2012年高考理数真题试卷（湖北卷）
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2012·湖北）方程x2+6x+13=0的一个根是（ ）
A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i
2．（2012·湖北）命题“ x0∈ RQ，x03∈Q”的否定是（ ）
A． x0 RQ，x03∈Q B． x0∈ RQ，x03 Q
C． x0 RQ，x03∈Q D． x0∈ RQ，x03 Q
3．（2012·湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
4．（2012·湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．3π C． D．6π
5．（2012·湖北）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
6．（2012·湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则 =（ ）
A． B． C． D．
7．（2012·湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）= ；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
8．（2012·湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A．1﹣ B．﹣ C． D．
9．（2012·湖北）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2012·湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈ ．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）
A．d≈ B．d≈
C．d≈ D．d≈
二、填空题：（一）必考题
11．（2012·湖北）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C= ．
12．（2012·湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=
13．（2012·湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：
（Ⅰ）4位回文数有 个；
（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有 个．
14．（2012·湖北）如图，双曲线 =1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：
（Ⅰ）双曲线的离心率e= ；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值 = ．
三、填空题：（二）选考题
15．（2012·湖北）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为 ．
16．（2012·湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ= 与曲线 （t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为 ．
四、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2012·湖北）已知向量 =（cosωx﹣sinωx，sinωx）， =（﹣cosωx﹣sinωx，2 cosωx），设函数f（x）= +λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（ ，1）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（ ，0）求函数f（x）在区间[0， ]上的取值范围．
18．（2012·湖北）已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．
（1）求等差数列{an}的通项公式；
（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．
19．（2012·湖北）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；
（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．
20．（2012·湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900
工期延误天数Y 0 2 6 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
（1）工期延误天数Y的均值与方差；
（2）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
21．（2012·湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（2）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
22．（2012·湖北）（I）已知函数f（x）=rx﹣xr+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．
（1）求f（x）的最小值；
（2）试用（1）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；
（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：∵方程x2+6x+13=0中，
△=36﹣52=﹣16＜0，
∴ =﹣3±2i，
故选A．
【分析】由方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，知 =﹣3±2i，由此能求出结果．
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：∵命题“ x0∈CRQ， ∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，
∴“ x0∈CRQ， ∈Q”的否定是 x0∈CRQ， Q
故选D
【分析】根据特称命题“ x∈A，p（A）”的否定是“ x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．
3．【答案】B
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】解：根据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）
从而可知二次函数y=f（x）=﹣x2+1
∴它与X轴所围图形的面积为 =（ ） =（﹣ +1）﹣（ ﹣1）=
故选B．
【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求．
4．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图
所求几何体的体积为： =3π．
故选B．
【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．
5．【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：∵512012+a=（52﹣1）2012+a
= +… + +a
由于 含有因数52，故能被52整除
要使得能512012+a能被13整除，且a∈Z，0≤a≤13
则可得a+1=13
∴a=12
故选D
【分析】由二项式定理可知512012+a=（52﹣1）2012+a的展开式中的项 含有因数52，要使得能512012+a能被13整除，只要a+1能被13整除，结合已知a的范围可求
6．【答案】C
【知识点】一般形式的柯西不等式
【解析】【解答】解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（ x2+ y2+ z2）≥（ ax+ by+ cz）2，
当且仅当 时等号成立
∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，
∴等号成立
∴
∴ =
故选C．
【分析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．
7．【答案】C
【知识点】等比关系的确定
【解析】【解答】解：由等比数列性质知 ，
① =f2（an+1），故正确；
② ≠ =f2（an+1），故不正确；
③ = =f2（an+1），故正确；
④f（an）f（an+2）=ln|an|ln|an+2|≠ =f2（an+1），故不正确；
故选C
【分析】根据新定义，结合等比数列性质 ，一一加以判断，即可得到结论．
8．【答案】A
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为 ，
连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为： ﹣ ，
∴此点取自阴影部分的概率是 ．
故选A．
【分析】求出阴影部分的面积即可，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB的面积．
9．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0
∴x=0或x2= ，k∈Z
∵x∈[0，4]，则x2∈[0，16]，
∴k可取的值有0，1，2，3，4，
∴方程共有6个解
∴函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6个
故选C
【分析】令函数值为0，构建方程，即可求出在区间[0，4]上的解，从而可得函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数
10．【答案】D
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解：由V= ，解得d= 设选项中的常数为 ，则π=
选项A代入得π= =3.375；选项B代入得π= =3；
选项C代入得π= =3.14；选项D代入得π= =3.142857
由于D的值最接近π的真实值
故选D．
【分析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为 ，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．
11．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab
即a2+b2﹣c2=﹣ab
由余弦定理得：cosC= =
又因为0＜C＜π，所以C= ．
故答案为：
【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B．
12．【答案】9
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，
第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环，
输出S=9．
故答案为：9．
【分析】本题考查循环结构，判断框中n=3退出循环是解题的关键. 用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可．
13．【答案】90；9×10n
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；
故4位回文数有9×10=90个
故答案为 90
（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；
第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n种选法，
故2n+1（n∈N+）位回文数有9×10n个
故答案为9×10n
【分析】（I）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注意最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数；（II）将（I）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n+1（n∈N+）位回文数的个数
14．【答案】；
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为
∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，
∴ =a
∴（c2﹣a2）c2=（2c2﹣a2）a2
∴c4﹣3a2c2+a4=0
∴e4﹣3e2+1=0
∵e＞1
∴e=
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc
设矩形ABCD，BC=2n，BA=2m，∴
∵m2+n2=a2，∴ ，
∴面积S2=4mn=
∴ = =
∵bc=a2=c2﹣b2
∴
∴ =
故答案为： ，
【分析】（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为 ，根据以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，可得 =a，由此可求双曲线的离心率；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc，求出矩形ABCD的长与宽，从而求出面积S2=4mn= ，由此可得结论．
15．【答案】2
【知识点】综合法与分析法(选修）
【解析】【解答】解：由题意可得△OCD为直角三角形，故有CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值．
故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半，由于AB=4，故CD的最大值为2，
故答案为2．
【分析】由题意可得 CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值，故当AB为直径、且D为AB的中点时，
CD取得最大值，为AB的一半．
16．【答案】（2.5，2.5）
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化；抛物线的参数方程
【解析】【解答】解：射线θ= 的直角坐标方程为y=x（x≥0），曲线 （t为参数）化为普通方程为y=（x﹣2）2，
联立方程并消元可得x2﹣5x+4=0，∴方程的两个根分别为1，4
∴线段AB的中点的横坐标为2.5，纵坐标为2.5
∴线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）
故答案为：（2.5，2.5）
【分析】化极坐标方程为直角坐标方程，参数方程为普通方程，联立可求线段AB的中点的直角坐标．
17．【答案】（1）解：∵f（x）= +λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx×2 cosωx+λ
=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+ sin2ωx+λ
= sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣ ）+λ
∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣ = +kπ，k∈z
∴ω= + ，又ω∈（ ，1）
∴k=1时，ω=
∴函数f（x）的最小正周期为 =
（2）解：∵f（ ）=0
∴2sin（2× × ﹣ ）+λ=0
∴λ=﹣
∴f（x）=2sin（ x﹣ ）﹣
由x∈[0， ]
∴ x﹣ ∈[﹣ ， ]
∴sin（ x﹣ ）∈[﹣ ，1]
∴2sin（ x﹣ ）﹣ =f（x）∈[﹣1﹣ ，2﹣ ]
故函数f（x）在区间[0， ]上的取值范围为[﹣1﹣ ，2﹣ ]
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．
18．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d
由题意可得，
解得 或
由等差数列的通项公式可得，an=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或an=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7
（2）解：当an=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比
当an=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件
故|an|=|3n﹣7|=
设数列{|an|}的前n项和为Sn
当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5
当n≥3时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）
=5+ = ，当n=2时，满足此式
综上可得
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得， ，解方程可求a1，d，进而可求通项（2）由（1）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为an=3n﹣7，则|an|=|3n﹣7|= ，根据等差数列的求和公式可求
19．【答案】（1）解：设BD=x，则CD=3﹣x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴VA﹣BCD= ×AD×S△BCD= ×（3﹣x）× ×x（3﹣x）= （x3﹣6x2+9x）
设f（x）= （x3﹣6x2+9x） x∈（0，3），
∵f′（x）= （x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数
∴当x=1时，函数f（x）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大
（2）解：以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，
由（1）知，三棱锥A﹣BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（ ，1，0），且 =（﹣1，1，1）
设N（0，λ，0），则 =（﹣ ，λ﹣1，0）
∵EN⊥BM，∴ =0
即（﹣1，1，1） （﹣ ，λ﹣1，0）= +λ﹣1=0，∴λ= ，∴N（0， ，0）
∴当DN= 时，EN⊥BM
设平面BMN的一个法向量为 =（x，y，z），由 及 =（﹣1， ，0）
得 ，取 =（1，2，﹣1）
设EN与平面BMN所成角为θ，则 =（﹣ ，﹣ ，0）
sinθ=|cos＜ ， ＞|=| |= =
∴θ=60°
∴EN与平面BMN所成角的大小为60°
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A﹣BCD的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角
20．【答案】（1）解：由题意，P（X＜300）=0.3，P（300≤X＜700）=P（X＜700）﹣P（X＜300）=0.7﹣0.3=0.4，P（700≤X＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜700）=0.9﹣0.7=0.2，P（X≥900）=1﹣0.9=0.1
Y的分布列为
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
∴E（Y）=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3
D（Y）=（0﹣3）2×0.3+（2﹣3）2×0.4+（6﹣3）2×0.2+（10﹣3）2×0.1=9.8
∴工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8；
（2）解：P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜300）=0.9﹣0.3=0.6
由条件概率可得P（Y≤6|X≥300）= ．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）由题意，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，结合某程施工期间的降水量对工期的影响，可求相应的概率，进而可得期延误天数Y的均值与方差；（2）利用概率的加法公式可得P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜300）=0.9﹣0.3=0.6，利用条件概率，即可得到结论
21．【答案】（1）解：如图1，设M（x，y），A（x0，y0）
∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0，|y|=m|y0|
∴x0=x，|y0|= |y|①
∵点A在圆上运动，∴②
①代入②即得所求曲线C的方程为
∵m∈（0，1）∪（1，+∞），
∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（ ），
m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（ ），
（2）解：如图2、3， x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），
∵P，H两点在椭圆C上，∴
①﹣②可得 ③
∵Q，N，H三点共线，∴kQN=kQH，∴
∴kPQ kPH=
∵PQ⊥PH，∴kPQ kPH=﹣1
∴
∵m＞0，∴
故存在 ，使得在其对应的椭圆 上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH
【知识点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）设M（x，y），A（x0，y0），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之间的关系x0=x，|y0|= |y|，利用点A在圆上运动即得所求曲线C的方程；根据m∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标；（2） x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），利用P，H两点在椭圆C上，可得 ，从而可得可得 ．利用Q，N，H三点共线，及PQ⊥PH，即可求得结论．
22．【答案】（1）解：求导函数可得：f′（x）=r（1﹣xr﹣1），令f′（x）=0，解得x=1；
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数
所以f（x）在x=1处取得最小值f（1）=0；
（2）解：由（1）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即xr≤rx+（1﹣r）①
若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；
若a1，a2均不为0，∵b1+b2=1，∴b2=1﹣b1，
∴①中令 ，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立
综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；②
（3）解：（2）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，an≥0，b1，b2，…，bn为正有理数，若b1+b2+…+bn=1，则a1b1a2b2…anbn≤a1b1+a2b2+…anbn；③用数学归纳法证明（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，③成立
（2）假设当n=k时，③成立，即a1≥0，a2≥0，…，ak≥0，b1，b2，…，bk为正有理数，若b1+b2+…+bk=1，则a1b1a2b2…akbk≤a1b1+a2b2+…akbk．
当n=k+1时，a1≥0，a2≥0，…，ak+1≥0，b1，b2，…，bk+1为正有理数，若b1+b2+…+bk+1=1，则1﹣bk+1＞0于是a1b1a2b2…akbkak+1bk+1=（a1b1a2b2…akbk）ak+1bk+1= ak+1bk+1∵ + +…+ =1∴ ≤ + +…+ = ∴ ak+1bk+1≤ （1﹣bk+1）+ak+1bk+1，∴a1b1a2b2…akbkak+1bk+1≤a1b1+a2b2+…akbk+ak+1bk+1．∴当n=k+1时，③成立由（1）（2）可知，对一切正整数，推广的命题成立．
【知识点】归纳推理；数学归纳法的原理；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）求导函数，令f′（x）=0，解得x=1；确定函数在（0，1）上是减函数；在（0，1）上是增函数，从而可求f（x）的最小值；（2）由（1）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即xr≤rx+（1﹣r），分类讨论：若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0， ，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立（3）（2）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，an≥0，b1，b2，…，bn为正有理数，若b1+b2+…+bn=1，则a1b1a2b2…anbn≤a1b1+a2b2+…anbn；
用数学归纳法证明：（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，推广命题成立；（2）假设当n=k时，推广命题成立，证明当n=k+1时，利用a1b1a2b2…akbkak+1bk+1=（a1b1a2b2…akbk）ak+1bk+1= ak+1bk+1，结合归纳假设，即可得到结论．
1 / 12012年高考理数真题试卷（湖北卷）
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2012·湖北）方程x2+6x+13=0的一个根是（ ）
A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i
【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：∵方程x2+6x+13=0中，
△=36﹣52=﹣16＜0，
∴ =﹣3±2i，
故选A．
【分析】由方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，知 =﹣3±2i，由此能求出结果．
2．（2012·湖北）命题“ x0∈ RQ，x03∈Q”的否定是（ ）
A． x0 RQ，x03∈Q B． x0∈ RQ，x03 Q
C． x0 RQ，x03∈Q D． x0∈ RQ，x03 Q
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：∵命题“ x0∈CRQ， ∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，
∴“ x0∈CRQ， ∈Q”的否定是 x0∈CRQ， Q
故选D
【分析】根据特称命题“ x∈A，p（A）”的否定是“ x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．
3．（2012·湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】解：根据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）
从而可知二次函数y=f（x）=﹣x2+1
∴它与X轴所围图形的面积为 =（ ） =（﹣ +1）﹣（ ﹣1）=
故选B．
【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求．
4．（2012·湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．3π C． D．6π
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图
所求几何体的体积为： =3π．
故选B．
【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．
5．（2012·湖北）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：∵512012+a=（52﹣1）2012+a
= +… + +a
由于 含有因数52，故能被52整除
要使得能512012+a能被13整除，且a∈Z，0≤a≤13
则可得a+1=13
∴a=12
故选D
【分析】由二项式定理可知512012+a=（52﹣1）2012+a的展开式中的项 含有因数52，要使得能512012+a能被13整除，只要a+1能被13整除，结合已知a的范围可求
6．（2012·湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一般形式的柯西不等式
【解析】【解答】解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（ x2+ y2+ z2）≥（ ax+ by+ cz）2，
当且仅当 时等号成立
∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，
∴等号成立
∴
∴ =
故选C．
【分析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．
7．（2012·湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）= ；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【知识点】等比关系的确定
【解析】【解答】解：由等比数列性质知 ，
① =f2（an+1），故正确；
② ≠ =f2（an+1），故不正确；
③ = =f2（an+1），故正确；
④f（an）f（an+2）=ln|an|ln|an+2|≠ =f2（an+1），故不正确；
故选C
【分析】根据新定义，结合等比数列性质 ，一一加以判断，即可得到结论．
8．（2012·湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A．1﹣ B．﹣ C． D．
【答案】A
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为 ，
连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为： ﹣ ，
∴此点取自阴影部分的概率是 ．
故选A．
【分析】求出阴影部分的面积即可，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB的面积．
9．（2012·湖北）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0
∴x=0或x2= ，k∈Z
∵x∈[0，4]，则x2∈[0，16]，
∴k可取的值有0，1，2，3，4，
∴方程共有6个解
∴函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6个
故选C
【分析】令函数值为0，构建方程，即可求出在区间[0，4]上的解，从而可得函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数
10．（2012·湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈ ．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）
A．d≈ B．d≈
C．d≈ D．d≈
【答案】D
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解：由V= ，解得d= 设选项中的常数为 ，则π=
选项A代入得π= =3.375；选项B代入得π= =3；
选项C代入得π= =3.14；选项D代入得π= =3.142857
由于D的值最接近π的真实值
故选D．
【分析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为 ，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．
二、填空题：（一）必考题
11．（2012·湖北）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C= ．
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab
即a2+b2﹣c2=﹣ab
由余弦定理得：cosC= =
又因为0＜C＜π，所以C= ．
故答案为：
【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B．
12．（2012·湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=
【答案】9
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，
第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环，
输出S=9．
故答案为：9．
【分析】本题考查循环结构，判断框中n=3退出循环是解题的关键. 用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可．
13．（2012·湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：
（Ⅰ）4位回文数有 个；
（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有 个．
【答案】90；9×10n
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；
故4位回文数有9×10=90个
故答案为 90
（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；
第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n种选法，
故2n+1（n∈N+）位回文数有9×10n个
故答案为9×10n
【分析】（I）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注意最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数；（II）将（I）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n+1（n∈N+）位回文数的个数
14．（2012·湖北）如图，双曲线 =1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：
（Ⅰ）双曲线的离心率e= ；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值 = ．
【答案】；
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为
∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，
∴ =a
∴（c2﹣a2）c2=（2c2﹣a2）a2
∴c4﹣3a2c2+a4=0
∴e4﹣3e2+1=0
∵e＞1
∴e=
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc
设矩形ABCD，BC=2n，BA=2m，∴
∵m2+n2=a2，∴ ，
∴面积S2=4mn=
∴ = =
∵bc=a2=c2﹣b2
∴
∴ =
故答案为： ，
【分析】（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为 ，根据以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，可得 =a，由此可求双曲线的离心率；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc，求出矩形ABCD的长与宽，从而求出面积S2=4mn= ，由此可得结论．
三、填空题：（二）选考题
15．（2012·湖北）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为 ．
【答案】2
【知识点】综合法与分析法(选修）
【解析】【解答】解：由题意可得△OCD为直角三角形，故有CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值．
故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半，由于AB=4，故CD的最大值为2，
故答案为2．
【分析】由题意可得 CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值，故当AB为直径、且D为AB的中点时，
CD取得最大值，为AB的一半．
16．（2012·湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ= 与曲线 （t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为 ．
【答案】（2.5，2.5）
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化；抛物线的参数方程
【解析】【解答】解：射线θ= 的直角坐标方程为y=x（x≥0），曲线 （t为参数）化为普通方程为y=（x﹣2）2，
联立方程并消元可得x2﹣5x+4=0，∴方程的两个根分别为1，4
∴线段AB的中点的横坐标为2.5，纵坐标为2.5
∴线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）
故答案为：（2.5，2.5）
【分析】化极坐标方程为直角坐标方程，参数方程为普通方程，联立可求线段AB的中点的直角坐标．
四、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2012·湖北）已知向量 =（cosωx﹣sinωx，sinωx）， =（﹣cosωx﹣sinωx，2 cosωx），设函数f（x）= +λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（ ，1）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（ ，0）求函数f（x）在区间[0， ]上的取值范围．
【答案】（1）解：∵f（x）= +λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx×2 cosωx+λ
=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+ sin2ωx+λ
= sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣ ）+λ
∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣ = +kπ，k∈z
∴ω= + ，又ω∈（ ，1）
∴k=1时，ω=
∴函数f（x）的最小正周期为 =
（2）解：∵f（ ）=0
∴2sin（2× × ﹣ ）+λ=0
∴λ=﹣
∴f（x）=2sin（ x﹣ ）﹣
由x∈[0， ]
∴ x﹣ ∈[﹣ ， ]
∴sin（ x﹣ ）∈[﹣ ，1]
∴2sin（ x﹣ ）﹣ =f（x）∈[﹣1﹣ ，2﹣ ]
故函数f（x）在区间[0， ]上的取值范围为[﹣1﹣ ，2﹣ ]
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．
18．（2012·湖北）已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．
（1）求等差数列{an}的通项公式；
（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d
由题意可得，
解得 或
由等差数列的通项公式可得，an=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或an=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7
（2）解：当an=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比
当an=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件
故|an|=|3n﹣7|=
设数列{|an|}的前n项和为Sn
当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5
当n≥3时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）
=5+ = ，当n=2时，满足此式
综上可得
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得， ，解方程可求a1，d，进而可求通项（2）由（1）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为an=3n﹣7，则|an|=|3n﹣7|= ，根据等差数列的求和公式可求
19．（2012·湖北）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；
（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．
【答案】（1）解：设BD=x，则CD=3﹣x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴VA﹣BCD= ×AD×S△BCD= ×（3﹣x）× ×x（3﹣x）= （x3﹣6x2+9x）
设f（x）= （x3﹣6x2+9x） x∈（0，3），
∵f′（x）= （x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数
∴当x=1时，函数f（x）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大
（2）解：以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，
由（1）知，三棱锥A﹣BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（ ，1，0），且 =（﹣1，1，1）
设N（0，λ，0），则 =（﹣ ，λ﹣1，0）
∵EN⊥BM，∴ =0
即（﹣1，1，1） （﹣ ，λ﹣1，0）= +λ﹣1=0，∴λ= ，∴N（0， ，0）
∴当DN= 时，EN⊥BM
设平面BMN的一个法向量为 =（x，y，z），由 及 =（﹣1， ，0）
得 ，取 =（1，2，﹣1）
设EN与平面BMN所成角为θ，则 =（﹣ ，﹣ ，0）
sinθ=|cos＜ ， ＞|=| |= =
∴θ=60°
∴EN与平面BMN所成角的大小为60°
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A﹣BCD的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角
20．（2012·湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900
工期延误天数Y 0 2 6 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
（1）工期延误天数Y的均值与方差；
（2）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
【答案】（1）解：由题意，P（X＜300）=0.3，P（300≤X＜700）=P（X＜700）﹣P（X＜300）=0.7﹣0.3=0.4，P（700≤X＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜700）=0.9﹣0.7=0.2，P（X≥900）=1﹣0.9=0.1
Y的分布列为
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
∴E（Y）=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3
D（Y）=（0﹣3）2×0.3+（2﹣3）2×0.4+（6﹣3）2×0.2+（10﹣3）2×0.1=9.8
∴工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8；
（2）解：P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜300）=0.9﹣0.3=0.6
由条件概率可得P（Y≤6|X≥300）= ．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）由题意，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，结合某程施工期间的降水量对工期的影响，可求相应的概率，进而可得期延误天数Y的均值与方差；（2）利用概率的加法公式可得P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜300）=0.9﹣0.3=0.6，利用条件概率，即可得到结论
21．（2012·湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（2）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1，设M（x，y），A（x0，y0）
∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0，|y|=m|y0|
∴x0=x，|y0|= |y|①
∵点A在圆上运动，∴②
①代入②即得所求曲线C的方程为
∵m∈（0，1）∪（1，+∞），
∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（ ），
m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（ ），
（2）解：如图2、3， x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），
∵P，H两点在椭圆C上，∴
①﹣②可得 ③
∵Q，N，H三点共线，∴kQN=kQH，∴
∴kPQ kPH=
∵PQ⊥PH，∴kPQ kPH=﹣1
∴
∵m＞0，∴
故存在 ，使得在其对应的椭圆 上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH
【知识点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）设M（x，y），A（x0，y0），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之间的关系x0=x，|y0|= |y|，利用点A在圆上运动即得所求曲线C的方程；根据m∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标；（2） x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），利用P，H两点在椭圆C上，可得 ，从而可得可得 ．利用Q，N，H三点共线，及PQ⊥PH，即可求得结论．
22．（2012·湖北）（I）已知函数f（x）=rx﹣xr+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．
（1）求f（x）的最小值；
（2）试用（1）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；
（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．
【答案】（1）解：求导函数可得：f′（x）=r（1﹣xr﹣1），令f′（x）=0，解得x=1；
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数
所以f（x）在x=1处取得最小值f（1）=0；
（2）解：由（1）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即xr≤rx+（1﹣r）①
若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；
若a1，a2均不为0，∵b1+b2=1，∴b2=1﹣b1，
∴①中令 ，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立
综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；②
（3）解：（2）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，an≥0，b1，b2，…，bn为正有理数，若b1+b2+…+bn=1，则a1b1a2b2…anbn≤a1b1+a2b2+…anbn；③用数学归纳法证明（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，③成立
（2）假设当n=k时，③成立，即a1≥0，a2≥0，…，ak≥0，b1，b2，…，bk为正有理数，若b1+b2+…+bk=1，则a1b1a2b2…akbk≤a1b1+a2b2+…akbk．
当n=k+1时，a1≥0，a2≥0，…，ak+1≥0，b1，b2，…，bk+1为正有理数，若b1+b2+…+bk+1=1，则1﹣bk+1＞0于是a1b1a2b2…akbkak+1bk+1=（a1b1a2b2…akbk）ak+1bk+1= ak+1bk+1∵ + +…+ =1∴ ≤ + +…+ = ∴ ak+1bk+1≤ （1﹣bk+1）+ak+1bk+1，∴a1b1a2b2…akbkak+1bk+1≤a1b1+a2b2+…akbk+ak+1bk+1．∴当n=k+1时，③成立由（1）（2）可知，对一切正整数，推广的命题成立．
【知识点】归纳推理；数学归纳法的原理；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）求导函数，令f′（x）=0，解得x=1；确定函数在（0，1）上是减函数；在（0，1）上是增函数，从而可求f（x）的最小值；（2）由（1）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即xr≤rx+（1﹣r），分类讨论：若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0， ，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立（3）（2）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，an≥0，b1，b2，…，bn为正有理数，若b1+b2+…+bn=1，则a1b1a2b2…anbn≤a1b1+a2b2+…anbn；
用数学归纳法证明：（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，推广命题成立；（2）假设当n=k时，推广命题成立，证明当n=k+1时，利用a1b1a2b2…akbkak+1bk+1=（a1b1a2b2…akbk）ak+1bk+1= ak+1bk+1，结合归纳假设，即可得到结论．
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