2012年高考理数真题试卷(安徽卷)
一、单选题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2016·安徽）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（ ）
A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：（z﹣i）（2﹣i）=5 z﹣i= z= +i= +i= +i=2+2i．
故选D．
【分析】复数的乘法转化为除法，化简复数方程，利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数，然后整理即可．
2．（2016·安徽）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（ ）
A．f（x）=|x| B．f （x）=x﹣|x|
C．f（x）=x+1 D．f（x）=﹣x
【答案】C
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解：f（x）=|x|，f（2x）=|2x|=2|x|=2f（x），故满足条件；
f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2（x﹣|x|）=2f（x），故满足条件；
f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2（x+1）=2f（x），故不满足条件；
f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2（﹣x）=2f（x），故满足条件；
故选C
【分析】分别根据函数解析式求出f（2x）与2f（x），看其是否相等，从而可得到所求．
3．（2016·安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：
x 1 2 4 8
y 1 2 3 4
当x=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4．
故选B．
【分析】列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果．
4．（2016·安徽）公比为 的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a16=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：∵公比为 的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，
∴ ，
∴a7=4，
∴ =32，
∴log2a16=log232=5．
故选B．
【分析】由公比为 的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，知 ，故a7=4， =32，由此能求出log2a16．
5．（2016·安徽）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【答案】C
【知识点】分布的意义和作用；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解： = ×（4+5+6+7+8）=6，
= ×（5+5+5+6+9）=6，
甲的成绩的方差为 ×（22×2+12×2）=2，
以的成绩的方差为 ×（12×3+32×1）=2.4．
故选：C．
【分析】根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数，然后利用方差公式求出甲与乙的方差，从而可得到结论．
6．（2016·安徽）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，
若a⊥b，则α⊥β不一定成立，
故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，
故选：B．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．
7．（2016·安徽）（x2+2）（ ）5的展开式的常数项是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：第一个因式取x2，第二个因式取 ，可得 =5；
第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，可得2×（﹣1）5=﹣2
∴（x2+2）（ ）5的展开式的常数项是5+（﹣2）=3
故选D．
【分析】（x2+2）（ ）5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取 ；第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，故可得结论．
8．（2016·安徽）在平面直角坐标系中，点0（0，0），P（6，8），将向量 绕点O逆时针方向旋转 后得向量 ，则点Q的坐标是（ ）
A．（﹣7 ，﹣ ） B．（﹣7 ， ）
C．（﹣4 ，﹣2） D．（﹣4 ，2）
【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：∵点0（0，0），P（6，8），
∴ ，
设 ，
则cosθ= ，sinθ= ，
∵向量 绕点逆时针方向旋转 后得向量 ，
设Q（x，y），则x=10cos（θ+ ）=10（cosθcos ﹣sinθsin ）=﹣7 ，
y=10sin（θ+ ）=10（sinθcos +cosθsin ）=﹣ ，
∴ =（﹣7 ，﹣ ）．
故选A．
【分析】由点0（0，0），P（6，8），知 ，设 ，则cosθ= ，sinθ= ，由向量 绕点逆时针方向旋转 后得向量 ，由此能求出结果．
9．（2016·安徽）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，
∵|AF|=3，
∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3
∴2+3cosθ=3
∴cosθ=
∵m=2+mcos（π﹣θ）
∴
∴△AOB的面积为S= =
故选C．
【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ= ，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．
10．（2016·安徽）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）
A．1或3 B．1或4 C．2或3 D．2或4
【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合；进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：由题意，
①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人
②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人
综上所述，收到4份纪念品的同学人数为2或4人
故选D．
【分析】由题意， ，再分类讨论：仅有甲与乙，丙没交换纪念品；仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，即可得出收到4份纪念品的同学人数．
二、填空题：把答案填在答题卡的相应位置．
11．（2016·安徽）若x，y满足约束条件 ，则x﹣y的取值范围是 ．
【答案】[﹣3，0]
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：约束条件 ，表示的可行域如图，
由 解得A（0，3）、
由 解得B（0， ）、
由 解得C（1，1）；
结合函数的图形可知，当直线y=x﹣z平移到A时，截距最大，z最小；当直线y=x﹣z平移到B时，截距最小，z最大
所以z=x﹣y在A点取得最小值，在C点取得最大值，
最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；
所以z=x﹣y的范围是[﹣3，0]．
故答案为：[﹣3，0]
【分析】画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出z=x﹣y的范围．
12．（2016·安徽）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 ．
【答案】92
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：几何体是底面为直角梯形高为4的直四棱柱，S上=S下= ；S侧= ．
几何体的表面积为 S= =92．
故答案为：92．
【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．
13．（2016·安徽）在极坐标系中，圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ= （ρ∈R）的距离是 ．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：圆ρ=4sinθ化为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4
直线θ= 化为直角坐标方程为x﹣ y=0
∴圆心到直线的距离是
故答案为：
【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，再用点到直线的距离公式，即可得到结论．
14．（2016·安徽）若平面向量 满足|2 |≤3，则 的最小值是
．
【答案】﹣
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵平面向量 满足|2 |≤3，
∴ ，
∴ ≥ =4| || |≥﹣4 ，
∴ ，
∴ ，
故 的最小值是﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【分析】由平面向量 满足|2 |≤3，知 ，故 ≥ =4| || |≥﹣4 ，由此能求出 的最小值．
15．（2016·安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①若ab＞c2，则C＜
②若a+b＞2c，则C＜
③若a3+b3=c3，则C＜
④若（a+b）c≤2ab，则C＞
⑤若（a2+b2）c2≤2a2b2，则C＞ ．
【答案】①②③
【知识点】命题的真假判断与应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：①ab＞c2 cosC= ＞ = C＜ ，故①正确；
②a+b＞2c cosC= ＞ = ≥ = C＜ ，故②正确；
③当C≥ 时，c2≥a2+b2 c3≥ca2+cb2＞a3+b3与a3+b3=c3矛盾，故③正确；
④举出反例：取a=b=c=2，满足（a+b）c≤2ab得：C= ＜ ，故④错误；
⑤举出反例：取a=b=c= ，满足（a2+b2）c2≤2a2b2，此时有C= ，故⑤错误
故答案为①②③
【分析】①利用余弦定理，将c2放大为ab，再结合均值定理即可证明cosC＞ ，从而证明C＜ ；②利用余弦定理，将c2放大为（ ）2，再结合均值定理即可证明cosC＞ ，从而证明C＜ ；③利用反证法，假设C≥ 时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确；④⑤只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．
16．（2016·安徽）设函数f（x）= cos（2x+ ）+sin2x
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+ ）=g（x），且当x∈[0， ]时，g（x）= ﹣f（x），求g（x）在区间[﹣π，0]上的解析式．
【答案】解：函数f（x）= cos（2x+ ）+sin2x
= cos2x﹣ sin2x+ （1﹣cos2x）= ﹣ sin2x．
（Ⅰ）函数的最小正周期为T= =π．
（Ⅱ）当x∈[0， ]时g（x）= = sin2x．
当x∈[﹣ ，0]时，x+ ∈[0， ]，g（x）=g（x+ ）= sin2（x+ ）=﹣ sin2x．
当x∈[ ）时，x+π∈[0， ]，g（x）=g（x+π）= sin2（x+π）= sin2x．
g（x）在区间[﹣π，0]上的解析式：g（x）= ．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【分析】利用两角和的余弦函数以及二倍角公式化简函数的表达式，
（Ⅰ）直接利用周期公式求解即可．（Ⅱ）求出函数g（x）的周期，利用x∈[0， ]时，g（x）= ﹣f（x），对x分类求出函数的解析式即可．
17．（2016·安徽）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n+m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量．
（Ⅰ）求X=n+2的概率；
（Ⅱ）设m=n，求X的分布列和均值（数学期望）
【答案】解：（Ⅰ）X=n+2表示两次调题均为A类试题，其概率为 =
（Ⅱ）设m=n，则每次调用的是A类型试题的概率为
随机变量X可取n，n+1，n+2
P（X=n）=（1﹣p）2= ；P（X=n+1）=p（1﹣p（1﹣p）p= ，P（X=n+2）=p2=
分布列如下
X n n+1 n+2
P
∴E（X）=n× +（n+1）× +（n+2）× =n+1
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，可知X=n+2表示两次调题均为A类试题，故可求概率；（Ⅱ）设m=n，则每次调用的是A类型试题的概率为 ，随机变量X可取n，n+1，n+2，求出相应的概率，即可得到X的分布列和均值．
18．（2016·安徽）平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC= ，A1B1=A1C1= ．现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A2A，A2B，A2C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．
（Ⅰ）证明：AA1⊥BC；
（Ⅱ）求AA1的长；
（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．
【答案】证明：（Ⅰ）取BC，B1C1的中点为点O，O1，连接AO，OO1，A1O，A1O1，∵AB=AC，∴AO⊥BC∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC∴AO⊥平面BB1C1C同理A1O1⊥平面BB1C1C，∴AO∥A1O1，∴A、O、A1、O1共面∵OO1⊥BC，AO⊥BC，OO1∩AO=O，∴BC⊥平面OO1A1A∵AA1 平面OO1A1A，∴AA1⊥BC；（Ⅱ）解：延长A1O1到D，使O1D=OA，则∵O1D∥OA，∴AD∥OO1，AD=OO1，∵OO1⊥BC，平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，平面A1B1C1∩平面BB1C1C=B1C1，∴OO1⊥面A1B1C1，∵AD∥OO1，∴AD⊥面A1B1C1，∵AD=BB1=4，A1D=A1O1+O1D=2+1=3∴AA1= =5；（Ⅲ）解：∵AO⊥BC，A1O⊥BC，∴∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角在直角△OO1A1中，A1O= 在△OAA1中，cos∠AOA1=﹣ ∴二面角A﹣BC﹣A1的余弦值为﹣ ．
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）证明AA1⊥BC，只需证明BC⊥平面OO1A1A，取BC，B1C1的中点为点O，O1，连接AO，OO1，A1O，A1O1，即可证得；（Ⅱ）延长A1O1到D，使O1D=OA，则可得AD∥OO1，AD=OO1，可证OO1⊥面A1B1C1，从而AD⊥面A1B1C1，即可求AA1的长；（Ⅲ）证明∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角，在△OAA1中，利用余弦定理，可求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．
19．（2016·安徽）设函数f（x）=aex+ +b（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）内的最小值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y= ，求a，b的值．
【答案】解：（Ⅰ）设t=ex（t≥1），则
∴
①当a≥1时，y′≥0，∴ 在t≥1上是增函数，
∴当t=1（x=0）时，f（x）的最小值为
②当0＜a＜1时， ，当且仅当at=1（x=﹣lna）时，f（x）的最小值为b+2；
（Ⅱ）求导函数，可得）
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y= ，
∴ ，即 ，解得
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（Ⅰ）设t=ex（t≥1），则 ，求出导函数 ，再进行分类讨论：①当a≥1时，y′＞0， 在t≥1上是增函数；②当0＜a＜1时，利用基本不等式 ，当且仅当at=1（x=﹣lna）时，f（x）取得最小值；（Ⅱ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y= ，建立方程组，即可求得a，b的值．
20．（2016·安徽）如图，点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C： （a＞b＞0）的左右焦点，经过F1做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2垂线交直线 于点Q．
（Ⅰ）如果点Q的坐标是（4，4），求此时椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．
【答案】解：（Ⅰ）将点P（﹣c，y1）（y1＞0）代入 得
∴P
∵点Q的坐标是（4，4），PF2⊥QF2
∴
∵
∴a=2，c=1，b=
∴椭圆C的方程为 ；
（Ⅱ）证明：设Q ，∵PF2⊥QF2
∴
∴y2=2a
∴
∵P ，∴
∵ ，∴
∴y′=
∴当x=﹣c时，y′= =
∴直线PQ与椭圆C只有一个交点
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）将点P（﹣c，y1）（y1＞0）代入 ，可求得P ，根据点Q的坐标是（4，4），PF1⊥QF2，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）利用PF1⊥QF2，求得 ，从而可求 ，又 ，求导函数，可得x=﹣c时，y′= = ，故可知直线PQ与椭圆C只有一个交点．
21．（2016·安徽）数列{xn}满足x1=0，xn+1=﹣x2n+xn+c（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）求c的取值范围，使{xn}是递增数列．
【答案】解：（Ⅰ）当c＜0时，xn+1=﹣x2n+xn+c＜xn，
∴{xn}是单调递减数列
充分条件
当{xn}是单调递减数列时
x1=0＞x2=﹣x21+x1+c
∴c＜0
综上{xn}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0
①当c=0时，xn=x1=0，此时数列为常数列，不符合题意；
②当c＞0时，x2=c＞x1=0，x3=﹣c2+2c＞x2=c
∴0＜c＜1
0=x1≤xn＜ ， =﹣（xn+1﹣xn）（xn+1+xn﹣1），
当0＜c 时， xn﹣xn+1+1＞0 xn+2﹣xn+1﹣1＜0， xn+2﹣xn+1与xn+1﹣xn同号，
由x2﹣x1=c＞0 xn+1﹣xn＞0 xn+1＞xn．
= ．
当c 时，存在N使xN xN+xN+1＞1 xN+2﹣xN+1与xN+1﹣xN异号，
与数列{xn}是从递减数列矛盾．
所以当0＜c 时，数列{xn}是递增数列
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性；数列的递推公式；数列与函数的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）通过证明必要条件与充分条件，推出{xn}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；（Ⅱ）由（I）得，c≥0，通过①当c=0时，②当c＞0时，推出0＜c＜1，当c 时，证明xn+1＞xn． = ．当c 时，说明数列{xn}是从递减数列矛盾．得到0＜c 时，数列{xn}是递增数列．
1 / 12012年高考理数真题试卷(安徽卷)
一、单选题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2016·安徽）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（ ）
A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i
2．（2016·安徽）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（ ）
A．f（x）=|x| B．f （x）=x﹣|x|
C．f（x）=x+1 D．f（x）=﹣x
3．（2016·安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
4．（2016·安徽）公比为 的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a16=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2016·安徽）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
6．（2016·安徽）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2016·安徽）（x2+2）（ ）5的展开式的常数项是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
8．（2016·安徽）在平面直角坐标系中，点0（0，0），P（6，8），将向量 绕点O逆时针方向旋转 后得向量 ，则点Q的坐标是（ ）
A．（﹣7 ，﹣ ） B．（﹣7 ， ）
C．（﹣4 ，﹣2） D．（﹣4 ，2）
9．（2016·安徽）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（ ）
A． B． C． D．2
10．（2016·安徽）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）
A．1或3 B．1或4 C．2或3 D．2或4
二、填空题：把答案填在答题卡的相应位置．
11．（2016·安徽）若x，y满足约束条件 ，则x﹣y的取值范围是 ．
12．（2016·安徽）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 ．
13．（2016·安徽）在极坐标系中，圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ= （ρ∈R）的距离是 ．
14．（2016·安徽）若平面向量 满足|2 |≤3，则 的最小值是
．
15．（2016·安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①若ab＞c2，则C＜
②若a+b＞2c，则C＜
③若a3+b3=c3，则C＜
④若（a+b）c≤2ab，则C＞
⑤若（a2+b2）c2≤2a2b2，则C＞ ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．
16．（2016·安徽）设函数f（x）= cos（2x+ ）+sin2x
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+ ）=g（x），且当x∈[0， ]时，g（x）= ﹣f（x），求g（x）在区间[﹣π，0]上的解析式．
17．（2016·安徽）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n+m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量．
（Ⅰ）求X=n+2的概率；
（Ⅱ）设m=n，求X的分布列和均值（数学期望）
18．（2016·安徽）平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC= ，A1B1=A1C1= ．现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A2A，A2B，A2C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．
（Ⅰ）证明：AA1⊥BC；
（Ⅱ）求AA1的长；
（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．
19．（2016·安徽）设函数f（x）=aex+ +b（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）内的最小值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y= ，求a，b的值．
20．（2016·安徽）如图，点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C： （a＞b＞0）的左右焦点，经过F1做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2垂线交直线 于点Q．
（Ⅰ）如果点Q的坐标是（4，4），求此时椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．
21．（2016·安徽）数列{xn}满足x1=0，xn+1=﹣x2n+xn+c（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）求c的取值范围，使{xn}是递增数列．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：（z﹣i）（2﹣i）=5 z﹣i= z= +i= +i= +i=2+2i．
故选D．
【分析】复数的乘法转化为除法，化简复数方程，利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数，然后整理即可．
2．【答案】C
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解：f（x）=|x|，f（2x）=|2x|=2|x|=2f（x），故满足条件；
f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2（x﹣|x|）=2f（x），故满足条件；
f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2（x+1）=2f（x），故不满足条件；
f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2（﹣x）=2f（x），故满足条件；
故选C
【分析】分别根据函数解析式求出f（2x）与2f（x），看其是否相等，从而可得到所求．
3．【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：
x 1 2 4 8
y 1 2 3 4
当x=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4．
故选B．
【分析】列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果．
4．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：∵公比为 的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，
∴ ，
∴a7=4，
∴ =32，
∴log2a16=log232=5．
故选B．
【分析】由公比为 的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，知 ，故a7=4， =32，由此能求出log2a16．
5．【答案】C
【知识点】分布的意义和作用；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解： = ×（4+5+6+7+8）=6，
= ×（5+5+5+6+9）=6，
甲的成绩的方差为 ×（22×2+12×2）=2，
以的成绩的方差为 ×（12×3+32×1）=2.4．
故选：C．
【分析】根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数，然后利用方差公式求出甲与乙的方差，从而可得到结论．
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，
若a⊥b，则α⊥β不一定成立，
故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，
故选：B．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．
7．【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：第一个因式取x2，第二个因式取 ，可得 =5；
第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，可得2×（﹣1）5=﹣2
∴（x2+2）（ ）5的展开式的常数项是5+（﹣2）=3
故选D．
【分析】（x2+2）（ ）5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取 ；第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，故可得结论．
8．【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：∵点0（0，0），P（6，8），
∴ ，
设 ，
则cosθ= ，sinθ= ，
∵向量 绕点逆时针方向旋转 后得向量 ，
设Q（x，y），则x=10cos（θ+ ）=10（cosθcos ﹣sinθsin ）=﹣7 ，
y=10sin（θ+ ）=10（sinθcos +cosθsin ）=﹣ ，
∴ =（﹣7 ，﹣ ）．
故选A．
【分析】由点0（0，0），P（6，8），知 ，设 ，则cosθ= ，sinθ= ，由向量 绕点逆时针方向旋转 后得向量 ，由此能求出结果．
9．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，
∵|AF|=3，
∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3
∴2+3cosθ=3
∴cosθ=
∵m=2+mcos（π﹣θ）
∴
∴△AOB的面积为S= =
故选C．
【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ= ，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．
10．【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合；进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：由题意，
①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人
②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人
综上所述，收到4份纪念品的同学人数为2或4人
故选D．
【分析】由题意， ，再分类讨论：仅有甲与乙，丙没交换纪念品；仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，即可得出收到4份纪念品的同学人数．
11．【答案】[﹣3，0]
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：约束条件 ，表示的可行域如图，
由 解得A（0，3）、
由 解得B（0， ）、
由 解得C（1，1）；
结合函数的图形可知，当直线y=x﹣z平移到A时，截距最大，z最小；当直线y=x﹣z平移到B时，截距最小，z最大
所以z=x﹣y在A点取得最小值，在C点取得最大值，
最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；
所以z=x﹣y的范围是[﹣3，0]．
故答案为：[﹣3，0]
【分析】画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出z=x﹣y的范围．
12．【答案】92
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：几何体是底面为直角梯形高为4的直四棱柱，S上=S下= ；S侧= ．
几何体的表面积为 S= =92．
故答案为：92．
【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．
13．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：圆ρ=4sinθ化为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4
直线θ= 化为直角坐标方程为x﹣ y=0
∴圆心到直线的距离是
故答案为：
【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，再用点到直线的距离公式，即可得到结论．
14．【答案】﹣
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵平面向量 满足|2 |≤3，
∴ ，
∴ ≥ =4| || |≥﹣4 ，
∴ ，
∴ ，
故 的最小值是﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【分析】由平面向量 满足|2 |≤3，知 ，故 ≥ =4| || |≥﹣4 ，由此能求出 的最小值．
15．【答案】①②③
【知识点】命题的真假判断与应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：①ab＞c2 cosC= ＞ = C＜ ，故①正确；
②a+b＞2c cosC= ＞ = ≥ = C＜ ，故②正确；
③当C≥ 时，c2≥a2+b2 c3≥ca2+cb2＞a3+b3与a3+b3=c3矛盾，故③正确；
④举出反例：取a=b=c=2，满足（a+b）c≤2ab得：C= ＜ ，故④错误；
⑤举出反例：取a=b=c= ，满足（a2+b2）c2≤2a2b2，此时有C= ，故⑤错误
故答案为①②③
【分析】①利用余弦定理，将c2放大为ab，再结合均值定理即可证明cosC＞ ，从而证明C＜ ；②利用余弦定理，将c2放大为（ ）2，再结合均值定理即可证明cosC＞ ，从而证明C＜ ；③利用反证法，假设C≥ 时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确；④⑤只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形
16．【答案】解：函数f（x）= cos（2x+ ）+sin2x
= cos2x﹣ sin2x+ （1﹣cos2x）= ﹣ sin2x．
（Ⅰ）函数的最小正周期为T= =π．
（Ⅱ）当x∈[0， ]时g（x）= = sin2x．
当x∈[﹣ ，0]时，x+ ∈[0， ]，g（x）=g（x+ ）= sin2（x+ ）=﹣ sin2x．
当x∈[ ）时，x+π∈[0， ]，g（x）=g（x+π）= sin2（x+π）= sin2x．
g（x）在区间[﹣π，0]上的解析式：g（x）= ．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【分析】利用两角和的余弦函数以及二倍角公式化简函数的表达式，
（Ⅰ）直接利用周期公式求解即可．（Ⅱ）求出函数g（x）的周期，利用x∈[0， ]时，g（x）= ﹣f（x），对x分类求出函数的解析式即可．
17．【答案】解：（Ⅰ）X=n+2表示两次调题均为A类试题，其概率为 =
（Ⅱ）设m=n，则每次调用的是A类型试题的概率为
随机变量X可取n，n+1，n+2
P（X=n）=（1﹣p）2= ；P（X=n+1）=p（1﹣p（1﹣p）p= ，P（X=n+2）=p2=
分布列如下
X n n+1 n+2
P
∴E（X）=n× +（n+1）× +（n+2）× =n+1
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，可知X=n+2表示两次调题均为A类试题，故可求概率；（Ⅱ）设m=n，则每次调用的是A类型试题的概率为 ，随机变量X可取n，n+1，n+2，求出相应的概率，即可得到X的分布列和均值．
18．【答案】证明：（Ⅰ）取BC，B1C1的中点为点O，O1，连接AO，OO1，A1O，A1O1，∵AB=AC，∴AO⊥BC∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC∴AO⊥平面BB1C1C同理A1O1⊥平面BB1C1C，∴AO∥A1O1，∴A、O、A1、O1共面∵OO1⊥BC，AO⊥BC，OO1∩AO=O，∴BC⊥平面OO1A1A∵AA1 平面OO1A1A，∴AA1⊥BC；（Ⅱ）解：延长A1O1到D，使O1D=OA，则∵O1D∥OA，∴AD∥OO1，AD=OO1，∵OO1⊥BC，平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，平面A1B1C1∩平面BB1C1C=B1C1，∴OO1⊥面A1B1C1，∵AD∥OO1，∴AD⊥面A1B1C1，∵AD=BB1=4，A1D=A1O1+O1D=2+1=3∴AA1= =5；（Ⅲ）解：∵AO⊥BC，A1O⊥BC，∴∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角在直角△OO1A1中，A1O= 在△OAA1中，cos∠AOA1=﹣ ∴二面角A﹣BC﹣A1的余弦值为﹣ ．
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）证明AA1⊥BC，只需证明BC⊥平面OO1A1A，取BC，B1C1的中点为点O，O1，连接AO，OO1，A1O，A1O1，即可证得；（Ⅱ）延长A1O1到D，使O1D=OA，则可得AD∥OO1，AD=OO1，可证OO1⊥面A1B1C1，从而AD⊥面A1B1C1，即可求AA1的长；（Ⅲ）证明∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角，在△OAA1中，利用余弦定理，可求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．
19．【答案】解：（Ⅰ）设t=ex（t≥1），则
∴
①当a≥1时，y′≥0，∴ 在t≥1上是增函数，
∴当t=1（x=0）时，f（x）的最小值为
②当0＜a＜1时， ，当且仅当at=1（x=﹣lna）时，f（x）的最小值为b+2；
（Ⅱ）求导函数，可得）
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y= ，
∴ ，即 ，解得
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（Ⅰ）设t=ex（t≥1），则 ，求出导函数 ，再进行分类讨论：①当a≥1时，y′＞0， 在t≥1上是增函数；②当0＜a＜1时，利用基本不等式 ，当且仅当at=1（x=﹣lna）时，f（x）取得最小值；（Ⅱ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y= ，建立方程组，即可求得a，b的值．
20．【答案】解：（Ⅰ）将点P（﹣c，y1）（y1＞0）代入 得
∴P
∵点Q的坐标是（4，4），PF2⊥QF2
∴
∵
∴a=2，c=1，b=
∴椭圆C的方程为 ；
（Ⅱ）证明：设Q ，∵PF2⊥QF2
∴
∴y2=2a
∴
∵P ，∴
∵ ，∴
∴y′=
∴当x=﹣c时，y′= =
∴直线PQ与椭圆C只有一个交点
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）将点P（﹣c，y1）（y1＞0）代入 ，可求得P ，根据点Q的坐标是（4，4），PF1⊥QF2，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）利用PF1⊥QF2，求得 ，从而可求 ，又 ，求导函数，可得x=﹣c时，y′= = ，故可知直线PQ与椭圆C只有一个交点．
21．【答案】解：（Ⅰ）当c＜0时，xn+1=﹣x2n+xn+c＜xn，
∴{xn}是单调递减数列
充分条件
当{xn}是单调递减数列时
x1=0＞x2=﹣x21+x1+c
∴c＜0
综上{xn}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0
①当c=0时，xn=x1=0，此时数列为常数列，不符合题意；
②当c＞0时，x2=c＞x1=0，x3=﹣c2+2c＞x2=c
∴0＜c＜1
0=x1≤xn＜ ， =﹣（xn+1﹣xn）（xn+1+xn﹣1），
当0＜c 时， xn﹣xn+1+1＞0 xn+2﹣xn+1﹣1＜0， xn+2﹣xn+1与xn+1﹣xn同号，
由x2﹣x1=c＞0 xn+1﹣xn＞0 xn+1＞xn．
= ．
当c 时，存在N使xN xN+xN+1＞1 xN+2﹣xN+1与xN+1﹣xN异号，
与数列{xn}是从递减数列矛盾．
所以当0＜c 时，数列{xn}是递增数列
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性；数列的递推公式；数列与函数的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）通过证明必要条件与充分条件，推出{xn}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；（Ⅱ）由（I）得，c≥0，通过①当c=0时，②当c＞0时，推出0＜c＜1，当c 时，证明xn+1＞xn． = ．当c 时，说明数列{xn}是从递减数列矛盾．得到0＜c 时，数列{xn}是递增数列．
1 / 1
