22.1.3.1 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 同步练习（含答案）

22.1.3　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
一、选择题
1.抛物线y＝3x2－2的对称轴是 ( )
A.直线x＝－1 B.直线x＝1
C.直线x＝0 D.直线y＝1
2.抛物线y＝6x2＋4的顶点坐标是 ( )
A.(0,－4) B.(0,4)
C.(6,0) D.(－6,0)
3.在抛物线y＝－13x2－1的对称轴的左侧 ( )
A.y随x的增大而增大 B.y随x的增大而减小
C.y随x的减小而增大 D.以上都不对
4.下列函数中,当x<0时,y随x的增大而减小的是 ( )
A.y＝x2＋3 B.y＝x－1
C.y＝－x2－3 D.y＝8x
5.将二次函数y＝x2的图象向下平移一个单位长度,则平移以后的二次函数的解析式为 ( )
A.y＝x2－1 B.y＝x2＋1
C.y＝(x－1)2 D.y＝(x＋1)2
6.抛物线y=-3x2-4的开口方向和顶点坐标分别是(　　)
A.向下,(0,4) B.向下,(0,-4)
C.向上,(0,4) D.向上,(0,-4)
7.直线y＝2被抛物线y＝－x2＋6截得的线段的长度为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
8.在同一平面直角坐标系中,函数y＝ax2＋b与y＝ax＋b(a,b都不为0)的图象的相对位置可以是 ( )
9.已知函数y＝x2-1　(x≤2),x-1　(x>2),当y＝5时,x的值是 ( )
A.6 B.－6
C.－6或6 D.±6或6
10.(中考·成都)二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是(　　)
A．抛物线开口向下
B．抛物线经过点(2，3)
C．抛物线的对称轴是直线x＝1
D．抛物线与x轴有两个交点
11.(中考·绍兴)已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法正确的是(　　)
A．若y1＝y2，则x1＝x2
B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0< x1< x2，则y1> y2
D．若x1< x2<0，则y1> y2
12.二次函数y＝2x2－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是(　　)
A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5
C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤5
二、填空题
13.若抛物线y=ax2+(a-1)(a≠0)经过原点,那么该抛物线在对称轴的左侧部分的变化趋势是　　的.(填“上升”或“下降”)?
14.若y＝(1＋m)xm2-7－3是二次函数,且开口向下,则m的值为　　.?
15.已知二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,-5),当x>0时,y随x的增大而　　.(填“增大”或“减小” )?
16.二次函数y＝45x2＋3的图象可以看作由二次函数y＝45x2的图象向　　平移　　个单位长度得到.?
17.如图,抛物线y＝ax2＋1与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝4x2于点B,C,则线段BC的长为　　.?

18.已知直线y=-x+1与抛物线y=x2+k的一个交点的横坐标为-2,则k=　　.?
三、解答题
19.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝13x2＋1与二次函数y＝－13x2－1的图象,并从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点.
20.如图,已知抛物线y＝x2,把该抛物线向上平移,使平移后的抛物线经过点A(1,3),求平移后的抛物线的解析式.
21.(1)已知二次函数y＝x2的自变量x在2(2)已知二次函数y＝－x2＋4的自变量x在－2


22.记实数x1,x2中的最小值为min{x1,x2},例如min{0,-1}=-1.当x取任意实数时,求min{-x2+4,3x}的最大值.







23.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k为常数)与抛物线y=13x2-2交于A,B两点,且点A在y轴左侧,点P的坐标为(0,-4),连接PA,PB,求△PAB面积的最小值.
24.求符合下列条件的抛物线y＝ax2＋k的解析式.
(1)过点(－3,2),且与y＝－3x2开口大小相同,方向相反;
(2)过点(1,－3)和点(0,－2).
25.能否通过上下平移二次函数y＝13x2的图象,使得到的新函数的图象经过点(3,－3).若能,求出平移的方向和距离;若不能,请说明理由.
26.已知抛物线y＝14x2＋1具有如下性质:抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离相等.如图,点M的坐标为(3,3),P是抛物线y＝14x2＋1上的一个动点.
(1)当△POF的面积为4时,求点P的坐标;
(2)求△PMF周长的最小值.
27.如图，抛物线y1＝－x2＋3与x轴交于A，B两点，与直线y2＝－x＋b交于B，C两点．
(1)求直线BC对应的函数解析式和点C的坐标；
(2)点P为抛物线上异于点C的一点，若S△PAB＝S△ABC，求点P的坐标．
28.(2019·安徽)一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．
(1)求k，a，c的值；
(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．










29.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y'),给出如下定义:若y'=y　(x≥0),-y　(x<0), 则称点Q为点P的“可控变点”.例如:点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(-1,3)的“可控变点”为点(-1,-3).
(1)若点(-1,-2)是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”,则点M的坐标为　 　.?
(2)若点P在函数y=-x2+16(-5≤x≤a)的图象上,其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是-16≤y'≤16,求实数a的取值范围.
参考答案
一、选择题
1.抛物线y＝3x2－2的对称轴是 (C)
A.直线x＝－1 B.直线x＝1
C.直线x＝0 D.直线y＝1
2.抛物线y＝6x2＋4的顶点坐标是 (B)
A.(0,－4) B.(0,4)
C.(6,0) D.(－6,0)
3.在抛物线y＝－13x2－1的对称轴的左侧 (A)
A.y随x的增大而增大 B.y随x的增大而减小
C.y随x的减小而增大 D.以上都不对
4.下列函数中,当x<0时,y随x的增大而减小的是 (A)
A.y＝x2＋3 B.y＝x－1
C.y＝－x2－3 D.y＝8x
5.将二次函数y＝x2的图象向下平移一个单位长度,则平移以后的二次函数的解析式为 (A)
A.y＝x2－1 B.y＝x2＋1
C.y＝(x－1)2 D.y＝(x＋1)2
6.抛物线y=-3x2-4的开口方向和顶点坐标分别是(　B　)
A.向下,(0,4) B.向下,(0,-4)
C.向上,(0,4) D.向上,(0,-4)
7.直线y＝2被抛物线y＝－x2＋6截得的线段的长度为 (C)
A.2 B.3 C.4 D.6
8.在同一平面直角坐标系中,函数y＝ax2＋b与y＝ax＋b(a,b都不为0)的图象的相对位置可以是 (A)
9.已知函数y＝x2-1　(x≤2),x-1　(x>2),当y＝5时,x的值是 (C)
A.6 B.－6
C.－6或6 D.±6或6
10.(中考·成都)二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是(　D　)
A．抛物线开口向下
B．抛物线经过点(2，3)
C．抛物线的对称轴是直线x＝1
D．抛物线与x轴有两个交点
11.(中考·绍兴)已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法正确的是(　D　)
A．若y1＝y2，则x1＝x2
B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0< x1< x2，则y1> y2
D．若x1< x2<0，则y1> y2
12.二次函数y＝2x2－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是(　　)
A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5
C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤5
【点拨】结合二次函数的图象和性质来解．
当x＝0时，y取最小值－3；当x＝2时，y取最大值5.
所以当－1≤x≤2时，y的取值范围是－3≤y≤5.
二、填空题
13.若抛物线y=ax2+(a-1)(a≠0)经过原点,那么该抛物线在对称轴的左侧部分的变化趋势是　下降　的.(填“上升”或“下降”)?
14.若y＝(1＋m)xm2-7－3是二次函数,且开口向下,则m的值为　－3　.?
15.已知二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,-5),当x>0时,y随x的增大而　减小　.(填“增大”或“减小” )?
16.二次函数y＝45x2＋3的图象可以看作由二次函数y＝45x2的图象向　上　平移　3　个单位长度得到.?
17.如图,抛物线y＝ax2＋1与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝4x2于点B,C,则线段BC的长为　1　.?
18.已知直线y=-x+1与抛物线y=x2+k的一个交点的横坐标为-2,则k=　-1　.?
三、解答题
19.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝13x2＋1与二次函数y＝－13x2－1的图象,并从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点.
解:图略.相同点:形状都是抛物线,对称轴都是y轴.
不同点:y＝13x2＋1开口向上,顶点坐标是(0,1);y＝－13x2－1开口向下,顶点坐标是(0,－1).
20.如图,已知抛物线y＝x2,把该抛物线向上平移,使平移后的抛物线经过点A(1,3),求平移后的抛物线的解析式.
解:设所求的函数解析式为y＝x2＋k.
∵点A(1,3)在抛物线上,∴1＋k＝3,∴k＝2,
∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2＋2.
21.(1)已知二次函数y＝x2的自变量x在2(2)已知二次函数y＝－x2＋4的自变量x在－2解:(1)y的取值范围为4(2)∵y＝－x2＋4,∴x＝0时,该函数取最大值4,
∴－2 22.记实数x1,x2中的最小值为min{x1,x2},例如min{0,-1}=-1.当x取任意实数时,求min{-x2+4,3x}的最大值.
解:画出函数y=-x2+4和y=3x的图象,
由图象可知min{-x2+4,3x}的最大值为3.
23.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k为常数)与抛物线y=13x2-2交于A,B两点,且点A在y轴左侧,点P的坐标为(0,-4),连接PA,PB,求△PAB面积的最小值.
解:设A(m,km),B(n,kn),其中m<0,n>0,坐标原点为O.
联立y=13x2-2与y=kx,得x2-3kx-6=0,
∴m+n=3k,mn=-6,
∴S△PAB=S△PAO+S△PBO=12OP·(-m)+12OP·n=12OP·(n-m)=2(n-m)=2(m+n)2-4mn=29k2+24,
∴当k=0时,△PAB的面积有最小值,最小值为224=46.
24.求符合下列条件的抛物线y＝ax2＋k的解析式.
(1)过点(－3,2),且与y＝－3x2开口大小相同,方向相反;
(2)过点(1,－3)和点(0,－2).
解:(1)∵抛物线y＝ax2＋k与y＝－3x2开口大小相同,方向相反,∴a＝3,∴y＝3x2＋k.
∵抛物线过点(－3,2),
∴27＋k＝2,解得k＝－25,
即所求的函数解析式为y＝3x2－25.
(2)将点(1,－3)和点(0,－2)代入y＝ax2＋k,
得a＋k＝-3,k＝-2,解得a＝-1,k＝-2,
即所求的函数解析式为y＝－x2－2.
25.能否通过上下平移二次函数y＝13x2的图象,使得到的新函数的图象经过点(3,－3).若能,求出平移的方向和距离;若不能,请说明理由.
解:设平移后的函数解析式为y＝13x2＋b.
∵新的图象经过点(3,－3),
∴13×32＋b＝－3,解得b＝－6,
∴平移后的函数的解析式为y＝13x2－6,
∴二次函数y＝13x2的图象向下平移6个单位长度,得到新函数的图象经过点(3,－3).
26.已知抛物线y＝14x2＋1具有如下性质:抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离相等.如图,点M的坐标为(3,3),P是抛物线y＝14x2＋1上的一个动点.
(1)当△POF的面积为4时,求点P的坐标;
(2)求△PMF周长的最小值.
解:(1)设点P的坐标为x,14x2＋1.
∵点F的坐标为(0,2),∴OF＝2,
∴当△POF的面积为4时,12×2×|x|＝4,解得x＝±4,∴y＝14×(±4)2＋1＝5,
∴点P的坐标为(－4,5)或(4,5).
(2)过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y＝14x2＋1于点P,此时△PMF的周长最小.
∵点F的坐标为(0,2),点M的坐标为(3,3),
∴ME＝3,FM＝(3-0)2＋(3-2)2＝2,
∴△PMF周长的最小值＝ME＋FM＝3＋2＝5.
27.如图，抛物线y1＝－x2＋3与x轴交于A，B两点，与直线y2＝－x＋b交于B，C两点．
(1)求直线BC对应的函数解析式和点C的坐标；
∴直线BC对应的函数解析式为y2＝－x＋.　
当y1＝y2时，可得方程－x2＋3＝－x＋，
解得x＝2或x＝－1.
当x＝－1时，y2＝－×(－1)＋＝，
∴点C的坐标为.
(2)点P为抛物线上异于点C的一点，若S△PAB＝S△ABC，求点P的坐标．
解：由题意知△PAB和△ABC同底，要使它们的面积相等，只需高相等．
令－x2＋3＝，解得x＝1或x＝－1, 得P1；
令－x2＋3＝－，解得x＝或x＝－，
得P2，P3.
综上，点P的坐标为或或.
28.(2019·安徽)一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．
(1)求k，a，c的值；
解：将点(1，2)的坐标代入y＝kx＋4，得k＋4＝2，解得k＝－2.
由题意得二次函数y＝ax2＋c的图象的顶点坐标为(0，4)，
∴c＝4.
把点(1，2)的坐标代入y＝ax2＋4，得a＋4＝2，解得a＝－2.
(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
解：由(1)得二次函数的解析式为y＝－2x2＋4，令y＝m，
得2x2＋m－4＝0，
∴x＝±(0＜m＜4)．
设B，C两点的坐标分别为(x1，m)，(x2，m)，则BC＝|x1|＋|x2|＝2.
∴W＝OA2＋BC2＝m2＋4·＝m2－2m＋8＝(m－1)2＋7(0＜m＜4)．
∴当m＝1时，W取得最小值7.
29.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y'),给出如下定义:若y'=y　(x≥0),-y　(x<0), 则称点Q为点P的“可控变点”.例如:点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(-1,3)的“可控变点”为点(-1,-3).
(1)若点(-1,-2)是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”,则点M的坐标为　(-1,2)　.?
(2)若点P在函数y=-x2+16(-5≤x≤a)的图象上,其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是-16≤y'≤16,求实数a的取值范围.
解:(2)因为二次函数的解析式为y=-x2+16,
所以当x<0时,y随着x的增大而增大;当x>0时,y随着x的增大而减小.
设二次函数上点P的坐标为(x,y),其“可控变点”Q的坐标为(x,y').若a<0,则y<16,y'将取不到16,故a≥0.
当-5≤x<0时,-9≤y<16,此时-16 因为-16≤y'≤16,所以-16≤16-a2≤9,且a≥0,所以7≤a≤42.