中考数学二轮专题《面积相关》
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课前测试：
(1)．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE:EB＝2:1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（ ）
A．1:2 B．1:4 C．4:9 D．2:3
(2)．如图，O是平行四边形ABCD对角线的交点，OE∥AD交CD于E，OF∥AB于F，那么:＝ 。
．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF交BD于H，AF交BD于G，CD＝4AB，则:＝ 。
(4) ．如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，S△ADE：S△BCE=4：9，则S△ABD：S△ABC= ；
(5)．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．
课题引入：
1．（2010年广州中考数学模拟试题一）如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。
（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。
答案：（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=900，
∴四边形OBNM为矩形。
∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900
∵，AO=BO=1，
∴AM=PM。
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，
∴OM=PN，
∵∠OPC=900，
∴∠OPM+CPN=900，
又∵∠OPM+∠POM=900 ∴∠CPN=∠POM，
∴△OPM≌△PCN.
（2）∵AM=PM=APsin450=，
∴NC=PM=，∴BN=OM=PN=1-；
∴BC=BN-NC=1--=
（3）△PBC可能为等腰三角形。
①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）
②当点C在第四象限，且PB=CB时，
有BN=PN=1-，
∴BC=PB=PN=-m，
∴NC=BN+BC=1-+-m，
由⑵知：NC=PM=，
∴1-+-m=， ∴m=1.
∴PM==，BN=1-=1-，
∴P（,1-）.
∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（,1-）
2.（2011深圳20题）如图9，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE。
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图10，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和。（结果保留π与根号）
（1）证明：如图2，连接AB、BC，
∵点C是劣弧AB上的中点
∴
∴CA＝CB
又∵CD＝CA
∴CB＝CD＝CA
∴在△ABD中，
∴∠ABD＝90°
∴∠ABE＝90°
∴AE是⊙O的直径
（2）解：如图3，由（1）可知，AE是⊙O的直径
∴∠ACE＝90°
∵⊙O的半径为5，AC＝4
∴AE＝10，⊙O的面积为25π
在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：
∴S△ACE＝
∴S阴影＝S⊙O－S△ACE＝
3.(2011茂名9如图，在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1=∠2．
（1）求证：OD=OE；
（2）求证：四边形ABＥD是等腰梯形；
（3）若AB=3DE, △DCE的面积为2, 求四边形ABED的面积．
证明：
4、在Rt△ABC中，∠C=90O，AC=6，BC=12，在AC上有一动点D（不与A、C重合），作DE∥BC交AB于点E，作EF∥AC交BC于点F，问当点D在什么位置时，四边形CDEF的面积最大？
5．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则图中阴影部分的面积为 ．
6.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2，以AB为直径的圆交BC于D， 求图形阴影部分的面积．
思路点拨：连接AD，则阴影面积等于△ACD的面积，即等于△ABC面积的一半．
例题选讲：
【1】.（2010年杭州）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，
CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．
（1）试说明：DE＝BF；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面积．
（1）∵ 弧CB=弧CD ∴ CB=CD，∠CAE=∠CAB
又∵ CF⊥AB，CE⊥AD ∴ CE=CF ∴ △CED≌△CFB
∴ DE=BF （2）易得：△CAE≌△CAF
易求：
∴
【2】.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F.（1）若C F长为π，求圆心角∠CBF的度数；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）.
【3】.如图，点P是双曲线上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y= （0＜k2＜|k1|）于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= (用含k1、k2的式子表示)；
（2）图2中，设P点坐标为（－4，3）．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
②记，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。
【4】如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．
（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；
（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与的函数关系式并画出该函数的图象．
【5】如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH
（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3
（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.
（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个
单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B
重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯
形为DEFH′（如图2）.
探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能， 请求出此时t的值；若不能，请说明理由.
探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系.?
【6】如图，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式；
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；
(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在,求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
【7】如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。
求抛物线的解析式；
设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
【8】已知二次函数。
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。
（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。
【9】如图，已知射线DE与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为秒．
（1）请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标；
（2）以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．
①当与射线DE有公共点时，求的取值范围；
②当为等腰三角形时，求的值．
【10】已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).
现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA
向终点A运动，设运动时间为t秒.
（1）填空：菱形ABCD的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、 高BE的长是 ▲ ；
（2）探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值。
【11】如图，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？
【12】已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.
(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；
(2)如图a，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；
(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.
【13】如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），
点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，
同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，
设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相
等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
【14】已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【15】已知平行于x轴的直线与函数和函数的图像分别交于点A和点B，又有定点P（2，0） .
（1）若，且tan∠POB=，求线段AB的长；
（2）在过A，B两点且顶点在直线上的抛物线中，已知线段AB=，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；
（3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到的图像，求点P到直线AB的距离。
【16】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时声母OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．
（1）四边形的形状是 ， 当α=90°时，的值是 ．
（2）①如图2,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时,求的值;
②如图3,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求ΔOPB′的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中,当时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=？若存在，请直接写出点P的坐标；基不存在，请说明理由．
【17】如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上．
(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
(2) 平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
【18】△与△是两个直角边都等于厘米的等腰直角三角形，M、N分别是直角边AC、BC的中点。△位置固定，△按如图叠放，使斜边在直线MN上,顶点与点M重合。等腰直角△以1厘米/秒的速度沿直线MN向右平移，直到点与点N重合。设秒时，△与△重叠部分面积为平方厘米。
（1）当△与△重叠部分面积为平方厘米时，求△移动的时间；
（2）求与的函数关系式；
（3）求△与△重叠部分面积的最大值。
A
B
C
D
E
图4
A
B
C
N
P
M
O
x
y
x=1
第1题图
O
A
E
C
B
D
图10
O
A
E
C
B
D
图9
O
A
E
C
B
D
图2
O
A
E
C
B
D
图3
A B
O F
E
D C
12题图
B
C
A
F
D
（第25题图）
B
x
y
M
C
D
O
A
图（1）
B
x
y
O
A
图（2）
B
x
y
O
A
图（3）
图2
图1
（第27题图）
x
C
O
y
A
B
D
1
1
O
x
y
E
P
D
A
B
M
C
C
A
B
N
M
图a
x
y
B
C
O
D
A
M
N
N′
x
y
B
C
O
A
M
N
备用图
（第36题图）
y
x
D
B
C
A
E
E
O
（第37题图）
(第39题图)
4
x
2
2
A
8
-2
O
-2
-4
y
6
B
C
D
-4
4
(1)．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE:EB＝2:1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（ ）
A．1:2 B．1:4 C．4:9 D．2:3
(2)．如图，O是平行四边形ABCD对角线的交点，OE∥AD交CD于E，OF∥AB于F，那么:＝ 。
．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF交BD于H，AF交BD于G，CD＝4AB，则:＝ 。
(4) ．如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，S△ADE：S△BCE=4：9，则S△ABD：S△ABC= ；
(5)．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．
课题引入：
1．（2010年广州中考数学模拟试题一）如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。
（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。
答案：（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=900，
∴四边形OBNM为矩形。
∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900
∵，AO=BO=1，
∴AM=PM。
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，
∴OM=PN，
∵∠OPC=900，
∴∠OPM+CPN=900，
又∵∠OPM+∠POM=900 ∴∠CPN=∠POM，
∴△OPM≌△PCN.
（2）∵AM=PM=APsin450=，
∴NC=PM=，∴BN=OM=PN=1-；
∴BC=BN-NC=1--=
（3）△PBC可能为等腰三角形。
①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）
②当点C在第四象限，且PB=CB时，
有BN=PN=1-，
∴BC=PB=PN=-m，
∴NC=BN+BC=1-+-m，
由⑵知：NC=PM=，
∴1-+-m=， ∴m=1.
∴PM==，BN=1-=1-，
∴P（,1-）.
∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（,1-）
2.（2011深圳20题）如图9，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE。
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图10，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和。（结果保留π与根号）
（1）证明：如图2，连接AB、BC，
∵点C是劣弧AB上的中点
∴
∴CA＝CB
又∵CD＝CA
∴CB＝CD＝CA
∴在△ABD中，
∴∠ABD＝90°
∴∠ABE＝90°
∴AE是⊙O的直径
（2）解：如图3，由（1）可知，AE是⊙O的直径
∴∠ACE＝90°
∵⊙O的半径为5，AC＝4
∴AE＝10，⊙O的面积为25π
在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：
∴S△ACE＝
∴S阴影＝S⊙O－S△ACE＝
3.(2011茂名9如图，在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1=∠2．
（1）求证：OD=OE；
（2）求证：四边形ABＥD是等腰梯形；
（3）若AB=3DE, △DCE的面积为2, 求四边形ABED的面积．
证明：
4、在Rt△ABC中，∠C=90O，AC=6，BC=12，在AC上有一动点D（不与A、C重合），作DE∥BC交AB于点E，作EF∥AC交BC于点F，问当点D在什么位置时，四边形CDEF的面积最大？
5．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则图中阴影部分的面积为 ．
6.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2，以AB为直径的圆交BC于D， 求图形阴影部分的面积．
思路点拨：连接AD，则阴影面积等于△ACD的面积，即等于△ABC面积的一半．
例题选讲：
【1】.（2010年杭州）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，
CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．
（1）试说明：DE＝BF；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面积．
（1）∵ 弧CB=弧CD ∴ CB=CD，∠CAE=∠CAB
又∵ CF⊥AB，CE⊥AD ∴ CE=CF ∴ △CED≌△CFB
∴ DE=BF （2）易得：△CAE≌△CAF
易求：
∴
【2】.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F.（1）若C F长为π，求圆心角∠CBF的度数；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）.
【3】.如图，点P是双曲线上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y= （0＜k2＜|k1|）于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= (用含k1、k2的式子表示)；
（2）图2中，设P点坐标为（－4，3）．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
②记，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。
【4】如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．
（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；
（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与的函数关系式并画出该函数的图象．
【5】如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH
（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3
（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.
（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个
单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B
重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯
形为DEFH′（如图2）.
探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能， 请求出此时t的值；若不能，请说明理由.
探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系.?
【6】如图，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式；
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；
(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在,求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
【7】如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。
求抛物线的解析式；
设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
【8】已知二次函数。
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。
（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。
【9】如图，已知射线DE与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为秒．
（1）请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标；
（2）以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．
①当与射线DE有公共点时，求的取值范围；
②当为等腰三角形时，求的值．
【10】已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).
现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA
向终点A运动，设运动时间为t秒.
（1）填空：菱形ABCD的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、 高BE的长是 ▲ ；
（2）探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值。
【11】如图，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？
【12】已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.
(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；
(2)如图a，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；
(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.
【13】如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），
点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，
同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，
设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相
等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
【14】已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【15】已知平行于x轴的直线与函数和函数的图像分别交于点A和点B，又有定点P（2，0） .
（1）若，且tan∠POB=，求线段AB的长；
（2）在过A，B两点且顶点在直线上的抛物线中，已知线段AB=，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；
（3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到的图像，求点P到直线AB的距离。
【16】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时声母OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．
（1）四边形的形状是 ， 当α=90°时，的值是 ．
（2）①如图2,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时,求的值;
②如图3,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求ΔOPB′的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中,当时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=？若存在，请直接写出点P的坐标；基不存在，请说明理由．
【17】如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上．
(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
(2) 平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
【18】△与△是两个直角边都等于厘米的等腰直角三角形，M、N分别是直角边AC、BC的中点。△位置固定，△按如图叠放，使斜边在直线MN上,顶点与点M重合。等腰直角△以1厘米/秒的速度沿直线MN向右平移，直到点与点N重合。设秒时，△与△重叠部分面积为平方厘米。
（1）当△与△重叠部分面积为平方厘米时，求△移动的时间；
（2）求与的函数关系式；
（3）求△与△重叠部分面积的最大值。
A
B
C
D
E
图4
A
B
C
N
P
M
O
x
y
x=1
第1题图
O
A
E
C
B
D
图10
O
A
E
C
B
D
图9
O
A
E
C
B
D
图2
O
A
E
C
B
D
图3
A B
O F
E
D C
12题图
B
C
A
F
D
（第25题图）
B
x
y
M
C
D
O
A
图（1）
B
x
y
O
A
图（2）
B
x
y
O
A
图（3）
图2
图1
（第27题图）
x
C
O
y
A
B
D
1
1
O
x
y
E
P
D
A
B
M
C
C
A
B
N
M
图a
x
y
B
C
O
D
A
M
N
N′
x
y
B
C
O
A
M
N
备用图
（第36题图）
y
x
D
B
C
A
E
E
O
（第37题图）
(第39题图)
4
x
2
2
A
8
-2
O
-2
-4
y
6
B
C
D
-4
4
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