2012年高考理数真题试卷（上海卷）
一、填空题
1．（2012·上海理）计算： = （i为虚数单位）．
【答案】1﹣2i
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
故答案为1﹣2i
【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案
2．（2012·上海理）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B= ．
【答案】（﹣ ，3）
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣ }，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，
所以A∩B=（﹣ ，3）
故答案为（﹣ ，3）
【分析】由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案
3．（2012·上海理）函数f（x）= 的值域是 ．
【答案】
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；二阶矩阵
【解析】【解答】解：f（x）= =﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣ sin2x
∵﹣1≤sin2x≤1
∴﹣ ≤﹣ sin2x≤
则﹣ ≤﹣2﹣ sin2x≤﹣
∴函数f（x）= 的值域是
故答案为：
【分析】先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域．
4．（2012·上海理）若 =（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．
【答案】arctan2
【知识点】平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】解：∵ =（﹣2，1）是直线l的一个法向量
∴可知直线l的一个方向向量为（1，2），直线l的倾斜角为α得，tanα=2
∴α=arctan2
故答案为：arctan2
【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tanα可求出倾斜角．
5．（2012·上海理）在 的二项展开式中，常数项等于 ．
【答案】﹣160
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：展开式的通项为Tr+1= x6﹣r（﹣ ）r=（﹣2）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3
常数项为（﹣2）3 =﹣160
故答案为：﹣160
【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．
6．（2012·上海理）有一列正方体，棱长组成以1为首项、 为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则 （V1+V2+…+Vn）═ ．
【答案】
【知识点】数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为an
则
∴ = 是以1为首项，以 为公比的等比数列
则 （V1+V2+…+vn）= =
故答案为：
【分析】由题意可得，正方体的体积 = 是以1为首项，以 为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求
7．（2012·上海理）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是 ．
【答案】（﹣∞，1]
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数
由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数
又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数
所以[1，+∞） [a，+∞），故有a≤1
故答案为（﹣∞，1]
【分析】由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞） [a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围
8．（2012·上海理）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 ．
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，
因为4π=πl2，所以l=2，
半圆的弧长为2π，
圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，
所以圆锥的体积为： = ．
故答案为： ．
【分析】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．
9．（2012·上海理）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= ．
【答案】﹣1
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，
所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3
所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1
故答案为：﹣1．
【分析】由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案
10．（2012·上海理）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a= ，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）= ．
【答案】
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ
在三角形POM中，利用正弦定理可知：
解得ρ=f（θ）=
故答案为：
【分析】取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求．
11．（2012·上海理）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球
三个同学共有3×3×3=27种
有且仅有两人选择的项目完全相同有 × × =18种
其中 表示3个同学中选2个同学选择的项目， 表示从三种组合中选一个， 表示剩下的一个同学有2中选择
故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 =
故答案为：
【分析】先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．
12．（2012·上海理）在平行四边形ABCD中，∠A= ，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足 = ，则 的取值范围是 ．
【答案】[2，5]
【知识点】平面向量的综合题
【解析】【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），
D（ ），设 = =λ，λ∈[0，1]，
M（2+ ），N（ ），
所以 =（2+ ） （ ）
=﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，
所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．
故答案为：[2，5]．
【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．
13．（2012·上海理）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（ ，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为 ．
【答案】
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由题意可得，f（x）= ，
∴y=xf（x）= ，
设函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S，
则S= 10x2dx+ （﹣10x2+10x）dx
=10× +（﹣10）× +10×
= ﹣ +5﹣
=
= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意求得f（x）= ，从而y=xf（x）= ，利用定积分可求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积．
14．（2012·上海理）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 ．
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，
由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，
AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．
取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，
当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，
∴AB=a，所以EB= ，EF= ，
所以几何体的体积为： × = ．
故答案为： ．
【分析】作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．
取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．
二、选择题
15．（2012·上海理）若1+ i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（ ）
A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3
C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1
【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：由题意1+ i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0
∴1+2 i﹣2+b+ bi+c=0
∴ ，解得b=﹣2，c=3
故选B
【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组 ，解方程得出a，b的值即可选出正确选项
16．（2012·上海理）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，
由正弦定理可得，a2+b2＜c2
由余弦定理可得cosC=
∴
∴△ABC是钝角三角形
故选C
【分析】由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC= 可判断C的取值范围
17．（2012·上海理）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值 、 、 、 、 的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（ ）
A．Dξ1＞Dξ2
B．Dξ1=Dξ2
C．Dξ1＜Dξ2
D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关
【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：
= （x1+x2+x3+x4+x5）， = （ + + + + ）= 且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2，
故选择A．
【分析】根据随机变量ξ1、ξ2的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，即可求得结论．
18．（2012·上海理）设an= sin ，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
【答案】D
【知识点】数列的求和；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：由于f（n）=sin 的周期T=50
由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0
且sin ，sin …但是f（n）= 单调递减
a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24
∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正
同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，
故选D
【分析】由于f（n）=sin 的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）= 单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断
三、解答题
19．（2012·上海理）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2 ，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．
【答案】（1）解：∵PA⊥底面ABCD，CD 底面ABCD，
∴CD⊥PA．
∵矩形ABCD中，CD⊥AD，而PA、AD是平面PAD的交线．
∴CD⊥平面PDA，
∵PD 平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．
∵Rt△PAD中，AD=2 ，PA=2，
∴PD= =2 ．
∴三角形PCD的面积S= ×PD×DC=2 ．
（2）解：[解法一]
如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2 ，0），E（1， ，1）．
∴ =（1， ，1）， =（0，2 ，0），
设 与 夹角为θ，则cosθ= = = ，
∴θ= ，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为 ．
[解法二]
取PB的中点F，连接AF、EF、AC，
∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，
∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．
∵Rt△PAC中，PC= =4．
∴AE= PC=2，
∵在△AEF中，EF= BC= ，AF= PB=
∴AF2+EF2=AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠AEF= ，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为 ．
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2 ，最后得到三角形PCD的面积S；（2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E各点的坐标，从而 =（1， ，1）， =（0，2 ，0），利用空间向量数量积的公式，得到 与 夹角θ满足：cosθ= ，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为 ；[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF= ，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为 ．
20．（2012·上海理）已知f（x）=lg（x+1）
（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．
【答案】（1）解：f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），
要使函数有意义，则
由 解得：﹣1＜x＜1．
由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg ＜1得：1＜ ＜10，
∵x+1＞0，
∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，
∴ ．
由 ，得： ．
（2）解：当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，
∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），
由单调性可知y∈[0，lg2]，
又∵x=3﹣10y，
∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．
【知识点】函数的周期性；互为反函数的两个函数之间的关系；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【分析】（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．
21．（2012·上海理）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：
①失事船的移动路径可视为抛物线 ；
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
【答案】（1）解：t=0.5时，P的横坐标xP=7t= ，代入抛物线方程 中，得P的纵坐标yP=3．
由|AP|= ，得救援船速度的大小为 海里/时．
由tan∠OAP= ，得∠OAP=arctan ，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．
（2）解：设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．
由vt= ，整理得 ．
因为 ，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程 中，可得P的纵坐标，利用|AP|= ，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt= ，整理得 ，利用基本不等式，即可得到结论．
22．（2012·上海理）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
【答案】（1）解：双曲线C1： 左顶点A（﹣ ），
渐近线方程为：y=± x．
过A与渐近线y= x平行的直线方程为y= （x+ ），即y= ，
所以 ，解得 ．
所以所求三角形的面积为S= ．
（2）解：设直线PQ的方程为y=kx+b，
因直线PQ与已知圆相切，故 ，
即b2=2，由 ，
得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则 ，
又y1y2=（x1+b）（x2+b）．
所以 =x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2
=2（﹣1﹣b2）+2b2+b2
=b2﹣2=0．
故PO⊥OQ．
（3）解：当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|= ，则O到直线MN的距离为 ．
当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞ ），
则直线OM的方程为y= ，由
得 ，
所以 ．
同理 ，
设O到直线MN的距离为d，
因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，
所以 = =3，
即d= ．
综上，O到直线MN的距离是定值．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=2，通过求解 =0．证明PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为 ．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞ ），推出直线OM的方程为y= ，利用 ，求出 ， ，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d= ．推出O到直线MN的距离是定值．
23．（2012·上海理）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y={ =（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意 ，存在 ，使得 ，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．
（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1=1；
（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式．
【答案】（1）解：选取 =（x，2），则Y中与 垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，
又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．
（2）解：取 =（x1，x1）∈Y，设 =（s，t）∈Y，满足 ，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异号．
因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，
假设xk=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn．
再取 =（x1，xn）∈Y，设 =（s，t）∈Y，满足 ，可得sx1+txn=0，
所以s、t异号，其中一个为﹣1
①若s=﹣1，则x1=txn＞t≥x1，矛盾；
②若t=﹣1，则xn=sx1＜s≤xn，矛盾；
说明假设不成立，由此可得当xn＞1时，x1=1．
（3）解：[解法一]猜想：xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n
记Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n
先证明若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．
任取 =（s，t），s、t∈Ak，当s、t中出现﹣1时，显然有 满足
当s、t中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1．
因为Ak+1具有性质P，所以有 =（s1，t1），s1、t1∈Ak+1，使得 ，从而s1、t1其中有一个为﹣1
不妨设s1=﹣1，
假设t1∈Ak+1，且t1 Ak，则t1=xk+1．由（s，t）（﹣1，xk+1）=0，得s=txk+1≥xk+1，与s∈Ak矛盾．
所以t1∈Ak，从而Ak也具有性质P．
再用数学归纳法，证明xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n
当n=2时，结论显然成立；
假设当n=k时，Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性质P，则xi=qi﹣1，i=1，2，…，k
当n=k+1时，若Ak+1═{﹣1，x1，x2，…，xk+1}具有性质P，则Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性质P，
所以Ak+1═{﹣1，q，q2，…，qk﹣1，xk+1}．
取 =（xk+1，q），并设 =（s，t）∈Y，满足 ，由此可得s=﹣1或t=﹣1
若t=﹣1，则xk+1= ，不可能
所以s=﹣1，xk+1=qt=qj≤qk且xk+1＞qk﹣1，因此xk+1=qk综上所述，xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n
[解法二]设 =（s1，t1）， =（s2，t2），则 等价于
记B={ |s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称
注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣xn}，共有n﹣1个数．
所以B∩（0，+∞）也有n﹣1个数．
由于 ＜ ＜ ＜…＜ ，已经有n﹣1个数
对以下三角形数阵： ＜ ＜ ＜…＜ ，
＜ ＜ ＜…＜
注意到 ＞ ＞ ＞…＞ ，所以 = =…=
从而数列的通项公式是xk=x1 （ ）k﹣1=qk﹣1，k=1，2，3，…，n．
【知识点】元素与集合的关系；数列与向量的综合；平面向量的综合题
【解析】【分析】（1）在Y中取 =（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与 垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．（2）取 =（x1，x1）， =（s，t）根据 ，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当xn＞1时，x1=1．（3）[解法一]先猜想结论：xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n．记Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n；
[解法二]设 =（s1，t1）， =（s2，t2），则 等价于 ，得到一正一负的特征，再记B={ |s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣xn}，共有n﹣1个数，所以B∩（0．+∞）也有n﹣1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得 = =…= ，最终得到数列的通项公式是xk=x1 （ ）k﹣1=qk﹣1，k=1，2，3，…，n．
1 / 12012年高考理数真题试卷（上海卷）
一、填空题
1．（2012·上海理）计算： = （i为虚数单位）．
2．（2012·上海理）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B= ．
3．（2012·上海理）函数f（x）= 的值域是 ．
4．（2012·上海理）若 =（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．
5．（2012·上海理）在 的二项展开式中，常数项等于 ．
6．（2012·上海理）有一列正方体，棱长组成以1为首项、 为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则 （V1+V2+…+Vn）═ ．
7．（2012·上海理）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是 ．
8．（2012·上海理）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 ．
9．（2012·上海理）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= ．
10．（2012·上海理）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a= ，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）= ．
11．（2012·上海理）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）．
12．（2012·上海理）在平行四边形ABCD中，∠A= ，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足 = ，则 的取值范围是 ．
13．（2012·上海理）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（ ，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为 ．
14．（2012·上海理）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 ．
二、选择题
15．（2012·上海理）若1+ i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（ ）
A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3
C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1
16．（2012·上海理）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
17．（2012·上海理）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值 、 、 、 、 的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（ ）
A．Dξ1＞Dξ2
B．Dξ1=Dξ2
C．Dξ1＜Dξ2
D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关
18．（2012·上海理）设an= sin ，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
三、解答题
19．（2012·上海理）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2 ，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．
20．（2012·上海理）已知f（x）=lg（x+1）
（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．
21．（2012·上海理）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：
①失事船的移动路径可视为抛物线 ；
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
22．（2012·上海理）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
23．（2012·上海理）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y={ =（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意 ，存在 ，使得 ，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．
（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1=1；
（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式．
答案解析部分
1．【答案】1﹣2i
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
故答案为1﹣2i
【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案
2．【答案】（﹣ ，3）
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣ }，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，
所以A∩B=（﹣ ，3）
故答案为（﹣ ，3）
【分析】由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案
3．【答案】
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；二阶矩阵
【解析】【解答】解：f（x）= =﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣ sin2x
∵﹣1≤sin2x≤1
∴﹣ ≤﹣ sin2x≤
则﹣ ≤﹣2﹣ sin2x≤﹣
∴函数f（x）= 的值域是
故答案为：
【分析】先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域．
4．【答案】arctan2
【知识点】平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】解：∵ =（﹣2，1）是直线l的一个法向量
∴可知直线l的一个方向向量为（1，2），直线l的倾斜角为α得，tanα=2
∴α=arctan2
故答案为：arctan2
【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tanα可求出倾斜角．
5．【答案】﹣160
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：展开式的通项为Tr+1= x6﹣r（﹣ ）r=（﹣2）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3
常数项为（﹣2）3 =﹣160
故答案为：﹣160
【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．
6．【答案】
【知识点】数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为an
则
∴ = 是以1为首项，以 为公比的等比数列
则 （V1+V2+…+vn）= =
故答案为：
【分析】由题意可得，正方体的体积 = 是以1为首项，以 为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求
7．【答案】（﹣∞，1]
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数
由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数
又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数
所以[1，+∞） [a，+∞），故有a≤1
故答案为（﹣∞，1]
【分析】由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞） [a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围
8．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，
因为4π=πl2，所以l=2，
半圆的弧长为2π，
圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，
所以圆锥的体积为： = ．
故答案为： ．
【分析】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．
9．【答案】﹣1
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，
所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3
所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1
故答案为：﹣1．
【分析】由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案
10．【答案】
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ
在三角形POM中，利用正弦定理可知：
解得ρ=f（θ）=
故答案为：
【分析】取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求．
11．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球
三个同学共有3×3×3=27种
有且仅有两人选择的项目完全相同有 × × =18种
其中 表示3个同学中选2个同学选择的项目， 表示从三种组合中选一个， 表示剩下的一个同学有2中选择
故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 =
故答案为：
【分析】先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．
12．【答案】[2，5]
【知识点】平面向量的综合题
【解析】【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），
D（ ），设 = =λ，λ∈[0，1]，
M（2+ ），N（ ），
所以 =（2+ ） （ ）
=﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，
所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．
故答案为：[2，5]．
【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．
13．【答案】
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由题意可得，f（x）= ，
∴y=xf（x）= ，
设函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S，
则S= 10x2dx+ （﹣10x2+10x）dx
=10× +（﹣10）× +10×
= ﹣ +5﹣
=
= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意求得f（x）= ，从而y=xf（x）= ，利用定积分可求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积．
14．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，
由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，
AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．
取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，
当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，
∴AB=a，所以EB= ，EF= ，
所以几何体的体积为： × = ．
故答案为： ．
【分析】作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．
取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．
15．【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：由题意1+ i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0
∴1+2 i﹣2+b+ bi+c=0
∴ ，解得b=﹣2，c=3
故选B
【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组 ，解方程得出a，b的值即可选出正确选项
16．【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，
由正弦定理可得，a2+b2＜c2
由余弦定理可得cosC=
∴
∴△ABC是钝角三角形
故选C
【分析】由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC= 可判断C的取值范围
17．【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：
= （x1+x2+x3+x4+x5）， = （ + + + + ）= 且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2，
故选择A．
【分析】根据随机变量ξ1、ξ2的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，即可求得结论．
18．【答案】D
【知识点】数列的求和；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：由于f（n）=sin 的周期T=50
由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0
且sin ，sin …但是f（n）= 单调递减
a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24
∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正
同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，
故选D
【分析】由于f（n）=sin 的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）= 单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断
19．【答案】（1）解：∵PA⊥底面ABCD，CD 底面ABCD，
∴CD⊥PA．
∵矩形ABCD中，CD⊥AD，而PA、AD是平面PAD的交线．
∴CD⊥平面PDA，
∵PD 平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．
∵Rt△PAD中，AD=2 ，PA=2，
∴PD= =2 ．
∴三角形PCD的面积S= ×PD×DC=2 ．
（2）解：[解法一]
如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2 ，0），E（1， ，1）．
∴ =（1， ，1）， =（0，2 ，0），
设 与 夹角为θ，则cosθ= = = ，
∴θ= ，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为 ．
[解法二]
取PB的中点F，连接AF、EF、AC，
∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，
∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．
∵Rt△PAC中，PC= =4．
∴AE= PC=2，
∵在△AEF中，EF= BC= ，AF= PB=
∴AF2+EF2=AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠AEF= ，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为 ．
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2 ，最后得到三角形PCD的面积S；（2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E各点的坐标，从而 =（1， ，1）， =（0，2 ，0），利用空间向量数量积的公式，得到 与 夹角θ满足：cosθ= ，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为 ；[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF= ，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为 ．
20．【答案】（1）解：f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），
要使函数有意义，则
由 解得：﹣1＜x＜1．
由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg ＜1得：1＜ ＜10，
∵x+1＞0，
∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，
∴ ．
由 ，得： ．
（2）解：当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，
∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），
由单调性可知y∈[0，lg2]，
又∵x=3﹣10y，
∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．
【知识点】函数的周期性；互为反函数的两个函数之间的关系；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【分析】（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．
21．【答案】（1）解：t=0.5时，P的横坐标xP=7t= ，代入抛物线方程 中，得P的纵坐标yP=3．
由|AP|= ，得救援船速度的大小为 海里/时．
由tan∠OAP= ，得∠OAP=arctan ，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．
（2）解：设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．
由vt= ，整理得 ．
因为 ，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程 中，可得P的纵坐标，利用|AP|= ，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt= ，整理得 ，利用基本不等式，即可得到结论．
22．【答案】（1）解：双曲线C1： 左顶点A（﹣ ），
渐近线方程为：y=± x．
过A与渐近线y= x平行的直线方程为y= （x+ ），即y= ，
所以 ，解得 ．
所以所求三角形的面积为S= ．
（2）解：设直线PQ的方程为y=kx+b，
因直线PQ与已知圆相切，故 ，
即b2=2，由 ，
得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则 ，
又y1y2=（x1+b）（x2+b）．
所以 =x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2
=2（﹣1﹣b2）+2b2+b2
=b2﹣2=0．
故PO⊥OQ．
（3）解：当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|= ，则O到直线MN的距离为 ．
当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞ ），
则直线OM的方程为y= ，由
得 ，
所以 ．
同理 ，
设O到直线MN的距离为d，
因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，
所以 = =3，
即d= ．
综上，O到直线MN的距离是定值．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=2，通过求解 =0．证明PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为 ．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞ ），推出直线OM的方程为y= ，利用 ，求出 ， ，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d= ．推出O到直线MN的距离是定值．
23．【答案】（1）解：选取 =（x，2），则Y中与 垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，
又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．
（2）解：取 =（x1，x1）∈Y，设 =（s，t）∈Y，满足 ，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异号．
因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，
假设xk=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn．
再取 =（x1，xn）∈Y，设 =（s，t）∈Y，满足 ，可得sx1+txn=0，
所以s、t异号，其中一个为﹣1
①若s=﹣1，则x1=txn＞t≥x1，矛盾；
②若t=﹣1，则xn=sx1＜s≤xn，矛盾；
说明假设不成立，由此可得当xn＞1时，x1=1．
（3）解：[解法一]猜想：xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n
记Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n
先证明若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．
任取 =（s，t），s、t∈Ak，当s、t中出现﹣1时，显然有 满足
当s、t中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1．
因为Ak+1具有性质P，所以有 =（s1，t1），s1、t1∈Ak+1，使得 ，从而s1、t1其中有一个为﹣1
不妨设s1=﹣1，
假设t1∈Ak+1，且t1 Ak，则t1=xk+1．由（s，t）（﹣1，xk+1）=0，得s=txk+1≥xk+1，与s∈Ak矛盾．
所以t1∈Ak，从而Ak也具有性质P．
再用数学归纳法，证明xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n
当n=2时，结论显然成立；
假设当n=k时，Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性质P，则xi=qi﹣1，i=1，2，…，k
当n=k+1时，若Ak+1═{﹣1，x1，x2，…，xk+1}具有性质P，则Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性质P，
所以Ak+1═{﹣1，q，q2，…，qk﹣1，xk+1}．
取 =（xk+1，q），并设 =（s，t）∈Y，满足 ，由此可得s=﹣1或t=﹣1
若t=﹣1，则xk+1= ，不可能
所以s=﹣1，xk+1=qt=qj≤qk且xk+1＞qk﹣1，因此xk+1=qk综上所述，xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n
[解法二]设 =（s1，t1）， =（s2，t2），则 等价于
记B={ |s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称
注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣xn}，共有n﹣1个数．
所以B∩（0，+∞）也有n﹣1个数．
由于 ＜ ＜ ＜…＜ ，已经有n﹣1个数
对以下三角形数阵： ＜ ＜ ＜…＜ ，
＜ ＜ ＜…＜
注意到 ＞ ＞ ＞…＞ ，所以 = =…=
从而数列的通项公式是xk=x1 （ ）k﹣1=qk﹣1，k=1，2，3，…，n．
【知识点】元素与集合的关系；数列与向量的综合；平面向量的综合题
【解析】【分析】（1）在Y中取 =（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与 垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．（2）取 =（x1，x1）， =（s，t）根据 ，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当xn＞1时，x1=1．（3）[解法一]先猜想结论：xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n．记Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n；
[解法二]设 =（s1，t1）， =（s2，t2），则 等价于 ，得到一正一负的特征，再记B={ |s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣xn}，共有n﹣1个数，所以B∩（0．+∞）也有n﹣1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得 = =…= ，最终得到数列的通项公式是xk=x1 （ ）k﹣1=qk﹣1，k=1，2，3，…，n．
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