高中数学选修2-3第2章2.3.2知能优化训练

1．若两事件A和B相互独立，且满足P(AB)＝P()，P(A)＝0.4，则P(B)＝________.
解析：∵P(AB)＝P()＝P()P()＝0.6[1－P(B)]，
而P(AB)＝P(A)P(B)，
∴0.4P(B)＝0.6－0.6P(B)，即P(B)＝0.6.
答案：0.6
2．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是________．
解析：恰有一人解决包括“甲解决而乙未解决”和“甲未解决而乙解决”两种情况，而且甲、乙两人解题相互独立．
答案：p1＋p2－2p1p2
3．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.75和0.85，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．
解析：P＝0.75×0.15＋0.25×0.85＝0.325.
答案：0.325
4．书架上层有5本不同的数学书，中层有4本不同的英语书，下层有8本不同的语文书．现从中任挑两本，则两本恰为不同类型书的概率为________．
解析：所求概率为×＋×＋×＝.
答案：
一、填空题
1．若事件A、B相互独立且P(A)＝P(B)，若P(A∪B)＝0.6，则P(A)＝________.
解析：∵A、B相互独立，∴、也相互独立，
∴P(A＋B)＝1－P()＝1－P()P()＝0.6，又P(A)＝P(B)，
∴[1－P(A)]2＝0.4，
∴P(A)＝1－.
答案：1－
2．某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是________．
解析：三处都不停车的概率是××＝.
答案：
3．在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是________．
解析：先求无人去此地的概率为×＝，所以至少有1人去此地的概率是1－＝.
答案：
4．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道检测题．甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，则三人中至少有一人及格的概率为________．
解析：设事件A：“甲及格”，事件B：“乙及格”，事件C：“丙及格”，事件D：“三人中至少有一人及格”．
因为A、B、C相互独立，则、、也相互独立，
P(D)＝1－P()＝1－××＝.
答案：
5．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是________．
解析：设事件A表示甲打中靶，B表示乙打中靶，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，
∵A，B为独立事件，
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.
答案：0.56
6．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是________．
解析：由P(A)＝P(B)，
得P(A)P()＝P(B)P()，
即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B)．又P( )＝，
则P()＝P()＝.∴P(A)＝.
答案：
7．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为________．
解析：记A、B、C、D这4个开关闭合分别为事件A、B、C、D，又记A与B至少有一个不闭合为事件，
则P()＝P(A)＋P(B)＋P()＝，
则灯亮的概率为P＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－＝.
答案：
8．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．
解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
答案：0.09
9．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
解析：都未解决的概率为＝×＝.问题得到解决就是至少有1人能解决问题，
∴P＝1－＝.
答案：　
二、解答题
10．判断下列各对事件是否是相互独立事件：
(1)甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”．
解：(1)“从甲组选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率是；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)由于把取出的苹果又放回筐内，故对“从中任意取出1个，取出的是梨”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
11．如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A，B，C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B，C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A，B，C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N1，N2正常工作的概率P1，P2.
解：系统N1正常工作的概率即为A，B，C同时正常工作概率的积，即
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.80×0.90×0.90＝0.648.
系统N2正常工作时，B、C元件至少有一个正常工作的概率为
1－P()＝1－P()P()＝1－(1－0.90)×(1－0.90)＝0.99.
因此系统N2正常工作的概率为
P(A)[1－P()]＝0.8×0.99＝0.792.
12．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合，出现红灯和出现绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，试问：
(1)第二次闭合后出现红灯的概率是多少？
(2)三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率是多少？
解：(1)如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是×；如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为×.综上，第二次出现红灯的概率为×＋×＝.
(2)由题意知：三次发光中出现一次红灯、两次绿灯的情况共有如下三种方式：①出现绿、绿、红的概率为××＝；②出现绿、红、绿的概率为××＝；③出现红、绿、绿的概率为××＝.
故三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率为＋＋＝.
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