4.5.3函数模型的应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册课时练习（Word含答案）

4.5.3 函数模型的应用
一． 利用已知函数模型解决实际问题
1.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为fx=10lgx10?2(dB). 喷气式飞机起飞时，声音约为140dB，一般说话时，声音约为60dB，则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的( )
A. 73 倍 B. 1073 倍 C. 8 倍 D. 108倍
2. 射线测厚技术原理公式为I=I0??ρμt，其中，I,I0分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，为被测物厚度，ρ为被测物的密度，以是被测物对射线的吸收系数工业上通常用241(Am)低能γ射线测量钢板的原度若这种射线对钢板的半价层厚度为8，钢的密7(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量度为7.6，则这种射线的吸收系数为( )
（注:半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001)
0.110 B. 0.112 C. 0.114 D. 0.116
3. 光线通过一块玻璃，强度要损失10％设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为y=k·0.9x，那么至少通过________块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下(lg3≈0.477，lg2≈0.3) ( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
二． 建立函数模型解决实际问题
4. .20世纪初，辽东半岛大连普兰店东部发现古莲子，其寿命在千年以上，至今大部分还能发芽开花，已知碳14半衰期为5730年(注:半衰期为放射性元素残留量降为原来的一半所需要的时间)，若1单位的碳14经过x年后剩余量为y单位，则y关于x的函数表达式是（ ）
A. y=2?x5730 B. y=2x5730 C. y=1?2?x5730 D. y=1?2?5730x
5. 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )
A.10天 B.15天 C.19天 D.2天
6. (多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据: lg2≈0.031，lg3≈0.477)( )
A.6 B.9 C.8 D.7
7. 某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50％和20％，那么至少经过________年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（lg2≈0.031）( )
A. 6年 B. 7年 C. 8年 D. 9年
8. 细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：
x(h)
0
1
2
3
细菌数
300
600
1 200
2 400
据此表可推测实验开始前2 h的细菌数为________．
9. 某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________．(填序号)
16764015240
10. 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位为：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
11. 某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份
1
2
3
产量(千件)
50
52
53.9
为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
12．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
参考答案
1.D 2.C 3.C 4.A 5.C 6.BC 7.B 8. 75 9. ①
10. 解　(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：
解得a＝，b＝－，c＝.
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150(天)时，芦荟种植成本最低为
Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg)．
11. 解　将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：
或(a>0)
解得(两方程组的解相同)．
∴两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，
∴选y＝ax＋b较好．
12. 解　(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－false.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则
a(1－x)m＝a，即false＝false，＝，解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
false≥false，≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．