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1.1集合的概念
知识领悟
1.元素与集合的概念
(1)把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母表示.
(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母表示.
2.集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性.
3.集合相等:只有构成两个集合的元素是一样的,才说这两个集合是相等的.
4.元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A.
(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作aA.
5.实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N
或N+来表示.
6.把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
7.用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
例题透析
【例1】下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.
(1)小于5的自然数;
(2)某班所有高个子的同学;
(3)不等式的整数解;
(4)所有大于0的负数;
(5)平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.
解:(1)可以表示为;
(2)其中的对象没有明确的标准,不具备确定性,故不能组成一个集合;
(3)可以表示为;
(4)空集,;
(5)可以构成集合,集合是.
【例2】已知集合中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是(
)
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案:D
【例3】设若,求的值.
答案:
【例4】已知,,且,求实数的值.
答案:或
【例5】下列说法正确的是(
)
(A)所有著名的作家可以形成一个集合
(B)0与
的意义相同
(C)集合
是有限集
(D)方程的解集只有一个元素
答案:D
【例6】下列四个集合中,是空集的是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案:D
【例7】方程组的解构成的集合是
(
A
)
A.
B.
C.(1,1)
D..
【例8】已知,,则B=
答案:
{0,1,2};
【例9】若,,用列举法表示B=
.
答案:{4,9,16}
课堂检测
1.已知下列条件:①小于60的全体有理数;②某校高一年级的所有学生;③与2相差很小的数;④方程=4的所有解。其中不可以表示集合的有--------------------(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案:A
2.下列关系中表述正确的是-----------------------------------------(
)
A.
B.
C.
D.
答案:D
3.下列表述中正确的是----------------------------------------------(
)
A.
B.
C.
D.
答案:B
4.已知集合A=,若是集合A的一个元素,则的取值是(
)
A.0
B.-1
C.1
D.2
答案:B
5.方程组的解的集合是---------------------------------------(
)
A.
B.
C.
D.
答案:C
6.用列举法表示不等式组的整数解集合为:
答案:
7.设,则集合中所有元素的和为:
答案:
8、用列举法表示下列集合:
⑴
⑵
答案:⑴;⑵
9.已知A={1,2,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},如果A={1,2,3},2
∈B,求实数a的值.
答案:a=或.
10.设集合,集合,集合,试用列举法分别写出集合A、B、C.
答案:;;
课后作业
1.下列几组对象可以构成集合的是( )
A.充分接近π的实数的全体
B.善良的人
C.某校高一所有聪明的同学
D.某单位所有身高在1.7
m以上的人
2.下列四个说法中正确的个数是( )
①集合N中最小的数为1;
②若aN,则-aN;
③若aN,bN,ab,则a+b的最小值为2;
④所有小的正数组成一个集合.
A.0
B.1
C.2
D.3
3.集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1}(A,B中xR,yR),选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A.2∈A,且2∈B
B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B
C.2∈A,且(3,10)∈B
D.(3,10)∈A,且2∈B
4.已知集合S的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
5.已知x、y、z为非零实数,代数式+++的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是( )
A.0M
B.2M
-4M
D.4M
6.
若集合中有且仅有一个元素,则实数的值为(
)
A.
B.
C.
D.
7.用“”或“”填空.
(1)-3
______N;
(2)3.14
______Q;
(3)
______Z;
(4)-
______R;
(5)1
______N
;
(6)0
_______N.
8.定义集合运算A
B={M|M=xy,xA,yB}.设A={1,2},B={0,2},则集合A
B的所有元素之和为________.
9.由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号).
①不超过3的正整数;
②高一数学课本中所有的难题;
③中国的大城市;
④平方后等于自身的数;
⑤某校高一(2)班中考数学成绩在90分以上的学生.
10.已知集合M={-2,3x2+3x-4,x2+x-4},若2∈M,求x
11.设A为实数集,且满足条件:若a∈A,则∈A
(a≠1).
求证:(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;
(2)集合A不可能是单元素集
一、选择题
1.
D
解析:A、B、C都不满足元素的确定性,故不能构成集合.
2.
A
解析:N是自然数集,最小的自然数是0,故①错;当为0时,也为0,是自然数,故②错;③中最小值应为1,故③错;“所有小的正数”范围不明确,不满足集合元素的确定性,故不能构成集合,故④错.故选A.
3.C
解析:集合A中元素y是实数,不是点,故选项B,D不对.集合B的元素(x,y)是点而不是实数,2∈B不正确,所以A错.
4.
D
解析:由元素的互异性知a,b,c均不相等,故一定不是等腰三角形.
5.
D
解析 当x、y、z中三个为正、两个为正、一个为正、全为负时,代数式的值分别为:4,0,0,-4,∴4∈M正确,故选D.
6.C
解析:(1)若,则
(2)若,∴
二、填空题
7.
(1)
(2)∈ (3)
(4)∈ (5)∈ (6)∈
解析:理解各符号的意义是关键.N是自然数集,N
是正整数集,Q是有理数集,Z是整数集,R是实数集.
8.
6
解析:
∵A
B={0,2,4},所以集合A
B的所有元素之和为6.
9.①④⑤
解析:②中“难题”标准不明确,不满足确定性;③中“大城市”标准不明确,不满足确定性.
三、解答题
10.解:当3x2+3x-4=2时,3x2+3x-6=0,x2+x-2=0,
x=-2或x=1.经检验,x=-2,x=1均不合题意.
当x2+x-4=2时,x2+x-6=0,x=-3或2.经检验,x=-3或x=2均合题意.
∴x=-3或x=2.
11.证明:(1)若a∈A,则∈A(≠1).又∵2∈A,∴=-1∈A.
∵-1∈A,∴=∈A.∵∈A,∴=2∈A.
∴A中必还有另外两个元素,为-1,.
(2)若A为单元素集,则a=,即a2-a+1=0,方程无解.
∴a≠,∴A不可能为单元素集
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精品试卷·第
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