均值不等式[1]1

均值不等式
1）如果a,b∈{x|x是正实数}，那么≥（当且仅当a=b时取“=”号）
2）当a、b为正数时,
（当且仅当a = b时取“=”号）
3） （a，b的取值范围，a，b取全体实数）
注意事项：
1.应用均值不等式求最值方便、快捷，但必须注意条件 “一正、二定、三相等”， 即涉及的变量都是正数， 其次是和（平方和）为定值或积为定值， 然后必须注意等号可以成立。 如的最小值是5 ； 但使用均值不等式容易误解为是4，因为不成立（不能取“=”）。
2.在使用均值定理求最值的时候，如果等号成立的条件不具备，应考虑用函数的单调性来解决。如求 的最小值，可利用函数的单调性来解决。
3.求最值时“一正二定三相等”(例 x,y均大于0,3x+4y=1,求xy的最大值)
4.若没有给出条件，求最值时要分情况讨论。（求y的最值）
一、典型习题
例1 、求＞0 的最小值。
变形1、求 x＞0（或x<0） 的最值。 ( = 4 )
变形2、求，（0）的最大值。 （ = ）
变形3、求(或x<1)的最值。 （ = 3 ）
变形4、求的最小值。 （ = 2 ）
变形5、求的最大值。 （ = ）
引申、求函数 的值域。 （ [ - 1 ， ] ）
变形6 4
变形7.
例2 .若实数满足，求的最小值
例3..已知正数满足求的最小值
例4.已知，且，求的最大值；
例5 已知m2+n2=1,a2+b2=2,则am+bn的最大值是( )
A.1 B. C.2 D.以上都不对
（三角换元）
总结：若已知x2+y2=a2或+=1常用三角代换.
巧用“1”做乘积后不变
例1：已知x，y都是正数，且，求x+y的最小值。
例2：已知正数x、y满足，求的最小值
二、总结最值典型习题
例1. 已知，求函数的最值。
例2. 求函数的最小值。
例3. 已知，求函数的最小值。
例4. 当时，求的最小值。
例5. 若，求函数的最大值。
例6. 已知，求函数的最大值。(平方)
例7. 设，求的最小值。
例8. 求的最小值。
三、含字母的证明题
例1、设且，求证：
例2、设满足，求 的最大值。（ 换元 ）
例3、已知 求 的最小值。
例4、已知a,b,c都是实数，求证：
例5、已知a,b,c都是实数，求证：
例6：已知a,b,c都是实数，求证：