2012年高考理数真题试卷（天津卷）
一、选择题
1．（2012·天津理）i是虚数单位，复数 =（ ）
A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
故选B
【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项
2．（2012·天津理）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为φ=0时，f（x）=cos（x+φ）=cosx是偶函数，成立；
但f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数时，φ=kπ，k∈Z，推不出φ=0．
故“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件．
故选：A．
【分析】直接把φ=0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可．
3．（2012·天津理）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．9
【答案】C
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：当输入x=﹣25时，
|x|＞1，执行循环，x= ﹣1=4；
|x|=4＞1，执行循环，x= ﹣1=1，
|x|=1，退出循环，
输出的结果为x=2×1+1=3．
故选：C．
【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|≤1时跳出循环，输出结果．
4．（2012·天津理）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，
所以f（0）f（1）＜0，
故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，
故选B．
【分析】根据函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点
5．（2012·天津理）在（2x2﹣ ）5的二项展开式中，x项的系数为（ ）
A．10 B．﹣10 C．40 D．﹣40
【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（2x2﹣ ）5的二项展开式的通项为Tr+1= =
令10﹣3r=1，得r=3
故x项的系数为 =﹣40
故选D
【分析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项Tr+1= = ，再令10﹣3r=1，得r=3即可得出x项的系数
6．（2012·天津理）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，
所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB= ，B为三角形内角，所以B∈（0， ）．C ．
所以sinB= = ．
所以sinC=sin2B=2× = ，
cosC= = ．
故选：A．
【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可．
7．（2012·天津理）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足 ， ，λ∈R．若 =﹣ ，则λ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的综合题
【解析】【解答】解：∵ ， ，λ∈R
∴ ，
∵△ABC为等边三角形，AB=2
∴ = +λ +（1﹣λ）
=2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（1﹣λ）×2×2×cos180°+λ（1﹣λ）×2×2×cos60°
=2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ2，
=﹣2λ2+2λ﹣2
∵ =﹣
∴4λ2﹣4λ+1=0
∴（2λ﹣1）2=0
∴
故选A
【分析】根据向量加法的三角形法则求出 ， 进而根据数量积的定义求出 再根据 =﹣ 即可求出λ．
8．（2012·天津理）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（ ）
A．[1﹣ ，1+ ]
B．（﹣∞，1﹣ ]∪[1+ ，+∞）
C．[2﹣2 ，2+2 ]
D．（﹣∞，2﹣2 ]∪[2+2 ，+∞）
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，
∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d= =1，
整理得：m+n+1=mn≤ ，
设m+n=x，则有x+1≤ ，即x2﹣4x﹣4≥0，
∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2 ，x2=2﹣2 ，
∴不等式变形得：（x﹣2﹣2 ）（x﹣2+2 ）≥0，
解得：x≥2+2 或x≤2﹣2 ，
则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2 ]∪[2+2 ，+∞）．
故选D
【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．
二、填空题
9．（2012·天津理）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 18 所学校，中学中抽取 所学校．
【答案】9
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：某城地区有学校150+75+25=250所，
现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取30所，
每个个体被抽到的概率是 = ，
∵某地区有小学150所，中学75所，大学25所．
∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学 ×150=18所，选取中学 ×75=9所．
故答案为：18，9．
【分析】从250所学校抽取30所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为3：25，得到每个个体被抽到的概率，根据三个学校的数目乘以被抽到的概率，分别写出要抽到的数目，得到结果．
10．（2012·天津理）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3．
【答案】18+9π
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），体积6×3×1=18．
下部为两个半径均为 的球体，体积2× （ ）3=9π
故所求体积等于18+9π
故答案为：18+9π
【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），下部为两个半径均为 的球体．分别求体积再相加即可．
11．（2012·天津理）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m= ，n= ．
【答案】﹣1；1
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：A={x∈R||x+2|＜3}={x∈R|﹣5＜x＜1}，
又集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，A∩B=（﹣1，n）．
如图
由图知m=﹣1，n=1，
故答案为﹣1，1．
【分析】由题意，可先化简A集合，再由B集合的形式及A∩B=（﹣1，n）直接作出判断，即可得出两个参数的值．
12．（2012·天津理）已知抛物线的参数方程为 （t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p= ．
【答案】2
【知识点】圆锥曲线的综合；抛物线的参数方程
【解析】【解答】解：抛物线的参数方程为 （t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l，消去参数可得x=2p ，
化简可得y2=2px，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是x轴的抛物线，
故焦点F（ ，0），准线l的方程为x=﹣ ．
则由抛物线的定义可得|ME|=|MF|，再由|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形．
设点M的坐标为（3，m ），则点E（﹣ ，m）．
把点M的坐标代入抛物线的方程可得m2=2×p×3，即 p= ．
再由|EF|=|ME|，可得 p2+m2= ，即 p2+6p=9+ +3p，解得p=2，或p=﹣6 （舍去），
故答案为 2．
【分析】把抛物线的参数方程化为普通方程为y2=2px，则由抛物线的定义可得及|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形，设点M的坐标为（3，m ），则点E（﹣ ，m），把点M的坐标代入抛物线的方程可得 p= ．再由|EF|=|ME|，解方程可得p的值．
13．（2012·天津理）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF= ，则线段CD的长为 ．
【答案】
【知识点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：由相交弦定理得到AF FB=EF FC，即3×1= ×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD= ，
设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD AD，即x 4x=（ ）2，x=
故答案为：
【分析】由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD AD求解．
14．（2012·天津理）已知函数y= 的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
【答案】（0，1）∪（1，4）
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：y= = =
函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）
在同一个坐标系下画出函数y= 的图象与函数y=kx﹣2的图象
结合图象可实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）
故答案为：（0，1）∪（1，4）
【分析】先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y= 的图象与函数y=kx﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值范围．
三、解答题
15．（2012·天津理）已知函数f（x）=sin（2x+ ）+sin（2x﹣ ）+2cos2x﹣1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[ ]上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：∵f（x）=sin2x cos +cos2x sin +sin2x cos ﹣cos2x sin +cos2x
=sin2x+cos2x
= sin（2x+ ），
∴函数f（x）的最小正周期T= =π
（2）解：∵函数f（x）在区间[ ]上是增函数，在区间[ ， ]上是减函数，
又f（﹣ ）=﹣1，f（ ）= ，f（ ）=1，
∴函数f（x）在区间[ ]上的最大值为 ，最小值为﹣1
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+ ）+sin（2x﹣ ）+2cos2x﹣1化为f（x）= sin（2x+ ），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间[ ]上是增函数，在区间[ ， ]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[ ]上的最大值和最小值．
16．（2012·天津理）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．
【答案】（1）解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 ，去参加乙游戏的人数的概率为
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），∴P（Ai）=
这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=
（2）解：设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，
∴P（B）=P（A3）+P（A4）=
（3）解：ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=
P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）= ，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=
∴ξ的分布列是
ξ 0 2 4
P
数学期望Eξ=
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 ，去参加乙游戏的人数的概率为 ，设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），故P（Ai）= （1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．
17．（2012·天津理）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．
（1）证明：PC⊥AD；
（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；
（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．
【答案】（1）[解法一] 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣ ， ，0），P（0，0，2）．
证明：易得 =（0，1，﹣2）， =（2，0，0），于是 =0，所以PC⊥AD．
[解法二] 证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，
又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，
又PC 平面PAC，
所以PC⊥AD．
（2）[解法一] 解： =（0，1，﹣2）， =（2，﹣1，0），设平面PCD的一个法向量为 =（x，y，z），则 即
取z=1，则以 =（1，2，1）．又平面PAC的一个法向量为 =（1，0，0），于是cos＜ ＞= = ，sin＜ ＞=
所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为
[解法二] 解：如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，
由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．
在Rt△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH= ，由（1）知，AD⊥AH，在Rt△DAH中，DH= = ，因此sin∠AHD= = ．所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为
（3）解法一：设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得 =（ ，﹣ ，h）．由 =（2，﹣1，0），故cos＜ ＞= = =
所以 =cos30°= ，解得h= ，即AE= ．
[解法二] 解：如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，
设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．
由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在Rt△DAC中，CD= ，sin∠ADC= ，故sin∠AFB= ．
在△AFB中，由 ，AB= ，sin∠FAB=sin135°= ，可得BF= ，
由余弦定理，BF2=AB2+AF2﹣2ABAFcos∠FAB，得出AF= ，
设AE=h，在Rt△EAF中，EF= = ，
在Rt△BAE中，BE= = ，
在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，
由余弦定理得到，cos30°= ，
解得h= ，
即AE= ．
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】解法一（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出 =0，证出PC⊥AD．（2）求出平面PCD，平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜ ＞=cos30°= ，得出关于h的方程求解即可．解法二：（1）通过证明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．（2）作AH⊥PC于点H，连接DH，∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在Rt△DAH中求解（3）因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得出关于h的方程求解即可．
18．（2012·天津理）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn，n∈N*，证明：Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，
由条件a4+b4=27，s4﹣b4=10，
得方程组 ，解得 ，
故an=3n﹣1，bn=2n，n∈N*．
（2）证明：方法一，由（1）得，Tn=2an+22an﹣1+23an﹣2+…+2na1； ①；
2Tn=22an+23an﹣1+…+2na2+2n+1a1； ②；
由②﹣①得，Tn=﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2
= +2n+2﹣6n+2
=10×2n﹣6n﹣10；
而﹣2an+10bn﹣12=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10；
故Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）．
方法二：数学归纳法，
③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，﹣2a1+10b1=16，故等式成立，
④假设当n=k时等式成立，即Tk+12=﹣2ak+10bk，
则当n=k+1时有，
Tk+1=ak+1b1+akb2+ak﹣1b3+…+a1bk+1
=ak+1b1+q（akb1+ak﹣1b2+…+a1bk）
=ak+1b1+qTk
=ak+1b1+q（﹣2ak+10bk﹣12）
=2ak+1﹣4（ak+1﹣3）+10bk+1﹣24
=﹣2ak+1+10bk+1﹣12．
即Tk+1+12=﹣2ak+1+10bk+1，因此n=k+1时等式成立．
③④对任意的n∈N*，Tn+12=﹣2an+10bn成立．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（2）先写出Tn的表达式；方法一：借助于错位相减求和；
方法二：用数学归纳法证明其成立．
19．（2012·天津理）设椭圆 的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若直线AP与BP的斜率之积为 ，求椭圆的离心率；
（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞ ．
【答案】（1）解：设P（x0，y0），∴①
∵椭圆 的左右顶点分别为A，B，∴A（﹣a，0），B（a，0）
∴ ，
∵直线AP与BP的斜率之积为 ，∴
代入①并整理得
∵y0≠0，∴a2=2b2
∴
∴
∴椭圆的离心率为 ；
（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），∴
∵a＞b＞0，kx0≠0，∴
∴②
∵|AP|=|OA|，A（﹣a，0），
∴
∴
∴
代入②得
∴k2＞3
∴直线OP的斜率k满足|k|＞
【知识点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）设P（x0，y0），则 ，利用直线AP与BP的斜率之积为 ，即可求得椭圆的离心率；（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），则 ，进一步可得 ，利用AP|=|OA|，A（﹣a，0），可求得 ，从而可求直线OP的斜率的范围．
20．（2012·天津理）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；
（3）证明： （n∈N*）．
【答案】（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞），求导函数可得
令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a
令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a
∴x=1﹣a时，函数取得极小值且为最小值
∵函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，
∴f（1﹣a）=1﹣a﹣0，解得a=1
（2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意
当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，
求导函数可得g′（x）=
g′（x）=0，可得x1=0，
①当k≥ 时， ，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；
②当0＜k＜ 时， ，对于 ，g′（x）＞0，因此g（x）在 上单调递增，
因此取 时，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x0）≤kx02不成立；
综上知，k≥ 时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值为
（3）证明：当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，所以不等式成立
当n≥2时，
在（2）中，取k= ，得f（x）≤ x2，∴ （i≥2，i∈N*）．
∴ =f（2）+ ＜2﹣ln3+ =2﹣ln3+1﹣ ＜2
综上， （n∈N*）
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意；当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数，令g′（x）=0，可得x1=0， ，分类讨论：①当k≥ 时， ，g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）=0；②当0＜k＜ 时， ，对于 ，g′（x）＞0，因此g（x）在 上单调递增，由此可确定k的最小值；（3）当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，不等式成立；当n≥2时， ，在（2）中，取k= ，得f（x）≤ x2，从而可得 ，由此可证结论．
1 / 12012年高考理数真题试卷（天津卷）
一、选择题
1．（2012·天津理）i是虚数单位，复数 =（ ）
A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
2．（2012·天津理）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2012·天津理）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．9
4．（2012·天津理）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2012·天津理）在（2x2﹣ ）5的二项展开式中，x项的系数为（ ）
A．10 B．﹣10 C．40 D．﹣40
6．（2012·天津理）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（ ）
A． B． C． D．
7．（2012·天津理）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足 ， ，λ∈R．若 =﹣ ，则λ=（ ）
A． B． C． D．
8．（2012·天津理）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（ ）
A．[1﹣ ，1+ ]
B．（﹣∞，1﹣ ]∪[1+ ，+∞）
C．[2﹣2 ，2+2 ]
D．（﹣∞，2﹣2 ]∪[2+2 ，+∞）
二、填空题
9．（2012·天津理）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 18 所学校，中学中抽取 所学校．
10．（2012·天津理）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3．
11．（2012·天津理）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m= ，n= ．
12．（2012·天津理）已知抛物线的参数方程为 （t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p= ．
13．（2012·天津理）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF= ，则线段CD的长为 ．
14．（2012·天津理）已知函数y= 的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
三、解答题
15．（2012·天津理）已知函数f（x）=sin（2x+ ）+sin（2x﹣ ）+2cos2x﹣1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[ ]上的最大值和最小值．
16．（2012·天津理）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．
17．（2012·天津理）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．
（1）证明：PC⊥AD；
（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；
（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．
18．（2012·天津理）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn，n∈N*，证明：Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）．
19．（2012·天津理）设椭圆 的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若直线AP与BP的斜率之积为 ，求椭圆的离心率；
（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞ ．
20．（2012·天津理）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；
（3）证明： （n∈N*）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
故选B
【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为φ=0时，f（x）=cos（x+φ）=cosx是偶函数，成立；
但f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数时，φ=kπ，k∈Z，推不出φ=0．
故“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件．
故选：A．
【分析】直接把φ=0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可．
3．【答案】C
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：当输入x=﹣25时，
|x|＞1，执行循环，x= ﹣1=4；
|x|=4＞1，执行循环，x= ﹣1=1，
|x|=1，退出循环，
输出的结果为x=2×1+1=3．
故选：C．
【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|≤1时跳出循环，输出结果．
4．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，
所以f（0）f（1）＜0，
故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，
故选B．
【分析】根据函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点
5．【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（2x2﹣ ）5的二项展开式的通项为Tr+1= =
令10﹣3r=1，得r=3
故x项的系数为 =﹣40
故选D
【分析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项Tr+1= = ，再令10﹣3r=1，得r=3即可得出x项的系数
6．【答案】A
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，
所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB= ，B为三角形内角，所以B∈（0， ）．C ．
所以sinB= = ．
所以sinC=sin2B=2× = ，
cosC= = ．
故选：A．
【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可．
7．【答案】A
【知识点】平面向量的综合题
【解析】【解答】解：∵ ， ，λ∈R
∴ ，
∵△ABC为等边三角形，AB=2
∴ = +λ +（1﹣λ）
=2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（1﹣λ）×2×2×cos180°+λ（1﹣λ）×2×2×cos60°
=2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ2，
=﹣2λ2+2λ﹣2
∵ =﹣
∴4λ2﹣4λ+1=0
∴（2λ﹣1）2=0
∴
故选A
【分析】根据向量加法的三角形法则求出 ， 进而根据数量积的定义求出 再根据 =﹣ 即可求出λ．
8．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，
∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d= =1，
整理得：m+n+1=mn≤ ，
设m+n=x，则有x+1≤ ，即x2﹣4x﹣4≥0，
∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2 ，x2=2﹣2 ，
∴不等式变形得：（x﹣2﹣2 ）（x﹣2+2 ）≥0，
解得：x≥2+2 或x≤2﹣2 ，
则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2 ]∪[2+2 ，+∞）．
故选D
【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．
9．【答案】9
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：某城地区有学校150+75+25=250所，
现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取30所，
每个个体被抽到的概率是 = ，
∵某地区有小学150所，中学75所，大学25所．
∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学 ×150=18所，选取中学 ×75=9所．
故答案为：18，9．
【分析】从250所学校抽取30所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为3：25，得到每个个体被抽到的概率，根据三个学校的数目乘以被抽到的概率，分别写出要抽到的数目，得到结果．
10．【答案】18+9π
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），体积6×3×1=18．
下部为两个半径均为 的球体，体积2× （ ）3=9π
故所求体积等于18+9π
故答案为：18+9π
【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），下部为两个半径均为 的球体．分别求体积再相加即可．
11．【答案】﹣1；1
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：A={x∈R||x+2|＜3}={x∈R|﹣5＜x＜1}，
又集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，A∩B=（﹣1，n）．
如图
由图知m=﹣1，n=1，
故答案为﹣1，1．
【分析】由题意，可先化简A集合，再由B集合的形式及A∩B=（﹣1，n）直接作出判断，即可得出两个参数的值．
12．【答案】2
【知识点】圆锥曲线的综合；抛物线的参数方程
【解析】【解答】解：抛物线的参数方程为 （t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l，消去参数可得x=2p ，
化简可得y2=2px，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是x轴的抛物线，
故焦点F（ ，0），准线l的方程为x=﹣ ．
则由抛物线的定义可得|ME|=|MF|，再由|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形．
设点M的坐标为（3，m ），则点E（﹣ ，m）．
把点M的坐标代入抛物线的方程可得m2=2×p×3，即 p= ．
再由|EF|=|ME|，可得 p2+m2= ，即 p2+6p=9+ +3p，解得p=2，或p=﹣6 （舍去），
故答案为 2．
【分析】把抛物线的参数方程化为普通方程为y2=2px，则由抛物线的定义可得及|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形，设点M的坐标为（3，m ），则点E（﹣ ，m），把点M的坐标代入抛物线的方程可得 p= ．再由|EF|=|ME|，解方程可得p的值．
13．【答案】
【知识点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：由相交弦定理得到AF FB=EF FC，即3×1= ×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD= ，
设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD AD，即x 4x=（ ）2，x=
故答案为：
【分析】由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD AD求解．
14．【答案】（0，1）∪（1，4）
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：y= = =
函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）
在同一个坐标系下画出函数y= 的图象与函数y=kx﹣2的图象
结合图象可实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）
故答案为：（0，1）∪（1，4）
【分析】先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y= 的图象与函数y=kx﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值范围．
15．【答案】（1）解：∵f（x）=sin2x cos +cos2x sin +sin2x cos ﹣cos2x sin +cos2x
=sin2x+cos2x
= sin（2x+ ），
∴函数f（x）的最小正周期T= =π
（2）解：∵函数f（x）在区间[ ]上是增函数，在区间[ ， ]上是减函数，
又f（﹣ ）=﹣1，f（ ）= ，f（ ）=1，
∴函数f（x）在区间[ ]上的最大值为 ，最小值为﹣1
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+ ）+sin（2x﹣ ）+2cos2x﹣1化为f（x）= sin（2x+ ），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间[ ]上是增函数，在区间[ ， ]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[ ]上的最大值和最小值．
16．【答案】（1）解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 ，去参加乙游戏的人数的概率为
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），∴P（Ai）=
这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=
（2）解：设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，
∴P（B）=P（A3）+P（A4）=
（3）解：ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=
P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）= ，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=
∴ξ的分布列是
ξ 0 2 4
P
数学期望Eξ=
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 ，去参加乙游戏的人数的概率为 ，设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），故P（Ai）= （1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．
17．【答案】（1）[解法一] 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣ ， ，0），P（0，0，2）．
证明：易得 =（0，1，﹣2）， =（2，0，0），于是 =0，所以PC⊥AD．
[解法二] 证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，
又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，
又PC 平面PAC，
所以PC⊥AD．
（2）[解法一] 解： =（0，1，﹣2）， =（2，﹣1，0），设平面PCD的一个法向量为 =（x，y，z），则 即
取z=1，则以 =（1，2，1）．又平面PAC的一个法向量为 =（1，0，0），于是cos＜ ＞= = ，sin＜ ＞=
所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为
[解法二] 解：如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，
由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．
在Rt△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH= ，由（1）知，AD⊥AH，在Rt△DAH中，DH= = ，因此sin∠AHD= = ．所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为
（3）解法一：设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得 =（ ，﹣ ，h）．由 =（2，﹣1，0），故cos＜ ＞= = =
所以 =cos30°= ，解得h= ，即AE= ．
[解法二] 解：如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，
设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．
由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在Rt△DAC中，CD= ，sin∠ADC= ，故sin∠AFB= ．
在△AFB中，由 ，AB= ，sin∠FAB=sin135°= ，可得BF= ，
由余弦定理，BF2=AB2+AF2﹣2ABAFcos∠FAB，得出AF= ，
设AE=h，在Rt△EAF中，EF= = ，
在Rt△BAE中，BE= = ，
在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，
由余弦定理得到，cos30°= ，
解得h= ，
即AE= ．
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】解法一（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出 =0，证出PC⊥AD．（2）求出平面PCD，平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜ ＞=cos30°= ，得出关于h的方程求解即可．解法二：（1）通过证明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．（2）作AH⊥PC于点H，连接DH，∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在Rt△DAH中求解（3）因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得出关于h的方程求解即可．
18．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，
由条件a4+b4=27，s4﹣b4=10，
得方程组 ，解得 ，
故an=3n﹣1，bn=2n，n∈N*．
（2）证明：方法一，由（1）得，Tn=2an+22an﹣1+23an﹣2+…+2na1； ①；
2Tn=22an+23an﹣1+…+2na2+2n+1a1； ②；
由②﹣①得，Tn=﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2
= +2n+2﹣6n+2
=10×2n﹣6n﹣10；
而﹣2an+10bn﹣12=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10；
故Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）．
方法二：数学归纳法，
③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，﹣2a1+10b1=16，故等式成立，
④假设当n=k时等式成立，即Tk+12=﹣2ak+10bk，
则当n=k+1时有，
Tk+1=ak+1b1+akb2+ak﹣1b3+…+a1bk+1
=ak+1b1+q（akb1+ak﹣1b2+…+a1bk）
=ak+1b1+qTk
=ak+1b1+q（﹣2ak+10bk﹣12）
=2ak+1﹣4（ak+1﹣3）+10bk+1﹣24
=﹣2ak+1+10bk+1﹣12．
即Tk+1+12=﹣2ak+1+10bk+1，因此n=k+1时等式成立．
③④对任意的n∈N*，Tn+12=﹣2an+10bn成立．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（2）先写出Tn的表达式；方法一：借助于错位相减求和；
方法二：用数学归纳法证明其成立．
19．【答案】（1）解：设P（x0，y0），∴①
∵椭圆 的左右顶点分别为A，B，∴A（﹣a，0），B（a，0）
∴ ，
∵直线AP与BP的斜率之积为 ，∴
代入①并整理得
∵y0≠0，∴a2=2b2
∴
∴
∴椭圆的离心率为 ；
（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），∴
∵a＞b＞0，kx0≠0，∴
∴②
∵|AP|=|OA|，A（﹣a，0），
∴
∴
∴
代入②得
∴k2＞3
∴直线OP的斜率k满足|k|＞
【知识点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）设P（x0，y0），则 ，利用直线AP与BP的斜率之积为 ，即可求得椭圆的离心率；（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），则 ，进一步可得 ，利用AP|=|OA|，A（﹣a，0），可求得 ，从而可求直线OP的斜率的范围．
20．【答案】（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞），求导函数可得
令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a
令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a
∴x=1﹣a时，函数取得极小值且为最小值
∵函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，
∴f（1﹣a）=1﹣a﹣0，解得a=1
（2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意
当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，
求导函数可得g′（x）=
g′（x）=0，可得x1=0，
①当k≥ 时， ，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；
②当0＜k＜ 时， ，对于 ，g′（x）＞0，因此g（x）在 上单调递增，
因此取 时，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x0）≤kx02不成立；
综上知，k≥ 时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值为
（3）证明：当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，所以不等式成立
当n≥2时，
在（2）中，取k= ，得f（x）≤ x2，∴ （i≥2，i∈N*）．
∴ =f（2）+ ＜2﹣ln3+ =2﹣ln3+1﹣ ＜2
综上， （n∈N*）
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意；当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数，令g′（x）=0，可得x1=0， ，分类讨论：①当k≥ 时， ，g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）=0；②当0＜k＜ 时， ，对于 ，g′（x）＞0，因此g（x）在 上单调递增，由此可确定k的最小值；（3）当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，不等式成立；当n≥2时， ，在（2）中，取k= ，得f（x）≤ x2，从而可得 ，由此可证结论．
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