2013年高考理数真题试卷（北京卷）
一、选择题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（2013·北京理）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{﹣1，0}
C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
2．（2013·北京理）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2013·北京理）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2013·北京理）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2013·北京理）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（ ）
A．ex+1 B．ex﹣1 C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1
6．（2013·北京理）若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±2x B． C． D．
7．（2013·北京理）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2013·北京理）设关于x，y的不等式组 表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2013·北京理）在极坐标系中，点（2， ）到直线ρsinθ=2的距离等于 ．
10．（2013·北京理）若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q= ；前n项和Sn= ．
11．（2013·北京理）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD= ，AB= ．
12．（2013·北京理）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．
13．（2013·北京理）向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若 （λ，μ∈R），则 = ．
14．（2013·北京理）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 ．
三、解答题．解答应写出文字说明，演算步骤
15．（2013·北京理）在△ABC中，a=3，b=2 ，∠B=2∠A．
（1）求cosA的值；
（2）求c的值．
16．（2013·北京理）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天
（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望
（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
17．（2013·北京理）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．
（1）求证：AA1⊥平面ABC；
（2）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；
（3）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求 的值．
18．（2013·北京理）设l为曲线C：y= 在点（1，0）处的切线．
（1）求l的方程；
（2）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．
19．（2013·北京理）已知A，B，C是椭圆W： 上的三个点，O是坐标原点．
（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
20．（2013·北京理）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn=An﹣Bn．
（1）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值；
（2）设d是非负整数，证明：dn=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
（3）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，
∴A∩B={﹣1，0}．
故选B
【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．
2．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：复数（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i，
复数对应的点（3，﹣4），
所以在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于第四象限．
故选D．
【分析】化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限．
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点．
但是，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，
将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π．
故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．
故选A．
【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，②φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点．
4．【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．
执行 ，i=0+1=1；
判断1≥2不成立，执行 ，i=1+1=2；
判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为 ．
故选C．
【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．
5．【答案】D
【知识点】函数的图象与图象变化；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，
而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称，
所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．
故选D．
【分析】首先求出与函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．
6．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线的离心率 ，可知c= a，
又a2+b2=c2，所以b= a，
所以双曲线的渐近线方程为：y= =± x．
故选B．
【分析】通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．
7．【答案】C
【知识点】定积分
【解析】【解答】解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），
∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，
∴直线l的方程为y=1，
由 ，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．
∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为 =（ x﹣ ）| = ．
故选：C．
【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．
8．【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：先根据约束条件 画出可行域，
要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y= x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）
在直线y= x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y= x﹣1的下方，
故得不等式组 ，
解之得：m＜﹣ ．
故选C．
【分析】先根据约束条件 画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y= x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y= x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y= x﹣1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案．
9．【答案】1
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】解：在极坐标系中，点 化为直角坐标为（ ，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，
（ ，1），到y=2的距离1，即为点 到直线ρsinθ=2的距离1，
故答案为：1．
【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．
10．【答案】2；2n+1﹣2
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴ ，解得 ．
∴ = =2n+1﹣2．
故答案为：2，2n+1﹣2．
【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出 ，解出即可得到a1及q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出 ．
11．【答案】；4
【知识点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．
∵PA为圆O的切线，∴PA2=PD PB，
∴32=9x （9x+16x），化为 ，∴ ．
∴PD=9x= ，PB=25x=5．
∵AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，∴AB⊥PA．
∴ = =4．
故答案分别为 ，4．
【分析】由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．利用切割线定理可得PA2=PD PB，即可求出x，进而得到PD，PB．AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，利用切线的性质可得AB⊥PA．再利用勾股定理即可得出AB．
12．【答案】96
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4× =96种．
故答案为：96．
【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．
13．【答案】4
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：以向量 、 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系
可得 =（﹣1，1）， =（6，2）， =（﹣1，﹣3）
∵
∴ ，解之得λ=﹣2且μ=﹣
因此， = =4
故答案为：4
【分析】以向量 、 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量 、 、 的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣ ，即可得到 的值．
14．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，
∴CC1∥EF，
又EF 平面D1EF，CC1 平面D1EF，
∴CC1∥平面D1EF．
∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离．
过点C1作C1M⊥D1F，
∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1．
∴C1M⊥平面D1EF．
过点M作MP∥EF交D1E于点P，则MP∥C1C．
取C1N=MP，连接PN，则四边形MPNC1是矩形．
可得NP⊥平面D1EF，
在Rt△D1C1F中，C1M D1F=D1C1 C1F，得 = ．
∴点P到直线CC1的距离的最小值为 ．
故答案为
【分析】如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，利用线面平行的判定即可得到C1C∥平面D1EF，进而得到异面直线D1E与C1C的距离．
15．【答案】（1）解：由条件在△ABC中，a=3， ，∠B=2∠A，
利用正弦定理可得 ，即 = ．
解得cosA= ．
（2）解：由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc cosA，即 9= +c2﹣2×2 ×c× ，
即 c2﹣8c+15=0．
解方程求得 c=5，或 c=3．
当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得 B=90°，A=C=45°，
△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．
当c=5时，求得cosB= = ，cosA= = ，
∴cos2A=2cos2A﹣1= =cosB，∴B=2A，满足条件．
综上，c=5．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA的值．（2）由条件利用余弦定理，解方程求得c的值，再进行检验，从而得出结论．
16．【答案】（1）解：设Ai表示事件“此人于5月i日到达该地”（i=1，2，…，13）
依据题意P（Ai）= ，Ai∩Aj= （i≠j）
设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P（B）=
（2）解：X的所有可能取值为0，1，2
P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）=
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴X的数学期望为E（X）=
（3）解：从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大
【知识点】极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（2）由题意可知X所有可能取值为0，1，2，得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列与数学期望；（3）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．
17．【答案】（1）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．
又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，
∴AA1⊥平面ABC．
（2）解：由AC=4，BC=5，AB=3．
∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．
建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），
∴ ， ， ．
设平面A1BC1的法向量为 ，平面B1BC1的法向量为 =（x2，y2，z2）．
则 ，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴ ．
，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴ ．
= = = ．
∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为 ．
（3）证明：设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D ，
∴ = ， =（0，3，﹣4），
∵ ，∴ ，
∴ ，解得t= ．
∴ ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（2）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（3）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D ，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．
18．【答案】（1）解：∵
∴
∴l的斜率k=y′|x=1=1
∴l的方程为y=x﹣1
（2）证明：令f（x）=x（x﹣1）﹣lnx，（x＞0）
曲线C在直线l的下方，即f（x）=x（x﹣1）﹣lnx＞0，
则f′（x）=2x﹣1﹣ =
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（1）=0
∴x∈（0，1）时，f（x）＞0，即 ＜x﹣1
x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，即 ＜x﹣1
即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；（2）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．
19．【答案】（1）解：∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）
∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1
设A（1，t），得 ，解之得t= （舍负）
∴A的坐标为（1， ），同理可得C的坐标为（1，﹣ ）
因此，|AC|= ，可得菱形OABC的面积为S= |AC| |B0|= ；
（2）解：∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，
设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2=r2
与椭圆W： 的公共点，解之得 =r2﹣1
设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足
x1=x2= ，或x1= 且x2=﹣ ，
①当x1=x2= 时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；
②若x1= 且x2=﹣ ，则x1+x2=0，
可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC
综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于 ．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；（2）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足 =r2﹣1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．
20．【答案】（1）解：若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d1=A1﹣B1=2﹣1=1，
d2=A2﹣B2=2﹣1=1，d3=A3﹣B3=4﹣1=3，d4=A4﹣B4=4﹣1=3．
（2）证明：
充分性：设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+（n﹣1）d，
∴An=an=a1+（n﹣1）d，Bn=an+1=a1+nd，∴dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．
必要性：若 dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．假设ak是第一个使ak﹣ak﹣1＜0的项，
则dk=Ak﹣Bk=ak﹣1﹣Bk≥ak﹣1﹣ak＞0，这与dn=﹣d≤0相矛盾，故{an}是一个不减的数列．
∴dn=An﹣Bn=an﹣an+1=﹣d，即 an+1﹣an=d，故{an}是公差为d的等差数列．
（3）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），首先，{an}的项不能等于零，否则d1=2﹣0=2，矛盾．
而且还能得到{an}的项不能超过2，用反证法证明如下：
假设{an}的项中，有超过2的，设am是第一个大于2的项，由于{an}的项中一定有1，否则与d1=1矛盾．
当n≥m时，an≥2，否则与dm=1矛盾．
因此，存在最大的i在2到m﹣1之间，使ai=1，此时，di=Ai﹣Bi=2﹣Bi≤2﹣2=0，矛盾．
综上，{an}的项不能超过2，故{an}的项只能是1或者2．
下面用反证法证明{an}的项中，有无穷多项为1．
若ak是最后一个1，则ak是后边的各项的最小值都等于2，故dk=Ak﹣Bk=2﹣2=0，矛盾，
故{an}的项中，有无穷多项为1．
综上可得，{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差关系的确定；等比关系的确定；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）根据条件以及dn=An﹣Bn的定义，直接求得d1，d2，d3，d4的值．（2）设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+（n﹣1）d，从而证得dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．若dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．可得{an}是一个不减的数列，求得dn=An﹣Bn=﹣d，即 an+1﹣an=d，即{an}是公差为d的等差数列，命题得证．（3）若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项不能等于零，再用反证法得到{an}的项不能超过2，
从而证得命题．
1 / 12013年高考理数真题试卷（北京卷）
一、选择题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（2013·北京理）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{﹣1，0}
C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，
∴A∩B={﹣1，0}．
故选B
【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．
2．（2013·北京理）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：复数（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i，
复数对应的点（3，﹣4），
所以在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于第四象限．
故选D．
【分析】化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限．
3．（2013·北京理）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点．
但是，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，
将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π．
故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．
故选A．
【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，②φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点．
4．（2013·北京理）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．
执行 ，i=0+1=1；
判断1≥2不成立，执行 ，i=1+1=2；
判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为 ．
故选C．
【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．
5．（2013·北京理）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（ ）
A．ex+1 B．ex﹣1 C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1
【答案】D
【知识点】函数的图象与图象变化；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，
而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称，
所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．
故选D．
【分析】首先求出与函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．
6．（2013·北京理）若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±2x B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线的离心率 ，可知c= a，
又a2+b2=c2，所以b= a，
所以双曲线的渐近线方程为：y= =± x．
故选B．
【分析】通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．
7．（2013·北京理）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】定积分
【解析】【解答】解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），
∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，
∴直线l的方程为y=1，
由 ，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．
∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为 =（ x﹣ ）| = ．
故选：C．
【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．
8．（2013·北京理）设关于x，y的不等式组 表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：先根据约束条件 画出可行域，
要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y= x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）
在直线y= x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y= x﹣1的下方，
故得不等式组 ，
解之得：m＜﹣ ．
故选C．
【分析】先根据约束条件 画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y= x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y= x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y= x﹣1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案．
二、填空题
9．（2013·北京理）在极坐标系中，点（2， ）到直线ρsinθ=2的距离等于 ．
【答案】1
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】解：在极坐标系中，点 化为直角坐标为（ ，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，
（ ，1），到y=2的距离1，即为点 到直线ρsinθ=2的距离1，
故答案为：1．
【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．
10．（2013·北京理）若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q= ；前n项和Sn= ．
【答案】2；2n+1﹣2
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴ ，解得 ．
∴ = =2n+1﹣2．
故答案为：2，2n+1﹣2．
【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出 ，解出即可得到a1及q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出 ．
11．（2013·北京理）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD= ，AB= ．
【答案】；4
【知识点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．
∵PA为圆O的切线，∴PA2=PD PB，
∴32=9x （9x+16x），化为 ，∴ ．
∴PD=9x= ，PB=25x=5．
∵AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，∴AB⊥PA．
∴ = =4．
故答案分别为 ，4．
【分析】由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．利用切割线定理可得PA2=PD PB，即可求出x，进而得到PD，PB．AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，利用切线的性质可得AB⊥PA．再利用勾股定理即可得出AB．
12．（2013·北京理）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．
【答案】96
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4× =96种．
故答案为：96．
【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．
13．（2013·北京理）向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若 （λ，μ∈R），则 = ．
【答案】4
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：以向量 、 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系
可得 =（﹣1，1）， =（6，2）， =（﹣1，﹣3）
∵
∴ ，解之得λ=﹣2且μ=﹣
因此， = =4
故答案为：4
【分析】以向量 、 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量 、 、 的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣ ，即可得到 的值．
14．（2013·北京理）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 ．
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，
∴CC1∥EF，
又EF 平面D1EF，CC1 平面D1EF，
∴CC1∥平面D1EF．
∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离．
过点C1作C1M⊥D1F，
∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1．
∴C1M⊥平面D1EF．
过点M作MP∥EF交D1E于点P，则MP∥C1C．
取C1N=MP，连接PN，则四边形MPNC1是矩形．
可得NP⊥平面D1EF，
在Rt△D1C1F中，C1M D1F=D1C1 C1F，得 = ．
∴点P到直线CC1的距离的最小值为 ．
故答案为
【分析】如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，利用线面平行的判定即可得到C1C∥平面D1EF，进而得到异面直线D1E与C1C的距离．
三、解答题．解答应写出文字说明，演算步骤
15．（2013·北京理）在△ABC中，a=3，b=2 ，∠B=2∠A．
（1）求cosA的值；
（2）求c的值．
【答案】（1）解：由条件在△ABC中，a=3， ，∠B=2∠A，
利用正弦定理可得 ，即 = ．
解得cosA= ．
（2）解：由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc cosA，即 9= +c2﹣2×2 ×c× ，
即 c2﹣8c+15=0．
解方程求得 c=5，或 c=3．
当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得 B=90°，A=C=45°，
△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．
当c=5时，求得cosB= = ，cosA= = ，
∴cos2A=2cos2A﹣1= =cosB，∴B=2A，满足条件．
综上，c=5．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA的值．（2）由条件利用余弦定理，解方程求得c的值，再进行检验，从而得出结论．
16．（2013·北京理）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天
（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望
（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
【答案】（1）解：设Ai表示事件“此人于5月i日到达该地”（i=1，2，…，13）
依据题意P（Ai）= ，Ai∩Aj= （i≠j）
设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P（B）=
（2）解：X的所有可能取值为0，1，2
P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）=
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴X的数学期望为E（X）=
（3）解：从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大
【知识点】极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（2）由题意可知X所有可能取值为0，1，2，得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列与数学期望；（3）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．
17．（2013·北京理）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．
（1）求证：AA1⊥平面ABC；
（2）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；
（3）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求 的值．
【答案】（1）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．
又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，
∴AA1⊥平面ABC．
（2）解：由AC=4，BC=5，AB=3．
∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．
建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），
∴ ， ， ．
设平面A1BC1的法向量为 ，平面B1BC1的法向量为 =（x2，y2，z2）．
则 ，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴ ．
，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴ ．
= = = ．
∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为 ．
（3）证明：设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D ，
∴ = ， =（0，3，﹣4），
∵ ，∴ ，
∴ ，解得t= ．
∴ ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（2）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（3）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D ，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．
18．（2013·北京理）设l为曲线C：y= 在点（1，0）处的切线．
（1）求l的方程；
（2）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．
【答案】（1）解：∵
∴
∴l的斜率k=y′|x=1=1
∴l的方程为y=x﹣1
（2）证明：令f（x）=x（x﹣1）﹣lnx，（x＞0）
曲线C在直线l的下方，即f（x）=x（x﹣1）﹣lnx＞0，
则f′（x）=2x﹣1﹣ =
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（1）=0
∴x∈（0，1）时，f（x）＞0，即 ＜x﹣1
x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，即 ＜x﹣1
即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；（2）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．
19．（2013·北京理）已知A，B，C是椭圆W： 上的三个点，O是坐标原点．
（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
【答案】（1）解：∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）
∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1
设A（1，t），得 ，解之得t= （舍负）
∴A的坐标为（1， ），同理可得C的坐标为（1，﹣ ）
因此，|AC|= ，可得菱形OABC的面积为S= |AC| |B0|= ；
（2）解：∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，
设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2=r2
与椭圆W： 的公共点，解之得 =r2﹣1
设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足
x1=x2= ，或x1= 且x2=﹣ ，
①当x1=x2= 时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；
②若x1= 且x2=﹣ ，则x1+x2=0，
可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC
综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于 ．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；（2）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足 =r2﹣1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．
20．（2013·北京理）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn=An﹣Bn．
（1）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值；
（2）设d是非负整数，证明：dn=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
（3）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．
【答案】（1）解：若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d1=A1﹣B1=2﹣1=1，
d2=A2﹣B2=2﹣1=1，d3=A3﹣B3=4﹣1=3，d4=A4﹣B4=4﹣1=3．
（2）证明：
充分性：设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+（n﹣1）d，
∴An=an=a1+（n﹣1）d，Bn=an+1=a1+nd，∴dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．
必要性：若 dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．假设ak是第一个使ak﹣ak﹣1＜0的项，
则dk=Ak﹣Bk=ak﹣1﹣Bk≥ak﹣1﹣ak＞0，这与dn=﹣d≤0相矛盾，故{an}是一个不减的数列．
∴dn=An﹣Bn=an﹣an+1=﹣d，即 an+1﹣an=d，故{an}是公差为d的等差数列．
（3）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），首先，{an}的项不能等于零，否则d1=2﹣0=2，矛盾．
而且还能得到{an}的项不能超过2，用反证法证明如下：
假设{an}的项中，有超过2的，设am是第一个大于2的项，由于{an}的项中一定有1，否则与d1=1矛盾．
当n≥m时，an≥2，否则与dm=1矛盾．
因此，存在最大的i在2到m﹣1之间，使ai=1，此时，di=Ai﹣Bi=2﹣Bi≤2﹣2=0，矛盾．
综上，{an}的项不能超过2，故{an}的项只能是1或者2．
下面用反证法证明{an}的项中，有无穷多项为1．
若ak是最后一个1，则ak是后边的各项的最小值都等于2，故dk=Ak﹣Bk=2﹣2=0，矛盾，
故{an}的项中，有无穷多项为1．
综上可得，{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差关系的确定；等比关系的确定；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）根据条件以及dn=An﹣Bn的定义，直接求得d1，d2，d3，d4的值．（2）设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+（n﹣1）d，从而证得dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．若dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．可得{an}是一个不减的数列，求得dn=An﹣Bn=﹣d，即 an+1﹣an=d，即{an}是公差为d的等差数列，命题得证．（3）若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项不能等于零，再用反证法得到{an}的项不能超过2，
从而证得命题．
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