2012年高考理数真题试卷（湖南卷）
一、选择题
1．（2012·湖南理）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（ ）
A．{0} B．{0，1}
C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={﹣1，0，1}，
所以M∩N={0，1}．
故选B．
【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可．
2．（2012·湖南理）命题“若α= ，则tanα=1”的逆否命题是（ ）
A．若α≠ ，则tanα≠1 B．若α= ，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=
【答案】C
【知识点】四种命题间的逆否关系
【解析】【解答】解：命题：“若α= ，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠ ．
故选C．
【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．
3．（2012·湖南理）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A
若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；
若俯视图为C，则正视图中应有虚线，故该几何体的俯视图不可能是C
若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为D；
故选C
【分析】由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不吻合的为正确选项
4．（2012·湖南理）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（ ， ）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
【答案】D
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；
对于B，回归直线过样本点的中心（ ， ），故正确；
对于C，∵回归方程为 =0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；
对于D，x=170cm时， =0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确
故选D．
【分析】根据回归方程为 =0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．
5．（2012·湖南理）已知双曲线C： 的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：∵双曲线C： 的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，
∴a2+b2=25， =1，
∴b= ，a=2
∴双曲线的方程为 ．
故选：A．
【分析】利用双曲线C： 的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．
6．（2012·湖南理）函数f（x）=sinx﹣cos（x+ ）的值域为（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣ ， ]
C．[﹣1，1] D．[﹣ ， ]
【答案】B
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】解：函数f（x）=sinx﹣cos（x+ ）=sinx﹣ +
=﹣ +
= sin（x﹣ ）∈ ．
故选B．
【分析】通过两角和的余弦函数化简函数的表达式，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的值域．
7．（2012·湖南理）在△ABC中，AB=2，AC=3， =1，则BC=（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】向量在几何中的应用；解三角形
【解析】【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
∵ =1，设∠B=θ，AB=2，
∴2 BC cos（π﹣θ）=1，即cosθ=﹣ ，
又根据余弦定理得：cosθ= = ，
∴﹣ = ，即BC2=3，
则BC= ．
故选A
【分析】设∠B=θ，由 =1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出cosθ，再利用余弦定理表示出cosθ，两者相等列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长．
8．（2012·湖南理）已知两条直线l1：y=m和l2：y= （m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时， 的最小值为（ ）
A．16 B．8 C．8 D．4
【答案】B
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用；基本不等式在最值问题中的应用；平行投影及平行投影作图法
【解析】【解答】解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，
则﹣log2xA=m，log2xB=m；﹣log2xC= ，log2xD= ；
∴xA=2﹣m，xB=2m，xC= ，xD= ．
∴a=|xA﹣xC|，b=|xB﹣xD|，
∴ = =| |=2m = ．
又m＞0，∴m+ = （2m+1）+ ﹣ ≥2 ﹣ = （当且仅当m= 时取“=”）
∴ ≥ =8 ．
故选B．
【分析】设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，依题意可求得为xA，xB，xC，xD的值，a=|xA﹣xC|，b=|xB﹣xD|，利用基本不等式可求得当m变化时， 的最小值．
二、填空题
9．（2012·湖南理）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C1： （t为参数）与曲线C2： （θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于 ．
【答案】
【知识点】直线的参数方程；椭圆的参数方程
【解析】【解答】解：曲线C1： （t为参数）化为普通方程：2x+y﹣3=0，令y=0，可得x=
曲线C2： （θ为参数，a＞0 ）化为普通方程：
∵两曲线有一个公共点在x轴上，
∴
∴a=
故答案为：
【分析】化参数方程为普通方程，利用两曲线有一个公共点在x轴上，可得方程，即可求得结论．
10．（2012·湖南理）不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为 ．
【答案】{x|x＞ }
【知识点】绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，
∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，
∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，
∴x＞ ．
∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞ }．
故答案为：{x|x＞ }．
【分析】由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0 不等式|2x+1|＞2|x﹣1| （2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．
11．（2012·湖南理）如图，过点P的直线与圆⊙O相交于A，B两点．若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于 ．
【答案】
【知识点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：设圆的半径为r，且
PO与圆交于C，D两点
∵PAB、PCD是圆O的割线，
∴PA PB=PC PD，
∵PA=1，PB=PA+AB=3；
PC=3﹣r，PD=3+r，
∴1×3=（3﹣r）×（3+r），
r2=6
∴r= ，
故答案为： ．
【分析】设出圆的半径，根据切割线定理推出PA PB=PC PD，代入求出半径即可．
12．（2012·湖南理）已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|= ．
【答案】10
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|= =10．
故答案为：10．
【分析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．
13．（2012·湖南理）（ ）6的二项展开式中的常数项为 （用数字作答）．
【答案】﹣160
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：（ ）6展开式的通项为Tr+1=C6r （2 ）6﹣r （﹣ ）r=（﹣1）r C6r 26﹣r x3﹣r，
令3﹣r=0，可得r=3，
其常数项为T4=（﹣1）r C6r 26﹣r=﹣160；
故答案为﹣160．
【分析】根据题意，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．
14．（2012·湖南理）如果执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=3，则输出的数S=
【答案】-4
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：判断前x=﹣1，n=3，i=2，第1次判断后循环，S=﹣6+2+1=﹣3，i=1，
第2次判断后S=5，i=0，
第3次判断后S=﹣4，i=﹣1，
第4次判断后﹣1≥0，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：﹣4．
故答案为：﹣4．
【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．
15．（2012·湖南理）函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
（1）若φ= ，点P的坐标为（0， ），则ω= ；
（2）若在曲线段 与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 ．
【答案】3；
【知识点】导数的四则运算；几何概型；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin （ωx+φ）的导函数y=f′（x）=ωcos（ωx+φ），其中φ= ，过点P（0， ），
∴ωcos =
∴ω=3．
故答案为：3．
（2）∵f′（x）=ωcos（ωx+φ），
∴曲线段 与x轴所围成的区域面积为 [﹣f′（x）]dx=﹣f（x） =﹣sin ﹣（﹣sin ）=2，
三角形ABC的面积为 = ，
∴在曲线段 与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为P= = ．
故答案为： ．
【分析】（1）先利用导数的运算性质，求函数f（x）的导函数f′（x），再将φ= ，f′（0）= 代入导函数解析式，即可解得ω的值；（2）先利用定积分的几何意义，求曲线段 与x轴所围成的区域面积，再求三角形ABC的面积，最后利用几何概型概率计算公式求面积之比即可得所求概率．
16．（2012·湖南理）设N=2n（n∈N* ， n≥2），将N个数x1 ， x2 ， …，xN依次放入编号为1，2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN ． 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前
和后
个位置，得到排列P1=x1x3…xN﹣1x2x4…xN ， 将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段
个数，并对每段作C变换，得到P2 ， 当2≤i≤n﹣2时，将Pi分成2i段，每段
个数，并对每段作C变换，得到Pi+1 ， 例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8 ， 此时x7位于P2中的第4个位置．
（1）当N=16时，x7位于P2中的第 个位置；
（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第 个位置．
【答案】6；3×2n﹣4+11
【知识点】演绎推理的基本方法；进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解：（1）当N=16时，P0=x1x2…x16 ． 由C变换的定义可得P1=x1x3…x15x2x4…x16 ，
又将P1分成两段，每段
个数，并对每段作C变换，得到P2 ， 故P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16 ， 由此知x7位于P2中的第6个位置；
（2）由C变换的定义及（1）计算可发现，第一次C变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以2为首项；第二次C变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以4公差的等差数列，且第一段的序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项，依此类推可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x173位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N=2n（n≥8）故每段的数字有2n﹣4个，以13为首项的是第四段，故x173位于第3×2n﹣4+11=3×2n﹣4+11个位置．
故答案为3×2n﹣4+11
【分析】（1）由题意，可按照C变换的定义把N=16时P2列举出，从中查出x7的位置即可；（2）根据C变换的定义及归纳（1）中的规律可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，3，5，7，9，11，13，15，2，4，6，8，10，12，14，16，再173=16×10+13，即可确定出x173位于P4中的位置．
三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2012·湖南理）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次性购物量 1至4件 5 至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数（人） x 30 25 y 10
结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．
（1）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）
【答案】（1）解：由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；
将频率视为概率可得P（X=1）= =0.15；P（X=1.5）= =0.3；P（X=2）= =0.25；P（X=2.5）= =0.2；P（X=3）= =0.1
X的分布列
X 1 1.5 2 2.5 3
P 0.15 0.3 0.25 0.2 0.1
X的数学期望为E（X）=1×0.15+1.5×0.3+2×0.25+2.5×0.2+3×0.1=1.9
（2）解：记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，Xi（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则
P（A）=P（（X1=1且X2=1）+P（（X1=1且X2=1.5）+P（（X1=1.5且X2=1）
由于各顾客的结算相互独立，且Xi（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，所以
P（A）=0.15×0.15+0.15×0.3+0.3×0.15=0.1125
故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为0.1125
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，将频率视为概率，故可求相应的概率，由此可得X的分布列与数学期望；（2）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，Xi（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P（A）=P（（X1=1且X2=1）+P（（X1=1且X2=1.5）+P（（X1=1.5且X2=1），由于各顾客的结算相互独立，且Xi（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，故可得结论．
18．（2012·湖南理）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．
（1）证明：CD⊥平面PAE；
（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【答案】（1）解法一：连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，
又AD=5，E是CD得中点，
所以CD⊥AE，
PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD．
所以PA⊥CD，
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE．
解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，
设PA=h，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）．
=（﹣4，2，0）， =（2，4，0）， =（0，0，h）．
因为 =﹣8+8+0=0， =0．
所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE．
（2）法一：过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA= ，sin∠BPF= ，所以PA=BF．由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD．所以四边形BCDG是平行四边形，故GD=BC=3，于是AG=2．在Rt△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，所以BG= =2 ，BF= = = ．于是PA=BF= ．又梯形ABCD的面积为S= ×（5+3）×4=16．所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V= ×S×PA= ×16× = ．
法二：由题设和第一问知， ， 分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，
而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以：|cos＜ ， ＞|=|cos＜ ， ＞|，即| |=| |．由第一问知 =（﹣4，2，0）， =（（0，0，﹣h），又 =（4，0，﹣h）．故| |=| |．解得h= ．又梯形ABCD的面积为S= ×（5+3）×4=16．所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V= ×S×PA= ×16× = ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】法一：（1）先根据条件得到CD⊥AE；再结合PA⊥平面ABCD即可得到结论的证明；（2）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA=BF，进而得到四边形BCDG是平行四边形，在下底面内求出BF的长以及下底面的面积，最后代入体积计算公式即可．
法二：（1）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到 =0以及 =0．即可证明结论；（2）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA的长，再求出下底面面积，最后代入体积计算公式即可．
19．（2012·湖南理）已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+…+an，B（n）=a2+a3+…+an+1，C（n）=a3+a4+…+an+2，n=1，2，…．
（1）若a1=1，a2=5，且对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an}的通项公式．
（2）证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．
【答案】（1）解：∵对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，
∴B（n）﹣A（n）=C（n）﹣B（n），
即an+1﹣a1=an+2﹣a2，亦即an+2﹣an+1=a2﹣a1=4．
故数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，于是an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3
（2）证明：（必要性）：若数列{an}是公比为q的等比数列，对任意n∈N*，有an+1=anq．由an＞0知，A（n），B（n），C（n）均大于0，于是
= = =q，
= = =q，
即 = =q，
∴三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列；
（充分性）：若对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，则
B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），
于是C（n）﹣B（n）=q[B（n）﹣A（n）]，即an+2﹣a2=q（an+1﹣a1），亦即an+2﹣qan+1=a2﹣qa1．
由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2﹣qan+1=0．
∵an＞0，
∴ = =q．故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列．
综上所述，数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列
【知识点】充要条件；等比关系的确定；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）由于对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，可得到B（n）﹣A（n）=C（n）﹣B（n），即an+1﹣a1=an+2﹣a2，整理即可得数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，从而可得an．（2）必要性：由数列{an}是公比为q的等比数列，可证得即 = =q，即必要性成立；充分性：若对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，可得an+2﹣qan+1=a2﹣qa1．由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2﹣qan+1=0，即充分性成立，于是结论得证．
20．（2012·湖南理）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）．
（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；
（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．
【答案】（1）解：设写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x）
∴ ， ，
其中x，kx，200﹣（1+k）x均为1到200之间的正整数
（2）解：完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为
∴T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）= T1（x）
①当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{ }
∵T1（x），T3（x）为增函数，∴当 时，f（x）取得最小值，此时x=
∵ ， ， ，f（44）＜f（45）
∴x=44时，完成订单任务的时间最短，时间最短为
②当k≥3时，T2（x）＜T1（x），
记 ，为增函数，φ（x）=max{T1（x），T（x）}
f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{ }
∵T1（x）为减函数，T（x）为增函数，∴当 时，φ（x）取得最小值，此时x=
∵ ， ，
∴完成订单任务的时间大于
③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{ }
∵T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，∴当 时，φ（x）取得最小值，此时x=
类似①的讨论，此时完成订单任务的时间为 ，大于
综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44，88，68．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）设完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x），则可得 ， ， ；（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为 ，可得T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）= T1（x），分类讨论：①当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{ }，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；②当k≥3时，T2（x）＜T1（x）， 记 ，为增函数，φ（x）=max{T1（x），T（x）}f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{ }，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{ }，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间，从而问题得解．
21．（2012·湖南理）在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
（1）求曲线C1的方程
（2）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
【答案】（1）解：设M的坐标为（x，y），由已知得|x+2|= 且圆C2上的点位于直线x=﹣2的右侧
∴ =x+5
化简得曲线C1的方程为y2=20x
（2）证明：当点P在直线x=﹣4上运动时，P的坐标为（﹣4，y0），
∵y0≠±3，∴过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为
y﹣y0=k（x+4），即kx﹣y+y0+4k=0，
∴ ，整理得 ①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根
∴②
由 ，消元可得 ③
设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，
∴y1，y2是方程③的两个实根
∴④
同理可得 ⑤
由①②④⑤可得 = =6400
∴当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．
【知识点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设M的坐标为（x，y），根据对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，可得|x+2|= 且圆C2上的点位于直线x=﹣2的右侧，从而可得曲线C1的方程；（2）当点P在直线x=﹣4上运动时，P的坐标为（﹣4，y0），设切线方程为kx﹣y+y0+4k=0，利用直线与圆相切可得 ，从而可得过P所作的两条切线PA，PC的斜率k1，k2是方程的两个实根，设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，从而可得 ；同理可得 ，由此可得当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．
22．（2012·湖南理）已知函数f（x）=eax﹣x，其中a≠0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．
（2）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：若a＜0，则对一切x＞0，函数f（x）=eax﹣x＜1，这与题设矛盾，
∵a≠0，∴a＞0
∵f′（x）=aeax﹣1，令f′（x）=0，可得
令f′（x）＜0，可得 ，函数单调减；令f′（x）＞0，可得 ，函数单调增，
∴ 时，f（x）取最小值
∴对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，则 ①
令g（t）=t﹣tlnt，则g′（t）=﹣lnt
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减
∴t=1时，g（t）取最大值g（1）=1
∴当且仅当 =1，即a=1时，①成立
综上所述，a的取值集合为{1}
（2）解：由题意知，
令φ（x）=f′（x）﹣k= ，则
令F（t）=et﹣t﹣1，则F′（t）=et﹣1
当t＜0时，F′（t）＜0，函数单调减；当t＞0时，F′（t）＞0，函数单调增；
∴t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即et﹣t﹣1＞0
∴ ，
∵ ＞0，
∴φ（x1）＜0，φ（x2）＞0
∴存在c∈（x1，x2），φ（c）=0
∵φ（x）单调递增，故这样的c是唯一的，且
当且仅当x∈（ ，x2）时，f′（x）＞k
综上所述，存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立，且x0的取值范围为（ ，x2）
【知识点】函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先确定a＞0，再求导函数，确定函数的单调性，可得 时，f（x）取最小值 故对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，则 ，构建新函数g（t）=t﹣tlnt，则g′（t）=﹣lnt，确定函数的单调性，求出函数的最大值，由此即可求得a的取值集合；（2）由题意知， ，构建新函数φ（x）=f′（x）﹣k= ，则 ， ，构建函数F（t）=et﹣t﹣1，从而可证明φ（x1）＜0，φ（x2）＞0，由此即可得到存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立．
1 / 12012年高考理数真题试卷（湖南卷）
一、选择题
1．（2012·湖南理）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（ ）
A．{0} B．{0，1}
C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}
2．（2012·湖南理）命题“若α= ，则tanα=1”的逆否命题是（ ）
A．若α≠ ，则tanα≠1 B．若α= ，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=
3．（2012·湖南理）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2012·湖南理）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（ ， ）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
5．（2012·湖南理）已知双曲线C： 的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2012·湖南理）函数f（x）=sinx﹣cos（x+ ）的值域为（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣ ， ]
C．[﹣1，1] D．[﹣ ， ]
7．（2012·湖南理）在△ABC中，AB=2，AC=3， =1，则BC=（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2012·湖南理）已知两条直线l1：y=m和l2：y= （m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时， 的最小值为（ ）
A．16 B．8 C．8 D．4
二、填空题
9．（2012·湖南理）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C1： （t为参数）与曲线C2： （θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于 ．
10．（2012·湖南理）不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为 ．
11．（2012·湖南理）如图，过点P的直线与圆⊙O相交于A，B两点．若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于 ．
12．（2012·湖南理）已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|= ．
13．（2012·湖南理）（ ）6的二项展开式中的常数项为 （用数字作答）．
14．（2012·湖南理）如果执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=3，则输出的数S=
15．（2012·湖南理）函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
（1）若φ= ，点P的坐标为（0， ），则ω= ；
（2）若在曲线段 与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 ．
16．（2012·湖南理）设N=2n（n∈N* ， n≥2），将N个数x1 ， x2 ， …，xN依次放入编号为1，2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN ． 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前
和后
个位置，得到排列P1=x1x3…xN﹣1x2x4…xN ， 将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段
个数，并对每段作C变换，得到P2 ， 当2≤i≤n﹣2时，将Pi分成2i段，每段
个数，并对每段作C变换，得到Pi+1 ， 例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8 ， 此时x7位于P2中的第4个位置．
（1）当N=16时，x7位于P2中的第 个位置；
（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第 个位置．
三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2012·湖南理）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次性购物量 1至4件 5 至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数（人） x 30 25 y 10
结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．
（1）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）
18．（2012·湖南理）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．
（1）证明：CD⊥平面PAE；
（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．（2012·湖南理）已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+…+an，B（n）=a2+a3+…+an+1，C（n）=a3+a4+…+an+2，n=1，2，…．
（1）若a1=1，a2=5，且对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an}的通项公式．
（2）证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．
20．（2012·湖南理）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）．
（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；
（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．
21．（2012·湖南理）在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
（1）求曲线C1的方程
（2）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
22．（2012·湖南理）已知函数f（x）=eax﹣x，其中a≠0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．
（2）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={﹣1，0，1}，
所以M∩N={0，1}．
故选B．
【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可．
2．【答案】C
【知识点】四种命题间的逆否关系
【解析】【解答】解：命题：“若α= ，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠ ．
故选C．
【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．
3．【答案】C
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A
若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；
若俯视图为C，则正视图中应有虚线，故该几何体的俯视图不可能是C
若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为D；
故选C
【分析】由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不吻合的为正确选项
4．【答案】D
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；
对于B，回归直线过样本点的中心（ ， ），故正确；
对于C，∵回归方程为 =0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；
对于D，x=170cm时， =0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确
故选D．
【分析】根据回归方程为 =0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．
5．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：∵双曲线C： 的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，
∴a2+b2=25， =1，
∴b= ，a=2
∴双曲线的方程为 ．
故选：A．
【分析】利用双曲线C： 的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．
6．【答案】B
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】解：函数f（x）=sinx﹣cos（x+ ）=sinx﹣ +
=﹣ +
= sin（x﹣ ）∈ ．
故选B．
【分析】通过两角和的余弦函数化简函数的表达式，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的值域．
7．【答案】A
【知识点】向量在几何中的应用；解三角形
【解析】【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
∵ =1，设∠B=θ，AB=2，
∴2 BC cos（π﹣θ）=1，即cosθ=﹣ ，
又根据余弦定理得：cosθ= = ，
∴﹣ = ，即BC2=3，
则BC= ．
故选A
【分析】设∠B=θ，由 =1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出cosθ，再利用余弦定理表示出cosθ，两者相等列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长．
8．【答案】B
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用；基本不等式在最值问题中的应用；平行投影及平行投影作图法
【解析】【解答】解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，
则﹣log2xA=m，log2xB=m；﹣log2xC= ，log2xD= ；
∴xA=2﹣m，xB=2m，xC= ，xD= ．
∴a=|xA﹣xC|，b=|xB﹣xD|，
∴ = =| |=2m = ．
又m＞0，∴m+ = （2m+1）+ ﹣ ≥2 ﹣ = （当且仅当m= 时取“=”）
∴ ≥ =8 ．
故选B．
【分析】设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，依题意可求得为xA，xB，xC，xD的值，a=|xA﹣xC|，b=|xB﹣xD|，利用基本不等式可求得当m变化时， 的最小值．
9．【答案】
【知识点】直线的参数方程；椭圆的参数方程
【解析】【解答】解：曲线C1： （t为参数）化为普通方程：2x+y﹣3=0，令y=0，可得x=
曲线C2： （θ为参数，a＞0 ）化为普通方程：
∵两曲线有一个公共点在x轴上，
∴
∴a=
故答案为：
【分析】化参数方程为普通方程，利用两曲线有一个公共点在x轴上，可得方程，即可求得结论．
10．【答案】{x|x＞ }
【知识点】绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，
∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，
∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，
∴x＞ ．
∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞ }．
故答案为：{x|x＞ }．
【分析】由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0 不等式|2x+1|＞2|x﹣1| （2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．
11．【答案】
【知识点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：设圆的半径为r，且
PO与圆交于C，D两点
∵PAB、PCD是圆O的割线，
∴PA PB=PC PD，
∵PA=1，PB=PA+AB=3；
PC=3﹣r，PD=3+r，
∴1×3=（3﹣r）×（3+r），
r2=6
∴r= ，
故答案为： ．
【分析】设出圆的半径，根据切割线定理推出PA PB=PC PD，代入求出半径即可．
12．【答案】10
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|= =10．
故答案为：10．
【分析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．
13．【答案】﹣160
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：（ ）6展开式的通项为Tr+1=C6r （2 ）6﹣r （﹣ ）r=（﹣1）r C6r 26﹣r x3﹣r，
令3﹣r=0，可得r=3，
其常数项为T4=（﹣1）r C6r 26﹣r=﹣160；
故答案为﹣160．
【分析】根据题意，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．
14．【答案】-4
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：判断前x=﹣1，n=3，i=2，第1次判断后循环，S=﹣6+2+1=﹣3，i=1，
第2次判断后S=5，i=0，
第3次判断后S=﹣4，i=﹣1，
第4次判断后﹣1≥0，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：﹣4．
故答案为：﹣4．
【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．
15．【答案】3；
【知识点】导数的四则运算；几何概型；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin （ωx+φ）的导函数y=f′（x）=ωcos（ωx+φ），其中φ= ，过点P（0， ），
∴ωcos =
∴ω=3．
故答案为：3．
（2）∵f′（x）=ωcos（ωx+φ），
∴曲线段 与x轴所围成的区域面积为 [﹣f′（x）]dx=﹣f（x） =﹣sin ﹣（﹣sin ）=2，
三角形ABC的面积为 = ，
∴在曲线段 与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为P= = ．
故答案为： ．
【分析】（1）先利用导数的运算性质，求函数f（x）的导函数f′（x），再将φ= ，f′（0）= 代入导函数解析式，即可解得ω的值；（2）先利用定积分的几何意义，求曲线段 与x轴所围成的区域面积，再求三角形ABC的面积，最后利用几何概型概率计算公式求面积之比即可得所求概率．
16．【答案】6；3×2n﹣4+11
【知识点】演绎推理的基本方法；进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解：（1）当N=16时，P0=x1x2…x16 ． 由C变换的定义可得P1=x1x3…x15x2x4…x16 ，
又将P1分成两段，每段
个数，并对每段作C变换，得到P2 ， 故P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16 ， 由此知x7位于P2中的第6个位置；
（2）由C变换的定义及（1）计算可发现，第一次C变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以2为首项；第二次C变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以4公差的等差数列，且第一段的序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项，依此类推可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x173位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N=2n（n≥8）故每段的数字有2n﹣4个，以13为首项的是第四段，故x173位于第3×2n﹣4+11=3×2n﹣4+11个位置．
故答案为3×2n﹣4+11
【分析】（1）由题意，可按照C变换的定义把N=16时P2列举出，从中查出x7的位置即可；（2）根据C变换的定义及归纳（1）中的规律可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，3，5，7，9，11，13，15，2，4，6，8，10，12，14，16，再173=16×10+13，即可确定出x173位于P4中的位置．
17．【答案】（1）解：由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；
将频率视为概率可得P（X=1）= =0.15；P（X=1.5）= =0.3；P（X=2）= =0.25；P（X=2.5）= =0.2；P（X=3）= =0.1
X的分布列
X 1 1.5 2 2.5 3
P 0.15 0.3 0.25 0.2 0.1
X的数学期望为E（X）=1×0.15+1.5×0.3+2×0.25+2.5×0.2+3×0.1=1.9
（2）解：记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，Xi（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则
P（A）=P（（X1=1且X2=1）+P（（X1=1且X2=1.5）+P（（X1=1.5且X2=1）
由于各顾客的结算相互独立，且Xi（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，所以
P（A）=0.15×0.15+0.15×0.3+0.3×0.15=0.1125
故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为0.1125
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，将频率视为概率，故可求相应的概率，由此可得X的分布列与数学期望；（2）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，Xi（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P（A）=P（（X1=1且X2=1）+P（（X1=1且X2=1.5）+P（（X1=1.5且X2=1），由于各顾客的结算相互独立，且Xi（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，故可得结论．
18．【答案】（1）解法一：连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，
又AD=5，E是CD得中点，
所以CD⊥AE，
PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD．
所以PA⊥CD，
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE．
解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，
设PA=h，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）．
=（﹣4，2，0）， =（2，4，0）， =（0，0，h）．
因为 =﹣8+8+0=0， =0．
所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE．
（2）法一：过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA= ，sin∠BPF= ，所以PA=BF．由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD．所以四边形BCDG是平行四边形，故GD=BC=3，于是AG=2．在Rt△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，所以BG= =2 ，BF= = = ．于是PA=BF= ．又梯形ABCD的面积为S= ×（5+3）×4=16．所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V= ×S×PA= ×16× = ．
法二：由题设和第一问知， ， 分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，
而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以：|cos＜ ， ＞|=|cos＜ ， ＞|，即| |=| |．由第一问知 =（﹣4，2，0）， =（（0，0，﹣h），又 =（4，0，﹣h）．故| |=| |．解得h= ．又梯形ABCD的面积为S= ×（5+3）×4=16．所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V= ×S×PA= ×16× = ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】法一：（1）先根据条件得到CD⊥AE；再结合PA⊥平面ABCD即可得到结论的证明；（2）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA=BF，进而得到四边形BCDG是平行四边形，在下底面内求出BF的长以及下底面的面积，最后代入体积计算公式即可．
法二：（1）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到 =0以及 =0．即可证明结论；（2）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA的长，再求出下底面面积，最后代入体积计算公式即可．
19．【答案】（1）解：∵对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，
∴B（n）﹣A（n）=C（n）﹣B（n），
即an+1﹣a1=an+2﹣a2，亦即an+2﹣an+1=a2﹣a1=4．
故数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，于是an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3
（2）证明：（必要性）：若数列{an}是公比为q的等比数列，对任意n∈N*，有an+1=anq．由an＞0知，A（n），B（n），C（n）均大于0，于是
= = =q，
= = =q，
即 = =q，
∴三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列；
（充分性）：若对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，则
B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），
于是C（n）﹣B（n）=q[B（n）﹣A（n）]，即an+2﹣a2=q（an+1﹣a1），亦即an+2﹣qan+1=a2﹣qa1．
由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2﹣qan+1=0．
∵an＞0，
∴ = =q．故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列．
综上所述，数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列
【知识点】充要条件；等比关系的确定；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）由于对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，可得到B（n）﹣A（n）=C（n）﹣B（n），即an+1﹣a1=an+2﹣a2，整理即可得数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，从而可得an．（2）必要性：由数列{an}是公比为q的等比数列，可证得即 = =q，即必要性成立；充分性：若对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，可得an+2﹣qan+1=a2﹣qa1．由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2﹣qan+1=0，即充分性成立，于是结论得证．
20．【答案】（1）解：设写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x）
∴ ， ，
其中x，kx，200﹣（1+k）x均为1到200之间的正整数
（2）解：完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为
∴T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）= T1（x）
①当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{ }
∵T1（x），T3（x）为增函数，∴当 时，f（x）取得最小值，此时x=
∵ ， ， ，f（44）＜f（45）
∴x=44时，完成订单任务的时间最短，时间最短为
②当k≥3时，T2（x）＜T1（x），
记 ，为增函数，φ（x）=max{T1（x），T（x）}
f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{ }
∵T1（x）为减函数，T（x）为增函数，∴当 时，φ（x）取得最小值，此时x=
∵ ， ，
∴完成订单任务的时间大于
③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{ }
∵T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，∴当 时，φ（x）取得最小值，此时x=
类似①的讨论，此时完成订单任务的时间为 ，大于
综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44，88，68．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）设完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x），则可得 ， ， ；（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为 ，可得T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）= T1（x），分类讨论：①当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{ }，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；②当k≥3时，T2（x）＜T1（x）， 记 ，为增函数，φ（x）=max{T1（x），T（x）}f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{ }，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{ }，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间，从而问题得解．
21．【答案】（1）解：设M的坐标为（x，y），由已知得|x+2|= 且圆C2上的点位于直线x=﹣2的右侧
∴ =x+5
化简得曲线C1的方程为y2=20x
（2）证明：当点P在直线x=﹣4上运动时，P的坐标为（﹣4，y0），
∵y0≠±3，∴过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为
y﹣y0=k（x+4），即kx﹣y+y0+4k=0，
∴ ，整理得 ①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根
∴②
由 ，消元可得 ③
设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，
∴y1，y2是方程③的两个实根
∴④
同理可得 ⑤
由①②④⑤可得 = =6400
∴当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．
【知识点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设M的坐标为（x，y），根据对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，可得|x+2|= 且圆C2上的点位于直线x=﹣2的右侧，从而可得曲线C1的方程；（2）当点P在直线x=﹣4上运动时，P的坐标为（﹣4，y0），设切线方程为kx﹣y+y0+4k=0，利用直线与圆相切可得 ，从而可得过P所作的两条切线PA，PC的斜率k1，k2是方程的两个实根，设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，从而可得 ；同理可得 ，由此可得当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．
22．【答案】（1）解：若a＜0，则对一切x＞0，函数f（x）=eax﹣x＜1，这与题设矛盾，
∵a≠0，∴a＞0
∵f′（x）=aeax﹣1，令f′（x）=0，可得
令f′（x）＜0，可得 ，函数单调减；令f′（x）＞0，可得 ，函数单调增，
∴ 时，f（x）取最小值
∴对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，则 ①
令g（t）=t﹣tlnt，则g′（t）=﹣lnt
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减
∴t=1时，g（t）取最大值g（1）=1
∴当且仅当 =1，即a=1时，①成立
综上所述，a的取值集合为{1}
（2）解：由题意知，
令φ（x）=f′（x）﹣k= ，则
令F（t）=et﹣t﹣1，则F′（t）=et﹣1
当t＜0时，F′（t）＜0，函数单调减；当t＞0时，F′（t）＞0，函数单调增；
∴t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即et﹣t﹣1＞0
∴ ，
∵ ＞0，
∴φ（x1）＜0，φ（x2）＞0
∴存在c∈（x1，x2），φ（c）=0
∵φ（x）单调递增，故这样的c是唯一的，且
当且仅当x∈（ ，x2）时，f′（x）＞k
综上所述，存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立，且x0的取值范围为（ ，x2）
【知识点】函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先确定a＞0，再求导函数，确定函数的单调性，可得 时，f（x）取最小值 故对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，则 ，构建新函数g（t）=t﹣tlnt，则g′（t）=﹣lnt，确定函数的单调性，求出函数的最大值，由此即可求得a的取值集合；（2）由题意知， ，构建新函数φ（x）=f′（x）﹣k= ，则 ， ，构建函数F（t）=et﹣t﹣1，从而可证明φ（x1）＜0，φ（x2）＞0，由此即可得到存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立．
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