一、单选题
1．抛物线false的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，false，垂足为A，若直线AF的斜率为false，则false等于（ ）
A．8 B．false C．4 D．false
2．已知命题false：false表示焦点在false轴的正半轴上的抛物线，命题false：false表示椭圆，若命题“false”为真命题，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false
C．false且false D．false且false
3．抛物线false的焦点到准线的距离为（ ）．
A．false B．false C．false D．1
4．已知双曲线false的两条渐近线互相垂直，且焦距为false，则抛物线false的准线方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知false为抛物线false的焦点，false为false上一点，且false，则false到false轴的距离为（ ）
A．4 B．false C．8 D．16
6．已知抛物线false：false，直线false抛物线false交于false，false两点，false，令false，若false，则false的最大值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知点false是抛物线false上的一点，false是其焦点，定点false，则false的外接圆的面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知false为坐标原点，抛物线false上一点false到焦点false的距离为false，若点false为抛物线false准线上的动点，给出以下命题：
①当false为正三角形时，false的值为false；
②存在false点，使得false；
③若false，则false等于false；
④false的最小值为false，则false等于false或false.
其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③ C．①③ D．②③④
二、填空题
9．已知 false为抛物线false的焦点，false为false上一点，false，则当false周长最小时点false的坐标______________.
10．已知抛物线false，过点false的直线与抛物线交于false，且false的长为10，设false的中点为false，则false到false轴的距离为______．
11．已知false为抛物线false的焦点，点false在抛物线上，若点false是抛物线准线上的动点，false为坐标原点，且false，则false的最小值为__________．
12．已知抛物线false：false（false）的焦点为false，准线false：false，点false在抛物线false上，点false在准线false上，若false，直线false的倾斜角为false，则false__________．
三、解答题
13.如图，已知椭圆C1： x22 +y2＝1，抛物线C2：y2＝2px（p＞0），点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若p＝ 116 ，求抛物线C2的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
14.已知抛物线C： y2 =2px（p>0）的准线方程为x=- 12 ,F为抛物线的焦点
（I）求抛物线C的方程；
（II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（ 72 ,2）,求 |PA|+|PF| 的最小值；
（III）若过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点坐标．
15.等腰直角△ AOB 内接于抛物线 C:y2=2px ( p>0 )，其中O为抛物线的顶点， OA⊥OB ，△ AOB 的面积是16.
（1）求抛物线C的方程；
（2）抛物线C的焦点为F，过F的直线交抛物线于M?N两点，交y轴于点E，若 EM=λ1MF ， EN=λ2NF ，证明： λ1+λ2 是一个定值.
16.已知抛物线 y2=2px?(p>0) 的焦点为 F ，过点 F 且与 x 轴不垂直的直线 l 与抛物线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2) ，且 y1y2=?4 ．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线 l 与 y 轴交于点 D ，试探究：线段 AB 与 FD 的长度能否相等？如果相等，求直线 l 的方程，如果不等，说明理由．
参考答案
C2．C3．B4．B5．A6．C7．B8．A9．false10．311．false.12．false
13.【答案】 解：（Ⅰ）p＝ 116 ，则 p2 ＝ 132 ，则抛物线C2的焦点坐标（ 132 ，0），
（Ⅱ）直线l与x轴垂直时，此时点M与点A或点B重合，不满足题意，
设直线l的方程为y＝kx+t，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x0 ， y0），
由 {x22+y2=1y=kx+t ，消y可得（2k2+1）x2+4kty+2t2﹣2＝0，
∴△＝16k2t2﹣4（2k2+1）（2t2﹣2）≥0，即t2＜1+2k2 ，
∴x1+x2＝﹣ 4kt1+2k2 ，∴x0＝ 12 （x1+x2）＝﹣ 2kt1+2k2 ，
∴y0＝kx0+t＝ t1+2k2 ，∴M（﹣ 2kt1+2k2 ， t1+2k2 ），
∵点M在抛物线C2上，∴y2＝2px，
∴p＝ y22x ＝ t2(1+2k2)22??2kt1+2k2 ＝ t?4k(1+2k2) ，
联立 {y2=2pxy=kx+t ，解得x1＝ t(1+2k2)?2k3 ，y1＝ t2?2k2 ，
代入椭圆方程可得 t2(1+2k2)28k6 + t24k4 ＝1，解得t2＝ 8k6(1+2k2)2+2k2
∴p2＝ t216k2(1+2k2)2 ＝ 8k616k2(1+2k2)2?[(1+2k2)2+2k2]
＝ k42(1+2k2)2?[(1+2k2)2+2k2] ≤ k42(22k)2?[(22k)2+2k2] ＝ 1160 ，
∴p≤ 1040 ，当且仅当1＝2k2 ， 即k2＝ 12 ，t2＝ 15 时等号成立，
故p的最大值为 1040 ．
【解析】（Ⅰ）直接由抛物线的定义求出焦点坐标即可；（Ⅱ）设直线方程y＝kx+t，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x0 ， y0），由 {x22+y2=1y=kx+t ，根据韦达定理定理求出M（﹣ 2kt1+2k2 ， t1+2k2 ），可得p，再由 {y2=2pxy=kx+t ，求出点A的坐标，代入椭圆方程可得t2＝ 8k6(1+2k2)2+2k2 ，化简整理得p2＝ k42(1+2k2)2?[(1+2k2)2+2k2] ，利用基本不等式即可求出p的最大值．
14.【答案】 解：（I）∵准线方程x=- 12 ,得 p =1，
∴抛物线C的方程为 y2=2x
（II）过点P作准线的垂线，垂直为B，则 |PB| = |PF|
要使 |PA| + |PF| 的最小，则P，A，B三点共线
此时 |PA| + |PF| = 72 + 12 =4·
（III）直线MN的方程为y=x- 12 ·
设M（ x1,y1 ），N（ x2,y2 ），把y=x- 12 代入抛物线方程 y2=2x ,得 x2 -3x+ 14 =0
∵△=9-4×1× 14 ＝8＞0
∴ x1 + x2 =3， x1+x22 = 32
线段MN中点的横坐标为 32 ，纵坐标为 32?12=1
线段MN中点的坐标为（ 32，1 ）
【解析】（I）由准线方程 x=?p2=?12 求得 p ，可得抛物线标准方程．（II）把 |PF| 转化为 P 到准线的距离 |PB| ，可得 B,P,A 三点共线时得所求最小值．（III）写出直线 MN 方程，代入抛物线方程后用韦达定理可得中点坐标．
15.【答案】 （1）解：设点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，则 y12=2px1 ， y22=2px2 ，
因为△ AOB 为等腰直角三角形， OA⊥OB ，所以 x12+y12=x22+y22 ，
所以 x12+2px1=x22+2px2 ，化简得 (x1?x2)(x1+x2+2p)=0 ，
由 x1>0 ， x2>0 ， p>0 可得 x1+x2+2p>0 ，
所以 x1?x2=0 即 x1=x2 ，所以点A、点B关于x轴对称，
又△ AOB 的面积是16，所以 AO=42 ，
不妨设点 A(4,4) ，所以 16=2p?4 ，解得 p=2 ，
所以抛物线 C 的方程为 y2=4x ；
（2）证明：由题意可知点 F(1,0) ，直线 MN 的斜率存在且不为0，
设直线 MN:x=my+1(m≠0) ，点 M(x3,y3) ， N(x4,y4) ，
所以点 E(0,?1m) ， EM=(x3,y3+1m) ， MF=(1?x3,?y3) ， EN=(x4,y4+1m) ，
NF=(1?x4,?y4) ，
因为 EM=λ1MF ， EN=λ2NF ，
所以 λ1=y3+1m?y3=?1?1my3 ， λ2=y4+1m?y4=?1?1my4 ，
所以 λ1+λ2=?1?1my3?1?1my4=?2?1m?(y3+y4y3y4) ，
由 {y2=4xx=my+1 消去x可得 y2?4my?4=0 ， Δ>0 ，
所以 y3+y4=4m ， y3y4=?4 ，
所以 λ1+λ2=?2?1m?(y3+y4y3y4)=?2?1m?4m?4=?1 ，
所以 λ1+λ2 是一个定值, 且 λ1+λ2=?1 .
【解析】（1）设点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，由抛物线方程、两点之间距离公式可得 x1=x2 ，结合面积即可得点A坐标，代入即可得解；（2）设直线 MN:x=my+1(m≠0) ，点 M(x3,y3) ， N(x4,y4) ，由平面向量的知识可得 λ1+λ2=?2?1m?(y3+y4y3y4) ，联立方程组，结合韦达定理即可得证.
16.【答案】 （1）解：设直线 l:y=k(x?p2) ，代入抛物线方程得： ky2?2py?kp2=0
∴y1y2=?p2=?4 ，解得： p=2
∴ 抛物线方程为： y2=4x
（2）解：由（1）知： l:y=k(x?1)(k≠0)
联立 {y=k(x?1)y2=4x 得： k2x2?2(k2+2)x+k2=0
此时 Δ=4(k2+2)2?4k4=16k2+16>0 恒成立
∴x1+x2=2(k2+2)k2=2+4k2 ， x1x2=1
∵l 过焦点 F ∴|AB|=x1+x2+p=4+4k2
由 D(0,?k) ， F(1,0) ??? ∴|DF|=1+k2
由 |AB|=|FD| 得： 1+k2=4+4k2 ，即： (k2+1)(k4?16k2?16)=0
∵k2+1>0 ??? ∴k4?16k2?16=0 ，解得： k2=8+45 或 k2=8?45 （舍）
∴k=±8+45=±22+5
∴ 当直线 l 方程为： y=±22+5(x?1) 时， |AB|=|FD|
【解析】（1）先设出直线方程， 代入抛物线方程， 解得 p=2 ， 即可求出抛物线的方程；
（2）先由（1）设出的直线方程与抛物线方程联立，由 Δ>0 恒成立，得到 |AB|=x1+x2+p=4+4k2 ， 再由 |AB|=|FD| 列式， 得到 k4?16k2?16=0 ，解出k的值，即可求出直线 l 的方程 .