2012年高考理数真题试卷（北京卷）
一、选择题
1．（2012·北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1， ）
C．﹙ ，3﹚ D．（3，+∞）
【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，
又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x }，
所以A∩B={x|x }∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，
故选：D．
【分析】求出集合B，然后直接求解A∩B．
2．（2012·北京）设不等式组 ，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型
【解析】【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，
满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，
面积为 =4﹣π，
∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=
故选：D．
【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．
3．（2012·北京）设a，b∈R．“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念
【解析】【解答】解：因为a，b∈R．“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”．
“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立．
所以a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
故选B．
【分析】利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件．
4．（2012·北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，
第2次判断后S=2，k=2，
第3次判断后S=8，k=3，
第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．
故选C．
【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．
5．（2012·北京）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（ ）
A．CE CB=AD DB B．CE CB=AD AB
C．AD AB=CD2 D．CE EB=CD2
【答案】A
【知识点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：连接DE，
∵以BD为直径的圆与BC交于点E，
∴DE⊥BE，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴△ACD∽△CBD，
∴ ，
∴CD2=AD BD．
∵CD2=CE CB，
∴CE CB=AD BD，
故选A．
【分析】连接DE，以BD为直径的圆与BC交于点E，DE⊥BE，由∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，△ACD∽△CBD，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出CE CB=AD BD．
6．（2012·北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
【答案】B
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有 =6种；
从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有 =6种；
2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有 =6种；
故共有3 =18种
故选B．
【分析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．
7．（2012·北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，
一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，
所以S底= =10，
S后= ，
S右= =10，
S左= =6 ．
几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6 ．
故选：B．
【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．
8．（2012·北京）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的表示方法
【解析】【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点
则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率
由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大
即前9年的年平均产量最高，
故选C
【分析】由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．
二、填空题
9．（2012·北京）直线 （t为参数）与曲线 （α为参数）的交点个数为 ．
【答案】2
【知识点】直线与圆的位置关系；直线的参数方程；圆的参数方程
【解析】【解答】解：直线 （t为参数）化为普通方程为x+y﹣1=0
曲线 （α为参数）化为普通方程为x2+y2=9
∵圆心（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离为d=
∴直线与圆有两个交点
故答案为：2
【分析】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．
10．（2012·北京）已知﹛an﹜是等差数列，sn为其前n项和．若a1= ，s2=a3，则a2= ．
【答案】1
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵﹛an﹜是等差数列，a1= ，S2=a3，
∴ + +d= +2d，
解得d= ，
a2= + =1．
故答案为：1．
【分析】由﹛an﹜是等差数列，a1= ，S2=a3，知 + +d= +2d，解得d= ，由此能求出a2．
11．（2012·北京）在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣ ，则b= ．
【答案】4
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣ ，
∴
∴b=4
故答案为：4
【分析】根据a=2，b+c=7，cosB=﹣ ，利用余弦定理可得 ，即可求得b的值．
12．（2012·北京）在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2=4x的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为 ．
【答案】
【知识点】直线的倾斜角；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）
∵直线l过F，倾斜角为60°
∴直线l的方程为： ，即
代入抛物线方程，化简可得
∴y=2 ，或y=﹣
∵A在x轴上方
∴△OAF的面积为 =
故答案为：
【分析】确定直线l的方程，代入抛物线方程，确定A的坐标，从而可求△OAF的面积．
13．（2012·北京）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则 的值为 ．
【答案】1
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为 = = = =1．
故答案为：1
【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可．
14．（2012·北京）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：
① x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
② x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．
则m的取值范围是
【答案】（﹣4，﹣2）
【知识点】全称量词命题；二次函数的性质；指数函数综合题
【解析】【解答】解：对于①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，
又∵① x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面
则
∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0
又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0
∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立
∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，
（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，
（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，
（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．
综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．
故答案为：（﹣4，﹣2）．
【分析】①由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求
②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求
三、解答题。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（2012·北京）已知函数f（x）= ．
（1）求f（x）的定义域及最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【答案】（1）解：
=sin2x﹣1﹣cos2x= sin（2x﹣ ）﹣1 k∈π，k∈Z}
原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π
（2）解：由 ，k∈Z，
解得 ，k∈π，k∈Z}，
原函数的单调递增区间为 ，k∈Z， ，k∈Z
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期．（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．
16．（2012·北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．
（1）求证：A1C⊥平面BCDE；
（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．
【答案】（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，
∴DE⊥平面A1CD，
又∵A1C 平面A1CD，∴A1C⊥DE
又A1C⊥CD，CD∩DE=D
∴A1C⊥平面BCDE
（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2 ），B（0，3，0），E（﹣2，2，0）
∴ ，
设平面A1BE法向量为
则 ∴∴
∴
又∵M（﹣1，0， ），∴ =（﹣1，0， ）
∴
∴CM与平面A1BE所成角的大小45°
（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]
∴ ，
设平面A1DP法向量为
则 ∴
∴
假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则 ，
∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2
∵0≤a≤3
∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量 ， =（﹣1，0， ），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为
假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则 ，可求得0≤a≤3，从而可得结论．
17．（2012·北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
（求：S2= [ + +…+ ]，其中 为数据x1，x2，…，xn的平均数）
【答案】（1）解：由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为
（2）解：由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为
（3）解：由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200
∴ = ，
∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000
【知识点】极差、方差与标准差；模拟方法估计概率
【解析】【分析】（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得 = ，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．
18．（2012·北京）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；
（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．
【答案】（1）解：f（x）=ax2+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：
（2）解：由题设a2=4b，设
则 ，令h'（x）=0，解得： ， ；
∵a＞0，∴ ，
x （﹣∞，﹣ ） ﹣ - ）
h′（x） + ﹣ +
h（x） 极大值 极小值
∴原函数在（﹣∞，﹣ ）单调递增，在 单调递减，在 ）上单调递增
①若 ，即0＜a≤2时，最大值为 ；
②若 ＜﹣ ，即2＜a＜6时，最大值为
③若﹣1≥﹣ 时，即a≥6时，最大值为h（﹣ ）=1
综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为 ；当a∈（2，+∞）时，最大值为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）根据a2=4b，构建函数 ，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．
19．（2012·北京）已知曲线C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2=8（m∈R）
（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；
（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．
【答案】（1）解：原曲线方程可化简得：
由题意，曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得： ，解得：
（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3）＞0，解得：
由韦达定理得： ①， ，②
设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程为： ，则 ，
∴ ， =（xN，kxN+2），
欲证A，G，N三点共线，只需证 ， 共线
即 成立，化简得：（3k+k）xMxN=﹣6（xM+xN）
将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m的取值范围；（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3），解得： ，设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程为： ，则 ，从而可得 ， =（xN，kxN+2），欲证A，G，N三点共线，只需证 ， 共线，利用韦达定理，可以证明．
20．（2012·北京）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记ri（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表A，求K（A）的值；
1 1 ﹣0.8
0.1 ﹣0.3 ﹣1
（2）设数表A∈S（2，3）形如
1 1 c
a b ﹣1
求K（A）的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．
【答案】（1）解：由题意可知r1（A）=1.2，r2（A）=﹣1.2，c1（A）=1.1，c2（A）=0.7，c3（A）=﹣1.8
∴K（A）=0.7
（2）解：先用反证法证明k（A）≤1：
若k（A）＞1
则|c1（A）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0
同理可知b＞0，∴a+b＞0
由题目所有数和为0
即a+b+c=﹣1
∴c=﹣1﹣a﹣b＜﹣1
与题目条件矛盾
∴k（A）≤1．
易知当a=b=0时，k（A）=1存在
∴k（A）的最大值为1
（3）解：k（A）的最大值为 ．
首先构造满足 的A={ai，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）： ， ．
经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ， ， ．
下面证明 是最大值．若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得 ．
由k（A）的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x，2]中．由于x＞1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x﹣1．
设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g＜h，则g≤t，h≥t+1．另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负．
考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x﹣1（即每个负数均不超过1﹣x）．因此|r1（A）|=r1（A）≤t 1+（t+1）（1﹣x）=2t+1﹣（t+1）x=x+（2t+1﹣（t+2）x）＜x，
故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾．因此k（A）的最大值为
【知识点】进行简单的合情推理；进行简单的演绎推理
【解析】【分析】（1）根据ri（A），Cj（A），定义求出r1（A），r2（A），c1（A），c2（A），c3（A），再根据K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|R3（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|C3（A）|中的最小值，即可求出所求．（2）先用反证法证明k（A）≤1，然后证明k（A）=1存在即可；（3）首先构造满足 的A={ai，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后证明 是最大值即可．
1 / 12012年高考理数真题试卷（北京卷）
一、选择题
1．（2012·北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1， ）
C．﹙ ，3﹚ D．（3，+∞）
2．（2012·北京）设不等式组 ，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2012·北京）设a，b∈R．“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2012·北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．（2012·北京）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（ ）
A．CE CB=AD DB B．CE CB=AD AB
C．AD AB=CD2 D．CE EB=CD2
6．（2012·北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
7．（2012·北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12
8．（2012·北京）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
二、填空题
9．（2012·北京）直线 （t为参数）与曲线 （α为参数）的交点个数为 ．
10．（2012·北京）已知﹛an﹜是等差数列，sn为其前n项和．若a1= ，s2=a3，则a2= ．
11．（2012·北京）在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣ ，则b= ．
12．（2012·北京）在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2=4x的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为 ．
13．（2012·北京）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则 的值为 ．
14．（2012·北京）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：
① x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
② x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．
则m的取值范围是
三、解答题。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（2012·北京）已知函数f（x）= ．
（1）求f（x）的定义域及最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．
16．（2012·北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．
（1）求证：A1C⊥平面BCDE；
（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．
17．（2012·北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
（求：S2= [ + +…+ ]，其中 为数据x1，x2，…，xn的平均数）
18．（2012·北京）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；
（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．
19．（2012·北京）已知曲线C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2=8（m∈R）
（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；
（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．
20．（2012·北京）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记ri（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表A，求K（A）的值；
1 1 ﹣0.8
0.1 ﹣0.3 ﹣1
（2）设数表A∈S（2，3）形如
1 1 c
a b ﹣1
求K（A）的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，
又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x }，
所以A∩B={x|x }∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，
故选：D．
【分析】求出集合B，然后直接求解A∩B．
2．【答案】D
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型
【解析】【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，
满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，
面积为 =4﹣π，
∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=
故选：D．
【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念
【解析】【解答】解：因为a，b∈R．“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”．
“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立．
所以a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
故选B．
【分析】利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件．
4．【答案】C
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，
第2次判断后S=2，k=2，
第3次判断后S=8，k=3，
第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．
故选C．
【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．
5．【答案】A
【知识点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：连接DE，
∵以BD为直径的圆与BC交于点E，
∴DE⊥BE，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴△ACD∽△CBD，
∴ ，
∴CD2=AD BD．
∵CD2=CE CB，
∴CE CB=AD BD，
故选A．
【分析】连接DE，以BD为直径的圆与BC交于点E，DE⊥BE，由∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，△ACD∽△CBD，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出CE CB=AD BD．
6．【答案】B
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有 =6种；
从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有 =6种；
2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有 =6种；
故共有3 =18种
故选B．
【分析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．
7．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，
一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，
所以S底= =10，
S后= ，
S右= =10，
S左= =6 ．
几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6 ．
故选：B．
【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．
8．【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的表示方法
【解析】【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点
则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率
由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大
即前9年的年平均产量最高，
故选C
【分析】由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．
9．【答案】2
【知识点】直线与圆的位置关系；直线的参数方程；圆的参数方程
【解析】【解答】解：直线 （t为参数）化为普通方程为x+y﹣1=0
曲线 （α为参数）化为普通方程为x2+y2=9
∵圆心（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离为d=
∴直线与圆有两个交点
故答案为：2
【分析】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．
10．【答案】1
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵﹛an﹜是等差数列，a1= ，S2=a3，
∴ + +d= +2d，
解得d= ，
a2= + =1．
故答案为：1．
【分析】由﹛an﹜是等差数列，a1= ，S2=a3，知 + +d= +2d，解得d= ，由此能求出a2．
11．【答案】4
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣ ，
∴
∴b=4
故答案为：4
【分析】根据a=2，b+c=7，cosB=﹣ ，利用余弦定理可得 ，即可求得b的值．
12．【答案】
【知识点】直线的倾斜角；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）
∵直线l过F，倾斜角为60°
∴直线l的方程为： ，即
代入抛物线方程，化简可得
∴y=2 ，或y=﹣
∵A在x轴上方
∴△OAF的面积为 =
故答案为：
【分析】确定直线l的方程，代入抛物线方程，确定A的坐标，从而可求△OAF的面积．
13．【答案】1
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为 = = = =1．
故答案为：1
【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可．
14．【答案】（﹣4，﹣2）
【知识点】全称量词命题；二次函数的性质；指数函数综合题
【解析】【解答】解：对于①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，
又∵① x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面
则
∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0
又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0
∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立
∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，
（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，
（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，
（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．
综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．
故答案为：（﹣4，﹣2）．
【分析】①由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求
②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求
15．【答案】（1）解：
=sin2x﹣1﹣cos2x= sin（2x﹣ ）﹣1 k∈π，k∈Z}
原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π
（2）解：由 ，k∈Z，
解得 ，k∈π，k∈Z}，
原函数的单调递增区间为 ，k∈Z， ，k∈Z
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期．（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．
16．【答案】（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，
∴DE⊥平面A1CD，
又∵A1C 平面A1CD，∴A1C⊥DE
又A1C⊥CD，CD∩DE=D
∴A1C⊥平面BCDE
（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2 ），B（0，3，0），E（﹣2，2，0）
∴ ，
设平面A1BE法向量为
则 ∴∴
∴
又∵M（﹣1，0， ），∴ =（﹣1，0， ）
∴
∴CM与平面A1BE所成角的大小45°
（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]
∴ ，
设平面A1DP法向量为
则 ∴
∴
假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则 ，
∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2
∵0≤a≤3
∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量 ， =（﹣1，0， ），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为
假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则 ，可求得0≤a≤3，从而可得结论．
17．【答案】（1）解：由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为
（2）解：由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为
（3）解：由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200
∴ = ，
∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000
【知识点】极差、方差与标准差；模拟方法估计概率
【解析】【分析】（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得 = ，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．
18．【答案】（1）解：f（x）=ax2+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：
（2）解：由题设a2=4b，设
则 ，令h'（x）=0，解得： ， ；
∵a＞0，∴ ，
x （﹣∞，﹣ ） ﹣ - ）
h′（x） + ﹣ +
h（x） 极大值 极小值
∴原函数在（﹣∞，﹣ ）单调递增，在 单调递减，在 ）上单调递增
①若 ，即0＜a≤2时，最大值为 ；
②若 ＜﹣ ，即2＜a＜6时，最大值为
③若﹣1≥﹣ 时，即a≥6时，最大值为h（﹣ ）=1
综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为 ；当a∈（2，+∞）时，最大值为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）根据a2=4b，构建函数 ，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．
19．【答案】（1）解：原曲线方程可化简得：
由题意，曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得： ，解得：
（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3）＞0，解得：
由韦达定理得： ①， ，②
设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程为： ，则 ，
∴ ， =（xN，kxN+2），
欲证A，G，N三点共线，只需证 ， 共线
即 成立，化简得：（3k+k）xMxN=﹣6（xM+xN）
将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m的取值范围；（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3），解得： ，设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程为： ，则 ，从而可得 ， =（xN，kxN+2），欲证A，G，N三点共线，只需证 ， 共线，利用韦达定理，可以证明．
20．【答案】（1）解：由题意可知r1（A）=1.2，r2（A）=﹣1.2，c1（A）=1.1，c2（A）=0.7，c3（A）=﹣1.8
∴K（A）=0.7
（2）解：先用反证法证明k（A）≤1：
若k（A）＞1
则|c1（A）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0
同理可知b＞0，∴a+b＞0
由题目所有数和为0
即a+b+c=﹣1
∴c=﹣1﹣a﹣b＜﹣1
与题目条件矛盾
∴k（A）≤1．
易知当a=b=0时，k（A）=1存在
∴k（A）的最大值为1
（3）解：k（A）的最大值为 ．
首先构造满足 的A={ai，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）： ， ．
经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ， ， ．
下面证明 是最大值．若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得 ．
由k（A）的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x，2]中．由于x＞1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x﹣1．
设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g＜h，则g≤t，h≥t+1．另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负．
考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x﹣1（即每个负数均不超过1﹣x）．因此|r1（A）|=r1（A）≤t 1+（t+1）（1﹣x）=2t+1﹣（t+1）x=x+（2t+1﹣（t+2）x）＜x，
故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾．因此k（A）的最大值为
【知识点】进行简单的合情推理；进行简单的演绎推理
【解析】【分析】（1）根据ri（A），Cj（A），定义求出r1（A），r2（A），c1（A），c2（A），c3（A），再根据K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|R3（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|C3（A）|中的最小值，即可求出所求．（2）先用反证法证明k（A）≤1，然后证明k（A）=1存在即可；（3）首先构造满足 的A={ai，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后证明 是最大值即可．
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