2012年高考理数真题试卷（福建卷）
一、选择题：在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2012·福建）若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（ ）
A．﹣1﹣I B．1﹣I C．﹣1+I D．1+i
2．（2012·福建）等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2012·福建）下列命题中，真命题是（ ）
A． x0∈R， ≤0 B． x∈R，2x＞x2
C．a+b=0的充要条件是 =﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
4．（2012·福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱
5．（2012·福建）下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg（x2+ ）＞lgx（x＞0） B．sinx+ ≥2（x≠kx，k∈Z）
C．x2+1≥2|x|（x∈R） D． （x∈R）
6．（2012·福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2012·福建）设函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数
C．D（x）不是周期函数 D．D（x）不是单调函数
8．（2012·福建）已知双曲线 ﹣ =1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A． B． C．3 D．5
9．（2012·福建）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件 ，则实数m的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
10．（2012·福建）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有 则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x2）在[1， ]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有 [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]
其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
二、填空题：把答案填在答题卡的相应位置．
11．（2012·福建）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=
．
12．（2012·福建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于
．
13．（2012·福建）已知△ABC得三边长成公比为 的等比数列，则其最大角的余弦值为
14．（2012·福建）数列{an}的通项公式an=ncos +1，前n项和为Sn，则S2012=
15．（2012·福建）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b= 设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是 ．
三、解答题，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（2012·福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌 甲 乙
首次出现故障时间x（年） 0＜x＜1 1＜x≤2 x＞2 0＜x≤2 x＞2
轿车数量（辆） 2 3 45 5 45
每辆利润（万元） 1 2 3 1.8 2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．
17．（2012·福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°
2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°
3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°
4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°
5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
18．（2012·福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．
19．（2012·福建）如图，椭圆E： 的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e= ．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
20．（2012·福建）已知函数f（x）=ex+ax2﹣ex，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．
四、选考题
21．（2012·福建）（1）选修4﹣2：矩阵与变换
设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A= （a＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1．
（Ⅰ）求实数a，b的值．
（Ⅱ）求A2的逆矩阵．
22．（2012·福建）选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（ ），圆C的参数方程 （θ为参数）．
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．
23．（2012·福建）已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且 =m，求证：a+2b+3c≥9．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，
∴z= = =﹣1﹣i，
故选A．
【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z= = ，运算求得结果．
2．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，
故选B．
【分析】设数列{an}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．
3．【答案】D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为y=ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；
因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以 x∈R，2x＞x2不成立．
a=b=0时a+b=0，但是 没有意义，所以C不正确；
a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．
故选D．
【分析】利用指数函数的单调性判断A的正误；
通过特例判断，全称命题判断B的正误；
通过充要条件判断C、D的正误；
4．【答案】D
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；
B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同；
C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；
D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形．
故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱．
故选D．
【分析】利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等
5．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A选项不成立，当x= 时，不等式两边相等；
B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+ ≥2；
C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R） （|x|﹣1）2≥0；
D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立．
综上，C选项是正确的．
故选：C．
【分析】由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可
6．【答案】C
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积；几何概型
【解析】【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，
而阴影部分由函数y=x与y= 围成，其面积为∫01（ ﹣x）dx=（ ﹣ ）|01= ，
则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为 = ；
故选C．
【分析】根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y= 围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．
7．【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：A显然正确；
∵ =D（x），
∴D（x）是偶函数，
B正确；
∵D（x+1）= =D（x），
∴T=1为其一个周期，
C错误；
∵D（ ）=0，D（2）=1，D（ ）=0，
显然函数D（x）不是单调函数，
D正确；
故选：C．
【分析】由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断C结论错误，故选D
8．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）
∵双曲线 ﹣ =1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合
∴4+b2=9
∴b2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为 ，即
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
故选A．
【分析】确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离．
9．【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：约束条件 确定的区域为如图阴影部分，即△ABC的边与其内部区域，
分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点（1，2），
若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，
即y=2x图象上存在点在阴影部分内部，
则必有m≤1，即实数m的最大值为1，
故选B．
【分析】根据题意，由线性规划知识分析可得束条件 确定的区域，由指数函数的性质分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点（1，2），结合图形分析可得m的最大值，即可得答案．
10．【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用；函数的连续性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：在①中，反例：f（x）= 在[1，3]上满足性质P，
但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；
在②中，反例：f（x）=﹣x在[1，3]上满足性质P，但f（x2）=﹣x2在[1， ]上不满足性质P，
故②不成立；
在③中：在[1，3]上，f（2）=f（ ）≤ ，
∴ ，
故f（x）=1，
∴对任意的x1，x2∈[1，3]，f（x）=1，
故③成立；
在④中，对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，
有 =
≤
≤
= [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，
∴ [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，
故④成立．
故选D．
【分析】根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的．
11．【答案】2
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（a+x）4的展开式的通项公式为 Tr+1= a4﹣r xr，
令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 ×a=8，解得a=2，
故答案为 2．
【分析】根据（a+x）4的展开式的通项公式为 Tr+1= a4﹣r xr，令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 ×a=8，由此解得a的值．
12．【答案】-3
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：由题意可知第1次判断后，s=1，k=2，
第2次判断循环，s=0，k=3，
第3次判断循环，s=﹣3，k=4，
不满足判断框的条件，退出循环，输出S．
故答案为：﹣3．
【分析】直接利用循环框图，计算循环的结果，当k=4时，退出循环，输出结果．
13．【答案】
【知识点】等比数列的性质；余弦定理
【解析】【解答】解：根据题意设三角形的三边长分别为a， a，2a，
∵2a＞ a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，
则根据余弦定理得：cosθ= = ．
故答案为：
【分析】根据三角形三边长成公比为 的等比数列，根据等比数列的性质设出三角形的三边为a， a，2a，根据2a为最大边，利用大边对大角可得出2a所对的角最大，设为θ，利用余弦定理表示出cosθ，将设出的三边长代入，即可求出cosθ的值．
14．【答案】3018
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：因为cos =0，﹣1，0，1，0，﹣1，0，1…；
∴ncos =0，﹣2，0，4，0，﹣6，0，8…；
∴ncos 的每四项和为2；
∴数列{an}的每四项和为：2+4=6．
而2012÷4=503；
∴S2012=503×6=3018．
故答案为：3018．
【分析】先求出cos 的规律，进而得到ncos 的规律，即可求出数列的规律即可求出结论．
15．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：∵2x﹣1≤x﹣1时，有x≤0，
∴根据题意得f（x）=
即f（x）=
画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是（0， ），
当﹣x2+x=m时，有x1x2=m，
当2x2﹣x=m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到 ，
∴x1x2x3=m（ ）= ，m∈（0， ）
令y= ，
则 ，又 在m∈（0， ）上是增函数，故有h（m）＞h（0）=1
∴ ＜0在m∈（0， ）上成立，
∴函数y= 在这个区间（0， ）上是一个减函数，
∴函数的值域是（f（ ），f（0）），即
故答案为：
【分析】根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之积，根据导数判断出函数的单调性，求出关于m的函数的值域，得到结果．
16．【答案】解：（I）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P（A）=
（II）依题意得，X1的分布列为
X1 1 2 3
P
X2的分布列为
X2 1.8 2.9
P
（III）由（II）得E（X1）=1× +2× +3× =2.86（万元 ）
E（X2）=1.8× +2.9× =2.79（万元 ）
∵E（X1）＞E（X2），
∴应生产甲品牌轿车．
【知识点】等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（I）根据保修期为2年，可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量为2+3，由此可求其概率；（II）求出概率，可得X1、X2的分布列；（III）由（II），计算期为E（X1）=1× +2× +3× =2.86（万元 ），E（X2）=1.8× +2.9× =2.79（万元 ），比较期望可得结论．
17．【答案】解：选择（2），计算如下：
sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣ sin30°= ，故 这个常数为 ．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）= ．
证明：（方法一）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin2α+ ﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin2α+ cos2α+ sin2α+ sinαcosα﹣ sinαcosα﹣ sin2α= sin2α+ cos2α= ．
（方法二）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）= + ﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=1﹣ + （cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣ sin2α﹣ sin2α
=1﹣ + cos2α+ sin2α﹣ sin2α﹣ =1﹣ ﹣ + = ．
【知识点】分析法和综合法
【解析】【分析】（Ⅰ）选择（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣ sin30°= ，可得这个常数的值．
（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）= ．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．
证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 + ﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即 1﹣ + cos2α+ sin2α
﹣ sin2α﹣ ，化简可得结果
18．【答案】解：（I）以A为原点， ， ， 的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，设AB=a，则A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），E（ ，1，0），B1（a，0，1）故 =（0，1，1）， =（﹣ ，1，﹣1）， =（a，0，1）， =（ ，1，0），∵ =1﹣1=0∴B1E⊥AD1；（II）假设在棱AA1上存在一点P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE．此时 =（0，﹣1，t）．又设平面B1AE的法向量 =（x，y，z）．∵ ⊥平面B1AE，∴ ⊥B1A， ⊥AE，得 ，取x=1，得平面B1AE的一个法向量 =（1，﹣ ，﹣a）．要使DP∥平面B1AE，只要 ⊥ ，即有 =0，有此得 ﹣at=0，解得t= ，即P（0，0， ），又DP 平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP= （III）连接A1D，B1C，由长方体ABCD﹣A1B1C1D1及AA1=AD=1，得AD1⊥A1D．∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C．由（I）知，B1E⊥AD1，且B1C∩B1E=B1．∴AD1⊥平面DCB1A1，∴ 是平面B1A1E的一个法向量，此时 =（0，1，1）．设 与 所成的角为θ，则cosθ= = ∵二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，∴|cosθ|=cos30°= ，即| |= ，解得a=2，即AB的长为2
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意及所给的图形，可以A为原点， ， ， 的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB=a，给出图形中各点的坐标，可求出向量 与 的坐标，验证其数量积为0即可证出两线段垂直．（II）由题意，可先假设在棱AA1上存在一点P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量与直线DP的方向向量内积为0，由此方程解出t的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的t的值，说明不存在这样的点P满足题意．（III）由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30°建立关于a的方程，解出a的值即可得出AB的长
19．【答案】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
∴4a=8，∴a=2
∵e= ，∴c=1
∴b2=a2﹣c2=3
∴椭圆E的方程为 ．
（Ⅱ）由 ，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）
∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0
∴4k2﹣m2+3=0①
此时x0= = ，y0= ，即P（ ， ）
由 得Q（4，4k+m）
取k=0，m= ，此时P（0， ），Q（4， ），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣ ）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）
取k=- ，m=2，此时P（1， ），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= ，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下
∵
∴
故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）
方法二：
假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0， ）或（0，﹣ ），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则 =0对满足①式的m，k恒成立．
因为 =（ ﹣x1， ），
=（4﹣x1，4k+m），由 =0得﹣ + ﹣4x1+x12+ +3=0，
整理得（4x1﹣4） +x12﹣4x1+3=0．②
由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以 ，解得x1=1．
故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e= ，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由 ，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（ ， ），由 得Q（4，4k+m），取k=0，m= ；k=- ，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．
20．【答案】解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ex+2ax﹣e
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴k=2a=0，∴a=0
∴f（x）=ex﹣ex，f′（x）=ex﹣e
令f′（x）=ex﹣e＜0，可得x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1；
∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）
（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0）
令g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0）
∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，∴g（x）有唯一零点
∵g（x0）=0，g′（x）=
1）若a≥0，当x＞x0时，g′（x）＞0，∴x＞x0时，g（x）＞g（x0）=0
当x＜x0时，g′（x）＜0，∴x＜x0时，g（x）＞g（x0）=0，故g（x）只有唯一零点x=x0，由P的任意性a≥0不合题意；
2）若a＜0，令h（x）= ，则h（x0）=0，h′（x）=ex+2a
令h′（x）=0，则x=ln（﹣2a），∴x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（ln（﹣2a），+∞），h′（x）＞0，函数单调递增；
①若x0=ln（﹣2a），由x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），g′（x）＞0；x∈（ln（﹣2a），+∞），g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增
∴g（x）只有唯一零点x=x0；
②若x0＞ln（﹣2a），由x∈（ln（﹣2a），+∞），h（x）单调递增，且h（x0）=0，则当x∈（ln（﹣2a），x0），g′（x）＜0，g（x）＞g（x0）=0
任取x1∈（ln（﹣2a），x0），g（x1）＞0，
∵x∈（﹣∞，x1），∴g（x）＜ax2+bx+c，其中b=﹣e﹣f′（x0）．c=
∵a＜0，∴必存在x2＜x1，使得
∴g（x2）＜0，故g（x）在（x2，x1）内存在零点，即g（x）在R上至少有两个零点；
③若x0＜ln（﹣2a），同理利用 ，可得g（x）在R上至少有两个零点；
综上所述，a＜0，曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P（ln（﹣2a），f（ln（﹣2a）））．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，可求a的值，令f′（x）=ex﹣e＜0，可得函数f（x）的单调减区间；令f′（x）＞0，可得单调增区间；（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），令g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P等价于g（x）有唯一零点，求出导函数，再进行分类讨论：（1）若a≥0，g（x）只有唯一零点x=x0，由P的任意性a≥0不合题意；（2）若a＜0，令h（x）= ，则h（x0）=0，h′（x）=ex+2a，可得函数的单调性，进而可研究g（x）的零点，由此可得结论．
21．【答案】解：（Ⅰ）设曲线2x2+2xy+y2=1上的点（x，y）在矩阵A= （a＞0）对应的变换作用下得到点（x′，y′）
则 = ，∴
∵x′2+y′2=1
∴（ax）2+（bx+y）2=1
∴（a2+b2）x2+2bxy+y2=1
∵2x2+2xy+y2=1
∴a2+b2=2，2b=2
∴a=1，b=1
∴A=（ ）
（Ⅱ）A2=（ ）（ ）=（ ）， =1
∴A2的逆矩阵为
【知识点】几种特殊的矩阵变换；逆变换与逆矩阵
【解析】【分析】（Ⅰ）确定点在矩阵A= （a＞0）对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵A；（Ⅱ）先计算A2的值，求出行列式的值，即可得到A2的逆矩阵．
22．【答案】解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（ ），
所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0， ），P为线段MN的中点（1， ），
直线OP的平面直角坐标方程y= x；
（Ⅱ）圆C的参数方程 （θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y+ ）2=4，
圆的圆心坐标为（2，﹣ ），半径为2，
直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（ ），
方程为y=﹣ （x﹣2）=﹣ （x﹣2），即 x+3y﹣2 =0．
圆心到直线的距离为： = = ＜2，
所以，直线l与圆C相交．
【知识点】直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程
【解析】【分析】（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系．
23．【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，故 f（x+2）=m﹣|x|，由题意可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，
即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．
（Ⅱ）由a，b，c∈R，且 =m=1，
∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（ ）
=1+ + + +1+ + + +1
=3+ + + + + + ≥3+6=9，当且仅当 = = = = = =1时，等号成立．
所以a+2b+3c≥9
【知识点】不等式的证明
【解析】【分析】（Ⅰ）由条件可得 f（x+2）=m﹣|x|，故有m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．（Ⅱ）根据a+2b+3c=（a+2b+3c）（ ）=1+ + + +1+ + + +1，利用基本不等式证明它大于或等于9．
1 / 12012年高考理数真题试卷（福建卷）
一、选择题：在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2012·福建）若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（ ）
A．﹣1﹣I B．1﹣I C．﹣1+I D．1+i
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，
∴z= = =﹣1﹣i，
故选A．
【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z= = ，运算求得结果．
2．（2012·福建）等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，
故选B．
【分析】设数列{an}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．
3．（2012·福建）下列命题中，真命题是（ ）
A． x0∈R， ≤0 B． x∈R，2x＞x2
C．a+b=0的充要条件是 =﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
【答案】D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为y=ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；
因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以 x∈R，2x＞x2不成立．
a=b=0时a+b=0，但是 没有意义，所以C不正确；
a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．
故选D．
【分析】利用指数函数的单调性判断A的正误；
通过特例判断，全称命题判断B的正误；
通过充要条件判断C、D的正误；
4．（2012·福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱
【答案】D
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；
B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同；
C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；
D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形．
故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱．
故选D．
【分析】利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等
5．（2012·福建）下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg（x2+ ）＞lgx（x＞0） B．sinx+ ≥2（x≠kx，k∈Z）
C．x2+1≥2|x|（x∈R） D． （x∈R）
【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A选项不成立，当x= 时，不等式两边相等；
B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+ ≥2；
C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R） （|x|﹣1）2≥0；
D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立．
综上，C选项是正确的．
故选：C．
【分析】由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可
6．（2012·福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积；几何概型
【解析】【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，
而阴影部分由函数y=x与y= 围成，其面积为∫01（ ﹣x）dx=（ ﹣ ）|01= ，
则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为 = ；
故选C．
【分析】根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y= 围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．
7．（2012·福建）设函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数
C．D（x）不是周期函数 D．D（x）不是单调函数
【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：A显然正确；
∵ =D（x），
∴D（x）是偶函数，
B正确；
∵D（x+1）= =D（x），
∴T=1为其一个周期，
C错误；
∵D（ ）=0，D（2）=1，D（ ）=0，
显然函数D（x）不是单调函数，
D正确；
故选：C．
【分析】由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断C结论错误，故选D
8．（2012·福建）已知双曲线 ﹣ =1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）
∵双曲线 ﹣ =1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合
∴4+b2=9
∴b2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为 ，即
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
故选A．
【分析】确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离．
9．（2012·福建）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件 ，则实数m的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：约束条件 确定的区域为如图阴影部分，即△ABC的边与其内部区域，
分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点（1，2），
若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，
即y=2x图象上存在点在阴影部分内部，
则必有m≤1，即实数m的最大值为1，
故选B．
【分析】根据题意，由线性规划知识分析可得束条件 确定的区域，由指数函数的性质分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点（1，2），结合图形分析可得m的最大值，即可得答案．
10．（2012·福建）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有 则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x2）在[1， ]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有 [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]
其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用；函数的连续性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：在①中，反例：f（x）= 在[1，3]上满足性质P，
但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；
在②中，反例：f（x）=﹣x在[1，3]上满足性质P，但f（x2）=﹣x2在[1， ]上不满足性质P，
故②不成立；
在③中：在[1，3]上，f（2）=f（ ）≤ ，
∴ ，
故f（x）=1，
∴对任意的x1，x2∈[1，3]，f（x）=1，
故③成立；
在④中，对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，
有 =
≤
≤
= [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，
∴ [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，
故④成立．
故选D．
【分析】根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的．
二、填空题：把答案填在答题卡的相应位置．
11．（2012·福建）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=
．
【答案】2
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（a+x）4的展开式的通项公式为 Tr+1= a4﹣r xr，
令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 ×a=8，解得a=2，
故答案为 2．
【分析】根据（a+x）4的展开式的通项公式为 Tr+1= a4﹣r xr，令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 ×a=8，由此解得a的值．
12．（2012·福建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于
．
【答案】-3
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：由题意可知第1次判断后，s=1，k=2，
第2次判断循环，s=0，k=3，
第3次判断循环，s=﹣3，k=4，
不满足判断框的条件，退出循环，输出S．
故答案为：﹣3．
【分析】直接利用循环框图，计算循环的结果，当k=4时，退出循环，输出结果．
13．（2012·福建）已知△ABC得三边长成公比为 的等比数列，则其最大角的余弦值为
【答案】
【知识点】等比数列的性质；余弦定理
【解析】【解答】解：根据题意设三角形的三边长分别为a， a，2a，
∵2a＞ a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，
则根据余弦定理得：cosθ= = ．
故答案为：
【分析】根据三角形三边长成公比为 的等比数列，根据等比数列的性质设出三角形的三边为a， a，2a，根据2a为最大边，利用大边对大角可得出2a所对的角最大，设为θ，利用余弦定理表示出cosθ，将设出的三边长代入，即可求出cosθ的值．
14．（2012·福建）数列{an}的通项公式an=ncos +1，前n项和为Sn，则S2012=
【答案】3018
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：因为cos =0，﹣1，0，1，0，﹣1，0，1…；
∴ncos =0，﹣2，0，4，0，﹣6，0，8…；
∴ncos 的每四项和为2；
∴数列{an}的每四项和为：2+4=6．
而2012÷4=503；
∴S2012=503×6=3018．
故答案为：3018．
【分析】先求出cos 的规律，进而得到ncos 的规律，即可求出数列的规律即可求出结论．
15．（2012·福建）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b= 设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：∵2x﹣1≤x﹣1时，有x≤0，
∴根据题意得f（x）=
即f（x）=
画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是（0， ），
当﹣x2+x=m时，有x1x2=m，
当2x2﹣x=m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到 ，
∴x1x2x3=m（ ）= ，m∈（0， ）
令y= ，
则 ，又 在m∈（0， ）上是增函数，故有h（m）＞h（0）=1
∴ ＜0在m∈（0， ）上成立，
∴函数y= 在这个区间（0， ）上是一个减函数，
∴函数的值域是（f（ ），f（0）），即
故答案为：
【分析】根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之积，根据导数判断出函数的单调性，求出关于m的函数的值域，得到结果．
三、解答题，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（2012·福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌 甲 乙
首次出现故障时间x（年） 0＜x＜1 1＜x≤2 x＞2 0＜x≤2 x＞2
轿车数量（辆） 2 3 45 5 45
每辆利润（万元） 1 2 3 1.8 2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．
【答案】解：（I）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P（A）=
（II）依题意得，X1的分布列为
X1 1 2 3
P
X2的分布列为
X2 1.8 2.9
P
（III）由（II）得E（X1）=1× +2× +3× =2.86（万元 ）
E（X2）=1.8× +2.9× =2.79（万元 ）
∵E（X1）＞E（X2），
∴应生产甲品牌轿车．
【知识点】等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（I）根据保修期为2年，可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量为2+3，由此可求其概率；（II）求出概率，可得X1、X2的分布列；（III）由（II），计算期为E（X1）=1× +2× +3× =2.86（万元 ），E（X2）=1.8× +2.9× =2.79（万元 ），比较期望可得结论．
17．（2012·福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°
2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°
3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°
4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°
5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
【答案】解：选择（2），计算如下：
sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣ sin30°= ，故 这个常数为 ．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）= ．
证明：（方法一）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin2α+ ﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin2α+ cos2α+ sin2α+ sinαcosα﹣ sinαcosα﹣ sin2α= sin2α+ cos2α= ．
（方法二）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）= + ﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=1﹣ + （cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣ sin2α﹣ sin2α
=1﹣ + cos2α+ sin2α﹣ sin2α﹣ =1﹣ ﹣ + = ．
【知识点】分析法和综合法
【解析】【分析】（Ⅰ）选择（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣ sin30°= ，可得这个常数的值．
（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）= ．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．
证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 + ﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即 1﹣ + cos2α+ sin2α
﹣ sin2α﹣ ，化简可得结果
18．（2012·福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．
【答案】解：（I）以A为原点， ， ， 的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，设AB=a，则A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），E（ ，1，0），B1（a，0，1）故 =（0，1，1）， =（﹣ ，1，﹣1）， =（a，0，1）， =（ ，1，0），∵ =1﹣1=0∴B1E⊥AD1；（II）假设在棱AA1上存在一点P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE．此时 =（0，﹣1，t）．又设平面B1AE的法向量 =（x，y，z）．∵ ⊥平面B1AE，∴ ⊥B1A， ⊥AE，得 ，取x=1，得平面B1AE的一个法向量 =（1，﹣ ，﹣a）．要使DP∥平面B1AE，只要 ⊥ ，即有 =0，有此得 ﹣at=0，解得t= ，即P（0，0， ），又DP 平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP= （III）连接A1D，B1C，由长方体ABCD﹣A1B1C1D1及AA1=AD=1，得AD1⊥A1D．∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C．由（I）知，B1E⊥AD1，且B1C∩B1E=B1．∴AD1⊥平面DCB1A1，∴ 是平面B1A1E的一个法向量，此时 =（0，1，1）．设 与 所成的角为θ，则cosθ= = ∵二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，∴|cosθ|=cos30°= ，即| |= ，解得a=2，即AB的长为2
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意及所给的图形，可以A为原点， ， ， 的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB=a，给出图形中各点的坐标，可求出向量 与 的坐标，验证其数量积为0即可证出两线段垂直．（II）由题意，可先假设在棱AA1上存在一点P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量与直线DP的方向向量内积为0，由此方程解出t的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的t的值，说明不存在这样的点P满足题意．（III）由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30°建立关于a的方程，解出a的值即可得出AB的长
19．（2012·福建）如图，椭圆E： 的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e= ．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
∴4a=8，∴a=2
∵e= ，∴c=1
∴b2=a2﹣c2=3
∴椭圆E的方程为 ．
（Ⅱ）由 ，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）
∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0
∴4k2﹣m2+3=0①
此时x0= = ，y0= ，即P（ ， ）
由 得Q（4，4k+m）
取k=0，m= ，此时P（0， ），Q（4， ），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣ ）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）
取k=- ，m=2，此时P（1， ），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= ，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下
∵
∴
故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）
方法二：
假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0， ）或（0，﹣ ），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则 =0对满足①式的m，k恒成立．
因为 =（ ﹣x1， ），
=（4﹣x1，4k+m），由 =0得﹣ + ﹣4x1+x12+ +3=0，
整理得（4x1﹣4） +x12﹣4x1+3=0．②
由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以 ，解得x1=1．
故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e= ，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由 ，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（ ， ），由 得Q（4，4k+m），取k=0，m= ；k=- ，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．
20．（2012·福建）已知函数f（x）=ex+ax2﹣ex，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．
【答案】解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ex+2ax﹣e
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴k=2a=0，∴a=0
∴f（x）=ex﹣ex，f′（x）=ex﹣e
令f′（x）=ex﹣e＜0，可得x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1；
∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）
（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0）
令g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0）
∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，∴g（x）有唯一零点
∵g（x0）=0，g′（x）=
1）若a≥0，当x＞x0时，g′（x）＞0，∴x＞x0时，g（x）＞g（x0）=0
当x＜x0时，g′（x）＜0，∴x＜x0时，g（x）＞g（x0）=0，故g（x）只有唯一零点x=x0，由P的任意性a≥0不合题意；
2）若a＜0，令h（x）= ，则h（x0）=0，h′（x）=ex+2a
令h′（x）=0，则x=ln（﹣2a），∴x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（ln（﹣2a），+∞），h′（x）＞0，函数单调递增；
①若x0=ln（﹣2a），由x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），g′（x）＞0；x∈（ln（﹣2a），+∞），g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增
∴g（x）只有唯一零点x=x0；
②若x0＞ln（﹣2a），由x∈（ln（﹣2a），+∞），h（x）单调递增，且h（x0）=0，则当x∈（ln（﹣2a），x0），g′（x）＜0，g（x）＞g（x0）=0
任取x1∈（ln（﹣2a），x0），g（x1）＞0，
∵x∈（﹣∞，x1），∴g（x）＜ax2+bx+c，其中b=﹣e﹣f′（x0）．c=
∵a＜0，∴必存在x2＜x1，使得
∴g（x2）＜0，故g（x）在（x2，x1）内存在零点，即g（x）在R上至少有两个零点；
③若x0＜ln（﹣2a），同理利用 ，可得g（x）在R上至少有两个零点；
综上所述，a＜0，曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P（ln（﹣2a），f（ln（﹣2a）））．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，可求a的值，令f′（x）=ex﹣e＜0，可得函数f（x）的单调减区间；令f′（x）＞0，可得单调增区间；（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），令g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P等价于g（x）有唯一零点，求出导函数，再进行分类讨论：（1）若a≥0，g（x）只有唯一零点x=x0，由P的任意性a≥0不合题意；（2）若a＜0，令h（x）= ，则h（x0）=0，h′（x）=ex+2a，可得函数的单调性，进而可研究g（x）的零点，由此可得结论．
四、选考题
21．（2012·福建）（1）选修4﹣2：矩阵与变换
设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A= （a＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1．
（Ⅰ）求实数a，b的值．
（Ⅱ）求A2的逆矩阵．
【答案】解：（Ⅰ）设曲线2x2+2xy+y2=1上的点（x，y）在矩阵A= （a＞0）对应的变换作用下得到点（x′，y′）
则 = ，∴
∵x′2+y′2=1
∴（ax）2+（bx+y）2=1
∴（a2+b2）x2+2bxy+y2=1
∵2x2+2xy+y2=1
∴a2+b2=2，2b=2
∴a=1，b=1
∴A=（ ）
（Ⅱ）A2=（ ）（ ）=（ ）， =1
∴A2的逆矩阵为
【知识点】几种特殊的矩阵变换；逆变换与逆矩阵
【解析】【分析】（Ⅰ）确定点在矩阵A= （a＞0）对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵A；（Ⅱ）先计算A2的值，求出行列式的值，即可得到A2的逆矩阵．
22．（2012·福建）选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（ ），圆C的参数方程 （θ为参数）．
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．
【答案】解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（ ），
所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0， ），P为线段MN的中点（1， ），
直线OP的平面直角坐标方程y= x；
（Ⅱ）圆C的参数方程 （θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y+ ）2=4，
圆的圆心坐标为（2，﹣ ），半径为2，
直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（ ），
方程为y=﹣ （x﹣2）=﹣ （x﹣2），即 x+3y﹣2 =0．
圆心到直线的距离为： = = ＜2，
所以，直线l与圆C相交．
【知识点】直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程
【解析】【分析】（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系．
23．（2012·福建）已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且 =m，求证：a+2b+3c≥9．
【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，故 f（x+2）=m﹣|x|，由题意可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，
即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．
（Ⅱ）由a，b，c∈R，且 =m=1，
∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（ ）
=1+ + + +1+ + + +1
=3+ + + + + + ≥3+6=9，当且仅当 = = = = = =1时，等号成立．
所以a+2b+3c≥9
【知识点】不等式的证明
【解析】【分析】（Ⅰ）由条件可得 f（x+2）=m﹣|x|，故有m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．（Ⅱ）根据a+2b+3c=（a+2b+3c）（ ）=1+ + + +1+ + + +1，利用基本不等式证明它大于或等于9．
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