中考数学二轮专题复习《圆的证明与计算》
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文档简介
圆的综合证明与计算
一、考点定位：
1、圆的有关性质； 2、直线和圆的位置关系 3、与圆有关的比例线段
4. 圆和圆的位置关系 5、和圆有关的计算
二．主干梳理：
1、对称性：a：圆的对称性，虽然其它一些图形也是有，但圆有无数条对称轴这个特性其它图形所没有的，垂径定理，切线长定理，及正n边形的计算都应用到了这个特性。
b：旋转不变性，圆心角、弧、弦、弦心距关系，遇到有关圆习题，要抓住这个特性充分利用，许多问题可以找到解题思路。
2、三个角：圆心角、圆周角，以及圆内接四边形的外角(对角)这是在有关圆的问题中，找角相等必不可少的方法。
3、三个垂直：垂径定理，直径所对的圆周角，切线的性质它可以有效的把许多问题转化到直角三角形中，使问题得以解决。
4、四大关系：点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆与正多边形的关系，掌握切线的判定和性质以及有关计算是重点。
5、有关计算问题：有关线段的计算，正多边形的计算，有关扇形及阴影面积的计算，以及圆柱、圆锥侧面展开图的计算。
6、圆中添辅助线一般方法：添与垂径定理相关的辅助线，添与切线有关的辅助线(创造直角的辅助线)，添与圆内接四边形相关的辅助线;两圆相交时作公共弦，两圆相切时作公切线，总之添辅助线时，要构造和完善基本图形，切忌破坏图形的完整性。
三，例题精讲：
类型一、与圆有关的切线证明及线段求值
例1.（2011.安徽芜湖）如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作，垂足为D.
(1) 求证：CD为⊙O的切线；
(2) 若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.
例2．（2011.北京市）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，，求BC和BF的长．
例3．如图（1），∠ABC=90°，O为射线BC上一点，OB = 4，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O交BC于点D、E．
（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由．
（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M、N两点（如图（2）），MN=，求的长．
巩固练习：
1. （2011.浙江省舟山）如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．
（1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．
2. （2011.四川广安）如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是
⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证： AQ PQ= OQ BQ；
（3）设∠AOQ=．若cos=．OQ= 15．求AB的长.
3．（2010.内蒙古包头）如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）点是的中点，交于点，若，求的值．
类型二 与圆有关的证明、计算
【2011中考真题回顾与思考】
（2011深圳20题）如图9，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE。
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图10，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和。（结果保留π与根号）
（1）证明：如图2，连接AB、BC，
∵点C是劣弧AB上的中点
∴
∴CA＝CB
又∵CD＝CA
∴CB＝CD＝CA
∴在△ABD中，
∴∠ABD＝90°
∴∠ABE＝90°
∴AE是⊙O的直径
（2）解：如图3，由（1）可知，AE是⊙O的直径
∴∠ACE＝90°
∵⊙O的半径为5，AC＝4
∴AE＝10，⊙O的面积为25π
在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：
∴S△ACE＝
∴S阴影＝S⊙O－S△ACE＝
例1.（2011.广西桂林）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC中点O为圆心，
AC为直径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC．
（1）求证：D是的中点；
（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若=，且AC=4，求CF的长．
例2.（湖南永州卷）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD交小圆于M,N两点，大圆的弦AB切小圆于点C，过点C作直线CE⊥AD，垂足为E，交大圆于F,H两点．
（1）试判断线段AC与BC的大小关系，并说明理由．
（2）求证： FC CH=AE AO.
（3）若FC、CH是方程的两根（CH＞CF），求图中阴影部分图形的周长．
例3.（2011.山东潍坊）如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆的切线.在AM
上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN
相交于点F.过D点做半圆的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.
（1）求证：△ABC∽ΔOFB；
（2）当ΔABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；
（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点.
补充：圆中的相关计算
弧长公式：半径为R的圆，其周长是，将圆周分成360份，每一份弧就是1o的弧，1o弧的弧长应是圆周长的，而为，因此，的弧的弧长就是，于是得到公式：。
（1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）。
（2）扇形的周长：
（3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形OAB的面积。
S扇形=
由上面两公式可知S扇形=．可据已知条件灵活选用公式。
弓形的面积
（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB。
（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB。
巩固练习：
1.（2011.广东肇庆）已知：如图，ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于
点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC ＝∠DBA；
（2）求证：是线段AF的中点；
（3）若⊙O 的半径为5，AF＝，求tan∠ABF的值．
2.（2011 泸州）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求证：PA=PB+PC；
（3）设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度．
3.（2011.四川宜宾）已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上找到一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．
（1）求证：AC⊥BH；
（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．
4.（2009年清远）如图，已知是的直径，过点作弦的平行线，交过点的切线于点，连结．
（1）求证：；（2）若，，求的长．
5..如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为弧CF的中点，连接交于点，为△ABC的角平分线，且，垂足为点.
（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，，求的长.
类型三、圆与函数
例题分析：
例1.（2011广西崇左）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交CD于点M，连接OM，过点M作圆O的切线交边BC于点N.
(1)求证：△ODM∽△MCN；
(2)设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；
(3)在点O运动的过程中，设△CMN的周长为p，试用含x的代数式表示p，你能发现怎样
的结论？
例2.如图，已知∠=90°，线段AB=10，若点A在上滑动，点B随着线段AB在射线 上滑动，（A、B与O不重合），Rt△AOB的内切⊙K分别与OA、OB、AB切于E、F、P．
（1）在上述变化过程中：Rt△AOB的周长，⊙K的半径，△AOB外接圆半径，这几个量中不会发生变化的是什么？并简要说明理由；
（2）当AE = 4时，求⊙K的半径r；
（3）当Rt△AOB的面积为S，AE为，试求：S与之间的函数关系，并求出S最大时直角边OA的长．
巩固练习：
1.在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M作MN//BC交AC于点N，以MN为直径作⊙O，设AM=x.
（1）用含x的代数式表示△AMN的面积S；
（2）M在AB上运动，当⊙O与BC相切时（如图①），求x的值；
（3）M在AB上运动，当⊙O与BC相交时（如图②），在⊙O上取一点P，使PM//AC，连接PN，PM交BC于E，PN交BC于点F，设梯形MNFE的面积为y，求y关于x的函数关系式。
2.如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2=17,且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.
（1）求C点的坐标；
（2）以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E，求过A、B、E三点的抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABC全等？若存在，求出符合条件的P点的坐标；若不存在，说明理由.
G
B
O
D
E
C
A
图（2）
M
N
图（1）
A
B
O
C
D
E
_
Q
_
P
_
O
_
B
_
A
O
N
B
P
C
A
M
O
A
E
C
B
D
图10
O
A
E
C
B
D
图9
O
A
E
C
B
D
图2
O
A
E
C
B
D
图3
A
B
C
D
E
O
N
H
M
F
·
A
B
O
m
·
A
B
O
m
·
O
A
B
A
B
C
D
E
O
F
P
B
DA
OA
HA
CA
EA
MA
FA
A
K
O
x
y
A
B
E
F
P
O
A
M
N
B
C
图①
O
A
M
N
B
C
Ｐ
E
F
图②
A
O
E
B
G
x
C
y
E′
一、考点定位：
1、圆的有关性质； 2、直线和圆的位置关系 3、与圆有关的比例线段
4. 圆和圆的位置关系 5、和圆有关的计算
二．主干梳理：
1、对称性：a：圆的对称性，虽然其它一些图形也是有，但圆有无数条对称轴这个特性其它图形所没有的，垂径定理，切线长定理，及正n边形的计算都应用到了这个特性。
b：旋转不变性，圆心角、弧、弦、弦心距关系，遇到有关圆习题，要抓住这个特性充分利用，许多问题可以找到解题思路。
2、三个角：圆心角、圆周角，以及圆内接四边形的外角(对角)这是在有关圆的问题中，找角相等必不可少的方法。
3、三个垂直：垂径定理，直径所对的圆周角，切线的性质它可以有效的把许多问题转化到直角三角形中，使问题得以解决。
4、四大关系：点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆与正多边形的关系，掌握切线的判定和性质以及有关计算是重点。
5、有关计算问题：有关线段的计算，正多边形的计算，有关扇形及阴影面积的计算，以及圆柱、圆锥侧面展开图的计算。
6、圆中添辅助线一般方法：添与垂径定理相关的辅助线，添与切线有关的辅助线(创造直角的辅助线)，添与圆内接四边形相关的辅助线;两圆相交时作公共弦，两圆相切时作公切线，总之添辅助线时，要构造和完善基本图形，切忌破坏图形的完整性。
三，例题精讲：
类型一、与圆有关的切线证明及线段求值
例1.（2011.安徽芜湖）如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作，垂足为D.
(1) 求证：CD为⊙O的切线；
(2) 若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.
例2．（2011.北京市）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，，求BC和BF的长．
例3．如图（1），∠ABC=90°，O为射线BC上一点，OB = 4，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O交BC于点D、E．
（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由．
（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M、N两点（如图（2）），MN=，求的长．
巩固练习：
1. （2011.浙江省舟山）如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．
（1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．
2. （2011.四川广安）如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是
⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证： AQ PQ= OQ BQ；
（3）设∠AOQ=．若cos=．OQ= 15．求AB的长.
3．（2010.内蒙古包头）如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）点是的中点，交于点，若，求的值．
类型二 与圆有关的证明、计算
【2011中考真题回顾与思考】
（2011深圳20题）如图9，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE。
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图10，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和。（结果保留π与根号）
（1）证明：如图2，连接AB、BC，
∵点C是劣弧AB上的中点
∴
∴CA＝CB
又∵CD＝CA
∴CB＝CD＝CA
∴在△ABD中，
∴∠ABD＝90°
∴∠ABE＝90°
∴AE是⊙O的直径
（2）解：如图3，由（1）可知，AE是⊙O的直径
∴∠ACE＝90°
∵⊙O的半径为5，AC＝4
∴AE＝10，⊙O的面积为25π
在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：
∴S△ACE＝
∴S阴影＝S⊙O－S△ACE＝
例1.（2011.广西桂林）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC中点O为圆心，
AC为直径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC．
（1）求证：D是的中点；
（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若=，且AC=4，求CF的长．
例2.（湖南永州卷）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD交小圆于M,N两点，大圆的弦AB切小圆于点C，过点C作直线CE⊥AD，垂足为E，交大圆于F,H两点．
（1）试判断线段AC与BC的大小关系，并说明理由．
（2）求证： FC CH=AE AO.
（3）若FC、CH是方程的两根（CH＞CF），求图中阴影部分图形的周长．
例3.（2011.山东潍坊）如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆的切线.在AM
上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN
相交于点F.过D点做半圆的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.
（1）求证：△ABC∽ΔOFB；
（2）当ΔABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；
（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点.
补充：圆中的相关计算
弧长公式：半径为R的圆，其周长是，将圆周分成360份，每一份弧就是1o的弧，1o弧的弧长应是圆周长的，而为，因此，的弧的弧长就是，于是得到公式：。
（1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）。
（2）扇形的周长：
（3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形OAB的面积。
S扇形=
由上面两公式可知S扇形=．可据已知条件灵活选用公式。
弓形的面积
（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB。
（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB。
巩固练习：
1.（2011.广东肇庆）已知：如图，ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于
点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC ＝∠DBA；
（2）求证：是线段AF的中点；
（3）若⊙O 的半径为5，AF＝，求tan∠ABF的值．
2.（2011 泸州）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求证：PA=PB+PC；
（3）设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度．
3.（2011.四川宜宾）已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上找到一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．
（1）求证：AC⊥BH；
（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．
4.（2009年清远）如图，已知是的直径，过点作弦的平行线，交过点的切线于点，连结．
（1）求证：；（2）若，，求的长．
5..如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为弧CF的中点，连接交于点，为△ABC的角平分线，且，垂足为点.
（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，，求的长.
类型三、圆与函数
例题分析：
例1.（2011广西崇左）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交CD于点M，连接OM，过点M作圆O的切线交边BC于点N.
(1)求证：△ODM∽△MCN；
(2)设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；
(3)在点O运动的过程中，设△CMN的周长为p，试用含x的代数式表示p，你能发现怎样
的结论？
例2.如图，已知∠=90°，线段AB=10，若点A在上滑动，点B随着线段AB在射线 上滑动，（A、B与O不重合），Rt△AOB的内切⊙K分别与OA、OB、AB切于E、F、P．
（1）在上述变化过程中：Rt△AOB的周长，⊙K的半径，△AOB外接圆半径，这几个量中不会发生变化的是什么？并简要说明理由；
（2）当AE = 4时，求⊙K的半径r；
（3）当Rt△AOB的面积为S，AE为，试求：S与之间的函数关系，并求出S最大时直角边OA的长．
巩固练习：
1.在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M作MN//BC交AC于点N，以MN为直径作⊙O，设AM=x.
（1）用含x的代数式表示△AMN的面积S；
（2）M在AB上运动，当⊙O与BC相切时（如图①），求x的值；
（3）M在AB上运动，当⊙O与BC相交时（如图②），在⊙O上取一点P，使PM//AC，连接PN，PM交BC于E，PN交BC于点F，设梯形MNFE的面积为y，求y关于x的函数关系式。
2.如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2=17,且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.
（1）求C点的坐标；
（2）以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E，求过A、B、E三点的抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABC全等？若存在，求出符合条件的P点的坐标；若不存在，说明理由.
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图（2）
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图（1）
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图9
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图2
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图3
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