第二十五章　图形的相似单元测试题 冀教版九年级数学上册（word版含答案）

第二十五章　图形的相似
一、选择题(本大题有16个小题,1~10小题各3分,11~16小题,各2分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若3x=5y(y≠0),则下列各式成立的是(　　)
A.
B.
C.
D.
2.以下四组线段,成比例的是(　　)
A.4,3,2,6
B.2,4,6,8
C.3,4,5,6
D.4,6,6,8
3.已知线段a=3
cm,b=12
cm,若线段c是线段a,b的比例中项,则线段c的长为(　　)
A.2
cm
B.4
cm
C.6
cm
D.±6
cm
4.如图1,已知一组平行线a,b,c被直线m,n所截,交点分别为A,B,C和D,E,F,且AB=2,BC=3,DE=1.6,则EF等于(　　)
A.2.4
B.1.8
C.2.6
D.2.8
图1
图2
5.如图2,在△ABC中,P为AB上一点,连接CP.若再添加一个条件,使△APC与△ACB相似,则下列选项中不能作为添加条件的是(　　)
A.∠ACP=∠B
B.∠APC=∠ACB
C.AP∶AC=AC∶AB
D.AP∶AB=PC∶BC
6.如图3,在下列四个三角形中,与△ABC是位似图形且以点O为位似中心的是(　　)
图3
A.①
B.②
C.③
D.④
7.下列图案中花边的内外边缘(每个图形边缘等宽)所围成的图形不相似的是(　　)
图4
8.如图5,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC交AC于点E,DF∥AC交BC于点F.若AE∶DF=2∶3,则BF∶BC的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
图5
图6
9.如图6,在△ABC中,DE∥BC,∠B=∠ACD,则图中相似三角形有(　　)
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
10.如图7,四边形ABCD为平行四边形,E,F为CD边的两个三等分点,连接AF,BE交于点G,则S△EFG∶S△ABG的值为(　　)
A.1∶3
B.3∶1
C.1∶9
D.9∶1
图7
图8
11.图8是一种雨伞的轴截面图,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF=40
cm,当点O沿AD滑动时,雨伞开闭.若AB=3AE,AD=3AO,此时B,D两点间的距离为
(　　)
A.60
cm
B.80
cm　
C.100
cm
D.120
cm
12.如图9,在△ABC中,∠A=75°,AB=6,AC=8,将△ABC沿图中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　)
图9
图10
13.如图11,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,下列说法中不正确的是(　　)
A.S△ADE∶S△ABC=1∶2
B.
C.△ADE∽△ABC
D.DE=BC
图11
图12
14.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金比例,如图12,著名的“断臂维纳斯”便是如此,此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人的身材满足上述两个黄金比例,且头顶至咽喉的长度为26
cm,则其身高大约是(　　)
A.165
cm
B.178
cm
C.185
cm
D.190
cm
15.学校门口的栏杆如图13所示,栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到DC的位置,已知栏杆AB的长为3.5
m,OA的长为3
m,点C到AB的距离为0.3
m,支柱OE的高为0.6
m,则栏杆D端离地面的距离为(　　)
图13
A.1.2
m
　　　　　　B.1.8
m
C.2.4
m
　　　
D.3
m
16.在平面直角坐标系中,已知点A(-4,2),B(-6,-4),以原点O为位似中心,位似比为,把
△ABO缩小,则点A的对应点A'的坐标是(　　)
A.(-2,1)
B.(-8,4)
C.(-8,4)或(8,-4)
D.(-2,1)或(2,-1)
二、填空题(本大题有3个小题,共11分.17小题3分,18~19小题各有2个空,每空2分,把答案写在题中横线上)
17.已知,则=　　　　.?
18.已知:如图14,A'B'∥AB,B'C'∥BC,且OA'∶A'A=4∶3,则△ABC与　　　　　是位似图形,位似比为　　　　　.?
图14
图15
19.如图15,在△ABC中,点D在AB边上,点E在线段CD上,且BD=CD,AD=AE,∠ACB=
2∠B.
(1)若∠B=36°,则=　　　　;?(2)若AC=2,BC=3,则CD=　　　　.?
三、解答题(本大题有7个小题,共67分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
20.(本小题满分8分)已知:≠0.
(1)求的值;
(2)若x-y+z=6,求代数式3x-2y+z的值.
21.(本小题满分9分)如图16,已知点O是坐标原点,B,C两点的坐标分别为(3,-1),(2,1).
(1)以点O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到原图的2倍(即新图与原图的相似比为2),画出对应的△OB'C';
(2)若△OBC内部一点M的坐标为(a,b),则点M的对应点M'的坐标是　　　　　;?
(3)求△OB'C'的面积.
图16
22.(本小题满分9分)如图17,直线l1∥l2∥l3,AC分别交l1,
l2,
l3于点A,B,C;DF分别交l1,
l2,
l3于点D,E,F;AC与DF交于点O.已知DE=3,EF=6,AB=4.
(1)求AC的长;
(2)若BE∶CF=1∶3,求OB∶AB的值.
图17
23.(本小题满分9分)如图18,小超想要测量窗外的路灯PH的高度.星期天晚上,他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上,经过窗户的最高点C的灯光落在地板B处,经过窗户的最低点D的灯光落在地板A处,小超测得窗户距地面的高度QD=1
m,窗高CD=1.5
m,并测得AQ=1
m,AB=2
m.请根据以上测量数据,求窗外的路灯PH的高度.
图18
24.(本小题满分10分)如图19,在正方形ABCD中,在BC边上取中点E,连接DE,过点E作EF⊥ED交AB于点G,交DA的延长线于点F.
(1)求证:△ECD∽△DEF;
(2)若CD=4,求AF的长.
图19
25.(本小题满分10分)如图20,在△ABC中,AC=8
cm,BC=16
cm,点P从点A出发,沿着AC边向点C以1
cm/s的速度运动,点Q从点C出发,沿着CB边向点B以2
cm/s的速度运动,如果点P与点Q同时出发,经过几秒,△PQC和△ABC相似?
图20
26.(本小题满分12分)猜想归纳:为了建设经济型节约型社会,“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用,因此工人师傅需要把它们截成大小不同的正方形.已知在△ABC中,AC=40,BC=30,∠C=90°.
(1)如图21①,若截取△ABC的内接正方形DEFG,请你求出此正方形的边长;
(2)如图②,若在△ABC内并排截取两个相同的小正方形(它们组成的矩形内接于△ABC),请你求出每个小正方形的边长;
(3)如图③,若在△ABC内并排截取三个相同的小正方形(它们组成的矩形内接于△ABC),请你求出每个小正方形的边长;
(4)猜想:如图④,假设在△ABC内并排截取n个相同的小正方形(它们组成的矩形内接于△ABC),则每个小正方形的边长是多少?
图21
答案
1.D
2.A　[解析]A.,是成比例线段,选项正确;B.≠,不是成比例线段,选项错误;C.≠,不是成比例线段,选项错误;
D.≠,不是成比例线段,选项错误.
3.C
4.A　[解析]∵a∥b∥c,∴,即,∴EF=2.4.
5.D　[解析]A.当∠ACP=∠B时,又∠A=∠A,可得△APC∽△ACB;B.当∠APC=∠ACB时,又∠A=∠A,可得△APC∽△ACB;C.当AP∶AC=AC∶AB时,又∠A=∠A,可得△APC∽△ACB;D.若AP∶AB=PC∶BC,∠A=∠A,无法证明△APC∽△ACB.
6.B　[解析]∵②与△ABC相似,对应点的连线相交于点O,对应边互相平行,∴②与△ABC是位似图形且以点O为位似中心.故选B.
7.D　[解析]A.两个等边三角形形状相同,符合相似形的定义;B.两个不等边三角形形状相同,符合相似形的定义;C.两个正方形形状相同,符合相似形的定义;D.两个矩形,虽然四个角对应相等,但对应边不成比例,故不是相似形.故选D.
8.B　[解析]∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形EDFC是平行四边形,∴DF=EC.
设AE=2x,DF=3x,
∴CE=DF=3x,∴AC=5x.
∵DF∥AC,∴△BDF∽△BAC,
∴,∴.故选B.
9.C　[解析]∵∠B=∠ACD,∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC.
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
∴△ACD∽△ADE.
∵DE∥BC,∴∠EDC=∠DCB.
又∵∠B=∠DCE,∴△CDE∽△BCD.故共4对.
10.C　[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.∵E,F为CD边的两个三等分点,∴EF=CD=AB.由AB∥CD可知△EFG∽△BAG,∴S△EFG∶S△ABG=()2=()2=1∶9.故选C.
11.D　[解析]∵AB=3AE,AD=3AO,∴=3.又∵∠EAO=∠BAD,∴△AOE∽△ADB,∴=3.∵OE=40cm,∴=3,解得BD=120(cm).
12.D　[解析]A,B选项中,阴影部分的三角形与原三角形都分别有两个角相等,故两三角形相似;C.,故两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似.D.∠B=∠B,但夹∠B的两边不对应成比例,故不能判定两三角形相似.故选D.
13.A
14.B　[解析]设某人的咽喉至肚脐的长度为xcm,则≈0.618,解得x≈42.071.设某人的肚脐至足底的长度为ycm,则≈0.618,解得y≈110.147,
∴其身高是26+42.071+110.147≈178(cm).
15.C　[解析]如图,过点D作DG⊥AB于点G,过点C作CH⊥AB于点H,则DG∥CH,
∴△ODG∽△OCH,∴.∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到DC的位置,点C到AB的距离为0.3m,∴CD=AB=3.5m,OD=OA=3m,CH=0.3m,∴OC=0.5m,
∴,∴DG=1.8(m).∵OE=0.6m,∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m).
16.D
17.　　
18.△A'B'C'　7∶4　[解析]∵A'B'∥AB,B'C'∥BC,∴,,∠A'B'O=
∠ABO,∠C'B'O=∠CBO,
∴,∠A'B'C'=∠ABC,
∴△ABC∽△A'B'C',位似比=AB∶A'B'=OA∶OA'=(4+3)∶4=7∶4.
19.(1)　(2)　[解析](1)∵BD=CD,∴∠B=∠BCD=36°,∴∠ADC=72°.
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=72°,
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=36°.
∵∠ACB=2∠B,∴∠ACB=72°,∴∠ACD=36°.∵∠AED=∠EAC+∠ACD=72°,
∴∠EAC=∠ACD=36°,∴AE=EC=AD.
∵∠ACD=∠DAE=36°,∠ADE=∠CDA,∴△AED∽△CAD,∴,
∴AD2=CD·DE=DE·(AD+DE),
∴DE=AD(负值已舍去),
∴CD=DE+AD=AD,∴.
(2)∵BD=CD,∴∠B=∠BCD,
∴∠ADC=∠B+∠BCD=2∠B.
∵∠ACB=2∠B,∴∠ACB=∠ADC,∠ACD=∠B,∴△ACD∽△ABC,∴,∴.
设AD=2a,CD=3a=BD.∵,∴,∴a=(负值已舍去),
∴CD=.
20.解:(1)∵,∴,
∴.
(2)设=k,则x=2k,y=3k,z=4k.
把x=2k,y=3k,z=4k代入x-y+z=6,得
2k-3k+4k=6,解得k=2,
∴x=4,y=6,z=8,
∴3x-2y+z=12-12+8=8.
21.解:(1)如图,△OB'C'即为所求.
(2)(-2a,-2b)
(3)S△OB'C'=4S△OBC=4×(2×3-×2×1-×2×1-×3×1)=10.
22.解:(1)∵l1∥l2∥l3,∴,
即,解得AC=12.
(2)∵l1∥l2∥l3,∴.
∵AB=4,AC=12,∴BC=AC-AB=8.
∵OB+OC=BC,∴OB=2,∴.
23.解:∵DQ⊥BP,∴∠CQB=90°.
∵QD=1m,QA=1m,∴∠QAD=45°.
∵PH⊥PB,∠HAP=45°,∴PH=PA.
设PH=PA=xm.
∵PH⊥PB,CQ⊥PB,∴PH∥CQ,
∴△QBC∽△PBH,∴,
∴,解得x=10.
经检验,x=10是原方程的解且符合题意.
答:窗外的路灯PH的高度是10m.
24.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,EF⊥ED,
∴∠FED=∠C=90°,BC∥AD,
∴∠CED=∠EDF,
∴△ECD∽△DEF.
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠C=90°,AD=BC=CD=4.
∵E为BC的中点,∴CE=BC=2.
在Rt△DCE中,由勾股定理,得DE==2.
∵△ECD∽△DEF,∴,
∴,解得DF=10.
又∵AD=4,
∴AF=DF-AD=10-4=6.
25.解:设经过xs,两三角形相似,
则CP=AC-AP=8-x,CQ=2x.
当CP与CA是对应边时,,
即,解得x=4;
当CP与BC是对应边时,,
即,解得x=.
故经过4s或s,△PQC和△ABC相似.
26.解:(1)如图(a),过点C作CN⊥AB分别交GF,AB于点M,N.
在Rt△ABC中,∵AC=40,BC=30,∠C=90°,∴AB=50,CN=24.
由GF∥AB,得△CGF∽△CAB,
∴.
设正方形DEFG的边长为x,则,
解得x=,
即此正方形的边长为.
(2)如图(b),过点C作CN⊥AB交GF于点M,交AB于点N.
∵GF∥AB,
∴△CGF∽△CAB,∴.
设每个小正方形的边长为y,
则,解得y=,
即每个小正方形的边长为.
(3)如图(c),过点C作CN⊥AB交GF于点M,交AB于点N.
∵GF∥AB,∴△CGF∽△CAB,
∴.
设每个小正方形的边长为z,
则,解得z=,
即每个小正方形的边长为.
(4)设每个小正方形的边长为m,
同理得到,则m=,
即每个小正方形的边长为.