2013年高考理数真题试卷（广东卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2013·广东理）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（ ）
A．{0} B．{0，2}
C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：分析可得，
M为方程x2+2x=0的解集，则M={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，
N为方程x2﹣2x=0的解集，则N={x|x2﹣2x=0}={0，2}，
故集合M∪N={0，﹣2，2}，
故选D．
【分析】根据题意，分析可得，M={0，﹣2}，N={0，2}，进而求其并集可得答案．
2．（2013·广东理）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：y=x3的定义域为R，关于原点对称，且（﹣x）3=﹣x3，所以函数y=x3为奇函数；
y=2x的图象过点（0，1），既不关于原点对称，也不关于y轴对称，为非奇非偶函数；
y=x2+1的图象过点（0，1）关于y轴对称，为偶函数；
y=2sinx的定义域为R，关于原点对称，且2sin（﹣x）=﹣2sinx，所以y=2sinx为奇函数；
所以奇函数的个数为2，
故选C．
【分析】根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可．
3．（2013·广东理）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，﹣2） D．（4，2）
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数z满足iz=2+4i，则有z= = =4﹣2i，
故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），
故选C．
【分析】由题意可得z= ，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．
4．（2013·广东理）已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的数学期望E（X）=（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：E（X）= = ．
故选A．
【分析】利用数学期望的计算公式即可得出．
5．（2013·广东理）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，棱台的高为2，
并且棱台的两个侧面与底面垂直，
四楼台的体积为V= = ．
故选B．
【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可．
6．（2013·广东理）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，m α，n β，则m⊥n
B．若α∥β，m α，n β，则m∥n
C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：选项A，若α⊥β，m α，n β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；
选项B，若α∥β，m α，n β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；
选项C，若m⊥n，m α，n β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；
选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．
故选D．
【分析】由α⊥β，m α，n β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m α，n β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m α，n β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．
7．（2013·广东理）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于 ，则C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：设双曲线方程为 （a＞0，b＞0），则
∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于 ，
∴ ，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5
∴双曲线方程为 ．
故选B．
【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F（3，0），离心率为 ，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．
8．（2013·广东理）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（ ）
A．（y，z，w）∈S，（x，y，w） S
B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S
C．（y，z，w） S，（x，y，w）∈S
D．（y，z，w） S，（x，y，w） S
【答案】B
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：方法一：特殊值排除法，
取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，
此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D均错误；
只有B成立，故选B．
直接法：
根据题意知，只要y＜z＜w，z＜w＜y，w＜y＜z中或x＜y＜w，y＜w＜x，w＜x＜y中恰有一个成立则可判断（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．
∵（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，
∴x＜y＜z…①，y＜z＜x…②，z＜x＜y…③三个式子中恰有一个成立； z＜w＜x…④，w＜x＜z…⑤，x＜z＜w…⑥三个式子中恰有一个成立．
配对后有四种情况成立，
第一种：①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；
第二种：①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；
第三种：②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；
第四种：③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．
综合上述四种情况，可得（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．
故选B．
【分析】特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项，即得答案．
二、填空题
9．（2013·广东理）不等式x2+x﹣2＜0的解集为 ．
【答案】（﹣2，1）
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1，
且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上，
所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【分析】先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根，根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集．
10．（2013·广东理）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k= ．
【答案】-1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意得，y′=k+ ，
∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，
∴k+1=0，得k=﹣1，
故答案为：﹣1．
【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．
11．（2013·广东理）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为 ．
【答案】7
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；
当i=2时，S=1+2﹣1=2；
当i=3时，S=2+3﹣1=4；
当i=4时，S=4+4﹣1=7；
当i=5时，退出循环，输出S=7；
故答案为：7．
【分析】由已知中的程序框图及已知中输入4，可得：进入循环的条件为i≤4，即i=1，2，3，4．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．
12．（2013·广东理）在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7= ．
【答案】20
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由等差数列的性质得：
3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，
故答案为：20．
【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．
13．（2013·广东理）给定区域D： ．令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定 条不同的直线．
【答案】6
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：画出不等式表示的平面区域，如图．
作出目标函数对应的直线，因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）时，直线的纵截距最大，z最大；
当直线过（0，1）时，直线的纵截距最小，z最小，从而点集T={（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1）}，经过这六个点的直线一共有6条．
即T中的点共确定6条不同的直线．
故答案为：6．
【分析】先根据所给的可行域，利用几何意义求最值，z=x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可，从而得出点集T中元素的个数，即可得出正确答案．
14．（2013·广东理）（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线C的参数方程为 （t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为 ．
【答案】ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填 或 也得满分）
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：由 （t为参数），两式平方后相加得x2+y2=2，…（4分）
∴曲线C是以（0，0）为圆心，半径等于 的圆．
C在点（1，1）处的切线l的方程为x+y=2，
令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入x+y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即 或 ，
则l的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填 或 也得满分）． …（10分）
故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填 或 也得满分）．
【分析】先求出曲线C的普通方程，再利用直线与圆相切求出切线的方程，最后利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得其极坐标方程即可．
15．（2013·广东理）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC= ．
【答案】
【知识点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．
又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．
∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．
∴△CED∽△ACB．
∴ ，又CD=BC，
∴ ．
【分析】利用AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，进而得到△CED∽△ACB，利用相似三角形的性质即可得出．
三、解答题．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（2013·广东理）已知函数 ，x∈R．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 ．
【答案】（1）解：
（2）解：因为 ，
所以
所以 ，
所以 =
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（1）把x=﹣ 直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值以及sin2θ，然后将x=2θ+ 代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．
17．（2013·广东理）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
【答案】（1）解：样本均值为
（2）解：抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人
（3）解：设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，
所以 ，
即恰有1名优秀工人的概率为
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）茎叶图中共同的数字是数字的十位，这是解决本题的突破口，根据所给的茎叶图数据，代入平均数公式求出结果；（2）先由（1）求得的平均数，再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率．
18．（2013·广东理）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点， ，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O= ．
（1）证明：A′O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接OD，OE．
因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°， ，CO=BO=3．
在△COD中， ，同理得 ．
因为 ， ．
所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．
所以∠A′OD=∠A′OE=90°
所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O．
所以A′O⊥平面BCDE．
（2）方法一：
过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F
因为A′O⊥平面BCDE．
根据三垂线定理，有A′F⊥CD．
所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．
在Rt△COF中， ．
在Rt△A′OF中， = ．
所以 ．
所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为 ．
方法二：
取DE中点H，则OH⊥OB．
以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则O（0，0，0），A′（0，0， ），C（0，﹣3，0），D（1，﹣2，0） =（0，0， ）是平面BCDE的一个法向量．
设平面A′CD的法向量为n=（x，y，z） ， ．
所以 ，令x=1，则y=﹣1， ．
所以 是平面A′CD的一个法向量
设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ，且
所以
所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）连接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°， ，AD=AE= ，CO=BO=3．分别在△COD与△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F．利用（1）可知：A′O⊥平面BCDE，根据三垂线定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．
19．（2013·广东理）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1， ，n∈N*．
（1）求a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有 ．
【答案】（1）解：当n=1时， ，解得a2=4
（2）解： ①
当n≥2时， ②
①﹣②得
整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即 ，
当n=1时，
所以数列{ }是以1为首项，1为公差的等差数列
所以 =n，即
所以数列{an}的通项公式为 ，n∈N*
（3）证明：因为 （n≥2）
所以 = ．
当n=1，2时，也成立
【知识点】数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）利用已知a1=1， ，n∈N*．令n=1即可求出；（2）利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化为 ， ．再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法 （n≥2）即可证明．
20．（2013·广东理）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为 ，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求|AF| |BF|的最小值．
【答案】（1）解：焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离 ，解得c=1，
所以抛物线C的方程为x2=4y．
（2）解：设 ， ，
由（1）得抛物线C的方程为 ， ，所以切线PA，PB的斜率分别为 ， ，
所以PA： ①PB： ②
联立①②可得点P的坐标为 ，即 ， ，
又因为切线PA的斜率为 ，整理得 ，
直线AB的斜率 ，
所以直线AB的方程为 ，
整理得 ，即 ，
因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，
所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．
（3）解：根据抛物线的定义，有 ， ，
所以 = ，
由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，
所以 = ．
所以当 时，|AF| |BF|的最小值为
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设 ， ，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；（3）根据抛物线的定义，有 ， ，从而表示出|AF| |BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF| |BF|的最小值．
21．（2013·广东理）设函数f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当 时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．
【答案】（1）解：当k=1时，f（x）=（x﹣1）ex﹣x2，
f'（x）=ex+（x﹣1）ex﹣2x=x（ex﹣2）
令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x （﹣∞，0） 0 （0，ln2） ln2 （ln2，+∞）
f'（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）
（2）解：f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2，x∈[0，k]， ．
f'（x）=xex﹣2kx=x（ex﹣2k），f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k）
令φ（k）=k﹣ln（2k）， ，
所以φ（k）在 上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ ，∴1﹣ln2≤φ（k）＜ ＜k．
即0＜ln（2k）＜k
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x （0，ln（2k）） ln（2k） （ln（2k），k）
f'（x） ﹣ 0 +
f（x） ↘ 极小值 ↗
f（0）=﹣1，
f（k）﹣f（0）
=（k﹣1）ek﹣k3﹣f（0）
=（k﹣1）ek﹣k3+1
=（k﹣1）ek﹣（k3﹣1）
=（k﹣1）ek﹣（k﹣1）（k2+k+1）
=（k﹣1）[ek﹣（k2+k+1）]
∵ ，∴k﹣1≤0．
对任意的 ，y=ek的图象恒在y=k2+k+1下方，所以ek﹣（k2+k+1）≤0
所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）
所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）ek﹣k3．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；（2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．
1 / 12013年高考理数真题试卷（广东卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2013·广东理）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（ ）
A．{0} B．{0，2}
C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}
2．（2013·广东理）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2013·广东理）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，﹣2） D．（4，2）
4．（2013·广东理）已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的数学期望E（X）=（ ）
A． B．2 C． D．3
5．（2013·广东理）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）
A．4 B． C． D．6
6．（2013·广东理）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，m α，n β，则m⊥n
B．若α∥β，m α，n β，则m∥n
C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
7．（2013·广东理）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于 ，则C的方程是（ ）
A． B． C． D．
8．（2013·广东理）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（ ）
A．（y，z，w）∈S，（x，y，w） S
B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S
C．（y，z，w） S，（x，y，w）∈S
D．（y，z，w） S，（x，y，w） S
二、填空题
9．（2013·广东理）不等式x2+x﹣2＜0的解集为 ．
10．（2013·广东理）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k= ．
11．（2013·广东理）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为 ．
12．（2013·广东理）在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7= ．
13．（2013·广东理）给定区域D： ．令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定 条不同的直线．
14．（2013·广东理）（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线C的参数方程为 （t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为 ．
15．（2013·广东理）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC= ．
三、解答题．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（2013·广东理）已知函数 ，x∈R．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 ．
17．（2013·广东理）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
18．（2013·广东理）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点， ，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O= ．
（1）证明：A′O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．
19．（2013·广东理）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1， ，n∈N*．
（1）求a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有 ．
20．（2013·广东理）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为 ，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求|AF| |BF|的最小值．
21．（2013·广东理）设函数f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当 时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：分析可得，
M为方程x2+2x=0的解集，则M={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，
N为方程x2﹣2x=0的解集，则N={x|x2﹣2x=0}={0，2}，
故集合M∪N={0，﹣2，2}，
故选D．
【分析】根据题意，分析可得，M={0，﹣2}，N={0，2}，进而求其并集可得答案．
2．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：y=x3的定义域为R，关于原点对称，且（﹣x）3=﹣x3，所以函数y=x3为奇函数；
y=2x的图象过点（0，1），既不关于原点对称，也不关于y轴对称，为非奇非偶函数；
y=x2+1的图象过点（0，1）关于y轴对称，为偶函数；
y=2sinx的定义域为R，关于原点对称，且2sin（﹣x）=﹣2sinx，所以y=2sinx为奇函数；
所以奇函数的个数为2，
故选C．
【分析】根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可．
3．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数z满足iz=2+4i，则有z= = =4﹣2i，
故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），
故选C．
【分析】由题意可得z= ，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．
4．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：E（X）= = ．
故选A．
【分析】利用数学期望的计算公式即可得出．
5．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，棱台的高为2，
并且棱台的两个侧面与底面垂直，
四楼台的体积为V= = ．
故选B．
【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可．
6．【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：选项A，若α⊥β，m α，n β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；
选项B，若α∥β，m α，n β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；
选项C，若m⊥n，m α，n β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；
选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．
故选D．
【分析】由α⊥β，m α，n β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m α，n β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m α，n β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．
7．【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：设双曲线方程为 （a＞0，b＞0），则
∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于 ，
∴ ，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5
∴双曲线方程为 ．
故选B．
【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F（3，0），离心率为 ，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．
8．【答案】B
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：方法一：特殊值排除法，
取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，
此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D均错误；
只有B成立，故选B．
直接法：
根据题意知，只要y＜z＜w，z＜w＜y，w＜y＜z中或x＜y＜w，y＜w＜x，w＜x＜y中恰有一个成立则可判断（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．
∵（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，
∴x＜y＜z…①，y＜z＜x…②，z＜x＜y…③三个式子中恰有一个成立； z＜w＜x…④，w＜x＜z…⑤，x＜z＜w…⑥三个式子中恰有一个成立．
配对后有四种情况成立，
第一种：①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；
第二种：①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；
第三种：②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；
第四种：③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．
综合上述四种情况，可得（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．
故选B．
【分析】特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项，即得答案．
9．【答案】（﹣2，1）
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1，
且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上，
所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【分析】先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根，根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集．
10．【答案】-1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意得，y′=k+ ，
∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，
∴k+1=0，得k=﹣1，
故答案为：﹣1．
【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．
11．【答案】7
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；
当i=2时，S=1+2﹣1=2；
当i=3时，S=2+3﹣1=4；
当i=4时，S=4+4﹣1=7；
当i=5时，退出循环，输出S=7；
故答案为：7．
【分析】由已知中的程序框图及已知中输入4，可得：进入循环的条件为i≤4，即i=1，2，3，4．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．
12．【答案】20
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由等差数列的性质得：
3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，
故答案为：20．
【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．
13．【答案】6
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：画出不等式表示的平面区域，如图．
作出目标函数对应的直线，因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）时，直线的纵截距最大，z最大；
当直线过（0，1）时，直线的纵截距最小，z最小，从而点集T={（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1）}，经过这六个点的直线一共有6条．
即T中的点共确定6条不同的直线．
故答案为：6．
【分析】先根据所给的可行域，利用几何意义求最值，z=x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可，从而得出点集T中元素的个数，即可得出正确答案．
14．【答案】ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填 或 也得满分）
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：由 （t为参数），两式平方后相加得x2+y2=2，…（4分）
∴曲线C是以（0，0）为圆心，半径等于 的圆．
C在点（1，1）处的切线l的方程为x+y=2，
令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入x+y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即 或 ，
则l的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填 或 也得满分）． …（10分）
故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填 或 也得满分）．
【分析】先求出曲线C的普通方程，再利用直线与圆相切求出切线的方程，最后利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得其极坐标方程即可．
15．【答案】
【知识点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．
又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．
∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．
∴△CED∽△ACB．
∴ ，又CD=BC，
∴ ．
【分析】利用AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，进而得到△CED∽△ACB，利用相似三角形的性质即可得出．
16．【答案】（1）解：
（2）解：因为 ，
所以
所以 ，
所以 =
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（1）把x=﹣ 直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值以及sin2θ，然后将x=2θ+ 代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．
17．【答案】（1）解：样本均值为
（2）解：抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人
（3）解：设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，
所以 ，
即恰有1名优秀工人的概率为
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）茎叶图中共同的数字是数字的十位，这是解决本题的突破口，根据所给的茎叶图数据，代入平均数公式求出结果；（2）先由（1）求得的平均数，再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率．
18．【答案】（1）证明：连接OD，OE．
因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°， ，CO=BO=3．
在△COD中， ，同理得 ．
因为 ， ．
所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．
所以∠A′OD=∠A′OE=90°
所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O．
所以A′O⊥平面BCDE．
（2）方法一：
过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F
因为A′O⊥平面BCDE．
根据三垂线定理，有A′F⊥CD．
所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．
在Rt△COF中， ．
在Rt△A′OF中， = ．
所以 ．
所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为 ．
方法二：
取DE中点H，则OH⊥OB．
以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则O（0，0，0），A′（0，0， ），C（0，﹣3，0），D（1，﹣2，0） =（0，0， ）是平面BCDE的一个法向量．
设平面A′CD的法向量为n=（x，y，z） ， ．
所以 ，令x=1，则y=﹣1， ．
所以 是平面A′CD的一个法向量
设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ，且
所以
所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）连接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°， ，AD=AE= ，CO=BO=3．分别在△COD与△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F．利用（1）可知：A′O⊥平面BCDE，根据三垂线定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．
19．【答案】（1）解：当n=1时， ，解得a2=4
（2）解： ①
当n≥2时， ②
①﹣②得
整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即 ，
当n=1时，
所以数列{ }是以1为首项，1为公差的等差数列
所以 =n，即
所以数列{an}的通项公式为 ，n∈N*
（3）证明：因为 （n≥2）
所以 = ．
当n=1，2时，也成立
【知识点】数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）利用已知a1=1， ，n∈N*．令n=1即可求出；（2）利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化为 ， ．再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法 （n≥2）即可证明．
20．【答案】（1）解：焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离 ，解得c=1，
所以抛物线C的方程为x2=4y．
（2）解：设 ， ，
由（1）得抛物线C的方程为 ， ，所以切线PA，PB的斜率分别为 ， ，
所以PA： ①PB： ②
联立①②可得点P的坐标为 ，即 ， ，
又因为切线PA的斜率为 ，整理得 ，
直线AB的斜率 ，
所以直线AB的方程为 ，
整理得 ，即 ，
因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，
所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．
（3）解：根据抛物线的定义，有 ， ，
所以 = ，
由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，
所以 = ．
所以当 时，|AF| |BF|的最小值为
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设 ， ，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；（3）根据抛物线的定义，有 ， ，从而表示出|AF| |BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF| |BF|的最小值．
21．【答案】（1）解：当k=1时，f（x）=（x﹣1）ex﹣x2，
f'（x）=ex+（x﹣1）ex﹣2x=x（ex﹣2）
令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x （﹣∞，0） 0 （0，ln2） ln2 （ln2，+∞）
f'（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）
（2）解：f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2，x∈[0，k]， ．
f'（x）=xex﹣2kx=x（ex﹣2k），f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k）
令φ（k）=k﹣ln（2k）， ，
所以φ（k）在 上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ ，∴1﹣ln2≤φ（k）＜ ＜k．
即0＜ln（2k）＜k
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x （0，ln（2k）） ln（2k） （ln（2k），k）
f'（x） ﹣ 0 +
f（x） ↘ 极小值 ↗
f（0）=﹣1，
f（k）﹣f（0）
=（k﹣1）ek﹣k3﹣f（0）
=（k﹣1）ek﹣k3+1
=（k﹣1）ek﹣（k3﹣1）
=（k﹣1）ek﹣（k﹣1）（k2+k+1）
=（k﹣1）[ek﹣（k2+k+1）]
∵ ，∴k﹣1≤0．
对任意的 ，y=ek的图象恒在y=k2+k+1下方，所以ek﹣（k2+k+1）≤0
所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）
所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）ek﹣k3．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；（2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．
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