22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质 同步练习（含答案）

22.1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质
一、选择题
1.二次函数y＝x2的对称轴是 ( )
A.直线y＝1 B.直线x＝1
C.y轴 D.x轴
2.下列图象中,是二次函数y＝－2x2的图象的是 ( )
3.函数y＝4x2的图象的顶点坐标为 ( )
A.(1,－4) B.(0,0)
C.(0,4) D.(4,0)
4.若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2,4),则该图象必经过点 ( )
A.(2,4) B.(－2,－4)
C.(－4,2) D.(4,－2)
5.下列函数中,当x<0时,函数值y随x的增大而增大的有(　　)
①y=3x;②y=-4x-3;③y=-2x2;④y=5x2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.已知点A(－3,y1),B(－1,y2),C(2,y3)在抛物线y＝23x2上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y1y2>y3
C.y17.二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
8.(2020·南充)如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)．若抛物线y＝ax2与正方形有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A.≤a≤3 B.≤a≤1
C.≤a≤3 D.≤a≤1
9.(2019·呼和浩特)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)
10.(中考·德州)给出下列函数：
① y＝－3x＋2；② y＝；
③ y＝2x2； ④ y＝3x.
上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x的增大而增大”的是(　　)
A．①③ B．③④
C．②④ D．②③
11.当ab>0时,y＝ax2与y＝ax＋b的图象可能是 ( )

12.下列说法错误的是(　　)
A.二次函数y=-5x2中,当x=0时,y有最大值0
B.二次函数y=4x2中,当x>0时,y随x的增大而增大
C.在三条抛物线y=2x2,y=-0.5x2,y=-x2中,y=2x2的图象开口最大,y=-x2的图象开口最小
D.不论a是正数还是负数,抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
二、填空题
13.已知二次函数y＝(2－a)x2的图象如图所示,则a的取值范围为　 　.?
14.已知二次函数y＝x2,当x>0时,y随x的增大而　 　.(填“增大”或“减小”)?
15.请写出一个顶点是原点,且自变量大于零时,函数值随着自变量的增大而减小的抛物线的解析式　 　.?
16.如图,正方形的边长为4,以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y＝2x2与y＝－2x2的图象,则阴影部分的面积是　 　.?
17.若点A(x1,8)和点B(x2,8)(x1≠x2)均在二次函数y＝mx2(m>0)的图象上,则当x＝x1＋x2时,y的值是　 　.?
三、解答题
18.在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象:
①y＝x2;②y＝2x2;③y＝－x2;④y＝－2x2.
对比上述函数的图象,说出函数关系式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响.
19.已知四个二次函数的图象如图所示,求a1,a2,a3,a4的大小关系.

20.抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝x－3交于点(1,b).
(1)求a,b的值.
(2)x取何值时,二次函数中的y随x的增大而减小?
21.已知一次函数y＝ax＋b的图象上有A,B两点,它们的横坐标分别是3,－1.若二次函数y＝13x2的图象经过A,B两点.
(1)请求出此一次函数的解析式;
(2)设该二次函数的顶点为C,求△ABC的面积.
22.如图,过点F(0,－1)的直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线y＝－14x2交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
(1)求b的值;
(2)求x1x2的值.
23.定义:若抛物线y的顶点为P,点A的坐标为(a,a)(a是常数,且a≠0),我们把线段PA称为抛物线y的顶割线.已知抛物线y＝mx2(m≠0).
(1)求抛物线y的顶割线所在直线的函数解析式;
(2)若抛物线y的顶割线长为22,且点A在抛物线y上,求m的值.
24.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A(1，m)和B(－2，4)，与y轴交于点C.求：
(1)a，b，k的值；
(2)△AOB的面积．
参考答案
一、选择题
1.二次函数y＝x2的对称轴是 (C)
A.直线y＝1 B.直线x＝1
C.y轴 D.x轴
2.下列图象中,是二次函数y＝－2x2的图象的是 (D)
3.函数y＝4x2的图象的顶点坐标为 (B)
A.(1,－4) B.(0,0)
C.(0,4) D.(4,0)
4.若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2,4),则该图象必经过点 (A)
A.(2,4) B.(－2,－4)
C.(－4,2) D.(4,－2)
5.下列函数中,当x<0时,函数值y随x的增大而增大的有(　B　)
①y=3x;②y=-4x-3;③y=-2x2;④y=5x2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.已知点A(－3,y1),B(－1,y2),C(2,y3)在抛物线y＝23x2上,则y1,y2,y3的大小关系是 (D)
A.y1y2>y3
C.y17.二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (B)
8.(2020·南充)如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)．若抛物线y＝ax2与正方形有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A.≤a≤3 B.≤a≤1
C.≤a≤3 D.≤a≤1
【点拨】当抛物线经过点(1，3)时，a＝3；　
当抛物线经过点(3，1)时，a＝.
观察图象可知≤a≤3.
【答案】A
9.(2019·呼和浩特)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)
【点拨】分a>0和a<0两种情况：
当a>0时，y＝ax2的图象开口向上，y＝ax＋a的图象经过第一、二、三象限且过点(－1，0)；
当a<0时，y＝ax2的图象开口向下，y＝ax＋a的图象经过第二、三、四象限且过点(－1，0)．
综上可知，应选D.
【答案】D
10.(中考·德州)给出下列函数：
① y＝－3x＋2；② y＝；
③ y＝2x2； ④ y＝3x.
上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x的增大而增大”的是(　　)
A．①③ B．③④
C．②④ D．②③
【点拨】对于①③④，可利用性质判断．对于②，可利用特殊值法判断．分别令x等于1和2，求得y的值为3和1.5，不符合题目条件．
【答案】B
11.当ab>0时,y＝ax2与y＝ax＋b的图象可能是 (D)

12.下列说法错误的是(　C　)
A.二次函数y=-5x2中,当x=0时,y有最大值0
B.二次函数y=4x2中,当x>0时,y随x的增大而增大
C.在三条抛物线y=2x2,y=-0.5x2,y=-x2中,y=2x2的图象开口最大,y=-x2的图象开口最小
D.不论a是正数还是负数,抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
二、填空题
13.已知二次函数y＝(2－a)x2的图象如图所示,则a的取值范围为　a<2　.?
14.已知二次函数y＝x2,当x>0时,y随x的增大而　增大　.(填“增大”或“减小”)?
15.请写出一个顶点是原点,且自变量大于零时,函数值随着自变量的增大而减小的抛物线的解析式　y＝－x2(答案不唯一)　.?
16.如图,正方形的边长为4,以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y＝2x2与y＝－2x2的图象,则阴影部分的面积是　8　.?
17.若点A(x1,8)和点B(x2,8)(x1≠x2)均在二次函数y＝mx2(m>0)的图象上,则当x＝x1＋x2时,y的值是　0　.?
三、解答题
18.在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象:
①y＝x2;②y＝2x2;③y＝－x2;④y＝－2x2.
对比上述函数的图象,说出函数关系式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响.
图略.由图象可知,a的绝对值相同,两条抛物线的形状就相同,a>0时,开口向上,a<0时开口向下;|a|越大,开口越小.
19.已知四个二次函数的图象如图所示,求a1,a2,a3,a4的大小关系.

解:a1>a2>a3>a4.
20.抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝x－3交于点(1,b).
(1)求a,b的值.
(2)x取何值时,二次函数中的y随x的增大而减小?
解:(1)把点(1,b)代入y＝x－3,得b＝1－3＝－2,
∴抛物线与直线的交点的坐标为(1,－2),
把点(1,－2)代入y＝ax2,得a＝－2.
(2)由(1)知y＝－2x2,∴抛物线开口向下,且对称轴为y轴,
∴当x>0时,y随x的增大而减小.
21.已知一次函数y＝ax＋b的图象上有A,B两点,它们的横坐标分别是3,－1.若二次函数y＝13x2的图象经过A,B两点.
(1)请求出此一次函数的解析式;
(2)设该二次函数的顶点为C,求△ABC的面积.
解:(1)一次函数的解析式为y＝23x＋1.
(2)∵二次函数的解析式为y＝13x2,∴点C的坐标为(0,0).
设一次函数与y轴的交点为D,则点D的坐标为(0,1),
∴CD＝1,∴S△ABC＝12CD·(xA－xB)＝12×1×4＝2.
22.如图,过点F(0,－1)的直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线y＝－14x2交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
(1)求b的值;
(2)求x1x2的值.
解:(1)b＝－1.
(2)因为b＝－1,所以直线的解析式为y＝kx－1,联立y＝kx-1,y＝-14x2,则－14x2－kx＋1＝0,所以x1x2＝－4.
23.定义:若抛物线y的顶点为P,点A的坐标为(a,a)(a是常数,且a≠0),我们把线段PA称为抛物线y的顶割线.已知抛物线y＝mx2(m≠0).
(1)求抛物线y的顶割线所在直线的函数解析式;
(2)若抛物线y的顶割线长为22,且点A在抛物线y上,求m的值.
解:(1)∵抛物线y＝mx2(m≠0)的顶点坐标是(0,0),
∴设顶割线所在直线的函数解析式为y＝kx,把点A(a,a)代入y＝kx,得a＝ka,∵a≠0,∴k＝1,
∴抛物线y的顶割线所在直线的函数解析式为y＝x.
(2)∵抛物线y的顶割线长为22,∴PA＝22,
∴a2＋a2＝(22)2,解得a＝－2或a＝2,
∴点A的坐标为(－2,－2)或(2,2),
分别代入y＝mx2,得m＝－12或m＝12.
24.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A(1，m)和B(－2，4)，与y轴交于点C.求：
(1)a，b，k的值；
解：把点B(－2，4)的坐标代入y＝ax2，得4＝4a，∴a＝1.
∴二次函数的解析式是y＝x2.
把点A(1，m)的坐标代入y＝x2，得m＝1，∴A(1，1)．
把A(1，1)和B(－2，4)的坐标分别代入y＝kx＋b，
得解得
∴a＝1，b＝2，k＝－1.
(2)△AOB的面积．
解：令y＝－x＋2中x＝0，则y＝2，∴C(0，2)．
∴OC＝2.
∴S△AOC＝OC·|1|＝×2×1＝1，S△BOC＝OC·|－2|＝×2×2＝2.
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝1＋2＝3.