2013年高考理数真题试卷（福建卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.
1．（2013·福建理）已知复数z的共轭复数 （i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2013·福建理）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A B“的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2013·福建理）双曲线 的顶点到渐近线的距离等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2013·福建理）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
A．588 B．480 C．450 D．120
5．（2013·福建理）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
6．（2013·福建理）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（ ）
A．计算数列{2n﹣1}的前10项和 B．计算数列{2n﹣1}的前9项和
C．计算数列{2n﹣1}的前10项和 D．计算数列{2n﹣1}的前9项和
7．（2013·福建理）在四边形ABCD中， =（1，2）， =（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）
A． B．2 C．5 D．10
8．（2013·福建理）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A． x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点
C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点
9．（2013·福建理）已知等比数列{an}的公比为q，记bn=am（n﹣1）+1+am（n﹣1）+2+…+am（n﹣1）+m，cn=am（n﹣1）+1 am（n﹣1）+2 … am（n﹣1）+m，（m，n∈N*），则以下结论一定正确的是（ ）
A．数列{bn}为等差数列，公差为qm
B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为
D．数列{cn}为等比数列，公比为
10．（2013·福建理）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）
A．A=N*，B=N
B．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}
C．A={x|0＜x＜1}，B=R
D．A=Z，B=Q
二、填空题：把答案填写在答题卡的相应位置.
11．（2013·福建理）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为 ．
12．（2013·福建理）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ．
13．（2013·福建理）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC= ，AB=3 ，AD=3，则BD的长为 ．
14．（2013·福建理）椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y= 与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于 ．
15．（2013·福建理）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+xn+…=
两边同时积分得： dx+ xdx+ x2dx+…+ xndx+…= dx
从而得到如下等式：1× + ×（ ）2+ ×（ ）3+…+ ×（ ）n+1+…=ln2
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
× + ×（ ）2+ ×（ ）3+…+ ×（ ）n+1= ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（2013·福建理）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
17．（2013·福建理）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．
18．（2013·福建理）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi，交于点 ．
（1）求证：点 都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；
（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．
19．（2013·福建理）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）
（1）求证：CD⊥平面ADD1A1
（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为 ，求k的值
（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
20．（2013·福建理）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（ ，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（ ），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
21．（2013·福建理）选修4﹣2：矩阵与变换
已知直线l：ax+y=1在矩阵 对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1
（1）求实数a，b的值
（2）若点P（x0，y0）在直线l上，且 ，求点P的坐标．
22．（2013·福建理）选修4﹣4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为 ，直线l的极坐标方程为 ，且点A在直线l上．
（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；
（2）圆C的参数方程为 ，试判断直线l与圆C的位置关系．
23．（2013·福建理）设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且
（1）求a的值
（2）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为复数z的共轭复数 ，
所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）．
z在复平面内对应的点位于第四象限．
故选D．
【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项．
2．【答案】A
【知识点】集合间关系的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A B，即a=3能推出A B；
反之当A B时，所以a=3或a=2，所以A B成立，推不出a=3
故“a=3”是“A B”的充分不必要条件
故选A．
【分析】先有a=3成立判断是否能推出A B成立，反之判断“A B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．
3．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由对称性可取双曲线 的顶点（2，0），渐近线 ，
则顶点到渐近线的距离d= ．
故选C．
【分析】由对称性可取双曲线 的顶点（2，0），渐近线 ，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．
4．【答案】B
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：根据频率分布直方图，
成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8．
由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人．
故选B．
【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．
5．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解；
此时b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四种．
（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，
∴△=4﹣4ab≥0，
∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种，
关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种，
故选B．
【分析】由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解．
6．【答案】A
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，
S=0，i=1；
判断i＞10不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；
判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；
判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；
…
判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29，i=10+1=11；
判断i＞10成立，输出S=1+2+22+…+29．
算法结束．
故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前10项和．
故选A．
【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．
7．【答案】C
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：因为在四边形ABCD中， ， ， =0，
所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又 ，
，
该四边形的面积： = =5．
故选C．
【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．
8．【答案】D
【知识点】函数的图象与图象变化；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；
对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；
对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；
对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．
故选：D．
【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；
B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；
C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；
D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点．
9．【答案】C
【知识点】等差关系的确定；等比关系的确定
【解析】【解答】解：① ，当q=1时，bn=mam（n﹣1），bn+1=mam（n﹣1）+m=mam（n﹣1）=bn，此时是常数列，选项A不正确，选项B正确；
当q≠1时， ， ，此时 ，选项B不正确，
又bn+1﹣bn= ，不是常数，故选项A不正确，
②∵等比数列{an}的公比为q，∴ ，
∴ = ，
∴ = = ，故C正确D不正确．
综上可知：只有C正确．
故选C．
【分析】① ，当q=1时，bn=mam（n﹣1），bn+1=mam（n﹣1）+m=mam（n﹣1）=bn，此时是常数列，可判断A，B两个选项
②由于等比数列{an}的公比为q，利用等比数列的通项公式可得 ， = ，得出 即可判断出C，D两个选项．
10．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是“保序同构”；
对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数 ，满足：
（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项B是“保序同构”；
对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（ ），满足：（i）B={f（x）|x∈A}；
（ii）对任意
x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”；
前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D．
故选D．
【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案．
11．【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：3a﹣1＞0即a＞ ，
则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P= = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．
12．【答案】12π
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，
球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=2 ，r= ，
所以球的表面积为：4πr2=12π．
故答案为：12π．
【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，求出球的半径，然后求出球的表面积即可．
13．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，
∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD= ，
在△ABD中，AB=3 ，AD=3，
根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB AD cos∠BAD=18+9﹣24=3，
则BD= ．
故答案为：
【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：如图所示，
由直线y= 可知倾斜角α与斜率 有关系 =tanα，∴α=60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴ ，∴ ．
设|MF2|=m，|MF1|=n，则 ，解得 ．
∴该椭圆的离心率e= ．
故答案为 ．
【分析】由直线y= 可知斜率为 ，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得 ，进而 ．
设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得 ，解出a，c即可．
15．【答案】
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：二项式定理得Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，
对Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n
两边同时积分得：
从而得到如下等式： =
故答案为： ．
【分析】根据二项式定理得Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，两边同时积分整理后，整理即可得到结论．
16．【答案】（1）解：由题意知，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人抽奖中奖与否互不影响，
记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，
因为P（X=5）= ，∴P（A）=1﹣P（X=5）= ；
即他们的累计得分x≤3的概率为
（2）解：设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，
小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）
都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）
由已知可得，X1～B（2， ），X2～B（2， ），
∴E（X1）=2× = ，E（X2）=2× = ，
从而E（2X1）=2E（X1）= ，E（3X2）=3E（X2）= ，
由于E（2X1）＞E（3X2），
∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；总体分布的估计
【解析】【分析】（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2， ），X2～B（2， ），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案．
17．【答案】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=2时，f（x）=x﹣2lnx， ，
因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，
所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），
即x+y﹣2=0
（2）解：由 ，x＞0知：
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．
又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．
18．【答案】（1）证明：由题意，过 且与x轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i），
∴直线OBi的方程为 ．
设Pi（x，y），由 ，解得 ，即x2=10y．
∴点 都在同一条抛物线上，抛物线E的方程为x2=10y．
（2）解：由题意，设直线l的方程为y=kx+10，
联立 消去y得到x2﹣10kx﹣100=0，
此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，
设为M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=10k，x1x2=﹣100，
∵S△OCM=4S△OCN，∴|x1|=4|x2|．∴x1=﹣4x2．
联立 ，解得 ．
∴直线l的方程为 ．即为3x+2y﹣20=0或3x﹣2y+20=0．
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由题意，求出过 且与x轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i），即可得到直线OBi的方程为 ．联立方程 ，即可得到Pi满足的方程；（2）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式S△OCM=S△OCN，可得|x1|=4|x2|．即x1=﹣4x2．联立即可得到k，进而得到直线方程．
19．【答案】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．
∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，
∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1
（2）解：以D为坐标原点， 、 、 的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）．
∴ ， ， ．
设平面AB1C的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，取y=2，则z=﹣6k，x=3．∴ ．
设AA1与平面AB1C所成角为θ，则 = = = ，解得k=1，故所求k=1．
（3）解：由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．
写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）．
20．【答案】（1）解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，
∴ω= =2，
又曲线y=f（x）的一个对称中心为 ，φ∈（0，π），
故f（ ）=sin（2× +φ）=0，得φ= ，所以f（x）=cos2x．
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，
再将y=cosx的图象向右平移 个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣ ）的图象，
∴g（x）=sinx．
（2）解：当x∈（ ， ）时， ＜sinx＜ ，0＜cosx＜ ，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（ ， ）内是否有解．
设G（x）=sinx+sinxcos2x﹣2cos2x，x∈（ ， ），
则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx），
∵x∈（ ， ），
∴G′（x）＞0，G（x）在（ ， ）内单调递增，
又G（ ）=﹣ ＜0，G（ ）= ＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（ ， ）内存在唯一零点x0，即存在唯一零点x0∈（ ， ）满足题意
（3）解：依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，
当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，
∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣ ，x≠kπ（k∈Z）．
现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=﹣ 的解的情况．
令h（x）=﹣ ，x∈（0，π）∪（π，2π），
则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．
h′（x）= ，令h′（x）=0，得x= 或x= ，
当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：
x （0， ） （ ，π） （π， ） （ ，2π）
h′（x） + 0 ﹣ ﹣ 0 +
h（x） ↗ 1 ↘ ↘ ﹣1 ↗
当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于﹣∞，
当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞，
当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，
当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，
故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；
当a＜﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；
当﹣1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；
由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点；
又当a=1或a=﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013=3×671，
∴依题意得n=671×2=1342．
综上，当a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；导数的四则运算；等差数列的通项公式；五点法画三角函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；根的存在性及根的个数判断；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ= ，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；（2）依题意，当x∈（ ， ）时， ＜sinx＜ ，0＜cosx＜ sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（ ， ）内是否有解．通过G′（x）＞0，可知G（x）在（ ， ）内单调递增，而G（ ）＜0，G（ ）＞0，从而可得答案；（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣ ，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，列表分析即可求得答案．
21．【答案】（1）解：任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），
经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），则有 = ，
可得 ，又点M′（x′，y′）在直线l′上，∴x+（b+2）y=1，
可得 ，解得
（2）解：由 得 ，从而y0=0，
又点P（x0，y0）在直线l上，∴x0=1，
∴点P的坐标为（1，0）．
【知识点】几种特殊的矩阵变换；矩阵变换的性质
【解析】【分析】（1）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程，从而建立关于a，b的方程，即可求得实数a，b的值；（2）由 得 ，从而解得y0的值，又点P（x0，y0）在直线l上，即可求出点P的坐标．
22．【答案】（1）解：点A 在直线l上，得 ，∴a= ，
故直线l的方程可化为：ρsinθ+ρcosθ=2，
得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0；
（2）解：消去参数α，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1
圆心C到直线l的距离d= ＜1，
所以直线l和⊙C相交．
【知识点】直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据点A在直线l上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程；（2）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．
23．【答案】（1）解：因为 ，
所以 且 ，
解得 ，
因为a∈N*，所以a的值为1．
（2）解：由（1）可知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，
当且仅当（x+1）（x﹣2）≥0，即x≥2或x≤﹣1时取等号，
所以函数f（x）的最小值为3．
【知识点】绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用 ，推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数直接求a的值．（2）利用a的值化简函数f（x），利用绝对值三角不等式求出|x+1|+|x﹣2|的最小值．
1 / 12013年高考理数真题试卷（福建卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.
1．（2013·福建理）已知复数z的共轭复数 （i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为复数z的共轭复数 ，
所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）．
z在复平面内对应的点位于第四象限．
故选D．
【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项．
2．（2013·福建理）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A B“的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】集合间关系的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A B，即a=3能推出A B；
反之当A B时，所以a=3或a=2，所以A B成立，推不出a=3
故“a=3”是“A B”的充分不必要条件
故选A．
【分析】先有a=3成立判断是否能推出A B成立，反之判断“A B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．
3．（2013·福建理）双曲线 的顶点到渐近线的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由对称性可取双曲线 的顶点（2，0），渐近线 ，
则顶点到渐近线的距离d= ．
故选C．
【分析】由对称性可取双曲线 的顶点（2，0），渐近线 ，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．
4．（2013·福建理）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
A．588 B．480 C．450 D．120
【答案】B
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：根据频率分布直方图，
成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8．
由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人．
故选B．
【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．
5．（2013·福建理）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解；
此时b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四种．
（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，
∴△=4﹣4ab≥0，
∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种，
关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种，
故选B．
【分析】由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解．
6．（2013·福建理）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（ ）
A．计算数列{2n﹣1}的前10项和 B．计算数列{2n﹣1}的前9项和
C．计算数列{2n﹣1}的前10项和 D．计算数列{2n﹣1}的前9项和
【答案】A
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，
S=0，i=1；
判断i＞10不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；
判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；
判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；
…
判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29，i=10+1=11；
判断i＞10成立，输出S=1+2+22+…+29．
算法结束．
故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前10项和．
故选A．
【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．
7．（2013·福建理）在四边形ABCD中， =（1，2）， =（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）
A． B．2 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：因为在四边形ABCD中， ， ， =0，
所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又 ，
，
该四边形的面积： = =5．
故选C．
【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．
8．（2013·福建理）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A． x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点
C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点
【答案】D
【知识点】函数的图象与图象变化；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；
对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；
对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；
对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．
故选：D．
【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；
B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；
C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；
D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点．
9．（2013·福建理）已知等比数列{an}的公比为q，记bn=am（n﹣1）+1+am（n﹣1）+2+…+am（n﹣1）+m，cn=am（n﹣1）+1 am（n﹣1）+2 … am（n﹣1）+m，（m，n∈N*），则以下结论一定正确的是（ ）
A．数列{bn}为等差数列，公差为qm
B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为
D．数列{cn}为等比数列，公比为
【答案】C
【知识点】等差关系的确定；等比关系的确定
【解析】【解答】解：① ，当q=1时，bn=mam（n﹣1），bn+1=mam（n﹣1）+m=mam（n﹣1）=bn，此时是常数列，选项A不正确，选项B正确；
当q≠1时， ， ，此时 ，选项B不正确，
又bn+1﹣bn= ，不是常数，故选项A不正确，
②∵等比数列{an}的公比为q，∴ ，
∴ = ，
∴ = = ，故C正确D不正确．
综上可知：只有C正确．
故选C．
【分析】① ，当q=1时，bn=mam（n﹣1），bn+1=mam（n﹣1）+m=mam（n﹣1）=bn，此时是常数列，可判断A，B两个选项
②由于等比数列{an}的公比为q，利用等比数列的通项公式可得 ， = ，得出 即可判断出C，D两个选项．
10．（2013·福建理）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）
A．A=N*，B=N
B．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}
C．A={x|0＜x＜1}，B=R
D．A=Z，B=Q
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是“保序同构”；
对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数 ，满足：
（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项B是“保序同构”；
对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（ ），满足：（i）B={f（x）|x∈A}；
（ii）对任意
x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”；
前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D．
故选D．
【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案．
二、填空题：把答案填写在答题卡的相应位置.
11．（2013·福建理）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：3a﹣1＞0即a＞ ，
则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P= = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．
12．（2013·福建理）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ．
【答案】12π
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，
球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=2 ，r= ，
所以球的表面积为：4πr2=12π．
故答案为：12π．
【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，求出球的半径，然后求出球的表面积即可．
13．（2013·福建理）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC= ，AB=3 ，AD=3，则BD的长为 ．
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，
∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD= ，
在△ABD中，AB=3 ，AD=3，
根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB AD cos∠BAD=18+9﹣24=3，
则BD= ．
故答案为：
【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．
14．（2013·福建理）椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y= 与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：如图所示，
由直线y= 可知倾斜角α与斜率 有关系 =tanα，∴α=60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴ ，∴ ．
设|MF2|=m，|MF1|=n，则 ，解得 ．
∴该椭圆的离心率e= ．
故答案为 ．
【分析】由直线y= 可知斜率为 ，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得 ，进而 ．
设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得 ，解出a，c即可．
15．（2013·福建理）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+xn+…=
两边同时积分得： dx+ xdx+ x2dx+…+ xndx+…= dx
从而得到如下等式：1× + ×（ ）2+ ×（ ）3+…+ ×（ ）n+1+…=ln2
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
× + ×（ ）2+ ×（ ）3+…+ ×（ ）n+1= ．
【答案】
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：二项式定理得Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，
对Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n
两边同时积分得：
从而得到如下等式： =
故答案为： ．
【分析】根据二项式定理得Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，两边同时积分整理后，整理即可得到结论．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（2013·福建理）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
【答案】（1）解：由题意知，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人抽奖中奖与否互不影响，
记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，
因为P（X=5）= ，∴P（A）=1﹣P（X=5）= ；
即他们的累计得分x≤3的概率为
（2）解：设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，
小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）
都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）
由已知可得，X1～B（2， ），X2～B（2， ），
∴E（X1）=2× = ，E（X2）=2× = ，
从而E（2X1）=2E（X1）= ，E（3X2）=3E（X2）= ，
由于E（2X1）＞E（3X2），
∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；总体分布的估计
【解析】【分析】（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2， ），X2～B（2， ），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案．
17．（2013·福建理）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．
【答案】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=2时，f（x）=x﹣2lnx， ，
因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，
所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），
即x+y﹣2=0
（2）解：由 ，x＞0知：
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．
又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．
18．（2013·福建理）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi，交于点 ．
（1）求证：点 都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；
（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．
【答案】（1）证明：由题意，过 且与x轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i），
∴直线OBi的方程为 ．
设Pi（x，y），由 ，解得 ，即x2=10y．
∴点 都在同一条抛物线上，抛物线E的方程为x2=10y．
（2）解：由题意，设直线l的方程为y=kx+10，
联立 消去y得到x2﹣10kx﹣100=0，
此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，
设为M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=10k，x1x2=﹣100，
∵S△OCM=4S△OCN，∴|x1|=4|x2|．∴x1=﹣4x2．
联立 ，解得 ．
∴直线l的方程为 ．即为3x+2y﹣20=0或3x﹣2y+20=0．
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由题意，求出过 且与x轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i），即可得到直线OBi的方程为 ．联立方程 ，即可得到Pi满足的方程；（2）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式S△OCM=S△OCN，可得|x1|=4|x2|．即x1=﹣4x2．联立即可得到k，进而得到直线方程．
19．（2013·福建理）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）
（1）求证：CD⊥平面ADD1A1
（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为 ，求k的值
（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
【答案】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．
∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，
∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1
（2）解：以D为坐标原点， 、 、 的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）．
∴ ， ， ．
设平面AB1C的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，取y=2，则z=﹣6k，x=3．∴ ．
设AA1与平面AB1C所成角为θ，则 = = = ，解得k=1，故所求k=1．
（3）解：由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．
写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）．
20．（2013·福建理）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（ ，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（ ），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
【答案】（1）解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，
∴ω= =2，
又曲线y=f（x）的一个对称中心为 ，φ∈（0，π），
故f（ ）=sin（2× +φ）=0，得φ= ，所以f（x）=cos2x．
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，
再将y=cosx的图象向右平移 个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣ ）的图象，
∴g（x）=sinx．
（2）解：当x∈（ ， ）时， ＜sinx＜ ，0＜cosx＜ ，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（ ， ）内是否有解．
设G（x）=sinx+sinxcos2x﹣2cos2x，x∈（ ， ），
则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx），
∵x∈（ ， ），
∴G′（x）＞0，G（x）在（ ， ）内单调递增，
又G（ ）=﹣ ＜0，G（ ）= ＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（ ， ）内存在唯一零点x0，即存在唯一零点x0∈（ ， ）满足题意
（3）解：依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，
当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，
∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣ ，x≠kπ（k∈Z）．
现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=﹣ 的解的情况．
令h（x）=﹣ ，x∈（0，π）∪（π，2π），
则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．
h′（x）= ，令h′（x）=0，得x= 或x= ，
当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：
x （0， ） （ ，π） （π， ） （ ，2π）
h′（x） + 0 ﹣ ﹣ 0 +
h（x） ↗ 1 ↘ ↘ ﹣1 ↗
当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于﹣∞，
当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞，
当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，
当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，
故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；
当a＜﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；
当﹣1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；
由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点；
又当a=1或a=﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013=3×671，
∴依题意得n=671×2=1342．
综上，当a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；导数的四则运算；等差数列的通项公式；五点法画三角函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；根的存在性及根的个数判断；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ= ，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；（2）依题意，当x∈（ ， ）时， ＜sinx＜ ，0＜cosx＜ sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（ ， ）内是否有解．通过G′（x）＞0，可知G（x）在（ ， ）内单调递增，而G（ ）＜0，G（ ）＞0，从而可得答案；（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣ ，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，列表分析即可求得答案．
21．（2013·福建理）选修4﹣2：矩阵与变换
已知直线l：ax+y=1在矩阵 对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1
（1）求实数a，b的值
（2）若点P（x0，y0）在直线l上，且 ，求点P的坐标．
【答案】（1）解：任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），
经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），则有 = ，
可得 ，又点M′（x′，y′）在直线l′上，∴x+（b+2）y=1，
可得 ，解得
（2）解：由 得 ，从而y0=0，
又点P（x0，y0）在直线l上，∴x0=1，
∴点P的坐标为（1，0）．
【知识点】几种特殊的矩阵变换；矩阵变换的性质
【解析】【分析】（1）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程，从而建立关于a，b的方程，即可求得实数a，b的值；（2）由 得 ，从而解得y0的值，又点P（x0，y0）在直线l上，即可求出点P的坐标．
22．（2013·福建理）选修4﹣4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为 ，直线l的极坐标方程为 ，且点A在直线l上．
（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；
（2）圆C的参数方程为 ，试判断直线l与圆C的位置关系．
【答案】（1）解：点A 在直线l上，得 ，∴a= ，
故直线l的方程可化为：ρsinθ+ρcosθ=2，
得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0；
（2）解：消去参数α，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1
圆心C到直线l的距离d= ＜1，
所以直线l和⊙C相交．
【知识点】直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据点A在直线l上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程；（2）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．
23．（2013·福建理）设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且
（1）求a的值
（2）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．
【答案】（1）解：因为 ，
所以 且 ，
解得 ，
因为a∈N*，所以a的值为1．
（2）解：由（1）可知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，
当且仅当（x+1）（x﹣2）≥0，即x≥2或x≤﹣1时取等号，
所以函数f（x）的最小值为3．
【知识点】绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用 ，推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数直接求a的值．（2）利用a的值化简函数f（x），利用绝对值三角不等式求出|x+1|+|x﹣2|的最小值．
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