古坳初中初三数学专题复习：分类讨论问题
图片预览
文档简介
古坳初中初三数学专题复习：分类讨论问题
【学习目标】
1、学会运用数学的思维方式去观察、分析数学问题，体会分类讨论思想解决数学问题的方法．
2、培养学生思维的逻辑性、探究性、以及归纳的条理性、完整性．
【学习重点】 用分类讨论思想观察、分析数学问题
【学习难点】 选择恰当的标准进行分类
【学习过程】
分类讨论概述：
1、分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.
2、分类的要求：① 分类的标准统一 ②分类要不重不漏.
二、典型例题
例1.已知直角三角形两边、的长满足，
则第三边长为 。
例2. ⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，
则AB和CD的距离是（ ）
A. 7㎝ B. 8㎝ C. 7㎝或1㎝ D. 1㎝
例3. 如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。当DM＝ 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
例4. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，
当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动时间为秒。
⑴设△BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式。
⑵当为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
二、当堂达标
1．如图，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是( )
A．(4,0) B．(1,0)
C．(－2 ，0) D．(2,0)
2．若函数y＝则当函数值y＝8时，自变量x的值是( )
A．± B．4
C．±或4 D．4或－
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4)，连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形，那么所有满足条件的点P的坐标是( )
A．(8,4) B．(8,4)或(－3,4)
C．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)
D．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或
4．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为多少cm2？( )
A．4 B．12 C．4或12 D．6或8
5．若正比例函数y＝2kx与反比例函数y＝(k≠0)
的图象交于点A(m,1)，则k的值是( )
A．－或 B．－或 C. D.
6．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________．
7．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝6，BC＝14，点M是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．
8．在△ABC中 ，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为________．
9．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_______．
10．如图，点A、B在直线MN上， AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm，⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后________秒两圆相切．
11．(2010·柳州)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形．
12．(2011·南通)已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，经过其中三个点．
(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；
(2)点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？
(3)求a和k的值．
13、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．
(1)求过A、C两点直线的解析式；
(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；
(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．
中考数学专题复习 分类讨论问题
参考答案
例题参考答案
【例题1】解：由已知易得
⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。
⑵若是三角形两条直角边的长，则第三边长为，
⑶若是一直角边的长，是斜边，则第三边长为。
∴第三边长为。
【例题2】解：因为弦AB、CD均小于直径，
故可确定出圆中两条平行弦AB和CD的位置关系有两种可能：
一是位于圆心O的同侧，二是位于圆心O的异侧。
如图1，过O作EF⊥CD，分别交CD、AB于E、F，则CE＝4㎝，AF＝3㎝。 由勾股定理可求出OE＝3㎝，OF＝4㎝。当AB、CD在圆心异侧时，距离为OE＋OF＝7㎝。 当AB、CD在圆心同侧时，距离为OF－OE＝1㎝。选C。
图1
【例题3】解：勾股定理可得AE＝。
当△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：
⑴当DM与BE是对应边时，，即。
⑵当DM与AB是对应边时，，即
故DM的长是。
【例题4】：⑴过点P作PM⊥BC，垂足为M，
则四边形PDCM为矩形，∴PM＝DC＝12。
∵QB＝16－，∴。
⑵由图可知，CM＝PD＝2，CQ＝，
若以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况：
①以Q为顶点，由图可知，PQ＝BQ。
在Rt△PMQ中，，解得。
②若以B为顶点，则BQ＝BQ。在Rt△PMB中，
，即，
∵△＝，
∴解得无解，∴。
③若以P为顶点，则PB＝PQ。在Rt△PMB中，。
解得不合题意，舍去）。
综合上面原讨论可知：当秒或秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。
二、当堂达标参考答案
1、答案 B
解析 当P点坐标为(4,0)时，点A在OP的中垂线上，OA＝PA；当P点坐标为(－2 ，0)时，OP＝OA＝2 ；当P点坐标为(2,0)时，OP＝AP＝2，所以P点坐标不可能为(1,0)．
2、答案 D
解析 当x≤2时，x2＋2＝8，x＝±(舍去)；当x>2时，2x＝8，x＝4.综上，x＝－或x＝4.
3、答案 D
解析 ∵点A的坐标为(3,4)，
∴OA＝＝5.当AP＝AO时，可知P1(－2,4)，P2(8,4)，当OP＝OA时，可知P3(－3,4)，当PO＝PA时，设PO＝PA＝m.有(m－3)2＋42＝m2，m＝，
∴m－3＝，P4，故选D.
4、答案 C
解析 如图①，S矩形＝1×(1＋3)＝4；如图②，S矩形＝3×(3＋1)＝12，故选C.
5、答案 B
解析 A(m,1)代入y＝中，得m＝k，代入y＝2kx中，得2k2＝1，k2＝，所以k＝±.
6、答案 70°，70°，40°或55°，55°，70°
解析 当等腰三角形的底角的外角等于110°时，其底角为70°，顶角为180°－70°×2＝40°；当等腰三角形的顶角的外角等于110°时，其顶角为70°，底角为＝55°.
7、答案 4
解析 当MC为底边时，MC的中垂线交CD于一点P，该点能满足PM＝PC；当MC为腰时，分别以C、M为圆心，MC长为半径画圆，⊙C与CD交于一点P，⊙M与AB、AD各有一个交点，因此，满足条件的点P有4个．
8、答案 11或13
解析 当09、答案 1或5
解析 题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况如图所示：旋转得到F1点，则F1C＝1；
旋转得到F2点，则F2B＝DE＝2，F2C＝F2B＋BC＝5.
10、答案 3或或11或13
解析 两圆相切可分为如下四种情况：
①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；
②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝；
③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；
④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13.
所以，点A出发后3秒或秒或11秒或13秒两圆相切．
11、解 ∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝60°，∴∠C＝90°，AB＝2BC＝4.
当∠BFE＝90°时，∵F是BC中点，∴BF＝×2＝1.
在Rt△BEF中，∠B＝60°，∴BE＝2BF＝2×1＝2，AE＝4－2＝2.
又∵AE＝2t，∴2t＝2，t＝1.
当∠BEF＝90°时，在Rt△BEF时，BE＝BF＝，∴AE＝4－＝3，∴2t＝3，t＝1.75.
同样，当t＝1.75＋＝2.25时，∠BEF＝90°.
综上，t＝1或1.75或2.25.
12、解 (1)证明：将C，E两点的坐标代入y＝a (x－1)2＋k(a＞0)，得解得a＝0，∴与条件a＞0不符，∴C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上．
(2)解法一：∵A、C、D三点共线(如下图)，
∴A、C、D三点也不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上．
∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能：
①A、B、C；②A、B、E；③A、B、D；④A、D、E；
⑤B、C、D；⑥B、D、E.
将①、②、③、④四种情况(都含A点)的三点坐标分别代入y＝a (x－1)2＋k(a＞0)，解得：①无解；②无解；③a＝－1，与条件不符，舍去；④无解．
所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上．
解法二：抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)的顶点为(1，k)，假设抛物线过A(1,0)，则点A必为抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A、B、C、D、E中的三点，所以必过x轴上方的另外两点C、E，这与(1)矛盾，所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上．
(3)①当抛物线经过(2)中⑤B、C、D三点时，则
解得
②当抛物线经过(2)中⑥B、D、E三点时，同法可求：
综上，a和k的值为或
13、.解：(1)过点A、c直线的解析式为y=x－
(2)抛物线y=ax2－5x+4a．
∴顶点N的坐标为(－，－a)．
由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，
又点N在半圆内，＜－a ＜2，解这个不等式，得－＜a＜－．
(3)设EF=x，则CF=x，BF=2－x
在Rt△ABF中，由勾股定理得x= ，BF=
【学习目标】
1、学会运用数学的思维方式去观察、分析数学问题，体会分类讨论思想解决数学问题的方法．
2、培养学生思维的逻辑性、探究性、以及归纳的条理性、完整性．
【学习重点】 用分类讨论思想观察、分析数学问题
【学习难点】 选择恰当的标准进行分类
【学习过程】
分类讨论概述：
1、分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.
2、分类的要求：① 分类的标准统一 ②分类要不重不漏.
二、典型例题
例1.已知直角三角形两边、的长满足，
则第三边长为 。
例2. ⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，
则AB和CD的距离是（ ）
A. 7㎝ B. 8㎝ C. 7㎝或1㎝ D. 1㎝
例3. 如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。当DM＝ 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
例4. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，
当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动时间为秒。
⑴设△BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式。
⑵当为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
二、当堂达标
1．如图，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是( )
A．(4,0) B．(1,0)
C．(－2 ，0) D．(2,0)
2．若函数y＝则当函数值y＝8时，自变量x的值是( )
A．± B．4
C．±或4 D．4或－
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4)，连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形，那么所有满足条件的点P的坐标是( )
A．(8,4) B．(8,4)或(－3,4)
C．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)
D．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或
4．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为多少cm2？( )
A．4 B．12 C．4或12 D．6或8
5．若正比例函数y＝2kx与反比例函数y＝(k≠0)
的图象交于点A(m,1)，则k的值是( )
A．－或 B．－或 C. D.
6．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________．
7．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝6，BC＝14，点M是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．
8．在△ABC中 ，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为________．
9．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_______．
10．如图，点A、B在直线MN上， AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm，⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后________秒两圆相切．
11．(2010·柳州)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形．
12．(2011·南通)已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，经过其中三个点．
(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；
(2)点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？
(3)求a和k的值．
13、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．
(1)求过A、C两点直线的解析式；
(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；
(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．
中考数学专题复习 分类讨论问题
参考答案
例题参考答案
【例题1】解：由已知易得
⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。
⑵若是三角形两条直角边的长，则第三边长为，
⑶若是一直角边的长，是斜边，则第三边长为。
∴第三边长为。
【例题2】解：因为弦AB、CD均小于直径，
故可确定出圆中两条平行弦AB和CD的位置关系有两种可能：
一是位于圆心O的同侧，二是位于圆心O的异侧。
如图1，过O作EF⊥CD，分别交CD、AB于E、F，则CE＝4㎝，AF＝3㎝。 由勾股定理可求出OE＝3㎝，OF＝4㎝。当AB、CD在圆心异侧时，距离为OE＋OF＝7㎝。 当AB、CD在圆心同侧时，距离为OF－OE＝1㎝。选C。
图1
【例题3】解：勾股定理可得AE＝。
当△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：
⑴当DM与BE是对应边时，，即。
⑵当DM与AB是对应边时，，即
故DM的长是。
【例题4】：⑴过点P作PM⊥BC，垂足为M，
则四边形PDCM为矩形，∴PM＝DC＝12。
∵QB＝16－，∴。
⑵由图可知，CM＝PD＝2，CQ＝，
若以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况：
①以Q为顶点，由图可知，PQ＝BQ。
在Rt△PMQ中，，解得。
②若以B为顶点，则BQ＝BQ。在Rt△PMB中，
，即，
∵△＝，
∴解得无解，∴。
③若以P为顶点，则PB＝PQ。在Rt△PMB中，。
解得不合题意，舍去）。
综合上面原讨论可知：当秒或秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。
二、当堂达标参考答案
1、答案 B
解析 当P点坐标为(4,0)时，点A在OP的中垂线上，OA＝PA；当P点坐标为(－2 ，0)时，OP＝OA＝2 ；当P点坐标为(2,0)时，OP＝AP＝2，所以P点坐标不可能为(1,0)．
2、答案 D
解析 当x≤2时，x2＋2＝8，x＝±(舍去)；当x>2时，2x＝8，x＝4.综上，x＝－或x＝4.
3、答案 D
解析 ∵点A的坐标为(3,4)，
∴OA＝＝5.当AP＝AO时，可知P1(－2,4)，P2(8,4)，当OP＝OA时，可知P3(－3,4)，当PO＝PA时，设PO＝PA＝m.有(m－3)2＋42＝m2，m＝，
∴m－3＝，P4，故选D.
4、答案 C
解析 如图①，S矩形＝1×(1＋3)＝4；如图②，S矩形＝3×(3＋1)＝12，故选C.
5、答案 B
解析 A(m,1)代入y＝中，得m＝k，代入y＝2kx中，得2k2＝1，k2＝，所以k＝±.
6、答案 70°，70°，40°或55°，55°，70°
解析 当等腰三角形的底角的外角等于110°时，其底角为70°，顶角为180°－70°×2＝40°；当等腰三角形的顶角的外角等于110°时，其顶角为70°，底角为＝55°.
7、答案 4
解析 当MC为底边时，MC的中垂线交CD于一点P，该点能满足PM＝PC；当MC为腰时，分别以C、M为圆心，MC长为半径画圆，⊙C与CD交于一点P，⊙M与AB、AD各有一个交点，因此，满足条件的点P有4个．
8、答案 11或13
解析 当0
解析 题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况如图所示：旋转得到F1点，则F1C＝1；
旋转得到F2点，则F2B＝DE＝2，F2C＝F2B＋BC＝5.
10、答案 3或或11或13
解析 两圆相切可分为如下四种情况：
①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；
②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝；
③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；
④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13.
所以，点A出发后3秒或秒或11秒或13秒两圆相切．
11、解 ∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝60°，∴∠C＝90°，AB＝2BC＝4.
当∠BFE＝90°时，∵F是BC中点，∴BF＝×2＝1.
在Rt△BEF中，∠B＝60°，∴BE＝2BF＝2×1＝2，AE＝4－2＝2.
又∵AE＝2t，∴2t＝2，t＝1.
当∠BEF＝90°时，在Rt△BEF时，BE＝BF＝，∴AE＝4－＝3，∴2t＝3，t＝1.75.
同样，当t＝1.75＋＝2.25时，∠BEF＝90°.
综上，t＝1或1.75或2.25.
12、解 (1)证明：将C，E两点的坐标代入y＝a (x－1)2＋k(a＞0)，得解得a＝0，∴与条件a＞0不符，∴C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上．
(2)解法一：∵A、C、D三点共线(如下图)，
∴A、C、D三点也不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上．
∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能：
①A、B、C；②A、B、E；③A、B、D；④A、D、E；
⑤B、C、D；⑥B、D、E.
将①、②、③、④四种情况(都含A点)的三点坐标分别代入y＝a (x－1)2＋k(a＞0)，解得：①无解；②无解；③a＝－1，与条件不符，舍去；④无解．
所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上．
解法二：抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)的顶点为(1，k)，假设抛物线过A(1,0)，则点A必为抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A、B、C、D、E中的三点，所以必过x轴上方的另外两点C、E，这与(1)矛盾，所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上．
(3)①当抛物线经过(2)中⑤B、C、D三点时，则
解得
②当抛物线经过(2)中⑥B、D、E三点时，同法可求：
综上，a和k的值为或
13、.解：(1)过点A、c直线的解析式为y=x－
(2)抛物线y=ax2－5x+4a．
∴顶点N的坐标为(－，－a)．
由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，
又点N在半圆内，＜－a ＜2，解这个不等式，得－＜a＜－．
(3)设EF=x，则CF=x，BF=2－x
在Rt△ABF中，由勾股定理得x= ，BF=
同课章节目录