22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式 同步练习（含答案）

22.1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
*第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式
一、选择题
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则其函数解析式是(　　)

A.y=x2-4x+5 B.y=-x2-4x+5
C.y=x2+4x+5 D.y=-x2+4x+5
2.如果二次函数y＝ax2＋bx,当x＝1时,y＝2;当x＝－1时,y＝4,则a,b的值是( )
A.a＝3,b＝－1 B.a＝3,b＝1
C.a＝－3,b＝1 D.a＝－3,b＝－1
3.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝3x2完全相同,顶点坐标是(－2,4),则该抛物线的解析式为 ( )
A.y＝－3(x＋2)2＋4
B.y＝3(x＋2)2＋4
C.y＝－(2x＋1)2＋4
D.y＝－3(2x－1)2＋4
4.已知抛物线的对称轴为直线x＝3,y的最大值为－5,且与y＝12x2的图象开口大小相同,则这条抛物线的解析式为 ( )
A.y＝－12(x＋3)2＋5
B.y＝－12(x－3)2－5
C.y＝12(x＋3)2＋5
D.y＝12(x－3)2－5
5.已知某抛物线的顶点坐标为M(－2,1),且经过原点,则该抛物线的函数解析式为 ( )
A.y＝(x－2)2＋1 B.y＝14(x＋2)2＋1
C.y＝(x＋2)2＋1 D.y＝－14(x＋2)2＋1
6.某抛物线与x轴交点的横坐标为－2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数的解析式为 ( )
A.y＝2x2－2x－4 B.y＝－2x2＋2x－4
C.y＝2x2＋2x－4 D.y＝x2＋x－2
7.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是 ( )
A.y＝－x2＋x＋2
B.y＝－12x2－12x＋2
C.y＝－12x2－12x＋1
D.y＝x2－x－2
8.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是x＝－1,则这个二次函数的解析式为 ( )
A.y＝－x2＋2x＋3 B.y＝x2＋2x＋3
C.y＝－x2－2x－3 D.y＝－x2－2x＋3
9.当k取任意实数时,抛物线y＝3(x－k－1)2＋k2＋2的顶点所在的函数图象的解析式是( )
A.y＝x2＋2 B.y＝x2－2x＋1
C.y＝x2－2x＋3 D.y＝x2＋2x－3
二、填空题
10.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点,则该抛物线的解析式是　 　.?
11.已知某二次函数的图象过(0,1),(1,0),(－2,0)三点,则这个二次函数的解析式是　 　.?
12.已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3,1,与y轴交点的纵坐标为6,则该二次函数的解析式为　 　.?
13.已知抛物线y=4x2+mx-48,当x>-2时,y随x的增大而增大;当x<-2时,y随x的增大而减小.则当x=3时,y=　 　.?
14.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3
下列结论:①ac<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③当x=2时,y=5;④3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根.
其中正确的结论有　 　.(填写序号)?
15.如果将二次函数y＝－6(x－1)2的图象沿x轴对折,得到的函数图象的解析式是　 　;如果沿y轴对折,得到的函数图象的解析式是　 　.?
16.如图,抛物线的顶点M在y轴上,抛物线与直线y＝x＋1相交于A,B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,则该抛物线的函数解析式为　 　.?
三、解答题
17.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),求该抛物线的解析式和顶点E的坐标.
18.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,函数值y与自变量x的部分对应值如下表:
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
－2
－2
0
4
…
求该二次函数的解析式.
19.已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与抛物线y＝4x2－2x＋5的形状相同,且抛物线y＝a(x－h)2＋k经过点(0,0),其最大值为16,求此抛物线的解析式.
20.已知二次函数图象的对称轴是直线x＝－3,图象经过点(1,6),且与y轴的交点坐标为0,52.
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?
21.如图,抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1,0),B(－3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)设(1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
22.(2020·陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.
(1)求该抛物线的解析式．
(2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P、点E的坐标．
23.(2020·江西)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
m
0
－3
n
－3
…
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向________，对称轴为____________．
(2)求抛物线的解析式及m，n的值．
(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：______________．
24.(2020·永州)在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图①所示．
(1)求抛物线所表示的二次函数解析式．
(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图②所示．
①求△CMN面积的最小值．
②已知Q是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称？若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数解析式；若不存在，请说明理由．
25.(2020·攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
26.(2020·衡阳)在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点(－1，0)，(2，0)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求当－2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
(3)一次函数y＝(2－m)x＋2－m的图象与二次函数y＝x2＋px＋q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．








27.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形ABCD的顶点坐标A(-1,0),B(3,0),C(3,-2),抛物线经过A,B两点,且顶点在线段CD上.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)若点E(3,1),将△DCE向上平移直至CD边与AB边重合,在此过程中,线段CD与抛物线的交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),线段DE与AB交于点M(x3,y3),求x1+x2+x3的取值范围.

参考答案
一、选择题
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则其函数解析式是(　B　)

A.y=x2-4x+5 B.y=-x2-4x+5
C.y=x2+4x+5 D.y=-x2+4x+5
2.如果二次函数y＝ax2＋bx,当x＝1时,y＝2;当x＝－1时,y＝4,则a,b的值是(A)
A.a＝3,b＝－1 B.a＝3,b＝1
C.a＝－3,b＝1 D.a＝－3,b＝－1
3.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝3x2完全相同,顶点坐标是(－2,4),则该抛物线的解析式为 (B)
A.y＝－3(x＋2)2＋4
B.y＝3(x＋2)2＋4
C.y＝－(2x＋1)2＋4
D.y＝－3(2x－1)2＋4
4.已知抛物线的对称轴为直线x＝3,y的最大值为－5,且与y＝12x2的图象开口大小相同,则这条抛物线的解析式为 (B)
A.y＝－12(x＋3)2＋5
B.y＝－12(x－3)2－5
C.y＝12(x＋3)2＋5
D.y＝12(x－3)2－5
5.已知某抛物线的顶点坐标为M(－2,1),且经过原点,则该抛物线的函数解析式为 (D)
A.y＝(x－2)2＋1 B.y＝14(x＋2)2＋1
C.y＝(x＋2)2＋1 D.y＝－14(x＋2)2＋1
6.某抛物线与x轴交点的横坐标为－2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数的解析式为 (C)
A.y＝2x2－2x－4 B.y＝－2x2＋2x－4
C.y＝2x2＋2x－4 D.y＝x2＋x－2
7.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是 (A)
A.y＝－x2＋x＋2
B.y＝－12x2－12x＋2
C.y＝－12x2－12x＋1
D.y＝x2－x－2
8.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是x＝－1,则这个二次函数的解析式为 (D)
A.y＝－x2＋2x＋3 B.y＝x2＋2x＋3
C.y＝－x2－2x－3 D.y＝－x2－2x＋3
9.当k取任意实数时,抛物线y＝3(x－k－1)2＋k2＋2的顶点所在的函数图象的解析式是(C)
A.y＝x2＋2 B.y＝x2－2x＋1
C.y＝x2－2x＋3 D.y＝x2＋2x－3
二、填空题
10.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点,则该抛物线的解析式是　y＝－x2＋2x＋3　.?
11.已知某二次函数的图象过(0,1),(1,0),(－2,0)三点,则这个二次函数的解析式是　y＝－12x2－12x＋1　.?
12.已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3,1,与y轴交点的纵坐标为6,则该二次函数的解析式为　y=2x2-8x+6　.?
13.已知抛物线y=4x2+mx-48,当x>-2时,y随x的增大而增大;当x<-2时,y随x的增大而减小.则当x=3时,y=　36　.?
14.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3

下列结论:①ac<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③当x=2时,y=5;④3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根.
其中正确的结论有　①③④　.(填写序号)?
15.如果将二次函数y＝－6(x－1)2的图象沿x轴对折,得到的函数图象的解析式是　y＝6(x－1)2　;如果沿y轴对折,得到的函数图象的解析式是　y＝－6(x＋1)2　.?
16.如图,抛物线的顶点M在y轴上,抛物线与直线y＝x＋1相交于A,B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,则该抛物线的函数解析式为　y＝x2－1　.?
三、解答题
17.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),求该抛物线的解析式和顶点E的坐标.
解:由题意,设y＝a(x－1)(x－5).
将点A(0,4)代入,得a＝45,
∴y＝45(x－1)(x－5)＝45(x－3)2－165,
故顶点E的坐标为3,-165.
18.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,函数值y与自变量x的部分对应值如下表:
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
－2
－2
0
4
…
求该二次函数的解析式.
解:根据表中可知,点(－1,－2)和点(0,－2)关于对称轴对称,
∴对称轴是直线x＝－12.
设二次函数的解析式为y＝ax＋122＋k.
把点(－2,0)和点(0,－2)代入,
得a-2＋122＋k＝0,a0＋122＋k＝-2,
解得a＝1,k＝－94,
∴该二次函数的解析式为y＝x＋122－94＝x2＋x－2.
19.已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与抛物线y＝4x2－2x＋5的形状相同,且抛物线y＝a(x－h)2＋k经过点(0,0),其最大值为16,求此抛物线的解析式.
解:把点(0,0)代入y＝a(x－h)2＋k,得ah2＋k＝0.
∵抛物线y＝a(x－h)2＋k的最大值为16,
∴函数图象的开口向下,即a<0,其顶点的纵坐标k＝16.
∵抛物线y＝a(x－h)2＋k的形状与抛物线y＝4x2－2x＋5相同,∴a＝－4,
把a＝－4,k＝16代入ah2＋k＝0中,得h＝±2,
∴此抛物线的解析式为y＝－4(x－2)2＋16或y＝－4(x＋2)2＋16.
20.已知二次函数图象的对称轴是直线x＝－3,图象经过点(1,6),且与y轴的交点坐标为0,52.
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?
解:(1)这个二次函数的解析式为y＝12x2＋3x＋52.
(2)∵y＝12x2＋3x＋52,
∴a＝12>0,开口向上,对称轴是直线x＝－3,
∴当x>－3时,这个函数的函数值y随x的增大而增大.
21.如图,抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1,0),B(－3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)设(1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)该抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
(2)存在.连接BC交对称轴于点M,则此时△MAC的周长最小.在y＝－x2－2x＋3中,令x＝0,得y＝3,∴点C的坐标为(0,3).
设直线BC的解析式为y＝kx＋b,
∴-3k＋b＝0,b＝3,解得k＝1,b＝3,∴直线BC的解析式为y＝x＋3.
∵抛物线y＝－x2－2x＋3的对称轴为直线x＝－1,
∴当x＝－1时,y＝2,∴点M的坐标为(－1,2).
22.(2020·陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.
(1)求该抛物线的解析式．
解：将点(3，12)和(－2，－3)的坐标代入抛物线的解析式，
得解得
故抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.
(2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P、点E的坐标．
解：抛物线的对称轴为直线x＝－1.
令y＝0，则x＝－3或x＝1；
令x＝0，则y＝－3，
故点A，B的坐标分别为(－3，0)，(1，0)，点C的坐标为(0，－3)．
∴OA＝OC＝3.
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴当PD＝DE＝3时，以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等．
设点P(m，n)，当点P在抛物线的对称轴右侧时，m－(－1)＝3，解得m＝2，
故n＝22＋2×2－3＝5，故点P(2，5)，
故点E(－1，2)或(－1，8)；
当点P在抛物线的对称轴左侧时，由抛物线的对称性可得点P (－4，5)，此时点E坐标同上．
综上，点P的坐标为(2，5)或(－4，5)，点E的坐标为(－1，2)或(－1，8)．
23.(2020·江西)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
m
0
－3
n
－3
…
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向__上______，对称轴为_直线x＝1___________．
(2)求抛物线的解析式及m，n的值．
解：把x＝－1，y＝0；x＝0，y＝－3；x＝2，y＝－3分别代入y＝ax2＋bx＋c，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
当x＝－2时，m＝4＋4－3＝5；当x＝1时，n＝1－2－3＝－4.
(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
解：如图所示．该曲线是一条抛物线．
(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：_A3A4－A1A2＝1_______．
24.(2020·永州)在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图①所示．
(1)求抛物线所表示的二次函数解析式．
解：在等腰直角三角形ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2.
∴A(－2，0)，B(2，0)，C(0，－2)．
∴设二次函数解析式为y＝ax2－2，将点B(2，0)的坐标代入，
得4a－2＝0，则a＝.
∴抛物线所表示的二次函数解析式为y＝x2－2.
(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图②所示．
①求△CMN面积的最小值．
解：设直线l的解析式为y＝kx，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由可得x2－kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1·x2＝－4.
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4k2＋16.
∴|x1－x2|＝2.
∴S△CMN＝OC·|x1－x2|＝2.
∴当k＝0时，2取最小值4.
∴△CMN面积的最小值为4.
②已知Q是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称？若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数解析式；若不存在，请说明理由．
解：抛物线上存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称．设点P的坐标为，连接OP，OQ，PQ，
∴OP＝OQ，即＝，
解得m1＝，m2＝－，
m3＝1(不合题意，舍去)，m4＝－1(不合题意，舍去)．
当m＝时，点P，
则线段PQ的中点为，∴k＝－1，
解得k＝1－.
∴直线l的解析式为y＝(1－)x.
当m＝－时，点P，
则线段PQ的中点为，∴k＝－1，
解得k＝1＋，
∴直线l的解析式为y＝(1＋)x.
综上，直线l的解析式为y＝(1－)x或y＝(1＋)x.
25.(2020·攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
解：由题意可设抛物线所对应的函数解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，
将C(0，4)的坐标代入，得4＝－2a，解得a＝－2.
∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝－2(x＋1)(x－2)＝－2x2＋2x＋4.
(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
解：如图，连接OP，设点P的坐标为(m，－2m2＋2m＋4)， m＞0.
∵A(－1，0)，B(2，0)，C(0，4)，
∴OA＝1，OC＝4，OB＝2.
∴S＝S△OAC＋S△OCP＋S△OPB＝×1×4＋×4m＋×2×(－2m2＋2m＋4)＝－2m2＋4m＋6＝－2(m－1)2＋8.
当m＝1时，S最大，最大值为8.
26.(2020·衡阳)在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点(－1，0)，(2，0)．
(1)求这个二次函数的解析式；
解：由题意得二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x－2)＝x2－x－2.
(2)求当－2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，
∴在－2≤x≤1范围内，当x＝－2时，函数有最大值，
y最大值＝4＋2－2＝4；
当x＝时，函数有最小值，y最小值＝－－2＝－(如图)．
∴y的最大值与最小值的差为4－＝.
(3)一次函数y＝(2－m)x＋2－m的图象与二次函数y＝x2＋px＋q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
解：令x2－x－2＝(2－m)x＋2－m，
整理得x2＋(m－3)x＋m－4＝0.
解得x1＝－1，x2＝4－m.
∵a＜3＜b，∴a＝－1，b＝4－m.
由4－m＞3，解得m＜1.
27.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形ABCD的顶点坐标A(-1,0),B(3,0),C(3,-2),抛物线经过A,B两点,且顶点在线段CD上.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)若点E(3,1),将△DCE向上平移直至CD边与AB边重合,在此过程中,线段CD与抛物线的交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),线段DE与AB交于点M(x3,y3),求x1+x2+x3的取值范围.

解:(1)由题意可知抛物线的对称轴为直线x=-1+32=1,顶点为(1,-2).
设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-2,把A(-1,0)代入得4a-2=0,∴a=12,
∴这条抛物线的解析式为y=12(x-1)2-2.
(2)易知D(-1,-2),E(3,1),可求得直线DE的解析式为y=34x-54.
令y=0,则0=34x-54,解得x=53,∴x3=53;
至CD边与AB边重合时,线段DE与AB交于A(-1,0),
∴x3=-1,∴-1≤x3≤53.
∵对称轴为直线x=1,∴x1+x2=2,
∴x1+x2+x3的取值范围是-1+2≤x1+x2+x3≤2+53,即1≤x1+x2+x3≤113.