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《鸽巢问题》练习
一、填空题。
1.五（1）班从49名学生中选一名班长， ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )小红、小明和小华为候选人．统计完37张票后发现：小红15票，小明10票，小华12票．在余下的票中，小红至少再得（ ）票才能保证以最多票数当选班长．2-1-c-n-j-y21世纪教育网版权所有
2. 把红、白、黄、蓝四种颜色的球各5个放到一个袋子里，至少取（ ）个球，可以保证取到两个颜色相同的球．【版权所有：21教育】【出处：21教育名师】
3. 8只鸽子飞回三个鸽舍，至少有（ ）只鸽子要飞进同一个鸽舍．
4. 一个袋子里有红、白、蓝三种颜色的球各10个，至少拿出（ ）球才能保证有3个颜色的球是同色．21·cn·jy·com【版权所有：21教育】
5. 某班有37名小学生，他们都订阅了《小 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )朋友》、《儿童时代》、《少年报》中的一种或几种，那么其中至少有（ ）名学生订的报刊种类完全相同．21教育名师原创作品21教育名师原创作品
二、判断题。
1. 在任意的37个人中，至少有（ ）的属相相同．
A. 2 B. 4 C. 6
2. 教室里有21名同学，至少有（ ）名同学是在同一个月出生的．
A. 2 B. 7 C. 6
3. 给正方体的六个面涂上不同的三种颜色，不论怎么涂，至少有（ ）个面的颜色相同．
A. 2 B. 3 C. 4
4. 任意5个自然数的和是偶数，则至少有（ ）个数是偶数．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 把25个苹果最多放进（ ）个袋子，才能保证至少有一个袋子里有7个苹果．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三、解答题
1.一个盒子里有9个蓝球、5个黑球、6个白 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )球和3个红球，如果闭上眼睛，从盒子中摸球，每次只许摸一个球，至少要摸出多少个才能保证摸出的这几个球中至少有两个颜色相同？
2. 王平说他们班的同学至少有5个人属相相同，但不能保证6个人的属相相同，这个班最少有多少人？最多有多少人？21教育网【来源：21·世纪·教育·网】
3. 图书馆有甲、乙、丙、丁四类图 ( http: / / www.21cnjy.com )书，规定每名学生可以借两本不同类的书，至少有多少名学生借书，才能保证有两人所借图书类别相同？2·1·c·n·j·y21·cn·jy·com
4. 在北京奥运会女子射箭 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )个人决赛中，中国选手张娟娟以110：109环战胜韩国选手朴成贤，获得冠军（射箭比赛最高10环，共射12支剑）．小明认为张娟娟至少获得2次10环以上的成绩，你认为他说得对吗？21·世纪*教育网21·世纪*教育网
参考答案
一、填空题。
1. 49-（15+10+12）=12 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（张），
小红已经比小华多了：15-12=3（张），
若把这12张平均分给二人：
12÷2=6（张），每人6张，小红再给小华1张，小华就比小红多分得2张，
小红分的数量6-1=5（张）21*cnjy*comwww-2-1-cnjy-com
解析：小红比小华多了3张选票，已经 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )统计了37张选票，还剩下12张没统计，假设这12张全部给小红和小华，只要小华的不比小红的多出3张或以上的选票，小红就会当选．只要求出小华比小红多分得2张的情况即可．【来源：21cnj*y.co*m】21*cnjy*com
2. 4+1=5（个）
3. 8÷3=2（只）…2（只），
2+1=3（只）；
4. 2×3+1=7（个）
解析：每种球都摸出2个，那么摸了6个，那再摸一个，就能得到3个颜色相同。
5. 37÷7=5…2（人）；
5+1=6（人）；
二、判断题。
1. B
解析：把12个属相看做12个抽屉， ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )37人看做37个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均即可解答．21cnjy.com21cnjy.com
2. A
3. A
解析：给一个正方体木块地6个面分别涂上红、黄 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )、蓝3种颜色，将3种颜色当做抽屉，将6个面当做苹果，因为6＞3，根据抽屉原理可知，不管怎么涂至少有两个面涂的颜色相同．
4. A
解析：任意5个自然数的和是偶数，则这五个自然数中如果有奇数的话，
奇数的个数必须是偶数个，即4个或2个，因此这5个自然数中至少有1个偶数．
5. D
解析：把需要的袋子看做抽屉 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；根据“至少有一个袋子里有7个苹果”，从最不利的情况去考虑，假设只有一个袋子里有7个苹果；那么每个袋子先放6（7-1）个，需要的袋子数是：25÷6=4（个）…1（个），那么还剩的1个苹果，无论放到那一个袋子里都能保证至少有一个袋子里有7个苹果，则可以得出最多放进4个袋子．21世纪教育网21-cn-jy.com21教育网
三、解答题
1. 4+1=5（个）
解析：由题意可知，盒子里 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )装有红、蓝、黑、白四种颜色的球，要保证至少有2个颜色相同，最坏的情况是每种颜色各取出1个，此时只要再任取一个，即取出4+1=5个就能保证至少有2个颜色相同．【来源：21·世纪·教育·网】www.21-cn-jy.com
2. 最少：12×4+1=49（人）；
最多：12×5=60（人）；
答：这个班最少有49人，最多有60人．
解析：一共有12个属相，要保证有5人 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )属相相同，把12属相看作12个“抽屉”，把总人数“看作物体的个数”，那么最少有12×4+1=49人；由于不能保证有6人的属相相同，所以最多只有12×5=60人； 21世纪21世纪教育网有2·1·c·n·j·y
3. 6+1=7（个），
答：至少有7个同学借书，才能保证有两个人所借的图书类别相同．
4. 假设全是9环，则总成绩是12×9 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=108，则比实际成绩少了110-108=2环，
所以可得，张娟娟至少获得2次10环以上的成绩，才能达到110环的成绩，所以小明说法正确．www-2-1-cnjy-com2-1-c-n-j-y
解析：因为张娟娟的总成绩是110环 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，假设全是9环，则总成绩是12×9=108，则比实际成绩少了110-108=2环，所以可得，张娟娟至少获得2次10环以上的成绩，据此即可解答问题．【出处：21教育名师】【来源：21cnj*y.co*m】
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鸽巢问题
人教版 六年级下
激趣导入
‘’我给大家表演一个“魔术”。一副牌，取出大小王，还剩52张牌，你们5人每人随意抽一张，我知道至少有2张牌是同花色的。‘’
老师说得对不对呢？
探究新知
我们用铅笔摆一摆吧
探究新知
0
0
0
枚举法
探究新知
0
枚举法
探究新知
数的分解法
4
4
0
0
4
3
1
0
4
2
2
0
4
2
1
1
探究新知
平均分
4÷3＝1（支）……1（支）
1+1=2（支）
先放3支，如果每个笔筒中都设有2支，那么只有每个笔筒中放1支，剩下的1支就要放进其中的一个笔筒。所以至少有2支铅笔放进同一个笔筒。
探究新知
首先通过平均分，余下1支，不管放在哪个笔筒里，一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。
试一试：
把5支铅笔放到4个笔筒里呢？
把6支铅笔放到5个笔筒里呢？
你发现了什么规律？
探究新知
抽屉原理一
只要物体数量是抽屉数量的1倍多，总有一个抽屉里至少放进2个物体。
探究新知
1. 5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进2只鸽子。为什么？
2. 你理解上面扑克牌魔术的道理了吗？
5只鸽子飞进了3个鸽笼，平均每只鸽笼飞进1只，剩下的2只鸽子无论飞进哪个鸽笼，那么总有一个鸽笼至少飞进2只鸽子。
“如果4人选中了4种不同的花色，剩下的1人不管选那种花色，总会和其他4人里的一人相同。所以至少有2张牌是同花色的。
探究新知
把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。为什么？
小组合作探索
探究新知
我随便放放看：一个抽屉1本，一个抽屉2本，一个抽屉4本。
如果每个抽屉最多放2本，那么3个抽屉最多放6本，可题目要求放的是7本，所以总有一个抽屉至少放进3本书。
两种放法都有一个抽屉放了3本或多于3本，所以总有一个抽屉至少放进3本书。
探究新知
数的分解法
7
7
0
0
7
6
1
0
7
5
2
0
7
5
1
1
7
4
3
0
7
4
2
1
7
3
3
1
7
3
2
2
探究新知
把7本书平
均分成3份
7÷3＝2…1，如果每个抽屉放2本，还剩1本，把剩下的这1本放进任何一个抽屉，该抽屉里就有3本书了。
假设法
8÷3＝2…2，把8本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉至少放进3本书。
把8本书放进3个抽屉里呢？
10÷3＝3…1，把10本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉至少放进4本书。
把10本书放进3个抽屉里呢？
探究新知
抽屉原理二
把m个物体放入n个抽屉里（m＞n），如果m÷n=k……b，那么总有一个抽屉里放入（k+1）个物体。
探究新知
11只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？
11÷4＝2（只）……3（只）
2+1=3（只）
探究新知
5个人坐4把椅子，总有一把椅子至少坐2人。为什么？
5÷4＝1（人）……1（人）
1+1=2（人）
探究新知
盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？
小组合作完成
探究新知
只摸2个球能保证是同色的吗？
有两种颜色，那摸3个球就能保证两个球同色。
摸出5个球，肯定有2个同色的，因为每种颜色都有4个。
只要摸出的球数比它们的颜色种数多1，就能保证两个球同色。
探究新知
要保证摸出有两个同色的球，摸出的数量至少要比颜色种数多一。
摸出的球数=颜色种类+1
通过摸球你有什么发现？
探究新知
把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？
至少取5个球可以保证取到两个颜色相同的球。
探究新知
鱼缸里有足够数量的金鱼5种，最少捞出多少条，可以保证捞到6条同种类的金鱼？
（6-1） × 5+1=26（条）
抽取问题
要保证摸出n个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数的（n-1）倍多“1”
（n-1） ×颜色数+1
小组讨论
探究新知
有黄白红三种小球若干个，每次从箱中摸出2个小球，至少摸多少次才能保证取到两个颜色相同的球？
（2-1） × 3+1=4（个）
4÷2=2（次）
探究新知
抽屉原理是组合数学中的一个重要原理。最早是由19世纪的德国数学家狄里克雷运用于解决数学问题的，后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鸽巢原理”，还把它叫做 “抽屉原理”。
鸽巢问题的由来
课堂练习
向东小学六年级共有367名学生，其中六（2）班有49名学生。
六年级里至少有两个人的生日是同一天。
六（2）班中至少有5人是同一个月出生的。
他们说得对吗？为什么？
课堂练习
367÷366=1......1
1+1=2
六年级里至少有两
人的生日是同一天。
49÷12=4......1
4+1=5
六(2)班里至少有5人
的生日是同一个月。
他们说得都对。
课堂练习
张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？
41÷5＝8（环）……1（环）
8+1=9（环）
拓展提高
一只布袋中装有黑、白、红、蓝4种颜色的手套，问至少要摸出多少只手套才能保证有5副同颜色的？
四种不同的颜色看成是4个抽屉，每个抽屉都摸出9只手套，此时再任意摸出1只，必定保证有一个抽屉有10只手套，即5副同颜色的手套。
9×4+1=37（只），
答：至少要摸出37只手套
才能保证有5副同颜色的。
课堂总结
抽屉原理一：只要物体数量是抽屉数量的1倍多，总有一个抽屉里至少放进2个物体。
抽屉原理二：把m个物体放入n个抽屉里（m＞n），如果m÷n=k……b，那么总有一个抽屉里放入（k+1）个物体。
抽取问题：要保证摸出n个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数的（n-1）倍多“1”。
作业布置
完成教材71页4、5、6题。
板书设计
鸽巢问题
抽屉原理二：把m个物体放入n个抽屉里（m＞n），如果m÷n=k……b，那么总有一个抽屉里放入（k+1）个物体。
抽屉原理一：只要物体数量是抽屉数量的1倍多，总有一个抽屉里至少放进2个物体。
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《鸽巢问题》教案
【教学目标】
1. 知识与技能
通过数学活动让学生了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法。
2.过程与方法
结合具体的实际问题，通 ( http: / / www.21cnjy.com )过实验、观察、分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动提高解决实际问题的能力。【出处：21教育名师】21cnjy.com
3.情感态度与价值观
在主动参与数学活动的过程中，让学生切实体会到探索的乐趣，让学生切实体会到数学与生活的紧密结合。21教育名师原创作品21·cn·jy·com
【教学重点】
理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。
【教学难点】
理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。
【教学方法】
启发式教学、自主探索、合作交流、讨论法、讲解法。
【课前准备】
多媒体
【课时安排】
1课时
【教学过程】
（一）游戏导入
师：今天老师要给大家表演一个“魔术” ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。取出大王和小王，还剩下52张牌，下面请5位同学上来，每人随意抽一张，不管怎么抽，至少有2张牌是同花色的。同学们相信吗？
生讨论交流：
找5位同学亲自上台体验：不管怎么抽，至少有2张牌是同花色的。
师：这是为什么？今天这节课我们重点研究这类问题。
（二）探究新知
1. 探究抽屉原理一，学习例1.
（1）课件出示：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。“总有”和“至少”什么意思？为什么呢？21教育网www.21-cn-jy.com
师：各小组用铅笔摆一摆，看哪个小组表现最好？
枚举法：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
数的分解法：
( http: / / www.21cnjy.com )
平均分：4÷3＝1（支）……1（支） 1+1=2（支）
师：“总有”和“至少”什么意思？总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
生1：“总有”是“一定有“，“至少有2 支”是最少有2支，不少于2支。
生2：先放3支，如果每个笔筒中都设有2支，那 ( http: / / www.21cnjy.com )么只有每个笔筒中放1支，剩下的1支就要放进其中的一个笔筒。所以至少有2支铅笔放进同一个笔筒。21cnjy.com2·1·c·n·j·y
（2）试一试：把5支铅笔放到4个笔筒里呢？把6支铅笔放到5个笔筒里呢？你发现了什么规律？
学生交流后师小结：首先通过平均分，余下1支，不管放在哪个笔筒里，一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。21·cn·jy·com21·世纪*教育网
抽屉原理一：只要物体数量是抽屉数量的1倍多，总有一个抽屉里至少放进2个物体。
（3）做一做：
5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进2只鸽子。为什么？
你理解上面扑克牌魔术的道理了吗？
2.探究抽屉原理二，学习例2.
（1）课件出示：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。为什么？
生1：我随便放放看：一个抽屉1本，一个抽屉2本，一个抽屉4本。
生2：如果每个抽屉最多放2本，那么3个抽屉最多放6本，可题目要求放的是7本，所以总有一个抽屉至少放进3本书。【来源：21·世纪·教育·网】www-2-1-cnjy-com
生3：两种放法都有一个抽屉放了3本或多于3本，所以总有一个抽屉至少放进3本书。
师讲解:
（2）归纳总结：
数的分解法：
( http: / / www.21cnjy.com )
假设法：
把7本书平均分成3份7÷3＝2…1，如果每 ( http: / / www.21cnjy.com )个抽屉放2本，还剩1本，把剩下的这1本放进任何一个抽屉，该抽屉里就有3本书了。21世纪21世纪教育网有21*cnjy*com
把8本书放进3个抽屉里呢？8÷3＝2…2，把8本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉至少放进3本书。www-2-1-cnjy-com【来源：21cnj*y.co*m】
把10本书放进3个抽屉里呢？10÷3＝3…1，把10本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉至少放进4本书。2-1-c-n-j-y【出处：21教育名师】
（3）师小结：
抽屉原理二：把m个物体放入n个抽屉里（ ( http: / / www.21cnjy.com )m＞n），如果m÷n=k……b，那么总有一个抽屉里放入（k+1）个物体。【来源：21cnj*y.co*m】2-1-c-n-j-y
（4）做一做：11只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？
5个人坐4把椅子，总有一把椅子至少坐2人。为什么？
学生独立完成后师生交流。
3.学习例3.
（1）课件出示：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？【版权所有：21教育】【来源：21·世纪·教育·网】
师：各小组分组活动，验证摸出的球是不是有2个同色的。
生1：只摸2个球能保证是同色的吗？
生2：摸出5个球，肯定有2个同色的，因为每种颜色都有4个。
生3：有两种颜色，那摸3个球就能保证两个球同色。
生4：只要摸出的球数比它们的颜色种数多1，就能保证两个球同色。
师：通过摸球你有什么发现？
小结：要保证摸出有两个同色的球，摸出的数量至少要比颜色种数多一。
摸出的球数=颜色种类+1
（2）做一做：把红、黄、蓝、白 ( http: / / www.21cnjy.com )四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？21世纪教育网21-cn-jy.com【版权所有：21教育】
学生独立完成后集体交流。
（3）鸽巢问题的由来
师介绍：抽屉原理是组合数学中的一个 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )重要原理。最早是由19世纪的德国数学家狄里克雷运用于解决数学问题的，后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鸽巢原理”，还把它叫做 “抽屉原理”。
（三）课堂练习
谈话：同学们，你们学得怎么样了？我们一起到智慧乐园挑战一下自己吧！有没有信心呢？
1. 向东小学六年级共有36 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )7名学生，其中六（2）班有49名学生。六年级里至少有两个人的生日是同一天。六（2）班中至少有5人是同一个月出生的。他们说得对吗？为什么？
2. 张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？
(四) 拓展提高
一只布袋中装有黑、白、红、蓝4种颜色的手套，问至少要摸出多少只手套才能保证有5副同颜色的？
讨论交流解题思路：四种不同 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的颜色看成是4个抽屉，每个抽屉都摸出9只手套，此时再任意摸出1只，必定保证有一个抽屉有10只手套，即5副同颜色的手套。21·世纪*教育网
汇报解题方法：9×4+1=37（只）
答：至少要摸出37只手套才能保证有5副同颜色的。
（五）课堂总结
师：通过学习，你有什么收获？
生交流：抽屉原理：只要放的物体比抽屉的数量多1，总有一个抽屉里至少放入2个物体。
物体数÷抽屉数=商数……余数
整除时：至少数=商数
不能整除时：至少数=商数+1
（六）板书设计
鸽巢问题
物体数÷抽屉数=商数……余数
整除时：至少数=商数
不能整除时：至少数=商数+1
【教学反思】
兴趣是学习最好的老师。所以在本节课我就 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )设计了“魔术”游戏来导入新课，激发学生的学习兴趣，通过抽牌知道了5人每人随意抽一张，至少有2张牌是同花色的，借机引入本节课的重点“总有 至少 ”。这样设计使学生在生动、活泼的数学活动中主动参与、主动实践、主动思考、主动探索、主动创造；使学生的数学知识、数学能力、数学思想、数学情感得到充分的发展，从而达到智与情的完美结合，全面提高学生的整体素质。只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。在教学过程中，充分利用学具操作，如把4支笔放入3个笔筒中，把5支笔放入4个笔筒中等，都是让学生自己操作，这为学生提供主动参与的机会，让学生想一想、圈一圈，把抽象的数学知识同具体的实物结合起来，化难为易，化抽象为具体，让学生体验和感悟数学。2·1·c·n·j·y21世纪教育网版权所有
通过直观例子，借助实际操作，引导学生探究“鸽 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )巢问题”，初步经历“数学证明“的过程，并有意识的培养学生的“模型思想。为学生营造宽松自由的学习氛围和学习空间，能让学生自己动脑解决一些实际问题，从而更好的理解鸽巢问题。在教学过程中能够及时地去发现并认可学生思维中闪亮的火花，教学效果较好。21*cnjy*com21教育网
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