人教版2019 必修一 5.7 三角函数的应用同步练习（含解析）

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人教版2019 必修一 5.7 三角函数的应用同步练习
一、单选题
1.电流强度 （安）随时间 （秒）变化的函数 的图像如图所示，则当 秒时，电流强度是（?? ）
A.?10安????????????????????????????????????B.?5安????????????????????????????????????C.? 安????????????????????????????????????D.?-5安
2.如图，某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数： ，则中午 12 点时最接近的温度为（?? ）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
3.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y=Asin（ωt+φ）+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（?? ）
A.??????????B.??????????C.??????????D.?
4.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为 ， 秒针从P0（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（　　）
A.??????B.??????C.??????D.?
5.某港口的水深（米）是时间t（0≤t≤24）（单位：时）的函数，记作y=f（t）下面是该港口某季节每天水深的数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0
经过长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看作y=Asinωt+b的图象，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不小于5m是安全的（船舶停靠岸时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全出港，问它至多能在港内停留的时间是（忽略进出港所用时间）（　　）
A.?17??????????????????????????????????????????B.?16??????????????????????????????????????????C.?5??????????????????????????????????????????D.?4
6.夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（　　）
A.?25°C???????????????????????????????????B.?26°C????????????????????????????????????C.?27°C???????????????????????????????????D.?28°C
7.设y=f（x）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ）的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（t∈[0，24]）（　　）
A.????????????????????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????????????????????D.?y=12+3sin
8.在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数 和 描述，如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（? ）
A.?仍保持平静???????????????????B.?不断波动???????????????????C.?周期性保持平静???????????????????D.?周期性保持波动
9.函数的部分图象如图，则(? )
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
10.函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，则只需将g(x)=sin2x的图象(? )
A.?向右平移个长度单位????????????????????????????????????????B.?向左平移个长度单位
C.?向右平移个长度单位????????????????????????????????????????D.?向左平移个长度单位
二、填空题
11.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 来表示.已知 月份的平均气温最高，为 ℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.
12.某地一天6时至20时的温度变化近似满足函数y=10sin（）+20，（x∈[6，20]），其中x表示时间，y表示温度，设温度不低于20，某人可以进行室外活动，则此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为________?小时．
13.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω=________．
14.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系 ，其中0≤t≤24，S的单位是m，t的单位是h，则18点时潮水起落的速度是________．
三、解答题
15.受日月引力影响，海水会发生涨退潮现象．通常情况下，船在涨潮时驶进港口，退潮时离开港口．某港口在某季节每天港口水位的深度y（米）是时间 （ ，单位：小时， 表示0：00—零时）的函数，其函数关系式为 ．已知一天中该港口水位的深度变化有如下规律：出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，最高水位的深度为12米，最低水位的深度为6米，每天13：00时港口水位的深度恰为10．5米．
（1）试求函数 的表达式；
（2）某货船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，安全条例规定船舶航行时船底与海底的距离不小于3．5米是安全的，问该船在当天的什么时间段能够安全进港？若该船欲于当天安全离港，则它最迟应在当天几点以前离开港口？
16.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每 分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为 .
（1）求 的值；
（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
（3）某时刻 (单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过 分钟后，盛水筒W是否在水中？
17.某企业一天中不同时刻的用电量 （万千瓦时）关于时间 （单位：小时，其中 对应凌晨0点）的函数 近似满足 ? ,如图是函数 的部分图象．
（1）求 的解析式；
（2）已知该企业某天前半日能分配到的供电量 （万千瓦时）与时间 （小时）的关系可用线性函数模型 模拟，当供电量 小于企业用电量 时，企业必须停产．初步预计开始停产的临界时间 在中午11点到12点之间，用二分法估算 所在的一个区间（区间长度精确到15分钟）．
18.下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深．
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深/m 5.0 8.0 5.0 2.0 5.0 8.0 5.0 2.0 5.0
（1）若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y=Asin（ωt）+b（其中A＞0，ω＞0，b∈R）来近似描述，求A，ω，b的值；
（2）若一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2.5m的安全间隙（船底与海底的距离），试用（1）中的函数关系判断该船何时能进入港口？
19.某实验室白天的温度 （单位： ）随时间 （单位： ）的变化近似满足函数关系： ， .
（1）求实验室白天的最大温差；
（2）若要求实验室温差不高于 ，则在哪段时间实验室需要降温？
20.在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4：00，每天涨潮落潮时，水的深度d（m）与时间（h）近似满足关系式d=Asin（ωt+φ）+h（A>0，ω>0，|φ|< ）
（1）若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系.
（2）10月10日17：00该港口水深约为多少？（精确到0.1m）
（3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3m？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解】根据函数图像可知,
,所以解得
由周期公式 代入可得
所以函数
将 代入可得
则
由 可知当 时解得
所以函数
当 时,代入可得
故选:D
【分析】根据所给函数图像,即可求得函数 的解析式,再代入 即可求解.
2.【答案】 B
解：不妨令A＞0，B＞0，
则由 ?得：A=10，B=20°C；
又 =14﹣6=8，
∴T=16= ，
∴|ω|= ，不妨取ω= ．
由图可知，6× +φ=2kπ﹣ （k∈Z），
∴φ=2kπ﹣ ，不妨取φ= ．
∴曲线的近似解析式为：y=10sin（ x+ ）+20，
∴中午12点时最接近的温度为：y=10sin（ ×12+ ）+20°C=10sin +20°C=20+10sin =5 +20°C≈27°C．
故答案为：B．
3.【答案】A
解：依题意， ，解得 ， 又T= ，
∴ω= ．
又f（3）=15，
∴3sin（ +φ）+12=15，
∴sin（ +φ）=1．
∴φ=0，
∴y=f（t）=3sin t+12．
故选：A．
4.【答案】 C
解：∵秒针是顺时针旋转，
∴角速度ω＜0．又由每60秒转一周，
∴ω=﹣=﹣（弧度/秒），
由P0（ ， ），得，cosφ= ， sinφ= ．
解得φ= ，
故选：C．
5.【答案】 B
解：由已知数据，易知y=f（t）的周期T=12，振幅A=13﹣10=3，b=10，所以；
由该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（m），∴+10≥11.5，
即（k∈Z），
∴12k+1≤t≤12k+5（k∈Z），在同一天内，取k=0或1，
所以1≤t≤5或13≤t≤17．
故该船可在当日凌晨1时进港，17时离港，它在港内至多停留16小时．
6.【答案】 C
解：由题意以及函数的图象可知，A+B=30，﹣A+B=10，所以A=10，B=20
∵ ， ∴T=16
∵T= ， ∴
∴y=10sin（x+φ）+20
∵图象经过点（14，30）
∴30=10sin（×14+φ）+20
∴sin（×14+φ）=1
∴φ可以取
∴y=10sin（x+）+20
当x=12时，y=10sin（×12+）+20=10×+20≈27.07
故选C．
7.【答案】 C
解：由于y=f（t）可以近似看成y=k+Asin（ωx+φ）的图象，根据港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系，可得函数的周期T=12可排除A、D，将（3，15）代入B，C，可排除B，C满足．
故选C
8.【答案】 A
解：∵ +
=sint+sint?cos +cost?sin +sint?cos +cost?sin
=sint﹣ sint+ cost﹣ sint﹣ cost
=sint﹣sint=0
即三个振动源同时开始工作时，水面仍保持平静
故选A
9.【答案】 C
【解】观察图象可知，A=1，T=4（3－1)=8，所以。将（1,1)代入得所以， 故选C。
10.【答案】 B
【【解】观察图象知A=1，T=4（)=π，=2，即， 将（， 0)代入上式，得， 结合得=。因此。只需将g(x)=sin2x的图象向左平移个长度单位即得。选B。
二、填空题
11.【答案】 20.5
【解】据题意得 ，
解得 ，
所以
令 得 .
故答案为：20.5
12.【答案】 8
解：由题意，10sin（）+20≥20
∴sin（）≥0
∴2kπ≤≤2kπ+π
∴16k﹣6≤x≤16k+2，
∵x∈[6，20]，
∴10≤x≤18
∴此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为18﹣10=8小时
故答案为：8
13.【答案】
【解】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80=Asin（ωπt+ ）+60，因为sin（ωπt+ ）≤1，所以A=20，
当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+ ）=﹣1，
此时150ωπ+ =2kπ﹣ ，k∈Z，
因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+ =2π﹣ ，
解得ω= ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解】由题意，∵
∴v=S'=
当t=18时，速度v=
故答案为
三、解答题
15.【答案】 （1）解：依题意， ，∴ ， ，又 ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ，∴
（2）解：令 得 ，∴ ，∴
∵ ，∴ 或 ，∴该船当天安全进港的时间为1~5点和13~17点，最迟应在当天的17点以前离开港口
16.【答案】 （1）解：由题意知， ，即 ，所以 ，
由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得： ，
当 时， ，代入 得， ，
因为 ，所以
（2）解：由（1）知： ，
盛水筒达到最高点时， ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以，当 时， ，
所以盛水筒出水后至少经过 分钟就可达到最高点
（3）解：由题知： ，即 ，
由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知 ，
所以 ，
所以 ，
所以，再经过 分钟后 ，
所以再经过 分钟后盛水筒不在水中
?
17.【答案】 （1）解：由图象可知A= = ，B= =2，T=12= ，ω= ， 代入点（0，2.5）得sinφ=1， ∵0＜φ＜π，∴φ= ；
综上，A= ，B=2，ω= ，φ= ，
即f（t）= sin（ t+ ）+2.
（2）解：由（1）知f（t）= sin（ t+ ）+2= cos t+2，
令h（t）=f（t）-g（t），
设h（t0）=0，则t0为该企业的开始停产的临界时间；
易知h（t）在（11，12）上是单调递增函数；
由h（11）=f（11）-g（11）= cos +2+2×11-25= -1＜0，
h（12）=f（12）-g（12）= cos +2+2×12-25= ＞0，
又h（11.5）=f（11.5）-g（11.5）= cos +2+2×11.5-25= cos（- ）= cos = ＞0，
则t0∈（11，11.5），即11点到11点30分之间（大于15分钟），
又h（11.25）=f（11.25）-g（11.25）= cos +2+2×11.25-25＜ ×1-0.5=0，
则t0∈（11.25，11.5），即11点15分到11点30分之间（正好15分钟）．
所以，企业开始停产的临界时间t0所在的区间为（11.25，11.5）.
18.【答案】 解：（1）由已知数据，易知y=f（t）的周期T=12，振幅A=3，b=5，所以ω==
（2）由（1）知y=3sin（t）+5（0≤t≤24）；
由该船进出港时，水深应不小于4+2.5=6.5（m），
∴当y≥6.5时，货船就可以进港，即3sin（t）+5≥6.5，
∴sin（t）≥0.5，
∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π
∴≤t≤ ， 或≤t≤ ，
所以1≤t≤5或13≤t≤17．
故该船可在当日凌晨1：00～5：00和13：00～17：00进入港口．
19.【答案】 （1）解:已知 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 在 上取得最大值为12，取得最小值为9，
故实验室这一天最高温度为 ，最低温度为 ，最大温差为
（2）解:依题意当 时，实验室需要降温，即 ，
，∴ ， ，
∴ ， ，又∵ ，
∴ ，即在10时到18时实验室需要降温
20.【答案】 （1）解：依题意知T= =12，
故ω= ，h= =12.2，A=16-12.2=3.8，
所以d=3.8sin（ t+φ）+12.2
又因为t=4时，d=16，所以sin（ t+φ）=1,
所以φ=- ，所以d=3.8sin（ t- ）+12.2
（2）解：t=17时，d=3.8sin( - )+12.2=3.8sin +12.2≈15.5（m）
（3）解：令3.8sin（ t- ）+12.2<10.3，即sin（ t- ）<- ，
因此2kπ+ < t- <2kπ+ ，k∈Z
所以12k+8令k=0，t（8，12），令k=1，t∈（20，24）
故这一天共有8h水深低于10.3m.
2