2012年高考理数真题试卷（陕西卷）
一、选择题
1．（2012·陕西理）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（ ）
A．（0，2] B．（0，2） C．（1，2] D．（1，2）
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：M={x|lgx＞0}={x|x＞1}，N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，
则M∩N={x|1＜x≤2}，
故选：C．
【分析】根据集合的基本运算，进行求解即可．
2．（2012·陕西理）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．y=x+1 B．y=﹣x2 C．y= D．y=x|x|
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A．y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件．
B．y=﹣x2是偶函数，不满足条件．
C．y= 是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．
D．设f（x）=x|x|，则f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x），则函数为奇函数，
当x＞0时，y=x|x|=x2，此时为增函数，
当x≤0时，y=x|x|=﹣x2，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．
故选：D
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．
3．（2012·陕西理）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数 为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念
【解析】【解答】解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b≠0，复数 为纯虚数，否则不成立；
复数 =a﹣bi为纯虚数，所以a=0并且b≠0，所以ab=0，
因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数 为纯虚数”的必要不充分条件．
故选B．
【分析】利用“ab=0”与“复数 为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条件．
4．（2012·陕西理）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（ ）
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，
∴圆心C（2，0），半径r=2，
又P（3，0）与圆心的距离d= =1＜2=r，
∴点P在圆C内，又直线l过P点，
则直线l与圆C相交．
故选A．
【分析】将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P点，可得出直线l与圆C相交．
5．（2012·陕西理）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，
∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2
∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）
∴ =（0，2，﹣1）， =（﹣2，2，1）
可得 =0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且 = ， =3，
向量 与 所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，
设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ= =
故选A
【分析】根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量 与 的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．
6．（2012·陕西理）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 ， ，中位数分别为m甲，m乙，则（ ）
A．，m甲＞m乙 B．，m甲＜m乙
C．，m甲＞m乙 D．，m甲＜m乙
【答案】B
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：甲的平均数 甲= = ，
乙的平均数 乙= = ，
所以 甲＜ 乙．
甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙
故选：B．
【分析】直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项．
7．（2012·陕西理）设函数f（x）=xex，则（ ）
A．x=1为f（x）的极大值点 B．x=1为f（x）的极小值点
C．x=﹣1为f（x）的极大值点 D．x=﹣1为f（x）的极小值点
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由于f（x）=xex，可得f′（x）=（x+1）ex，
令f′（x）=（x+1）ex=0可得x=﹣1
令f′（x）=（x+1）ex＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数
令f′（x）=（x+1）ex＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数
所以x=﹣1为f（x）的极小值点
故选D
【分析】由题意，可先求出f′（x）=（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点
8．（2012·陕西理）两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）
A．10种 B．15种 C．20种 D．30种
【答案】C
【知识点】基本计数原理的应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：第一类：三局为止，共有2种情形；
第二类：四局为止，共有2× =6种情形；
第三类：五局为止，共有2× =12种情形；
故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形
故选C
【分析】根据分类计数原理，所有可能情形可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果
9．（2012·陕西理）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：因为a2+b2=2c2，
所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，
cosC= = ．
故选C．
【分析】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．
10．（2012·陕西理）如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：法一：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，
圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，
所以要求的概率 ，
所以空白框内应填入的表达式是 ．
故选D．
法二：随机输入xi∈（0，1），yi∈（0，1）
那么点P（xi，yi）构成的区域为以
O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）为顶点的正方形．
判断框内x2i+y2i≤1，
若是，说说明点P（xi，yi）在单位圆内部（ 圆）内，并累计记录点的个数M
若否，则说明点P（xi，yi）在单位圆内部（ 圆）外，并累计记录点的个数N
第2个判断框 i＞1000，是进入计算
此时落在 单位圆内的点的个数为M，一共判断了1000个点
那么 圆的面积/正方形的面积= ，
即 π12÷1=
∴π= （π的估计值）
即执行框内计算的是 ．
故选D．
【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．
二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上
11．（2012·陕西理）观察下列不等式：
，
，
…
照此规律，第五个不等式为 ．
【答案】1+ + ＜
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：由已知中的不等式
1+ ，1+ + ，…
得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方
右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，
故可以归纳出第n个不等式是 1+ …+ ＜ ，（n≥2），
所以第五个不等式为1+ + ＜
故答案为：1+ + ＜
【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式
12．（2012·陕西理）（a+x）5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为 ．
【答案】1
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（a+x）5展开式中x2的系数为 ，因为（a+x）5展开式中x2的系数为10，
所以 =10，解得a=1，
故答案为：1．
【分析】直接利用二项式定理的展开式的通项公式，求出x2的系数是10，得到方程，求出a的值．
13．（2012·陕西理）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 米．
【答案】2
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，
将A（2，﹣2）代入x2=my，
得m=﹣2
∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0= ，
故水面宽为2 m．
故答案为：2 ．
【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
14．（2012·陕西理）设函数 ，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为 ．
【答案】2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；简单线性规划
【解析】【解答】解：当x＞0时，f′（x）= ，
则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，
D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．
z=x﹣2y可变形成y= x﹣ ，当直线y= x﹣ 过点A（0，﹣1）时，截距最小，此时z最大．最大值为2．
故答案为：2．
【分析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可．
15．（2012·陕西理）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是 ．
B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF DB= ．
C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为 ．
【答案】﹣2≤a≤4；5；
【知识点】直线与圆相交的性质；与圆有关的比例线段；简单曲线的极坐标方程；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：A．∵存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，
而|x﹣a|+|x﹣1|表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，
又最大值等于3，由图可得：当表示a的点位于AB之间时满足|x﹣a|+|x﹣1|≤3，
∴﹣2≤a≤4，
故答案为：﹣2≤a≤4．
B；∵AB=6，AE=1，由题意可得△AEC∽△DEB，DE=CE，
∴DE CE=AE EB=1×5=5，即DE= ．
在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF DB=5．
故答案为：5．
C；∵2ρcosθ=1，
∴2x=1，即x= ；
又圆ρ=2cosθ的普通方程由ρ2=2ρcosθ得：x2+y2=2x，
∴（x﹣1）2+y2=1，
∴圆心（1，0）到直线x= 的距离为 ，
∴相交弦长的一半为 = ，
∴相交弦长为 ．
故答案为： ．
【分析】A；利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，它的最大值等于3，作图可得实数a的取值范围．
B；利用相交弦定理AE EB=CE ED，AB⊥CD可得DE= ；在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF DB=5，即得答案；
C；将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为：x= ，（x﹣1）2+y2=1，从而可得相交弦长．
三、解答题
16．（2012·陕西理）函数 （A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设 ，则 ，求α的值．
【答案】（1）解：∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，
∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为 ， = ，T=π，所以ω=2．
故函数的解析式为y=2sin（2x﹣ ）+1．
（2）解：∵ ，所以 ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】简单的三角恒等变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式．（2）通过 ，求出 ，通过α的范围，求出α的值．
17．（2012·陕西理）设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．
（1）求数列{an}的公比；
（2）证明：对任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．
【答案】（1）解：设{an}的公比为q（q≠0，q≠1）
∵a5，a3，a4成等差数列，∴2a3=a5+a4，
∴
∵a1≠0，q≠0，
∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2
∵q≠1，
∴q=﹣2
（2）证明：对任意k∈N+，Sk+2+Sk+1﹣2Sk=（Sk+2﹣Sk）+（Sk+1﹣Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（﹣2）=0
∴对任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．
【知识点】等比数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）设{an}的公比为q（q≠0，q≠1），利用a5，a3，a4成等差数列结合通项公式，可得 ，由此即可求得数列{an}的公比；（2）对任意k∈N+，Sk+2+Sk+1﹣2Sk=（Sk+2﹣Sk）+（Sk+1﹣Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（﹣2）=0，从而得证．
18．（2012·陕西理）如图
（1）证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）
【答案】（1）证明：证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是 ，则 共面，
根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得 ，
则 =
因为a⊥b，所以 ，
又因为a α，n⊥α，
所以 ，
故 ，从而a⊥c
证法二
如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，
∵PO⊥π，a π，
∴直线PO⊥a，
又a⊥b，b 平面PAO，PO∩b=P，
∴a⊥平面PAO，
又c 平面PAO，
∴a⊥c
（2）证明：逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，
逆命题为真命题
【知识点】四种命题；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】（1）证法一：做出辅助线，在直线上构造对应的方向向量，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果．
证法二：做出辅助线，根据线面垂直的性质，得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再根据性质得到结论．（2）把所给的命题的题设和结论交换位置，得到原命题的逆命题，判断出你命题的正确性．
19．（2012·陕西理）已知椭圆C1： +y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上， =2 ，求直线AB的方程．
【答案】（1）解：椭圆 的长轴长为4，离心率为
∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率
∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为
∴b=2，a=4
∴椭圆C2的方程为 ；
（2）解：设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），
∵ =2
∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上
∴设AB的方程为y=kx
将y=kx代入 ，消元可得（1+4k2）x2=4，∴
将y=kx代入 ，消元可得（4+k2）x2=16，∴
∵ =2 ，∴ =4 ，
∴ ，解得k=±1，
∴AB的方程为y=±x
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）求出椭圆 的长轴长，离心率，根据椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆C2的方程；（2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），根据 =2 ，可设AB的方程为y=kx，分别与椭圆C1和C2联立，求出A，B的横坐标，利用 =2 ，即可求得直线AB的方程．
20．（2012·陕西理）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：
办理业务所需的时间（分） 1 2 3 4 5
频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时．
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：
Y 1 2 3 4 5
P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：
①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；
②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．
所以 P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22
（2）解：X所有可能的取值为：0，1，2．
X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；
X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；
X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.5 0.49 0.01
EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，可得Y的分布列，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟，由此可求概率；（2）确定X所有可能的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列及数学期望．
21．（2012·陕西理）设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）
（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：fn（x）在区间 内存在唯一的零点；
（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设xn是fn（x）在 内的零点，判断数列x2，x3，…，xn 的增减性．
【答案】（1）解：由于n≥2，b=1，c=﹣1，fn（x）=xn+bx+c=xn+x﹣1，∴fn（ ）fn（1）=（ ﹣ ）×1＜0，
∴fn（x）在区间 内存在零点．再由fn（x）在区间 内单调递增，可得fn（x）在区间 内存在唯一的零点．
（2）解：当n=2，函数f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，
故函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4．
当 ＞1时，即b＞2或 b＜﹣2时，M=|f2（﹣1）﹣f2（1）|=2|b|＞4，这与题设相矛盾．
当﹣1≤﹣ ＜0时，即0＜b≤2时，M=f2（1）﹣ = ≤4 恒成立．
当0≤﹣ ≤1 时，即﹣2≤b≤0时，M=f2（﹣1）﹣ = ≤4 恒成立．
综上可得，﹣2≤b≤2．
（3）解：法一：在（1）的条件下，xn是fn（x）=xn+x﹣1在 内的唯一零点，则有fn（xn）= +xn﹣1=0，
fn+1（xn+1）= +xn+1﹣1=0．
当xn+1∈ 时，fn（xn）=0=fn+1（xn+1）= +xn+1﹣1＜ +xn+1﹣1=fn（xn+1）．
由（1）知，fn（x）在区间 内单调递增，故有xn＜xn+1，故数列x2，x3，…，xn 单调递增数列．
法二：设xn是fn（x）=xn+x﹣1在 内的唯一零点，
fn+1（xn） fn+1（1）=（ +xn﹣1）×1= +xn﹣1＜ +xn﹣1=0，故fn+1（x）的零点在（xn，1）内，∴xn＜xn+1 （n≥2），故数列x2，x3，…，xn 单调递增数列．
【知识点】数列与函数的综合；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（1）根据 fn（ ）fn（1）=（ ﹣ ）×1＜0，以及fn（x）在区间 内单调递增，可得fn（x）在区间 内存在唯一的零点．（2）当n=2，由题意可得函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4，分当 ＞1时、当﹣1≤﹣ ＜0时、当0≤﹣ ≤1 时三种情况，分别求得b的取值范围，再取并集，即得所求．（3）证法一：先求出fn（xn）和fn+1（xn+1）的解析式，再由当xn+1∈ 时，fn（xn）=0=fn+1（xn+1）= +xn+1﹣1＜ +xn+1﹣1=fn（xn+1），且fn（x）在区间 内单调递增，故有xn＜xn+1，从而得出结论．证法二：设xn是fn（x）=xn+x﹣1在 内的唯一零点，由fn+1（xn） fn+1（1）＜0可得 fn+1（x）的零点在（xn，1）内，从而有 xn＜xn+1 （n≥2），由此得出结论．
1 / 12012年高考理数真题试卷（陕西卷）
一、选择题
1．（2012·陕西理）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（ ）
A．（0，2] B．（0，2） C．（1，2] D．（1，2）
2．（2012·陕西理）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．y=x+1 B．y=﹣x2 C．y= D．y=x|x|
3．（2012·陕西理）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数 为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2012·陕西理）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（ ）
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
5．（2012·陕西理）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2012·陕西理）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 ， ，中位数分别为m甲，m乙，则（ ）
A．，m甲＞m乙 B．，m甲＜m乙
C．，m甲＞m乙 D．，m甲＜m乙
7．（2012·陕西理）设函数f（x）=xex，则（ ）
A．x=1为f（x）的极大值点 B．x=1为f（x）的极小值点
C．x=﹣1为f（x）的极大值点 D．x=﹣1为f（x）的极小值点
8．（2012·陕西理）两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）
A．10种 B．15种 C．20种 D．30种
9．（2012·陕西理）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2012·陕西理）如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上
11．（2012·陕西理）观察下列不等式：
，
，
…
照此规律，第五个不等式为 ．
12．（2012·陕西理）（a+x）5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为 ．
13．（2012·陕西理）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 米．
14．（2012·陕西理）设函数 ，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为 ．
15．（2012·陕西理）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是 ．
B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF DB= ．
C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为 ．
三、解答题
16．（2012·陕西理）函数 （A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设 ，则 ，求α的值．
17．（2012·陕西理）设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．
（1）求数列{an}的公比；
（2）证明：对任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．
18．（2012·陕西理）如图
（1）证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）
19．（2012·陕西理）已知椭圆C1： +y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上， =2 ，求直线AB的方程．
20．（2012·陕西理）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：
办理业务所需的时间（分） 1 2 3 4 5
频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时．
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．
21．（2012·陕西理）设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）
（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：fn（x）在区间 内存在唯一的零点；
（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设xn是fn（x）在 内的零点，判断数列x2，x3，…，xn 的增减性．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：M={x|lgx＞0}={x|x＞1}，N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，
则M∩N={x|1＜x≤2}，
故选：C．
【分析】根据集合的基本运算，进行求解即可．
2．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A．y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件．
B．y=﹣x2是偶函数，不满足条件．
C．y= 是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．
D．设f（x）=x|x|，则f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x），则函数为奇函数，
当x＞0时，y=x|x|=x2，此时为增函数，
当x≤0时，y=x|x|=﹣x2，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．
故选：D
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念
【解析】【解答】解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b≠0，复数 为纯虚数，否则不成立；
复数 =a﹣bi为纯虚数，所以a=0并且b≠0，所以ab=0，
因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数 为纯虚数”的必要不充分条件．
故选B．
【分析】利用“ab=0”与“复数 为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条件．
4．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，
∴圆心C（2，0），半径r=2，
又P（3，0）与圆心的距离d= =1＜2=r，
∴点P在圆C内，又直线l过P点，
则直线l与圆C相交．
故选A．
【分析】将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P点，可得出直线l与圆C相交．
5．【答案】A
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，
∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2
∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）
∴ =（0，2，﹣1）， =（﹣2，2，1）
可得 =0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且 = ， =3，
向量 与 所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，
设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ= =
故选A
【分析】根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量 与 的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．
6．【答案】B
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：甲的平均数 甲= = ，
乙的平均数 乙= = ，
所以 甲＜ 乙．
甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙
故选：B．
【分析】直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项．
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由于f（x）=xex，可得f′（x）=（x+1）ex，
令f′（x）=（x+1）ex=0可得x=﹣1
令f′（x）=（x+1）ex＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数
令f′（x）=（x+1）ex＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数
所以x=﹣1为f（x）的极小值点
故选D
【分析】由题意，可先求出f′（x）=（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点
8．【答案】C
【知识点】基本计数原理的应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：第一类：三局为止，共有2种情形；
第二类：四局为止，共有2× =6种情形；
第三类：五局为止，共有2× =12种情形；
故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形
故选C
【分析】根据分类计数原理，所有可能情形可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果
9．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：因为a2+b2=2c2，
所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，
cosC= = ．
故选C．
【分析】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．
10．【答案】D
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：法一：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，
圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，
所以要求的概率 ，
所以空白框内应填入的表达式是 ．
故选D．
法二：随机输入xi∈（0，1），yi∈（0，1）
那么点P（xi，yi）构成的区域为以
O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）为顶点的正方形．
判断框内x2i+y2i≤1，
若是，说说明点P（xi，yi）在单位圆内部（ 圆）内，并累计记录点的个数M
若否，则说明点P（xi，yi）在单位圆内部（ 圆）外，并累计记录点的个数N
第2个判断框 i＞1000，是进入计算
此时落在 单位圆内的点的个数为M，一共判断了1000个点
那么 圆的面积/正方形的面积= ，
即 π12÷1=
∴π= （π的估计值）
即执行框内计算的是 ．
故选D．
【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．
11．【答案】1+ + ＜
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：由已知中的不等式
1+ ，1+ + ，…
得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方
右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，
故可以归纳出第n个不等式是 1+ …+ ＜ ，（n≥2），
所以第五个不等式为1+ + ＜
故答案为：1+ + ＜
【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式
12．【答案】1
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（a+x）5展开式中x2的系数为 ，因为（a+x）5展开式中x2的系数为10，
所以 =10，解得a=1，
故答案为：1．
【分析】直接利用二项式定理的展开式的通项公式，求出x2的系数是10，得到方程，求出a的值．
13．【答案】2
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，
将A（2，﹣2）代入x2=my，
得m=﹣2
∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0= ，
故水面宽为2 m．
故答案为：2 ．
【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
14．【答案】2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；简单线性规划
【解析】【解答】解：当x＞0时，f′（x）= ，
则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，
D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．
z=x﹣2y可变形成y= x﹣ ，当直线y= x﹣ 过点A（0，﹣1）时，截距最小，此时z最大．最大值为2．
故答案为：2．
【分析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可．
15．【答案】﹣2≤a≤4；5；
【知识点】直线与圆相交的性质；与圆有关的比例线段；简单曲线的极坐标方程；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：A．∵存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，
而|x﹣a|+|x﹣1|表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，
又最大值等于3，由图可得：当表示a的点位于AB之间时满足|x﹣a|+|x﹣1|≤3，
∴﹣2≤a≤4，
故答案为：﹣2≤a≤4．
B；∵AB=6，AE=1，由题意可得△AEC∽△DEB，DE=CE，
∴DE CE=AE EB=1×5=5，即DE= ．
在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF DB=5．
故答案为：5．
C；∵2ρcosθ=1，
∴2x=1，即x= ；
又圆ρ=2cosθ的普通方程由ρ2=2ρcosθ得：x2+y2=2x，
∴（x﹣1）2+y2=1，
∴圆心（1，0）到直线x= 的距离为 ，
∴相交弦长的一半为 = ，
∴相交弦长为 ．
故答案为： ．
【分析】A；利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，它的最大值等于3，作图可得实数a的取值范围．
B；利用相交弦定理AE EB=CE ED，AB⊥CD可得DE= ；在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF DB=5，即得答案；
C；将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为：x= ，（x﹣1）2+y2=1，从而可得相交弦长．
16．【答案】（1）解：∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，
∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为 ， = ，T=π，所以ω=2．
故函数的解析式为y=2sin（2x﹣ ）+1．
（2）解：∵ ，所以 ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】简单的三角恒等变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式．（2）通过 ，求出 ，通过α的范围，求出α的值．
17．【答案】（1）解：设{an}的公比为q（q≠0，q≠1）
∵a5，a3，a4成等差数列，∴2a3=a5+a4，
∴
∵a1≠0，q≠0，
∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2
∵q≠1，
∴q=﹣2
（2）证明：对任意k∈N+，Sk+2+Sk+1﹣2Sk=（Sk+2﹣Sk）+（Sk+1﹣Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（﹣2）=0
∴对任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．
【知识点】等比数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）设{an}的公比为q（q≠0，q≠1），利用a5，a3，a4成等差数列结合通项公式，可得 ，由此即可求得数列{an}的公比；（2）对任意k∈N+，Sk+2+Sk+1﹣2Sk=（Sk+2﹣Sk）+（Sk+1﹣Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（﹣2）=0，从而得证．
18．【答案】（1）证明：证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是 ，则 共面，
根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得 ，
则 =
因为a⊥b，所以 ，
又因为a α，n⊥α，
所以 ，
故 ，从而a⊥c
证法二
如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，
∵PO⊥π，a π，
∴直线PO⊥a，
又a⊥b，b 平面PAO，PO∩b=P，
∴a⊥平面PAO，
又c 平面PAO，
∴a⊥c
（2）证明：逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，
逆命题为真命题
【知识点】四种命题；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】（1）证法一：做出辅助线，在直线上构造对应的方向向量，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果．
证法二：做出辅助线，根据线面垂直的性质，得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再根据性质得到结论．（2）把所给的命题的题设和结论交换位置，得到原命题的逆命题，判断出你命题的正确性．
19．【答案】（1）解：椭圆 的长轴长为4，离心率为
∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率
∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为
∴b=2，a=4
∴椭圆C2的方程为 ；
（2）解：设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），
∵ =2
∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上
∴设AB的方程为y=kx
将y=kx代入 ，消元可得（1+4k2）x2=4，∴
将y=kx代入 ，消元可得（4+k2）x2=16，∴
∵ =2 ，∴ =4 ，
∴ ，解得k=±1，
∴AB的方程为y=±x
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）求出椭圆 的长轴长，离心率，根据椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆C2的方程；（2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），根据 =2 ，可设AB的方程为y=kx，分别与椭圆C1和C2联立，求出A，B的横坐标，利用 =2 ，即可求得直线AB的方程．
20．【答案】（1）解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：
Y 1 2 3 4 5
P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：
①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；
②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．
所以 P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22
（2）解：X所有可能的取值为：0，1，2．
X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；
X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；
X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.5 0.49 0.01
EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，可得Y的分布列，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟，由此可求概率；（2）确定X所有可能的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列及数学期望．
21．【答案】（1）解：由于n≥2，b=1，c=﹣1，fn（x）=xn+bx+c=xn+x﹣1，∴fn（ ）fn（1）=（ ﹣ ）×1＜0，
∴fn（x）在区间 内存在零点．再由fn（x）在区间 内单调递增，可得fn（x）在区间 内存在唯一的零点．
（2）解：当n=2，函数f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，
故函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4．
当 ＞1时，即b＞2或 b＜﹣2时，M=|f2（﹣1）﹣f2（1）|=2|b|＞4，这与题设相矛盾．
当﹣1≤﹣ ＜0时，即0＜b≤2时，M=f2（1）﹣ = ≤4 恒成立．
当0≤﹣ ≤1 时，即﹣2≤b≤0时，M=f2（﹣1）﹣ = ≤4 恒成立．
综上可得，﹣2≤b≤2．
（3）解：法一：在（1）的条件下，xn是fn（x）=xn+x﹣1在 内的唯一零点，则有fn（xn）= +xn﹣1=0，
fn+1（xn+1）= +xn+1﹣1=0．
当xn+1∈ 时，fn（xn）=0=fn+1（xn+1）= +xn+1﹣1＜ +xn+1﹣1=fn（xn+1）．
由（1）知，fn（x）在区间 内单调递增，故有xn＜xn+1，故数列x2，x3，…，xn 单调递增数列．
法二：设xn是fn（x）=xn+x﹣1在 内的唯一零点，
fn+1（xn） fn+1（1）=（ +xn﹣1）×1= +xn﹣1＜ +xn﹣1=0，故fn+1（x）的零点在（xn，1）内，∴xn＜xn+1 （n≥2），故数列x2，x3，…，xn 单调递增数列．
【知识点】数列与函数的综合；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（1）根据 fn（ ）fn（1）=（ ﹣ ）×1＜0，以及fn（x）在区间 内单调递增，可得fn（x）在区间 内存在唯一的零点．（2）当n=2，由题意可得函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4，分当 ＞1时、当﹣1≤﹣ ＜0时、当0≤﹣ ≤1 时三种情况，分别求得b的取值范围，再取并集，即得所求．（3）证法一：先求出fn（xn）和fn+1（xn+1）的解析式，再由当xn+1∈ 时，fn（xn）=0=fn+1（xn+1）= +xn+1﹣1＜ +xn+1﹣1=fn（xn+1），且fn（x）在区间 内单调递增，故有xn＜xn+1，从而得出结论．证法二：设xn是fn（x）=xn+x﹣1在 内的唯一零点，由fn+1（xn） fn+1（1）＜0可得 fn+1（x）的零点在（xn，1）内，从而有 xn＜xn+1 （n≥2），由此得出结论．
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