2012年高考理数真题试卷（新课标卷）
一、选择题在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2012·新课标卷理）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
2．（2012·新课标卷理）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
3．（2012·新课标卷理）下面是关于复数z= 的四个命题：其中的真命题为（ ），
p1：|z|=2，
p2：z2=2i，
p3：z的共轭复数为1+i，
p4：z的虚部为﹣1．
A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4
4．（2012·新课标卷理）设F1、F2是椭圆 的左、右焦点，P为直线x= 上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2012·新课标卷理）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（ ）
A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7
6．（2012·新课标卷理）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（ ）
A．A+B为a1，a2，…，an的和
B． 为a1，a2，…，an的算术平均数
C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数
7．（2012·新课标卷理）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
8．（2012·新课标卷理）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点， ，则C的实轴长为（ ）
A． B． C．4 D．8
9．（2012·新课标卷理）已知ω＞0，函数 在 上单调递减．则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（0，2]
10．（2012·新课标卷理）已知函数f（x）= ，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2012·新课标卷理）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2012·新课标卷理）设点P在曲线 上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ）
A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D．
二、填空题
13．（2012·新课标卷理）已知向量 夹角为45°，且 ，则 =
14．（2012·新课标卷理）设x，y满足约束条件： ；则z=x﹣2y的取值范围为
15．（2012·新课标卷理）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．
16．（2012·新课标卷理）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2012·新课标卷理）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c= asinC﹣ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为 ，求b，c．
18．（2012·新课标卷理）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
19．（2012·新课标卷理）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC= AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD
（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．
20．（2012·新课标卷理）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为 ，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
21．（2012·新课标卷理）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+ x2；
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若 ，求（a+1）b的最大值．
四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22．（2012·新课标卷理）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
23．（2012·新课标卷理）选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是 （φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2， ）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
24．（2012·新课标卷理）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，
x=4时，y=1，2，3，
x=3时，y=1，2，
x=2时，y=1
综上知，B中的元素个数为10个
故选D
【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项
2．【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有 =2种选法；
第二步，为甲地选两个学生，有 =6种选法；
第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法
故不同的安排方案共有2×6×1=12种
故选 A
【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果
3．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用；复数的基本概念
【解析】【解答】解：∵z= = =﹣1﹣i，
∴ ，
，
p3：z的共轭复数为﹣1+i，
p4：z的虚部为﹣1，
故选C．
【分析】由z= = =﹣1﹣i，知 ， ，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．
4．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|=|F2F1|
∵P为直线x= 上一点
∴
∴
故选C．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x= 上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
5．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8
∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4
当a4=4，a7=﹣2时， ，
∴a1=﹣8，a10=1，
∴a1+a10=﹣7
当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1
∴a1+a10=﹣7
综上可得，a1+a10=﹣7
故选D
【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可
6．【答案】C
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，
可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
其中A为a1，a2，…，an中最大的数，B为a1，a2，…，an中最小的数
故选：C．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数．
7．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；
底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，
此几何体的体积为V= ×6×3×3=9．
故选B．
【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．
8．【答案】C
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），
y2=16x的准线l：x=﹣4，
∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，
∴A（﹣4，2 ），B（﹣4，﹣2 ），
将A点坐标代入双曲线方程得 =4，
∴a=2，2a=4．
故选C．
【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点， ，能求出C的实轴长．
9．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：法一：令： 不合题意 排除（D）
合题意 排除（B）（C）
法二： ，
得： ．
故选A．
【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．
法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．
10．【答案】B
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】解：设
则g′（x）=
∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数
∴g（x）＜g（0）=0
∴f（x）= ＜0
得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，
又f（x）= 中， ，能排除D．
故选 B
【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明
11．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO1= = ，
∴OO1= = ，
∴高SD=2OO1= ，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S△ABC= ，
∴V三棱锥S﹣ABC= = ．
故选：C．
【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．
12．【答案】B
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：∵函数 与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，
函数 上的点 到直线y=x的距离为 ，
设g（x）= （x＞0），则 ，
由 ≥0可得x≥ln2，
由 ＜0可得0＜x＜ln2，
∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，
∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，
，
由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为 ．
故选B．
【分析】由于函数 与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数 上的点 到直线y=x的距离为 的最小值，
设g（x）= ，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．
13．【答案】3
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵ ， =1
∴ =
∴|2 |= = = =
解得
故答案为：3
【分析】由已知可得， = ，代入|2 |= = = = 可求
14．【答案】[﹣3，3]
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组表示的平面区域
由z=x﹣2y可得，y= ，则﹣ 表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小
结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大
由 可得B（1，2），由 可得A（3，0）
∴Zmax=3，Zmin=﹣3
则z=x﹣2y∈[﹣3，3]
故答案为：[﹣3，3]
【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y= ，则﹣ 表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围
15．【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）
得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为
设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}
C={该部件的使用寿命超过1000小时}
则P（A）= ，P（B）=
P（C）=P（AB）=P（A）P（B）= × =
故答案为
【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 ，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可
16．【答案】1830
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2，
a4n+2+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，
则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=bn+16
∴数列{bn}是以16为公差的等差数列，{an}的前60项和为即为数列{bn}的前15项和
∵b1=a1+a2+a3+a4=10
∴ =1830
【分析】令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=bn+16可得数列{bn}是以16为公差的等差数列，而{an}的前60项和为即为数列{bn}的前15项和，由等差数列的求和公式可求
17．【答案】（1）解：c= asinC﹣ccosA，由正弦定理有：
sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC （ sinA﹣cosA﹣1）=0，
又，sinC≠0，
所以 sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣ ）=1，
所以A= ；
（2）解：S△ABC= bcsinA= ，所以bc=4，
a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，
即有 ，
解得b=c=2
【知识点】解三角形
【解析】【分析】（1）由正弦定理有： sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．
18．【答案】（1）解：当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；
当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：
（2）解：（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，
P（X=60）= = =0.1，P（X=70）= 0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，
X的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76
DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44
（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4
∵76.4＞76，∴应购进17枝
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．
19．【答案】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°
同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°
∴DC1⊥DC，DC1⊥BD
∵DC∩BD=D
∴DC1⊥面BCD
∵BC 面BCD
∴DC1⊥BC
（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，
∵AC 面ACC1A1，∴BC⊥AC
取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH
∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，
∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，
∴C1O⊥面A1BD
而BD 面A1BD
∴BD⊥C1O，
∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，
∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角
设AC=a，则 ， ，
∴sin∠C1DO=
∴∠C1DO=30°
即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．
20．【答案】（1）解：由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p
点A到准线l的距离 ，
∵△ABD的面积S△ABD= ，
∴ = ，
解得p=2，所以F坐标为（0，1），
∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8
（2）解：由题设 ，则 ，
∵A，B，F三点在同一直线m上，
又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．
由点A，B关于点F对称得：
得： ，直线 ， 切点
直线
坐标原点到m，n距离的比值为
【知识点】圆的标准方程；抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离 ，由△ABD的面积S△ABD= ，知 = ，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设 ，则 点A，B关于点F对称得： ，得： ，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．
21．【答案】（1）解：
令x=1得：f（0）=1
∴ 令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e
故函数的解析式为
令g（x）=f'（x）=ex﹣1+x
∴g'（x）=ex+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增
当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有
f'（x）＜f'（0）=0得：
函数 的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）
（2）解： 得h′（x）=ex﹣（a+1）
①当a+1≤0时，h′（x）＞0 y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾
②当a+1＞0时，h′（x）＞0 x＞ln（a+1），h'（x）＜0 x＜ln（a+1）
得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b
∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）
令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）
∴
当 时，
即当 时，（a+1）b的最大值为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意 ，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值
22．【答案】（1）证明：∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点
∴DF∥BC，AD=DB
∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形
∴CF∥BD，CF=BD
∴CF∥AD，CF=AD
∴四边形ADCF是平行四边形
∴AF=CD
∵ ，∴BC=AF，∴CD=BC
（2）证明：由（1）知 ，所以 ．
所以∠BGD=∠DBC．
因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．
所以△BCD～△GBD．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．
23．【答案】（1）解：点A，B，C，D的极坐标为
点A，B，C，D的直角坐标为
（2）解：设P（x0，y0），则 为参数）
t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ
∵sin2φ∈[0，1]
∴t∈[32，52]
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化；椭圆的参数方程
【解析】【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
24．【答案】（1）解：当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即① ，或② ，
或③ ．
解①可得x≤1，解②可得x∈ ，解③可得x≥4．
把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}
（2）解：原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，
等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．
故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，
故a的取值范围为[﹣3，0]．
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）不等式等价于 ，或 ，或 ，求出每个不等式组的解集，
再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．
1 / 12012年高考理数真题试卷（新课标卷）
一、选择题在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2012·新课标卷理）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，
x=4时，y=1，2，3，
x=3时，y=1，2，
x=2时，y=1
综上知，B中的元素个数为10个
故选D
【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项
2．（2012·新课标卷理）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有 =2种选法；
第二步，为甲地选两个学生，有 =6种选法；
第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法
故不同的安排方案共有2×6×1=12种
故选 A
【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果
3．（2012·新课标卷理）下面是关于复数z= 的四个命题：其中的真命题为（ ），
p1：|z|=2，
p2：z2=2i，
p3：z的共轭复数为1+i，
p4：z的虚部为﹣1．
A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用；复数的基本概念
【解析】【解答】解：∵z= = =﹣1﹣i，
∴ ，
，
p3：z的共轭复数为﹣1+i，
p4：z的虚部为﹣1，
故选C．
【分析】由z= = =﹣1﹣i，知 ， ，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．
4．（2012·新课标卷理）设F1、F2是椭圆 的左、右焦点，P为直线x= 上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|=|F2F1|
∵P为直线x= 上一点
∴
∴
故选C．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x= 上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
5．（2012·新课标卷理）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（ ）
A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8
∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4
当a4=4，a7=﹣2时， ，
∴a1=﹣8，a10=1，
∴a1+a10=﹣7
当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1
∴a1+a10=﹣7
综上可得，a1+a10=﹣7
故选D
【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可
6．（2012·新课标卷理）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（ ）
A．A+B为a1，a2，…，an的和
B． 为a1，a2，…，an的算术平均数
C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数
【答案】C
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，
可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
其中A为a1，a2，…，an中最大的数，B为a1，a2，…，an中最小的数
故选：C．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数．
7．（2012·新课标卷理）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；
底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，
此几何体的体积为V= ×6×3×3=9．
故选B．
【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．
8．（2012·新课标卷理）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点， ，则C的实轴长为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】C
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），
y2=16x的准线l：x=﹣4，
∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，
∴A（﹣4，2 ），B（﹣4，﹣2 ），
将A点坐标代入双曲线方程得 =4，
∴a=2，2a=4．
故选C．
【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点， ，能求出C的实轴长．
9．（2012·新课标卷理）已知ω＞0，函数 在 上单调递减．则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（0，2]
【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：法一：令： 不合题意 排除（D）
合题意 排除（B）（C）
法二： ，
得： ．
故选A．
【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．
法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．
10．（2012·新课标卷理）已知函数f（x）= ，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】解：设
则g′（x）=
∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数
∴g（x）＜g（0）=0
∴f（x）= ＜0
得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，
又f（x）= 中， ，能排除D．
故选 B
【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明
11．（2012·新课标卷理）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO1= = ，
∴OO1= = ，
∴高SD=2OO1= ，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S△ABC= ，
∴V三棱锥S﹣ABC= = ．
故选：C．
【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．
12．（2012·新课标卷理）设点P在曲线 上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ）
A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D．
【答案】B
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：∵函数 与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，
函数 上的点 到直线y=x的距离为 ，
设g（x）= （x＞0），则 ，
由 ≥0可得x≥ln2，
由 ＜0可得0＜x＜ln2，
∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，
∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，
，
由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为 ．
故选B．
【分析】由于函数 与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数 上的点 到直线y=x的距离为 的最小值，
设g（x）= ，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．
二、填空题
13．（2012·新课标卷理）已知向量 夹角为45°，且 ，则 =
【答案】3
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵ ， =1
∴ =
∴|2 |= = = =
解得
故答案为：3
【分析】由已知可得， = ，代入|2 |= = = = 可求
14．（2012·新课标卷理）设x，y满足约束条件： ；则z=x﹣2y的取值范围为
【答案】[﹣3，3]
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组表示的平面区域
由z=x﹣2y可得，y= ，则﹣ 表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小
结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大
由 可得B（1，2），由 可得A（3，0）
∴Zmax=3，Zmin=﹣3
则z=x﹣2y∈[﹣3，3]
故答案为：[﹣3，3]
【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y= ，则﹣ 表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围
15．（2012·新课标卷理）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．
【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）
得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为
设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}
C={该部件的使用寿命超过1000小时}
则P（A）= ，P（B）=
P（C）=P（AB）=P（A）P（B）= × =
故答案为
【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 ，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可
16．（2012·新课标卷理）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为 ．
【答案】1830
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2，
a4n+2+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，
则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=bn+16
∴数列{bn}是以16为公差的等差数列，{an}的前60项和为即为数列{bn}的前15项和
∵b1=a1+a2+a3+a4=10
∴ =1830
【分析】令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=bn+16可得数列{bn}是以16为公差的等差数列，而{an}的前60项和为即为数列{bn}的前15项和，由等差数列的求和公式可求
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2012·新课标卷理）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c= asinC﹣ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为 ，求b，c．
【答案】（1）解：c= asinC﹣ccosA，由正弦定理有：
sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC （ sinA﹣cosA﹣1）=0，
又，sinC≠0，
所以 sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣ ）=1，
所以A= ；
（2）解：S△ABC= bcsinA= ，所以bc=4，
a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，
即有 ，
解得b=c=2
【知识点】解三角形
【解析】【分析】（1）由正弦定理有： sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．
18．（2012·新课标卷理）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
【答案】（1）解：当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；
当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：
（2）解：（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，
P（X=60）= = =0.1，P（X=70）= 0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，
X的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76
DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44
（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4
∵76.4＞76，∴应购进17枝
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．
19．（2012·新课标卷理）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC= AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD
（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．
【答案】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°
同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°
∴DC1⊥DC，DC1⊥BD
∵DC∩BD=D
∴DC1⊥面BCD
∵BC 面BCD
∴DC1⊥BC
（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，
∵AC 面ACC1A1，∴BC⊥AC
取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH
∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，
∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，
∴C1O⊥面A1BD
而BD 面A1BD
∴BD⊥C1O，
∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，
∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角
设AC=a，则 ， ，
∴sin∠C1DO=
∴∠C1DO=30°
即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．
20．（2012·新课标卷理）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为 ，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
【答案】（1）解：由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p
点A到准线l的距离 ，
∵△ABD的面积S△ABD= ，
∴ = ，
解得p=2，所以F坐标为（0，1），
∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8
（2）解：由题设 ，则 ，
∵A，B，F三点在同一直线m上，
又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．
由点A，B关于点F对称得：
得： ，直线 ， 切点
直线
坐标原点到m，n距离的比值为
【知识点】圆的标准方程；抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离 ，由△ABD的面积S△ABD= ，知 = ，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设 ，则 点A，B关于点F对称得： ，得： ，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．
21．（2012·新课标卷理）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+ x2；
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若 ，求（a+1）b的最大值．
【答案】（1）解：
令x=1得：f（0）=1
∴ 令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e
故函数的解析式为
令g（x）=f'（x）=ex﹣1+x
∴g'（x）=ex+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增
当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有
f'（x）＜f'（0）=0得：
函数 的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）
（2）解： 得h′（x）=ex﹣（a+1）
①当a+1≤0时，h′（x）＞0 y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾
②当a+1＞0时，h′（x）＞0 x＞ln（a+1），h'（x）＜0 x＜ln（a+1）
得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b
∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）
令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）
∴
当 时，
即当 时，（a+1）b的最大值为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意 ，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值
四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22．（2012·新课标卷理）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
【答案】（1）证明：∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点
∴DF∥BC，AD=DB
∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形
∴CF∥BD，CF=BD
∴CF∥AD，CF=AD
∴四边形ADCF是平行四边形
∴AF=CD
∵ ，∴BC=AF，∴CD=BC
（2）证明：由（1）知 ，所以 ．
所以∠BGD=∠DBC．
因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．
所以△BCD～△GBD．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．
23．（2012·新课标卷理）选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是 （φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2， ）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
【答案】（1）解：点A，B，C，D的极坐标为
点A，B，C，D的直角坐标为
（2）解：设P（x0，y0），则 为参数）
t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ
∵sin2φ∈[0，1]
∴t∈[32，52]
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化；椭圆的参数方程
【解析】【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
24．（2012·新课标卷理）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即① ，或② ，
或③ ．
解①可得x≤1，解②可得x∈ ，解③可得x≥4．
把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}
（2）解：原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，
等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．
故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，
故a的取值范围为[﹣3，0]．
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）不等式等价于 ，或 ，或 ，求出每个不等式组的解集，
再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．
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