泸州市高2012级第一次高考模拟考试
数 学(理工类)
本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。第一部分1至2页,第二部分3至4页。共150分,考试时间120分钟。
参考公式:
如果事件互斥,那么
如果事件相互独立,那么
如果事件在一次试验中发生的概率是,那么在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率。
球的表面积公式,其中表示球的半径。
球的体积公式,其中表示球的半径。
第一部分 (选择题 共60分)
注意事项:
1、每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在草稿纸、试题卷上。
2、本部分共12小题,每小题5分,共60分。
一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、某校高三680名学生(其中男生360名、女生320名)在学术报告厅听了应考心理讲座,为了解有关情况,学校用分层抽样的方法抽取了一个样本,已知该样本中的女生人数为16名,那么该样本中的男生人数为( )
A、15 B、16 C、17 D、18
2、设(是虚数单位),则的值为( )
A、 B、 C、 D、
3、已知函数在处连续,则的值为( )
A、 B、 C、 D、
4、如图,在正方形中,点是的中点,点满足,那么( )
A、 B、
C、 D、
5、为了得到的图象,只需将函数的图象上所有点( )
A、向左平行移动个单位长度 B、向右平行移动个单位长度
C、向右平行移动个单位长度 D、向左平行移动个单位长度
6、设公差不为零的等差数列的前项和为,若是与的等比中项,,则等于( )
A、17 B、60 C、16 D、15
7、已知函数,则“”是“函数在上单调递增”的( )条件
A、充要 B、充分而不必要 C、必要而不充分 D、既不充分也不必要
8、某物流公司有6辆甲型卡车和4辆乙型卡车,此公司承接了每天至少运送280吨货物的业务,已知每辆甲型卡车每天的运输量为30吨,运输成本为0.9千元;每辆乙型卡车每天的运输量为40吨,运输成本为1千元,则当每天运输成本最低时,所需甲型卡车的数量是( )
A、 B、 C、 D、
9、设为双曲线同一条渐近线上的两个不同的点,已知向量,,,则该双曲线的离心率等于( )
A、 B、 C、或 D、或
10、用一个边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢。现将半径为1的球体放置于蛋巢上,则球体球心与蛋巢底面的距离为( )
A、 B、
C、 D、
11、设是定义在上的偶函数,对都有,且当时,,若在内关于的方程恰有3个不同的实数根,则的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
12、已知圆与抛物线的准线相切,若直线与圆有公共点,且公共点都为整点(整点是指横坐标、纵坐标都是整数的点),那么直线共有( )
A、60条 B、66条 C、72条 D、78条
第二部分 (非选择题 共90分)
注意事项:
(1)必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
(2)本部分共10个小题,共90分。
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。)
13、在二项式的展开式中含项的系数是____________(用数字作答)。
14、经过两点的直线与直线平行,则的值为_____。
15、如图,在直三棱柱中,,,则与侧面所成角的大小为____________。
16、设函数的定义域为,若存在非零实数使得对于任意,有,且,则称为上的高调函数。现给出下列命题:
①函数为上的高调函数;
②函数为上的高调函数;
③函数为上的高调函数;
④若函数为上的高调函数,那么实数的取值范围是。
其中正确命题的序号是____________(写出所有正确命题的序号)。
三、解答题(本大题共6个小题,共74分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。)
17、(本小题满分12分)
已知函数的最小正周期为。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)在中,角所对的边分别为,若的面积为,,,求的值。
18、(本小题满分12分)
甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生,高考前自主招生的程序为面试和文化测试,只有面试通过后才能参加文化测试,文化测试合格者即获得自主招生入选资格。因为甲、乙、丙三人各有优势,甲、乙、丙三人面试通过的概率分别为;面试通过后,甲、乙、丙三人文化测试合格的概率分别为。
(Ⅰ)求甲、乙、丙三人中只有一人通过面试的概率;
(Ⅱ)求甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格的概率。
(Ⅲ)求甲、乙、丙三人中获得自主招生入选资格的人数为,求随机变量的分布列及期望。
19、(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,平面底面,为的中点,是棱上的点,,,,二面角的大小为。
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求直线与所成角的余弦值。
(Ⅲ)求三棱锥的体积。
20、(本小题满分12分)
已知椭圆的长轴长是焦距的2倍,右准线方程为。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点坐标为,椭圆上动点关于轴的对称点为点,直线交椭圆于点(异于点),求证:直线过定点。
21、(本小题满分12分)
数列,由下列条件确定:①;②当时,与满足:当时,,;当时,,。
(Ⅰ)若,,求,,;
(Ⅱ)在数列中,若,用,表示并求。
22、(本小题满分14分)
已知函数。
(Ⅰ)若函数在处有极值,求的值;
(Ⅱ)记函数的图象为曲线。设点,是曲线上的不同两点。如果在曲线上存在点,使得:①;②曲线在点处的切线平行于直线,则称函数存在“中值相依切线”。问函数是否存在“中值相依切线”,请说明理由;
(Ⅲ)求证:。
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