1.2集合间的基本关系

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1.2集合间的基本关系
知识领悟
1、集合与集合之间的“包含”关系；
A={1，2，3}，B={1，2，3，4}
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子
集（subset）。
记作：
读作：A包含于（is
contained
in）B，或B包含（contains）A
当集合A不包含于集合B时，记作A
B
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系
2、集合与集合之间的
“相等”关系；
，则中的元素是一样的，因此
即
任何一个集合是它本身的子集
3、真子集的概念
若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper
subset）。
记作：A
B（或B
A）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
4、空集的概念
不含有任何元素的集合称为空集（empty
set），记作：
规定：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
5、子集个数的计算：由个元素组成的集合，其子集的个数为个，真子集个数为个
例题透析
【例1】判断以下关系是否正确：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸；
⑹；
答案：⑴、⑵、⑶、⑷都是正确的，而⑸和⑹是错误的.
【例2】下列关系中正确的个数为（
）
0∈{0}，②Φ{0}，③{0，1}{（0，1）}，④{（a，b）}＝{（b，a）}　
(A）1　　　　
（B）2
　　　
　（C）3　　　
（D）4
答案：B
【例3】集合的真子集的个数是（
）
（A）16
(B)15
(C)14
(D)
13
答案：B
【例4】集合，，，，则下面包含关系中不正确的是（
）
（A）
(B)
(C)
(D)
答案：C
【例5】若集合，则．
答案：2
【例6】设,写出的所有子集.
答案：的所有子集为,,.
【例7】已知集合,,其中且,求和的值(用表示).
答案：
【例8】已知
（Ⅰ）若MN，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若MN，求实数的取值范围.
答案：（Ⅰ）由于MN，则，解得a∈Φ.
（Ⅱ）①当N=Φ时，即a＋1＞2a－1，有a＜2；
②当N≠Φ，则，解得2≤a≤3，
综合①②得a的取值范围为a≤3.
【例9】若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求实数m的值．
解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．
∵BA，∴mx＋1＝0的解为－3或2或无解．
当mx＋1＝0的解为－3时，
由m·(－3)＋1＝0，得m＝；
当mx＋1＝0的解为2时，
由m·2＋1＝0，得m＝－；
当mx＋1＝0无解时，m＝0.
综上所述，m＝或m＝－或m＝0.
课堂检测
1．下列各式中，正确的个数是（
）
①={0}
②{0}
③∈{0}
④0={0}
⑤0∈{0}
⑥{1}∈{1，2，3}
⑦{1，2}{1，2，3}
⑧{a，b}{a，b}
A.1
B.2
C.3
D.4
思路解析：由集合与集合以及元素与集合之间的关系易知,②⑤⑦⑧正确.
答案：D
2．设集合A={x|x≤}，a=2，那么下列关系正确的是（
）
A.aA
B.a∈A
C.aA
D.{a}∈A
思路解析：∵a=2=＜，∴a是集合A的元素.
答案：B
3．已知集合M{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合M共有（
）
A.2个
B.4个
C.5个
D.6个
思路解析：当M中含有一个奇数3或5时，M为{3}，{5}，{2，3}，{2，5}；
当M中含有两个奇数3和5时，M为{3，5}，{2，3，5}.共6个.
答案：D
4．已知集合M={x｜x=a2+2a+4，a∈R}，N={y｜y=
b2-4b+6，b∈R}，则M、N之间的关系是（
）
A.MN
B.MN
C.M=N
D.M、N无包含关系
思路解析：因为M、N的代表元素是数集，化简M、N得M={x|x=（a+1）2+3，a∈R}={x｜x≥3}，N=｛y=(b-2)2+2,b∈R｝={y｜y≥2}，借助数轴可直观看出MN.
答案：A
5．已知集合X={x｜x=2m，m∈Z}，Y={y｜y=4n±2，n∈Z}，则X与Y的关系是（
）
A.XY
B.XY
C.X=Y
D.XY
思路解析：X={…，-6，-4，-2，0，2，4，6，…}，
Y={…，-6，-2，2，6，…}.
显然XY.
答案：B
6．已知集合A={x∈R｜ax2+x+2=0}，若A中至多有一个元素，则a的取值范围是_______.
思路解析：∵ax2+x+2=0是二次项系数含变量的方程，
∴当a=0时，x=-2符合题意；
当a≠0时，要使A中至多含有一个元素，只需Δ=1-8a≤0，
解得a≥.
∴a的范围是a=0或a≥.
答案：a=0或a≥
7．已知A={x｜x2-2x-3=0}，B={x｜ax-1=0}，若BA，则a的值是______________.
思路解析：A={-1，3}，
∵BA，∴B=，{-1}，{3}.
当B=时，a=0；
当B={-1}时，a=-1；
当B={3}时，a=.
答案：0，-1，
8．设集合A={x|0≤x＜3且x∈N},则A的真子集的个数是__________.
思路解析：∵集合A={x|0≤x＜3,x∈N}=0,1,2}，
∴A的真子集为,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}，共有7个.
答案：7
9.已知A={x｜-2≤x≤5}，B={x｜a+1≤x≤2a-1}，BA，求实数a的取值范围__________.
思路解析：要求实数a的取值范围，只需把“BA”这一符号语言转化成与不等式端点值有关的不等式即可，但不能忽视B=这一特殊情况.
解：当B=时，有a+1＞2a-1，即a＜2；
当B≠时，有
得
∴2≤a≤3.
综上，可知a的范围是a≤3.
10.求满足{x|x2+3=0,x∈R}M{x|x2-4=0,x∈R}的集合M的个数.
思路解析：要判断M的个数，应先化简集合{x|x2+3=0,x∈R}和{x|x2-4=0,x∈R}.
解：因为{x|x2+3=0,x∈R}=，{x|x2-4=0,x∈R}={2，-2},
所以根据题意，有M{2，-2}，
因此，M可以是{2}，{-2}，{2，-2}.
故满足题意的集合M共有3个.
11.已知函数y=x2+ax+b，A={x｜x2+ax+b=2x}={2}，试求a、b的值及函数解析式.
思路解析：要求a、b的值，根据方程思想，只需把A={x｜x2+ax+b=2x}={2}这一符号语言转化成与a、b有关的方程即可.
解法一：由题意，得A={x｜x2+（a-2）x+b=0}={2}，
∴2是方程x2+（a-2）x+b=0的等根.
由根与系数的关系式，得
∴
∴函数的解析式为y=x2-2x+4.
解法二：由题意，得A={x｜x2+（a-2）x+b=0}={2}.
∴2是方程x2+（a-2）x+b=0的等根.
由判别式与方程的根是2，得
解得
∴函数的解析式为y=x2-2x+4.
课后作业
1．下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若?A，则A≠?，
其中正确的个数是(　　)
A．0　　
B．1　
　C．2　
　　D．3
2．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值
是(　　)
A．1
B．－1
C．0,1
D．－1,0,1
3．设B＝{1,2}，A＝{x|x?B}，则A与B的关系是(　　)
A．A?B
B．B?A
C．A∈B
D．B∈A
4．下列五个写法：①{0}∈{0,1}；②?{0}；③{0，－1,1}{－1,0,1}；④0∈?；⑤
{(0,0)}＝{0}，其中写法错误的个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
5.，，若，则的取值集合为（
）
A.
B.
C.
D.
6.
满足的集合的个数为（
）
A.5
B.6
C.7
D.8
7．满足{1}A{1,2,3}的集合A的个数
是________．
8．已知集合A＝{x|x＝a＋，a∈Z}，B＝{x|x＝－，b∈Z}，C＝{x|x＝＋，c∈Z}，则A、
B、C之间的关系是________．
9．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，则实数m＝________.
10．下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，分别是哪种图形的集合？
11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，
(1)若B?A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(2)若A?B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
12．设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}，若B?A，求a的值
一、选择题
1.B
解析：空集只有一个子集，就是它本身，空集是任何非空集合的真子集，故仅④是正确的．
2.D
解析：因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈)仅有一个根或两个相等的根．
(1)当a＝0时,方程为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．
(2)当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，
∴a＝±1.
此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．
∴a＝0或a＝±1.
3.
D
解析:∵B的子集为{1}，{2}，{1,2}，，
∴A＝{x|x?B}＝{{1}，{2}，{1,2}，}，∴B∈A.
4.
B
解析：只有②③正确.
5.
D
解析：
（1）（2）（3）
∴
的取值集合为
6.
B
解析：集合M真包含集合，M中一定有元素1，2，3且除此之外至少还有一个元素.
又集合M真包含于集合，所以M中最少有4个元素，最多有5个元素，集合M的个数等于集合非空真子集的个数，即.
二、填空题
7.
3
解析：A中一定有元素1，所以A可以为{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．
8.
AB＝C
解析：用列举法寻找规律．
9.
1
解析：∵BA，∴m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴
m＝1.
当m＝1时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}，满足BA.
三、解答题
10.解:观察Venn图，得B、C、D、E均是A的子集，且有ED，DC.
梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，
故A＝{四边形}；
梯形不是平行四边形，而菱形、正方形是平行四边形，
故B＝{梯形}，C＝{平行四边形}；
正方形是菱形，故D＝{菱形}，E＝{正方形}．
11.解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，
(1)∵B?A，∴①若B＝，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B?A.
②若B≠，则解得2≤m≤3.
由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．
(2)若A?B，则依题意应有解得故3≤m≤4，
∴m的取值范围是[3,4]．
(3)若A＝B，则必有解得m∈，即不存在m值使得A＝B.
12.解:(方法一)　A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，
由B?A，得B＝，或B＝{2}，或B＝{3}，或B＝{2,3}.
因为Δ＝(2a＋1)2－4a2－4a＝1>0，
所以B必有两个元素．
则B＝{2,3}，需2a＋1＝5和a2＋a＝6同时成立，所以a＝2.
综上所述：a＝2.(方法二)　A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，
B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}＝{x|(x－a)(x－a－1)＝0}＝{a，a＋1}，
因为a≠a＋1，所以当B?A时，只有a＝2且a＋1＝3.
所以a＝2
B
A
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