2012年高考理数真题试卷（江西卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2012·江西理）若集合A={﹣1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2012·江西理）下列函数中，与函数y= 定义域相同的函数为（ ）
A．y= B．y= C．y=xex D．y=
3．（2012·江西理）若函数f（x）= ，则f（f（10））=（ ）
A．lg101 B．2 C．1 D．0
4．（2012·江西理）若tanθ+ =4，则sin2θ=（ ）
A． B． C． D．
5．（2012·江西理）下列命题中，假命题为（ ）
A．存在四边相等的四边形不是正方形
B．z1，z2∈C，z1+z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数
C．若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1
D．对于任意n∈N*， + +…+ 都是偶数
6．（2012·江西理）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（ ）
A．28 B．76 C．123 D．199
7．（2012·江西理）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 =（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
8．（2012·江西理）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
9．（2012·江西理）样本（x1，x2…，xn）的平均数为x，样本（y1，y2，…，ym）的平均数为 （ ≠ ）．若样本（x1，x2…，xn，y1，y2，…，ym）的平均数 =α +（1﹣α） ，其中0＜α＜ ，则n，m的大小关系为（ ）
A．n＜m B．n＞m C．n=m D．不能确定
10．（2012·江西理）如图，已知正四棱锥S﹣ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2012·江西理）计算定积分 （x2+sinx）dx= ．
12．（2012·江西理）设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5= ．
13．（2012·江西理）椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ．
14．（2012·江西理）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 ．
三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分
15．（2012·江西理）（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为 ．
（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6的解集为 ．
四、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（2012·江西理）已知数列{an}的前n项和Sn=﹣ n2+kn（其中k∈N+），且Sn的最大值为8．
（1）确定常数k，求an；
（2）求数列 的前n项和Tn．
17．（2012·江西理）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A= ，bsin（ +C）﹣csin（ +B）=a，
（1）求证：B﹣C=
（2）若a= ，求△ABC的面积．
18．（2012·江西理）如图，从A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，1，0），B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）．
（1）求V=0的概率；
（2）求V的分布列及数学期望EV．
19．（2012·江西理）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1= ，BC=4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；
（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．
20．（2012·江西理）已知三点O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足| + |= （ + ）+2．
（1）求曲线C的方程；
（2）动点Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为直线l：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．
21．（2012·江西理）若函数h（x）满足
①h（0）=1，h（1）=0；
②对任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；
③在（0，1）上单调递减．则称h（x）为补函数．已知函数h（x）= （λ＞﹣1，p＞0）
（1）判函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记p= （n∈N+）时h（x）的中介元为xn，且Sn= ，若对任意的n∈N+，都有Sn＜ ，求λ的取值范围；
（3）当λ=0，x∈（0，1）时，函数y=h（x）的图象总在直线y=1﹣x的上方，求P的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：由题意，∵集合A={﹣1，1}，B={0，2}，﹣1+0=﹣1，1+0=1，﹣1+2=1，1+2=3
∴{z|z=x+y，x∈A，y∈B}={﹣1，1，3}
∴集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3
故选C．
【分析】根据题意，计算元素的和，根据集合中元素的互异性，即可得到结论．
2．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数y= 的定义域为{x∈R|x≠0}，
∴对于A，其定义域为{x|x≠kπ}（k∈Z），故A不满足；
对于B，其定义域为{x|x＞0}，故B不满足；
对于C，其定义域为{x|x∈R}，故C不满足；
对于D，其定义域为{x|x≠0}，故D满足；
综上所述，与函数y= 定义域相同的函数为：y= ．
故选D．
【分析】由函数y= 的意义可求得其定义域为{x∈R|x≠0}，于是对A，B，C，D逐一判断即可得答案．
3．【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为函数f（x）= ，
所以f（10）=lg10=1；
f（f（10）=f（1）=2．
故选B．
【分析】通过分段函数，直接求出f（10），然后求出f（f（10）的值．
4．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：sin2θ=2sinθcosθ= = = = =
故选D．
【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．
5．【答案】B
【知识点】充要条件；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：例如菱形，满足四边相等的四边形不是正方形，所以A正确；
z1，z2∈C，z1+z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数，不正确；
例如z1=2+i，z2=6﹣i，z1+z2为实数，但是z1，z2不是共轭复数，所以B不正确．
若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1，显然正确；
对于任意n∈N*， + +…+ =2n≥2，都是偶数正确；
不正确是命题是B．
故选B．
【分析】通过特例判断A的正误；
通过复数的共轭复数判断B的正误；
通过不等式的基本性质判断C 的正误；
通过二项式定理系数的形状判断D 的正误．
6．【答案】C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．
故选C．
【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．
7．【答案】D
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系，
∵AB是Rt△ABC的斜边，
∴以AB为直径的圆必定经过C点
设AB=2r，∠CDB=α，则
A（﹣r，0），B（r，0），C（rcosα，rsinα）
∵点P为线段CD的中点，
∴P（ rcosα， rsinα）
∴|PA|2= + = +r2cosα，
|PB|2= + = ﹣r2cosα，
可得|PA|2+|PB|2= r2
又∵点P为线段CD的中点，CD=r
∴|PC|2= = r2
所以： = =10
故选D
【分析】以D为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，由题意得以AB为直径的圆必定经过C点，因此设AB=2r，∠CDB=α，得到A、B、C和P各点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA|2+|PB|2和|PC|2的值，即可求出 的值．
8．【答案】B
【知识点】函数最值的应用
【解析】【解答】解：设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，种植总利润为z万元．
由题意可知
一年的种植总利润为z=0.55×4x+0.3×6y﹣1.2x﹣0.9y=x+0.9y
作出约束条件如下图阴影部分，
平移直线x+0.9y=0，当过点A（30，20）时，一年的种植总利润为z取最大值．
故选B．
【分析】设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，种植总利润为z万元，然后根据题意建立关于x与y的约束条件，得到目标函数，利用线性规划的知识求出最值时的x和y的值即可．
9．【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：法一：不妨令n=4，m=6，设样本（x1，x2…，xn）的平均数为 =6，
样本（y1，y2，…，ym）的平均数为 =4，
所以样本（x1，x2…，xn，y1，y2，…，ym）的平均数 =α +（1﹣α） =6α+（1﹣α）4= ，
解得α=0.4，满足题意．
法二：依题意nx+my=（m+n）[ax+（1﹣a）y]，
∴n（x﹣y）=a（m+n）（x﹣y），x≠y，
∴a= ∈（0， ），m，n∈N+，
∴2n＜m+n，
∴n＜m．
故选：A．
【分析】通过特殊值判断α的范围，是否满足题意即可得到选项．
10．【答案】A
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：由题意可知截面下面部分的体积为V（x），不是SE=x的线性函数，可采用排除法，排除C，D；
又当截面为BDE，即x= 时，V（x）= ，当侧棱SC上的点E从SC的中点向点C移动时，V（x）越来越小，故排除B；
故选：A．
【分析】由题意可知截面下面部分的体积为V（x），不是SE的线性函数，可采用排除法，排除C，D，进一步可排除B，于是得答案．
11．【答案】
【知识点】定积分
【解析】【解答】解：由题意，定积分 = = = ．
故答案为： ．
【分析】求出被积函数的原函数，再计算定积分的值．
12．【答案】35
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，
∴设数列{an}的公差为d1，设数列{bn}的公差为d2，
∴a3+b3=a1+b1+2（d1+d2）=21，
而a1+b1=7，可得2（d1+d2）=21﹣7=14．
∴a5+b5=a3+b3+2（d1+d2）=21+14=35
故答案为：35
【分析】根据等差数列的通项公式，可设数列{an}的公差为d1，数列{bn}的公差为d2，根据a1+b1=7，a3+b3=21，可得2（d1+d2）=21﹣7=14．最后可得a5+b5=a3+b3+2（d1+d2）=2+14=35．
13．【答案】
【知识点】等比数列的性质；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．
若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，
所以（a﹣c）（a+c）=4c2，即a2=5c2，
所以e= ．
故答案为： ．
【分析】直接利用椭圆的定义，结合|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，即可求出椭圆的离心率．
14．【答案】3
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：第1次 ，满足循环，a=1，T=1，K=2，第2次满足2＜6；sin ，不成立，
执行a=0，T=1，k=3，第3次有 ，不满足条件循环，
a=0，T=1，k=4，满足 ，a=1，T=2，k=5，满足k＜6，
此时 成立，a=1，T=3，k=6，不满足6＜6，退出循环，输出结果T=3．
故答案为：3．
【分析】直接计算循环后的结果，当k=6时不满足判断框的条件，推出循环输出结果即可．
15．【答案】（1）ρ=2cosθ
（2）{ }
【知识点】简单曲线的极坐标方程；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换，得出ρ2﹣2ρcosθ=0．即ρ=2cosθ
故答案为：ρ=2cosθ
（2）不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6化为不等式|x﹣ |+|x+ |≤3，如图所示数轴上点 ， 到点 的距离之和为3，所以解集为{ }
故答案为：{ }
【分析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得（2）利用绝对值的几何意义求解．
16．【答案】（1）解：当n=k时， 取得最大值
即 = k2=8
∴k=4，Sn=﹣ n2+4n
从而an=sn﹣sn﹣1= ﹣[﹣ （n﹣1）2+4（n﹣1）]=
又∵ 适合上式
∴
（2）解：∵ =
∴
两式相减可得，
= =
∴
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由二次函数的性质可知，当n=k时， 取得最大值，代入可求k，然后利用an=sn﹣sn﹣1可求通项（2）由 = ，可利用错位相减求和即可
17．【答案】（1）证明：由bsin（ +C）﹣csin（ ）=a，由正弦定理可得sinBsin（ +C）﹣sinCsin（ ）=sinA．
sinB（ ）﹣sinC（ ）= ．
整理得sinBcosC﹣cosBsinC=1，
即sin（B﹣C）=1，
由于0＜B，C ，从而B﹣C= ．
（2）解：B+C=π﹣A= ，因此B= ，C= ，
由a= ，A= ，得b= =2sin ，c= =2sin ，
所以三角形的面积S= = cos sin = ．
【知识点】解三角形
【解析】【分析】（1）通过正弦定理以及两角和与差的三角函数化简已知表达式，推出B﹣C的正弦函数值，然后说明B﹣C= ．（2）利用a= ，通过正弦定理求出b，c，然后利用三角形的面积公式求△ABC的面积．
18．【答案】（1）解：从6个点中随机选取3个点共有 =20种取法，选取的三个点与原点在一个平面内的取法有 =12种，
∴V=0的概率P（V=0）= =
（2）解：V的所有可能取值为0， ， ， ，
P（V=0）=
P（V= ）= =
P（V= ）= =
P（V= ）= =
P（V= ）= =
∴V的分布列为
V 0
P
由V的分布列可得
EV=0× + + + + =
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）基本事件空间即6个点中随机取3个点，共有20种取法，研究的事件即4点共面所占基本事件为先选一个面，再选3个点，共有12种选法，故由古典概型概率计算公式即可得所求；（2）先确定随机变量V的所有可能取值，再利用古典概型概率计算公式分别计算随机变量取值的概率，最后列出分布列，利用期望计算公式计算V的期望
19．【答案】（1）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以OE⊥BB1，
因为A1O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，
所以OE⊥平面BB1C1C，
又AO= =1，AA1= ，
得OE= = = ，
则AE= =
（2）解：如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，﹣2，0），A1（0，0，2）
由 ，得点E得坐标是（ ），
设平面A1B1C的法向量是 =（x，y，z），由 得
令y=1，得x=2，z=﹣1，所以 =（2，1，﹣1），
所以cos＜ ， ＞= =
即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，则E为所求．可以证出OE⊥BB1，BC⊥OE而得以证明．在Rt△A1OA中，利用直角三角形射影定理得出AE．（2）如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量是 =（x，y，z），利用 ， 夹角求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．
20．【答案】（1）解：由 =（﹣2﹣x，1﹣y）， =（2﹣x，1﹣y）可得 + =（﹣2x，2﹣2y），
∴| + |= ， （ + ）+2=（x，y） （0，2）+2=2y+2．
由题意可得 =2y+2，化简可得 x2=4y．
（2）解：假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y= ，直线PB的方程是y=
∵﹣2＜x0＜2，∴
①当﹣1＜t＜0时， ，存在x0∈（﹣2，2），使得
∴l∥PA，∴当﹣1＜t＜0时，不符合题意；
②当t≤﹣1时， ， ，
∴l与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组
， ，解得D，E的横坐标分别是 ，
∴
∵|FP|=﹣
∴ =
∵
∴ = ×
∵x0∈（﹣2，2），△QAB与△PDE的面积之比是常数
∴ ，解得t=﹣1，
∴△QAB与△PDE的面积之比是2．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）用坐标表示 ， ，从而可得 + ，可求| + |，利用向量的数量积，结合M（x，y）满足| + |= （ + ）+2，可得曲线C的方程；（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y= ，直线PB的方程是y= 分类讨论：①当﹣1＜t＜0时，l∥PA，不符合题意；②当t≤﹣1时， ， ，分别联立方程组，解得D，E的横坐标，进而可得△QAB与△PDE的面积之比，利用其为常数，即可求得结论．
21．【答案】（1）解：函数h（x）是补函数，证明如下：
①h（0）= =1，h（1）= =0；
②任意a∈[0，1]，有h（h（a））=h（ ）= =a
③令g（x）=（h（x））p，有g′（x）= = ，
又因为λ＞﹣1，p＞0，
所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上是减函数，故h（x）在（0，1）上是减函数
由上证，函数h（x）是补函数
（2）解：当p= （n∈N*），由h（x）=x得 ，
（i）当λ=0时，中介元xn= ，
（ii）当λ＞﹣1且λ≠0时，由（*）得 = ∈（0，1）或 = （0，1），得中介元xn= ，
综合（i）（ii）：对任意的λ＞﹣1，中介元为xn= ，
于是当λ＞﹣1时，有Sn= = = ，
当n无限增大时， 无限接近于0，Sn无限接近于 ，
故对任意的非零自然数n，Sn＜ 等价于 ，即λ∈[3，+∞）
（3）解：当λ=0时，h（x）= ，中介元为 ．
（i）0＜p≤1时， ，中介元为 ≤ ，所以点（xp，h（xp））不在直线y=1﹣x的上方，不符合条件；
（ii）当p＞1时，依题意只需 ＞1﹣x在x∈（0，1）时恒成立，也即xp+（1﹣x）p＜1在x∈（0，1）时恒成立
设φ（x）=xp+（1﹣x）p，x∈（0，1），则φ′（x）=p（xp﹣1﹣（1﹣x）p﹣1）
令φ′（x）=0，得x= ，且当x∈（0， ）时，φ′（x）＜0，当x∈（ ，1）时，φ′（x）＞0，又φ（0）=φ（1）=1，所以x∈（0，1）时，φ（x）＜1恒成立．
综上，p的取值范围是（1，+∞）
【知识点】进行简单的演绎推理；综合法与分析法(选修）
【解析】【分析】（1）可通过对函数h（x）= （λ＞﹣1，p＞0）进行研究，探究其是否满足补函数的三个条件来确定函数是否是补函数；
（2）由题意，先根据中介元的定义得出中介元xn通式，代入Sn= ，计算出和，然后结合极限的思想，利用Sn＜ 得到参数的不等式，解出它的取值范围；
（3）λ=0，x∈（0，1）时，对参数p分类讨论由函数y=h（x）的图象总在直线y=1﹣x的上方这一位置关系进行转化，解出p的取值范围．
1 / 12012年高考理数真题试卷（江西卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2012·江西理）若集合A={﹣1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：由题意，∵集合A={﹣1，1}，B={0，2}，﹣1+0=﹣1，1+0=1，﹣1+2=1，1+2=3
∴{z|z=x+y，x∈A，y∈B}={﹣1，1，3}
∴集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3
故选C．
【分析】根据题意，计算元素的和，根据集合中元素的互异性，即可得到结论．
2．（2012·江西理）下列函数中，与函数y= 定义域相同的函数为（ ）
A．y= B．y= C．y=xex D．y=
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数y= 的定义域为{x∈R|x≠0}，
∴对于A，其定义域为{x|x≠kπ}（k∈Z），故A不满足；
对于B，其定义域为{x|x＞0}，故B不满足；
对于C，其定义域为{x|x∈R}，故C不满足；
对于D，其定义域为{x|x≠0}，故D满足；
综上所述，与函数y= 定义域相同的函数为：y= ．
故选D．
【分析】由函数y= 的意义可求得其定义域为{x∈R|x≠0}，于是对A，B，C，D逐一判断即可得答案．
3．（2012·江西理）若函数f（x）= ，则f（f（10））=（ ）
A．lg101 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为函数f（x）= ，
所以f（10）=lg10=1；
f（f（10）=f（1）=2．
故选B．
【分析】通过分段函数，直接求出f（10），然后求出f（f（10）的值．
4．（2012·江西理）若tanθ+ =4，则sin2θ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：sin2θ=2sinθcosθ= = = = =
故选D．
【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．
5．（2012·江西理）下列命题中，假命题为（ ）
A．存在四边相等的四边形不是正方形
B．z1，z2∈C，z1+z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数
C．若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1
D．对于任意n∈N*， + +…+ 都是偶数
【答案】B
【知识点】充要条件；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：例如菱形，满足四边相等的四边形不是正方形，所以A正确；
z1，z2∈C，z1+z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数，不正确；
例如z1=2+i，z2=6﹣i，z1+z2为实数，但是z1，z2不是共轭复数，所以B不正确．
若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1，显然正确；
对于任意n∈N*， + +…+ =2n≥2，都是偶数正确；
不正确是命题是B．
故选B．
【分析】通过特例判断A的正误；
通过复数的共轭复数判断B的正误；
通过不等式的基本性质判断C 的正误；
通过二项式定理系数的形状判断D 的正误．
6．（2012·江西理）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（ ）
A．28 B．76 C．123 D．199
【答案】C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．
故选C．
【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．
7．（2012·江西理）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 =（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】D
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系，
∵AB是Rt△ABC的斜边，
∴以AB为直径的圆必定经过C点
设AB=2r，∠CDB=α，则
A（﹣r，0），B（r，0），C（rcosα，rsinα）
∵点P为线段CD的中点，
∴P（ rcosα， rsinα）
∴|PA|2= + = +r2cosα，
|PB|2= + = ﹣r2cosα，
可得|PA|2+|PB|2= r2
又∵点P为线段CD的中点，CD=r
∴|PC|2= = r2
所以： = =10
故选D
【分析】以D为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，由题意得以AB为直径的圆必定经过C点，因此设AB=2r，∠CDB=α，得到A、B、C和P各点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA|2+|PB|2和|PC|2的值，即可求出 的值．
8．（2012·江西理）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
【答案】B
【知识点】函数最值的应用
【解析】【解答】解：设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，种植总利润为z万元．
由题意可知
一年的种植总利润为z=0.55×4x+0.3×6y﹣1.2x﹣0.9y=x+0.9y
作出约束条件如下图阴影部分，
平移直线x+0.9y=0，当过点A（30，20）时，一年的种植总利润为z取最大值．
故选B．
【分析】设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，种植总利润为z万元，然后根据题意建立关于x与y的约束条件，得到目标函数，利用线性规划的知识求出最值时的x和y的值即可．
9．（2012·江西理）样本（x1，x2…，xn）的平均数为x，样本（y1，y2，…，ym）的平均数为 （ ≠ ）．若样本（x1，x2…，xn，y1，y2，…，ym）的平均数 =α +（1﹣α） ，其中0＜α＜ ，则n，m的大小关系为（ ）
A．n＜m B．n＞m C．n=m D．不能确定
【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：法一：不妨令n=4，m=6，设样本（x1，x2…，xn）的平均数为 =6，
样本（y1，y2，…，ym）的平均数为 =4，
所以样本（x1，x2…，xn，y1，y2，…，ym）的平均数 =α +（1﹣α） =6α+（1﹣α）4= ，
解得α=0.4，满足题意．
法二：依题意nx+my=（m+n）[ax+（1﹣a）y]，
∴n（x﹣y）=a（m+n）（x﹣y），x≠y，
∴a= ∈（0， ），m，n∈N+，
∴2n＜m+n，
∴n＜m．
故选：A．
【分析】通过特殊值判断α的范围，是否满足题意即可得到选项．
10．（2012·江西理）如图，已知正四棱锥S﹣ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：由题意可知截面下面部分的体积为V（x），不是SE=x的线性函数，可采用排除法，排除C，D；
又当截面为BDE，即x= 时，V（x）= ，当侧棱SC上的点E从SC的中点向点C移动时，V（x）越来越小，故排除B；
故选：A．
【分析】由题意可知截面下面部分的体积为V（x），不是SE的线性函数，可采用排除法，排除C，D，进一步可排除B，于是得答案．
二、填空题
11．（2012·江西理）计算定积分 （x2+sinx）dx= ．
【答案】
【知识点】定积分
【解析】【解答】解：由题意，定积分 = = = ．
故答案为： ．
【分析】求出被积函数的原函数，再计算定积分的值．
12．（2012·江西理）设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5= ．
【答案】35
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，
∴设数列{an}的公差为d1，设数列{bn}的公差为d2，
∴a3+b3=a1+b1+2（d1+d2）=21，
而a1+b1=7，可得2（d1+d2）=21﹣7=14．
∴a5+b5=a3+b3+2（d1+d2）=21+14=35
故答案为：35
【分析】根据等差数列的通项公式，可设数列{an}的公差为d1，数列{bn}的公差为d2，根据a1+b1=7，a3+b3=21，可得2（d1+d2）=21﹣7=14．最后可得a5+b5=a3+b3+2（d1+d2）=2+14=35．
13．（2012·江西理）椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ．
【答案】
【知识点】等比数列的性质；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．
若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，
所以（a﹣c）（a+c）=4c2，即a2=5c2，
所以e= ．
故答案为： ．
【分析】直接利用椭圆的定义，结合|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，即可求出椭圆的离心率．
14．（2012·江西理）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 ．
【答案】3
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：第1次 ，满足循环，a=1，T=1，K=2，第2次满足2＜6；sin ，不成立，
执行a=0，T=1，k=3，第3次有 ，不满足条件循环，
a=0，T=1，k=4，满足 ，a=1，T=2，k=5，满足k＜6，
此时 成立，a=1，T=3，k=6，不满足6＜6，退出循环，输出结果T=3．
故答案为：3．
【分析】直接计算循环后的结果，当k=6时不满足判断框的条件，推出循环输出结果即可．
三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分
15．（2012·江西理）（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为 ．
（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6的解集为 ．
【答案】（1）ρ=2cosθ
（2）{ }
【知识点】简单曲线的极坐标方程；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换，得出ρ2﹣2ρcosθ=0．即ρ=2cosθ
故答案为：ρ=2cosθ
（2）不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6化为不等式|x﹣ |+|x+ |≤3，如图所示数轴上点 ， 到点 的距离之和为3，所以解集为{ }
故答案为：{ }
【分析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得（2）利用绝对值的几何意义求解．
四、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（2012·江西理）已知数列{an}的前n项和Sn=﹣ n2+kn（其中k∈N+），且Sn的最大值为8．
（1）确定常数k，求an；
（2）求数列 的前n项和Tn．
【答案】（1）解：当n=k时， 取得最大值
即 = k2=8
∴k=4，Sn=﹣ n2+4n
从而an=sn﹣sn﹣1= ﹣[﹣ （n﹣1）2+4（n﹣1）]=
又∵ 适合上式
∴
（2）解：∵ =
∴
两式相减可得，
= =
∴
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由二次函数的性质可知，当n=k时， 取得最大值，代入可求k，然后利用an=sn﹣sn﹣1可求通项（2）由 = ，可利用错位相减求和即可
17．（2012·江西理）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A= ，bsin（ +C）﹣csin（ +B）=a，
（1）求证：B﹣C=
（2）若a= ，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明：由bsin（ +C）﹣csin（ ）=a，由正弦定理可得sinBsin（ +C）﹣sinCsin（ ）=sinA．
sinB（ ）﹣sinC（ ）= ．
整理得sinBcosC﹣cosBsinC=1，
即sin（B﹣C）=1，
由于0＜B，C ，从而B﹣C= ．
（2）解：B+C=π﹣A= ，因此B= ，C= ，
由a= ，A= ，得b= =2sin ，c= =2sin ，
所以三角形的面积S= = cos sin = ．
【知识点】解三角形
【解析】【分析】（1）通过正弦定理以及两角和与差的三角函数化简已知表达式，推出B﹣C的正弦函数值，然后说明B﹣C= ．（2）利用a= ，通过正弦定理求出b，c，然后利用三角形的面积公式求△ABC的面积．
18．（2012·江西理）如图，从A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，1，0），B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）．
（1）求V=0的概率；
（2）求V的分布列及数学期望EV．
【答案】（1）解：从6个点中随机选取3个点共有 =20种取法，选取的三个点与原点在一个平面内的取法有 =12种，
∴V=0的概率P（V=0）= =
（2）解：V的所有可能取值为0， ， ， ，
P（V=0）=
P（V= ）= =
P（V= ）= =
P（V= ）= =
P（V= ）= =
∴V的分布列为
V 0
P
由V的分布列可得
EV=0× + + + + =
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）基本事件空间即6个点中随机取3个点，共有20种取法，研究的事件即4点共面所占基本事件为先选一个面，再选3个点，共有12种选法，故由古典概型概率计算公式即可得所求；（2）先确定随机变量V的所有可能取值，再利用古典概型概率计算公式分别计算随机变量取值的概率，最后列出分布列，利用期望计算公式计算V的期望
19．（2012·江西理）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1= ，BC=4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；
（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以OE⊥BB1，
因为A1O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，
所以OE⊥平面BB1C1C，
又AO= =1，AA1= ，
得OE= = = ，
则AE= =
（2）解：如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，﹣2，0），A1（0，0，2）
由 ，得点E得坐标是（ ），
设平面A1B1C的法向量是 =（x，y，z），由 得
令y=1，得x=2，z=﹣1，所以 =（2，1，﹣1），
所以cos＜ ， ＞= =
即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，则E为所求．可以证出OE⊥BB1，BC⊥OE而得以证明．在Rt△A1OA中，利用直角三角形射影定理得出AE．（2）如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量是 =（x，y，z），利用 ， 夹角求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．
20．（2012·江西理）已知三点O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足| + |= （ + ）+2．
（1）求曲线C的方程；
（2）动点Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为直线l：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由 =（﹣2﹣x，1﹣y）， =（2﹣x，1﹣y）可得 + =（﹣2x，2﹣2y），
∴| + |= ， （ + ）+2=（x，y） （0，2）+2=2y+2．
由题意可得 =2y+2，化简可得 x2=4y．
（2）解：假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y= ，直线PB的方程是y=
∵﹣2＜x0＜2，∴
①当﹣1＜t＜0时， ，存在x0∈（﹣2，2），使得
∴l∥PA，∴当﹣1＜t＜0时，不符合题意；
②当t≤﹣1时， ， ，
∴l与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组
， ，解得D，E的横坐标分别是 ，
∴
∵|FP|=﹣
∴ =
∵
∴ = ×
∵x0∈（﹣2，2），△QAB与△PDE的面积之比是常数
∴ ，解得t=﹣1，
∴△QAB与△PDE的面积之比是2．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）用坐标表示 ， ，从而可得 + ，可求| + |，利用向量的数量积，结合M（x，y）满足| + |= （ + ）+2，可得曲线C的方程；（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y= ，直线PB的方程是y= 分类讨论：①当﹣1＜t＜0时，l∥PA，不符合题意；②当t≤﹣1时， ， ，分别联立方程组，解得D，E的横坐标，进而可得△QAB与△PDE的面积之比，利用其为常数，即可求得结论．
21．（2012·江西理）若函数h（x）满足
①h（0）=1，h（1）=0；
②对任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；
③在（0，1）上单调递减．则称h（x）为补函数．已知函数h（x）= （λ＞﹣1，p＞0）
（1）判函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记p= （n∈N+）时h（x）的中介元为xn，且Sn= ，若对任意的n∈N+，都有Sn＜ ，求λ的取值范围；
（3）当λ=0，x∈（0，1）时，函数y=h（x）的图象总在直线y=1﹣x的上方，求P的取值范围．
【答案】（1）解：函数h（x）是补函数，证明如下：
①h（0）= =1，h（1）= =0；
②任意a∈[0，1]，有h（h（a））=h（ ）= =a
③令g（x）=（h（x））p，有g′（x）= = ，
又因为λ＞﹣1，p＞0，
所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上是减函数，故h（x）在（0，1）上是减函数
由上证，函数h（x）是补函数
（2）解：当p= （n∈N*），由h（x）=x得 ，
（i）当λ=0时，中介元xn= ，
（ii）当λ＞﹣1且λ≠0时，由（*）得 = ∈（0，1）或 = （0，1），得中介元xn= ，
综合（i）（ii）：对任意的λ＞﹣1，中介元为xn= ，
于是当λ＞﹣1时，有Sn= = = ，
当n无限增大时， 无限接近于0，Sn无限接近于 ，
故对任意的非零自然数n，Sn＜ 等价于 ，即λ∈[3，+∞）
（3）解：当λ=0时，h（x）= ，中介元为 ．
（i）0＜p≤1时， ，中介元为 ≤ ，所以点（xp，h（xp））不在直线y=1﹣x的上方，不符合条件；
（ii）当p＞1时，依题意只需 ＞1﹣x在x∈（0，1）时恒成立，也即xp+（1﹣x）p＜1在x∈（0，1）时恒成立
设φ（x）=xp+（1﹣x）p，x∈（0，1），则φ′（x）=p（xp﹣1﹣（1﹣x）p﹣1）
令φ′（x）=0，得x= ，且当x∈（0， ）时，φ′（x）＜0，当x∈（ ，1）时，φ′（x）＞0，又φ（0）=φ（1）=1，所以x∈（0，1）时，φ（x）＜1恒成立．
综上，p的取值范围是（1，+∞）
【知识点】进行简单的演绎推理；综合法与分析法(选修）
【解析】【分析】（1）可通过对函数h（x）= （λ＞﹣1，p＞0）进行研究，探究其是否满足补函数的三个条件来确定函数是否是补函数；
（2）由题意，先根据中介元的定义得出中介元xn通式，代入Sn= ，计算出和，然后结合极限的思想，利用Sn＜ 得到参数的不等式，解出它的取值范围；
（3）λ=0，x∈（0，1）时，对参数p分类讨论由函数y=h（x）的图象总在直线y=1﹣x的上方这一位置关系进行转化，解出p的取值范围．
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