福建省厦门六中2011-2012学年高二下学期期中数学理试卷

厦门六中2011—2012学年下学期高二(理)数学半期考
数 学 试 卷
满分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.
1. 由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等”这一推理过程是(　　)
A．归纳推理　B．类比推理 C．演绎推理 D．非上述答案
2. 满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点的轨迹是(　　)
A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆
3. 设是函数的导数，的图像如图所示，
则的图像最有可能的是（ ）．
4. 某公共汽车上有5名乘客，沿途有10个车站，乘客下车的可能方式有(　　)
A．510种 B．105种 C．50种 D．A种
5. 已知c>1，a＝－，b＝－，则正确的结论是(　　)
A．a>b B．a6. . 用反证法证明“a，b∈N*，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是(　　)
A．a不能被5整除 B．b不能被5整除 C．a，b都不能被5整除 D．以上都不正确7. 函数y＝sinx(cosx＋1)的导数是(　　)
A．cos2x－cosx B．cos2x＋sinx C．cos2x＋cosx D．cos2x＋cosx
8. 已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在区间[－2,2]上的最大值为3，那么此函数在区间
[－2,2]上的最小值是(　　) A．－37 B．－29 C．－5 D．－11
9. 在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有(　　)
A．512 B．192 C．240 D．108
10. 若函数f(x)＝ex＋mx的单调递增区间是(1，＋∞)，则f(x)dx等于(　　)
A．e－1 B．e－2 C.e D.e－1
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
11. |x|dx＝________.
12. 已知复数z与都是纯虚数（其中i是虚数单位），那么z＝________.
13. 从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有________.
14. 在极坐标系中（ρ，θ）（ρ，0 ≤ θ<2π），曲线ρ= 与 的
交点的极坐标为______。
15. 如果函数f(x)＝x3－6bx＋3b在区间(0,1)内存在与x轴平行的切线，则实数b的
取值范围是________．
三．解答题（本大题共6小题，共80分;解答应写出文字说明与演算步骤）
16. （本小题满分13分）已知复数z＝，若z2＋az＋b＝1－i，(1)求z；
(2)求实数a，b的值．
17. （本小题满分13分）在直角坐标系中，直线的参数方程为
(为参数)。在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ=2sinθ。(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线交于点．若点的坐标为(3，)，求．
18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中319. 在曲线y＝x2(x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积
为.试求：切点A的坐标以及切线方程．
20. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=,Sn=an(n∈N*).
(1)试求出S1，S2，S3，S4，S并猜想Sn的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想
21. （本小题满分13分）函数，过曲线上的点的切线方程为（1）若在时有极值，求f (x)的表达式；
（2）在（1）的条件下，求在上最大值；
（3）若函数在区间上单调递增，求b的取值范围
厦门六中2011—2012学年下学期高二(理)数学半期考
数 学 试 卷
满分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.
1. 由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等”这一推理过程是(　B　)
A．归纳推理　B．类比推理 C．演绎推理 D．非上述答案
2. 满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点的轨迹是(　C　)
A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆
3. 设是函数的导数，的图像如图所示，
则的图像最有可能的是（ C ）．
4. 某公共汽车上有5名乘客，沿途有10个车站，乘客下车的可能方式有(　B　)
A．510种 B．105种 C．50种 D．A种
5. 已知c>1，a＝－，b＝－，则正确的结论是(　B　)
A．a>b B．a6. . 用反证法证明“a，b∈N*，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是(　C　)
A．a不能被5整除 B．b不能被5整除 C．a，b都不能被5整除 D．以上都不正确7. 函数y＝sinx(cosx＋1)的导数是(　A　)
A．cos2x＋cosx B．cos2x＋sinx C．cos2x－cosx D．cos2x＋cosx
8. 已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在区间[－2,2]上的最大值为3，那么此函数在区间
[－2,2]上的最小值是(　A　) A．－37 B．－29 C．－5 D．－11
9. 在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有(　D　)
A．512 B．192 C．240 D．108
10. 若函数f(x)＝ex＋mx的单调递增区间是(1，＋∞)，则f(x)dx等于(　D　)
A．e－1 B．e－2 C.e D.e－1
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
11. |x|dx＝________.
12. 已知复数z与都是纯虚数（其中i是虚数单位），那么z＝___-2i_____.
13. 从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有________CA=18种.
14. 在极坐标系中（ρ，θ）（ρ，0 ≤ θ<2π），曲线ρ= 与 的
交点的极坐标为__________。
15. 如果函数f(x)＝x3－6bx＋3b在区间(0,1)内存在与x轴平行的切线，则实数b的
取值范围是________{b|0三．解答题（本大题共6小题，共80分;解答应写出文字说明与演算步骤）
16. （本小题满分13分）已知复数z＝，若z2＋az＋b＝1－i，(1)求z；
(2)求实数a，b的值．
(1)z＝＝＝1＋i，……5分
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，即(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
得a＋b＋(2＋a)i＝1－i. ……9分所以，解得a＝－3，b＝4.
所以实数a，b的值分别为－3,4. ……13分
17. （本小题满分13分）在直角坐标系中，直线的参数方程为
(为参数)。在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ=2sinθ。(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆C与直线交于点．若点的坐标为(3，)，求．
解：（1）由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y, ……4分
所以.……6分
（2）将参数方程代入圆C的直角坐标方程得
化简得。则————————10分
依题意知————————13分
19. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2. ……5分
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]
＝2＋10(x－3)(x－6)2,（(3从而，f′(x)＝＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (3,4) 4 (4,6)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. ……12分
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．……13分
20. 在曲线y＝x2(x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积
为.试求：切点A的坐标以及切线方程．
解；可设切点A的坐标为(，)，k= f ()=2,则切线方程为y－＝2 (x－)，
即y＝2x－，……3分可得切线与x轴的交点坐标为(，0)．…4分画出草图，得曲
20. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=,Sn=an(n∈N*).(1)试求出S1，S2，S3，S4，S并猜想Sn的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想
解： ①当时，
————————2分
由 —
————6分
猜想：————————7分
②证明：①当————————8分
②假设
————————13分
根据①②可知对————————14分
21. （本小题满分13分）函数，过曲线上的点的切线方程为（1）若在时有极值，求f (x)的表达式；
（2）在（1）的条件下，求在上最大值；
（3）若函数在区间上单调递增，求b的取值范围
解：（1）
（2）
x －2
+ 0 － 0 +
极大 极小
上最大值为13 …………………9分
（3）上单调递增
又
依题意上恒成立. …11分
①在
②在
③在…13分
综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0…………………14分
2
1
0
D
0
1
2
C
0
1
2
B
0
1
2
A
0
1
2
2
1
0
D
0
1
2
C
0
1
2
B
0
1
2
A
0
1
2