22.1.4.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 同步练习（含答案）

22.1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第1课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
一、选择题
1.[山西中考]用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为 ( )
A.y＝(x－4)2＋7 B.y＝(x－4)2－25
C.y＝(x＋4)2＋7 D.y＝(x＋4)2－25
2.抛物线y＝3x2－6x＋4的顶点坐标是 ( )
A.(1,1) B.(－1,1)
C.(－1,－1) D.(1,－1)
3.抛物线y＝(x－1)2＋3 ( )
A.有最大值1 B.有最小值1
C.有最大值3 D.有最小值3
4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表,则该抛物线的对称轴是直线 ( )
x
－1
1
5
y
2
5
2
A.x＝3 B.x＝2
C.x＝1.5 D.x＝1
5.[上海中考]下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述,正确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.经过原点
D.在对称轴右侧部分是下降的
6.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则有 ( )
A.a>0,b>0 B.a>0,c>0
C.b>0,c>0 D.a,b,c都小于0
7.[益阳中考]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.ac<0 B.b<0
C.b2－4ac<0 D.a＋b＋c<0
8.已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋2,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是 ( )
A.m＝1 B.m＝2
C.m≤－1 D.m≥－1
9.在抛物线y＝ax2－2ax－3a上有A(－0.5,y1),B(2,y2),C(3,y3)三点.若抛物线与y轴的交点在正半轴上,则y1,y2和y3的大小关系为 ( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1
10.[德州中考]如图,函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
11.已知抛物线y=x2-4x+3,当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,则m的取值范围为(　　)
A.m≥2 B.0≤m≤2
C.2≤m≤4 D.m≤4
12.已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是(　　)
A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)
B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小
D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大
13.在平面直角坐标系xOy中,四条抛物线如图所示,其解析式中的二次项系数一定小于1的是(　　)

A.y1 B.y2 C.y3 D.y4
14.(2020·泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是(　　)
15.(2020·孝感)将抛物线C1：y＝x2－2x＋3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为(　　)
A．y＝－x2－2 B．y＝－x2＋2
C．y＝x2－2 D．y＝x2＋2
16.(2020·河北)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下：
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1.
下列判断正确的是(　　)
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错
C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
二、填空题
17.由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出其性质：
(1)若a>0，当x<－时，y随x的增大而__ ______；
当x>－时，y随x的增大而_______；
当x＝－时，y取最________值____________．
(2)若a<0，当x<－时，y随x的增大而________；
当x>－时，y随x的增大而________；
当x＝－时，y取最________值____________．
18.已知二次函数y=ax2-2x+c的图象如图所示,则点P(a,c)在第　　象限.?

19.将二次函数y＝－2(x－1)2＋3化为y＝ax2＋bx＋c的形式,则a＝　　,b＝　　,c＝　　.?
20.将二次函数y＝x2－4x＋5化为y＝(x－h)2＋k的形式,那么h＋k＝　　.?
21.二次函数y＝2x2＋bx＋3的图象的对称轴是直线x＝1,则常数b的值为　　.?
22.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示,用“>”“<”或“＝”填空:
(1)a＋b＋c　　0;?
(2)a－b＋c　　0;?
(3)2a－b　　0.?
23.我们把与抛物线y＝ax2(a≠0)的开口大小一样且开口方向相反的抛物线,称为原抛物线的“同口反向抛物线”.如果抛物线y＝x2的一个“同口反向抛物线”的顶点在直线y＝x上,且与抛物线y＝x2的顶点距离为2,那么它的“同口反向抛物线”的解析式是　 　.?
24.若抛物线y=x2-2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位,再沿铅直方向向上平移3个单位,则原抛物线图象的解析式应变为　 　.?
25.如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D的坐标为(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为　 　.?

400558018097500三、解答题
26.已知二次函数y＝x2＋4x＋3.
(1)用配方法将二次函数的表达式化为y＝a(x－h)2＋k的形式;
(2)在平面直角坐标系xOy中,画出这个二次函数的图象;
(3)当　 　时,y<3;?
(4)当　 　时,y随x的增大而减小.?
27.已知P(－5,m)和Q(3,m)是二次函数y＝2x2＋bx＋1图象上的两点.
(1)求b的值;
(2)将二次函数y＝2x2＋bx＋1的图象向上平移k(k>0)个单位长度,若平移后的图象与x轴无交点,求k的取值范围.
28.已知关于x的二次函数y＝x2－2mx＋3.
(1)若m＝1,求函数y的最小值;
(2)当－1≤x≤0时,函数y的值恒大于1,求m的取值范围.
29.(2020·温州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13)．
(1)求a，b的值；
(2)若(5，y2)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值．
30.(2020·宁波)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0)．
(1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围；
(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．
31．(2020·上海)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋5与x轴、y轴分别交于点A，B(如图)．抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A.
(1)求线段AB的长；
(2)如果抛物线y＝ax2＋bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝，求这条抛物线的解析式；
(3)如果抛物线y＝ax2＋bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．


32.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数.
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=x2+bx+c,其中y1的图象经过点A(1,1).若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的解析式,并求当0≤x≤3时,y2的取值范围.
参考答案
一、选择题
1.[山西中考]用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为 (B)
A.y＝(x－4)2＋7 B.y＝(x－4)2－25
C.y＝(x＋4)2＋7 D.y＝(x＋4)2－25
2.抛物线y＝3x2－6x＋4的顶点坐标是 (A)
A.(1,1) B.(－1,1)
C.(－1,－1) D.(1,－1)
3.抛物线y＝(x－1)2＋3 (D)
A.有最大值1 B.有最小值1
C.有最大值3 D.有最小值3
4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表,则该抛物线的对称轴是直线 (B)
x
－1
1
5
y
2
5
2
A.x＝3 B.x＝2
C.x＝1.5 D.x＝1
5.[上海中考]下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述,正确的是 (C)
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.经过原点
D.在对称轴右侧部分是下降的
6.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则有 (C)
A.a>0,b>0 B.a>0,c>0
C.b>0,c>0 D.a,b,c都小于0
7.[益阳中考]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法正确的是 (B)
A.ac<0 B.b<0
C.b2－4ac<0 D.a＋b＋c<0
8.已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋2,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是 (D)
A.m＝1 B.m＝2
C.m≤－1 D.m≥－1
9.在抛物线y＝ax2－2ax－3a上有A(－0.5,y1),B(2,y2),C(3,y3)三点.若抛物线与y轴的交点在正半轴上,则y1,y2和y3的大小关系为 (B)
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1
10.[德州中考]如图,函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(B)
11.已知抛物线y=x2-4x+3,当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,则m的取值范围为(　C　)
A.m≥2 B.0≤m≤2
C.2≤m≤4 D.m≤4
12.已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是(　D　)
A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)
B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小
D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大
13.在平面直角坐标系xOy中,四条抛物线如图所示,其解析式中的二次项系数一定小于1的是(　A　)

A.y1 B.y2 C.y3 D.y4
14.(2020·泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是(　C　)
15.(2020·孝感)将抛物线C1：y＝x2－2x＋3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为(　　)
A．y＝－x2－2 B．y＝－x2＋2
C．y＝x2－2 D．y＝x2＋2
【点拨】∵抛物线C1：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
∴抛物线C1的顶点为(1，2)．
∵将抛物线C1向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，
∴抛物线C2的顶点坐标为(0，2)．
∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，
∴抛物线C3与抛物线C2的开口方向相反，顶点坐标为(0，－2)．
∴抛物线C3的解析式为y＝－x2－2.
【答案】A
16.(2020·河北)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下：
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1.
下列判断正确的是(　C　)
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错
C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
【点拨】y＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，　
∴抛物线的顶点坐标为(2，4)．
∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4. ∴甲、乙的说法正确．
若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确．
故选C.
二、填空题
17.由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出其性质：
(1)若a>0，当x<－时，y随x的增大而__减小______；
当x>－时，y随x的增大而_增大______；
当x＝－时，y取最__小______值____________．
(2)若a<0，当x<－时，y随x的增大而__增大______；
当x>－时，y随x的增大而_减小_______；
当x＝－时，y取最_大_______值____________．
18.已知二次函数y=ax2-2x+c的图象如图所示,则点P(a,c)在第　二　象限.?

19.将二次函数y＝－2(x－1)2＋3化为y＝ax2＋bx＋c的形式,则a＝　－2　,b＝　4　,c＝　1　.?
20.将二次函数y＝x2－4x＋5化为y＝(x－h)2＋k的形式,那么h＋k＝　3　.?
21.二次函数y＝2x2＋bx＋3的图象的对称轴是直线x＝1,则常数b的值为　－4　.?
22.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示,用“>”“<”或“＝”填空:
(1)a＋b＋c　<　0;?
(2)a－b＋c　>　0;?
(3)2a－b　<　0.?
23.我们把与抛物线y＝ax2(a≠0)的开口大小一样且开口方向相反的抛物线,称为原抛物线的“同口反向抛物线”.如果抛物线y＝x2的一个“同口反向抛物线”的顶点在直线y＝x上,且与抛物线y＝x2的顶点距离为2,那么它的“同口反向抛物线”的解析式是　y＝－(x－1)2＋1或y＝－(x＋1)2－1　.?
24.若抛物线y=x2-2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位,再沿铅直方向向上平移3个单位,则原抛物线图象的解析式应变为　y=x2-1　.?
25.如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D的坐标为(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为　(1+2,2)或(1-2,2)　.?

三、解答题
26.已知二次函数y＝x2＋4x＋3.
(1)用配方法将二次函数的表达式化为y＝a(x－h)2＋k的形式;
(2)在平面直角坐标系xOy中,画出这个二次函数的图象;
(3)当　－4(4)当　x<－2　时,y随x的增大而减小.?
解:(1)y＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1.
(2)图略.
27.已知P(－5,m)和Q(3,m)是二次函数y＝2x2＋bx＋1图象上的两点.
(1)求b的值;
(2)将二次函数y＝2x2＋bx＋1的图象向上平移k(k>0)个单位长度,若平移后的图象与x轴无交点,求k的取值范围.
解:(1)b＝4.
(2)平移后抛物线的解析式为y＝2x2＋4x＋1＋k＝2(x＋1)2＋k－1.要使平移后的图象与x轴无交点,则k－1>0,所以k>1.
28.已知关于x的二次函数y＝x2－2mx＋3.
(1)若m＝1,求函数y的最小值;
(2)当－1≤x≤0时,函数y的值恒大于1,求m的取值范围.
解:(1)∵m＝1,∴y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.
∵a＝1>0,∴抛物线开口向上,y的最小值为2.
(2)由题意得函数y＝x2－2mx＋3图象对称轴x＝m,
当－1≤x≤0时,要使y的值恒大于1,有3种情况.
①当m≤－1时,函数图象如图1所示.
当－1≤x≤0时,y随x的增大而增大,
∴x＝－1时取最小值,即1＋2m＋3>1,解得－32②当－1当－1≤x≤0时,y先随x的增大而增大,然后随x的增大而减小,∴x＝m时取最小值,即m2－2m2＋3>1,解得－1③当m≥0时,函数图象如图3所示.
当－1≤x≤0时,y随x的增大而减小.
∴x＝0时取最小值,即3>1恒成立,∴m≥0.
综上所述,m的取值范围为m>－32.
29.(2020·温州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13)．
(1)求a，b的值；
解：把点(1，－2)，(－2，13)的坐标代入y＝ax2＋bx＋1，得解得
故a，b的值分别为1，－4.
(2)若(5，y2)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值．
解：由(1)得抛物线的函数解析式为y＝x2－4x＋1.
把x＝5代入y＝x2－4x＋1，得y1＝6，∴y2＝12－y1＝6.
∴y1＝y2.
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴5－2＝2－m，解得m＝－1.
30.(2020·宁波)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0)．
(1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围；
解：把B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3，得0＝a＋4－3，
解得a＝－1，
∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1.
∴A(2，1)．
∵B，C关于直线x＝2对称，
∴C(3，0)．
∴当y＞0时，1＜x＜3.
(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．
解：∵D(0，－3)，
∴点D平移到点A，抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度．
∴平移后图象所对应的二次函数的解析式为y＝－(x－4)2＋5.
31．(2020·上海)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋5与x轴、y轴分别交于点A，B(如图)．抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A.
(1)求线段AB的长；
解：对于直线y＝－x＋5，
令x＝0，得y＝5，∴B(0，5)．
令y＝0，则－x＋5＝0，∴x＝10.
∴A(10，0)．
∴AB＝＝5.
(2)如果抛物线y＝ax2＋bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝，求这条抛物线的解析式；
解：设点C，
∵B(0，5)，∴BC＝＝|m|.
∵BC＝，∴|m|＝. ∴m＝±2.
∵点C在线段AB上，∴m＝2. ∴C(2，4)．
将点A(10，0)，C(2，4)的坐标代入y＝ax2＋bx，
得解得
∴这条抛物线的解析式为y＝－x2＋x.
(3)如果抛物线y＝ax2＋bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
解：由点A(10，0)在抛物线y＝ax2＋bx上，
得100a＋10b＝0，
∴b＝－10a.
∴抛物线的解析式为y＝ax2－10ax＝a(x－5)2－25a.
∴抛物线的顶点D的坐标为(5，－25a)．　
将x＝5代入y＝－x＋5，得y＝－×5＋5＝.
∵顶点D位于△AOB内，∴0＜－25a<.
∴－ 32.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数.
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=x2+bx+c,其中y1的图象经过点A(1,1).若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的解析式,并求当0≤x≤3时,y2的取值范围.
解:(1)符合要求的两个“同簇二次函数”可以为y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)2+4.(答案不唯一)
(2)因为y1的图象经过点A(1,1),所以2×12-4×m×1+2m2+1=1,整理得m2-2m+1=0,解得m1=m2=1,
所以y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1,
所以y1+y2=2x2-4x+3+x2+bx+c=3x2+(b-4)x+(c+3).
因为y1+y2与y1为“同簇二次函数”,
所以y1+y2=3(x-1)2+1=3x2-6x+4,即b-4=-6,c+3=4,解得b=-2,c=1,
所以函数y2的解析式为y2=x2-2x+1=(x-1)2,
所以函数y2的图象的对称轴为x=1.
因为1>0,所以函数y2的图象开口向上,所以当0≤x≤3时,y2的取值范围为0≤y2≤4.