2013年高考理数真题试卷（湖北卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2013·湖北理）在复平面内，复数z= （i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2013·湖北理）已知全集为R，集合A={x|（ ）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（ RB）=（ ）
A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|0＜x≤2或x≥4}
3．（2013·湖北理）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q）
C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q
4．（2013·湖北理）将函数 的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2013·湖北理）已知0＜θ＜ ，则双曲线 与C2： ﹣ =1的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
6．（2013·湖北理）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
7．（2013·湖北理）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（ ）
A．1+25ln5 B．8+25ln C．4+25ln5 D．4+50ln2
8．（2013·湖北理）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）
A．V1＜V2＜V4＜V3 B．V1＜V3＜V2＜V4
C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3＜V1＜V4
9．（2013·湖北理）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（ ）
A． B． C． D．
10．（2013·湖北理）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．）
11．（2013·湖北理）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）直方图中x的值为 ；
（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为 ．
12．（2013·湖北理）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i= ．
13．（2013·湖北理）设x，y，z∈R，且满足： ，则x+y+z= ．
14．（2013·湖北理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为 ．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 ，
正方形数N（n，4）=n2，
五边形数 ，
六边形数N（n，6）=2n2﹣n，
…
可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）= ．
15．（2013·湖北理）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则 的值为 ．
16．（2013·湖北理）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为 为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为 为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为 ．
三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2013·湖北理）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5 ，b=5，求sinBsinC的值．
18．（2013·湖北理）已知等比数列{an}满足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数m，使得 ？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．
19．（2013·湖北理）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；
（2）设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足 ．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．
20．（2013·湖北理）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0．
（1）求p0的值；
（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）
（2）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
21．（2013·湖北理）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记 ，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．
（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；
（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．
22．（2013·湖北理）设n是正整数，r为正有理数．
（1）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；
（参考数据： ．
（2）证明： ；
（3）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如 ．令 的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：∵z= = = =1+i，
∴ =1﹣i．
∴z对应的点（1，﹣1）位于第四象限，
故选D．
【分析】将复数z= 的分母实数化，求得z=1+i，即可求得 ，从而可知答案．
2．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：∵ ≤1= ，
∴x≥0，
∴A={x|x≥0}；
又x2﹣6x+8≤0 （x﹣2）（x﹣4）≤0，
∴2≤x≤4．
∴B={x|2≤x≤4}，
∴ RB={x|x＜2或x＞4}，
∴A∩ RB={x|0≤x＜2或x＞4}，
故选C．
【分析】利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩CRB．
3．【答案】A
【知识点】四种命题间的逆否关系
【解析】【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，
q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，
命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括
“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”
或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”
或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．
所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．
故选A．
【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．
4．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：y= cosx+sinx=2（ cosx+ sinx）=2sin（x+ ），
∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+ ]=2sin（x+m+ ），
∵所得的图象关于y轴对称，
∴m+ =kπ+ （k∈Z），
则m的最小值为 ．
故选B
【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．
5．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率 ，
双曲线 的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率 ，
故它们的离心率相同．
故选D．
【分析】根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．
6．【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解： ， ，
则向量 方向上的投影为： cos＜ ＞= = = = ，
故选A．
【分析】先求出向量 、 ，根据投影定义即可求得答案．
7．【答案】C
【知识点】定积分
【解析】【解答】解：令v（t）=7﹣3t+ ，化为3t2﹣4t﹣32=0，又t＞0，解得t=4．
∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s= = =4+25ln5．
故选C．
【分析】令v（t）=0，解得t=4，则所求的距离S= ，解出即可．
8．【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，
体积分别记为V1= = ．
V2=12×π×2=2π，
V3=2×2×2=8
V4= = ；
∵ ，
∴V2＜V1＜V3＜V4
故选C．
【分析】利用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项．
9．【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．
①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）= ；
②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）= ；
③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）= ．
④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）= ．
X 0 1 2 3
P
故X的分布列为
因此E（X）= = ．
故选B．
【分析】由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，
③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．
10．【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）
令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2 函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点 g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．
．
①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．
②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x= ，
∵x ，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； 时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴x= 是函数g（x）的极大值点，则 ＞0，即 ＞0，
∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即 ．
故当0＜a＜ 时，g（x）=0有两个根x1，x2，且x1＜ ＜x2，又g（1）=1﹣2a＞0，
∴x1＜1＜ ＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．
∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣ ．
故选：D．
【分析】先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2 函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点 g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．
11．【答案】0.0044；70
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1，
解得x=0.0044．
（II）样本数据落在[100，150）内的频率为0.0036×50=0.18，
样本数据落在[150，200）内的频率为0.006×50=0.3．
样本数据落在[200，250）内的频率为0.0044×50=0.22，
故在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为（0.18+0.30+0.22）×100=70．
故答案为：0.0044；70．
12．【答案】5
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：框图首先给变量a和变量i赋值，a=4，i=1．
判断10=4不成立，判断10是奇数不成立，执行 ，i=1+1=2；
判断5=4不成立，判断5是奇数成立，执行a=3×5+1=16，i=2+1=3；
判断16=4不成立，判断16是奇数不成立，执行 ，i=3+1=4；
判断8=4不成立，判断8是奇数不成立，执行 ，i=4+1=5；
判断4=4成立，跳出循环，输出i的值为5．
故答案是5．
【分析】框图首先给变量a和变量i赋值，然后对a是否等于4进行判断，不等于4，继续判断a是否为奇数，是执行路径a=3a+1，否执行路径 ，再执行i=i+1，依次循环执行，当a等于4时跳出循环，输出i的值．
13．【答案】
【知识点】进行简单的合情推理；一般形式的柯西不等式
【解析】【解答】解：根据柯西不等式，得
（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）
当且仅当 时，上式的等号成立
∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，
结合 ，可得x+2y+3z恰好取到最大值
∴ = ，可得x= ，y= ，z=
因此，x+y+z= + + =
故答案为：
【分析】根据柯西不等式，算出（x+2y+3z）2≤14（x2+y2+z2）=14，从而得到x+2y+3z恰好取到最大值 ，由不等式的等号成立的条件解出x= 、y= 且z= ，由此即可得到x+y+z的值．
14．【答案】1000
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：原已知式子可化为： ，
， ，
，
由归纳推理可得 ，
故 =1100﹣100=1000
故答案为：1000
【分析】观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得 ，把n=10，k=24代入可得答案．
15．【答案】8
【知识点】直角三角形的射影定理；与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，
∵AB=3AD，
∴AD=2x，BD=4x，OD=x
又∵点C在直径AB上的射影为D，
在△ABC中，由射影定理得：CD2=AD BD=8x2，
在△ODC中，由射影定理得：OD2=OE OC=x2，CD2=CE OC=8x2，
故 = =8
故答案为：8
【分析】设圆O的半径为3x，根据射影定理，可以求出OD2=OE OC=x2，CD2=CE OC=8x2，进而得到 的值．
16．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：直线l的极坐标方程分别为 为非零常数）化成直角坐标方程为x+y﹣m=0，
它与x轴的交点坐标为（m，0），由题意知，（m，0）为椭圆的焦点，故|m|=c，
又直线l与圆O：ρ=b相切，∴ ，
从而c= b，又b2=a2﹣c2，
∴c2=2（a2﹣c2），
∴3c2=2a2，∴ = ．
则椭圆C的离心率为 ．
故答案为： ．
【分析】先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线l的极坐标方程分别为 为非零常数）化成直角坐标方程，再利用直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，从而得到c= b，又b2=a2﹣c2，消去b后得到关于a，c的等式，即可求出椭圆C的离心率．
17．【答案】（1）解：由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，
即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得 （舍去）．
因为0＜A＜π，所以 ．
（2）解：由S= = = ，得到bc=20．又b=5，解得c=4．
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故 ．
又由正弦定理得 ．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（2）由三角形的面积公式 即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到 即可得出．
18．【答案】（1）解：设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得
解得
故 ．
（2）解：若 ，则 ，
故 是首项为 ，公比为 的等比数列，
从而 ．
若 ，则 是首项为 ，公比为﹣1的等比数列，
从而 故 ．
综上，对任何正整数m，总有 ．
故不存在正整数m，使得 成立．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1，q，进而可求通项公式（2）结合（I）可知 是等比数列，结合等比数列的求和公式可求 ，即可判断
19．【答案】（1）解：直线l∥平面PAC，证明如下：
连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC，所以EF∥平面ABC．
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．
因为l 平面PAC，EF 平面PAC，所以直线l∥平面PAC．
（2）解：（综合法）如图1，连接BD，由（1）可知交线l即为直线BD，且l∥AC．
因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．
已知PC⊥平面ABC，而l 平面ABC，所以PC⊥l．
而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．
连接BE，BF，因为BF 平面PBC，所以l⊥BF．
故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．
由 ，作DQ∥CP，且 ．
连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，
从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD．
连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，
故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．
又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，
于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得 ，
从而 ．
（向量法）如图2，由 ，作DQ∥CP，且 ．
连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD．
以点C为原点，向量 所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a，CB=b，CP=2c，则有 ．
于是 ，
∴ = ，从而 ，
又取平面ABC的一个法向量为 ，可得 ，
设平面BEF的一个法向量为 ，
所以由 可得 取 =（0，c，b），
于是 ，从而 ．
故 ，即sinθ=sinαsinβ．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）直线l∥平面PAC．连接EF，利用三角形的中位线定理可得，EF∥AC；利用线面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC．由线面平行的性质定理可得EF∥l．再利用线面平行的判定定理即可证明直线l∥平面PAC．（2）综合法：利用线面垂直的判定定理可证明l⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF 平面PBC，所以l⊥BC．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．已知PC⊥平面ABC，可知CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．由BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；
向量法：以点C为原点，向量 所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
20．【答案】（1）解：由于随机变量X服从正态分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．
由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=
（2）解：设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x+2400y．
依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p0．
由（1）知，p0=P（X≤900），故P（X≤36x+60y）≥p0等价于36x+60y≥900．
于是问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y．
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．
由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距 最小，即z取得最小值．
故应配备A型车5辆，B型车12辆．
【知识点】简单线性规划；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）变量服从正态分布N（800，502），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0．（2）设每天应派出A型x辆、B型车y辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解．
21．【答案】（1）解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为
， ．其中a＞m＞n＞0，
＞1．
如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则
，
，
所以 ．
在C1和C2的方程中分别令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=﹣m，
于是 ．
若 ，则 ，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得 ．
故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则 ．
（2）解：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，
不妨设直线l：y=kx（k＞0），
点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则
，所以d1=d2．
又 ，所以 ，即|BD|=λ|AB|．
由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，
|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是 ．
将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得
根据对称性可知xC=﹣xB，xD=﹣xA，于是
②
从而由①和②可得
③
令 ，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得 ．
因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当 ，
等价于 ，由λ＞1，解得 ，
即 ，由λ＞1，解得 ，所以
当 时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；
当 时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面积比=λ列式求λ的值；（2）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到 ，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围．
22．【答案】（1）解：由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）r﹣（r+1）=（r+1）[（1+x）r﹣1]，
令f'（x）=0，解得x=0．
当﹣1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）内是减函数；
当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．
故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．
（2）证明：由（1），当x∈（﹣1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，故当x＞﹣1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①在①中，令 （这时x＞﹣1且x≠0），得 ．上式两边同乘nr+1，得（n+1）r+1＞nr+1+nr（r+1），
即 ，②
当n＞1时，在①中令 （这时x＞﹣1且x≠0），类似可得 ，③且当n=1时，③也成立．综合②，③得 ，④
（3）解：在④中，令 ，n分别取值81，82，83，…，125，
得 ， ， ，… ，
将以上各式相加，并整理得 ．
代入数据计算，可得
由[S]的定义，得[S]=211．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；数列的求和；不等式的证明
【解析】【分析】（1）先求出函数f（x）的导函数f′（x），令f'（x）=0，解得x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值为f（0）=0；（2）根据（1）知，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，令 代入并化简得 ，再令 得， ，即结论得到证明；（3）根据（Ⅱ）的结论，令 ，n分别取值81，82，83，…，125，分别列出不等式，再将各式相加得， ，再由参考数据和条件进行求解．
1 / 12013年高考理数真题试卷（湖北卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2013·湖北理）在复平面内，复数z= （i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：∵z= = = =1+i，
∴ =1﹣i．
∴z对应的点（1，﹣1）位于第四象限，
故选D．
【分析】将复数z= 的分母实数化，求得z=1+i，即可求得 ，从而可知答案．
2．（2013·湖北理）已知全集为R，集合A={x|（ ）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（ RB）=（ ）
A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|0＜x≤2或x≥4}
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：∵ ≤1= ，
∴x≥0，
∴A={x|x≥0}；
又x2﹣6x+8≤0 （x﹣2）（x﹣4）≤0，
∴2≤x≤4．
∴B={x|2≤x≤4}，
∴ RB={x|x＜2或x＞4}，
∴A∩ RB={x|0≤x＜2或x＞4}，
故选C．
【分析】利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩CRB．
3．（2013·湖北理）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q）
C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q
【答案】A
【知识点】四种命题间的逆否关系
【解析】【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，
q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，
命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括
“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”
或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”
或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．
所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．
故选A．
【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．
4．（2013·湖北理）将函数 的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：y= cosx+sinx=2（ cosx+ sinx）=2sin（x+ ），
∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+ ]=2sin（x+m+ ），
∵所得的图象关于y轴对称，
∴m+ =kπ+ （k∈Z），
则m的最小值为 ．
故选B
【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．
5．（2013·湖北理）已知0＜θ＜ ，则双曲线 与C2： ﹣ =1的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率 ，
双曲线 的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率 ，
故它们的离心率相同．
故选D．
【分析】根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．
6．（2013·湖北理）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解： ， ，
则向量 方向上的投影为： cos＜ ＞= = = = ，
故选A．
【分析】先求出向量 、 ，根据投影定义即可求得答案．
7．（2013·湖北理）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（ ）
A．1+25ln5 B．8+25ln C．4+25ln5 D．4+50ln2
【答案】C
【知识点】定积分
【解析】【解答】解：令v（t）=7﹣3t+ ，化为3t2﹣4t﹣32=0，又t＞0，解得t=4．
∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s= = =4+25ln5．
故选C．
【分析】令v（t）=0，解得t=4，则所求的距离S= ，解出即可．
8．（2013·湖北理）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）
A．V1＜V2＜V4＜V3 B．V1＜V3＜V2＜V4
C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3＜V1＜V4
【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，
体积分别记为V1= = ．
V2=12×π×2=2π，
V3=2×2×2=8
V4= = ；
∵ ，
∴V2＜V1＜V3＜V4
故选C．
【分析】利用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项．
9．（2013·湖北理）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．
①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）= ；
②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）= ；
③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）= ．
④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）= ．
X 0 1 2 3
P
故X的分布列为
因此E（X）= = ．
故选B．
【分析】由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，
③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．
10．（2013·湖北理）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）
令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2 函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点 g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．
．
①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．
②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x= ，
∵x ，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； 时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴x= 是函数g（x）的极大值点，则 ＞0，即 ＞0，
∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即 ．
故当0＜a＜ 时，g（x）=0有两个根x1，x2，且x1＜ ＜x2，又g（1）=1﹣2a＞0，
∴x1＜1＜ ＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．
∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣ ．
故选：D．
【分析】先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2 函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点 g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．
二、填空题：请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．）
11．（2013·湖北理）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）直方图中x的值为 ；
（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为 ．
【答案】0.0044；70
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1，
解得x=0.0044．
（II）样本数据落在[100，150）内的频率为0.0036×50=0.18，
样本数据落在[150，200）内的频率为0.006×50=0.3．
样本数据落在[200，250）内的频率为0.0044×50=0.22，
故在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为（0.18+0.30+0.22）×100=70．
故答案为：0.0044；70．
12．（2013·湖北理）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i= ．
【答案】5
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：框图首先给变量a和变量i赋值，a=4，i=1．
判断10=4不成立，判断10是奇数不成立，执行 ，i=1+1=2；
判断5=4不成立，判断5是奇数成立，执行a=3×5+1=16，i=2+1=3；
判断16=4不成立，判断16是奇数不成立，执行 ，i=3+1=4；
判断8=4不成立，判断8是奇数不成立，执行 ，i=4+1=5；
判断4=4成立，跳出循环，输出i的值为5．
故答案是5．
【分析】框图首先给变量a和变量i赋值，然后对a是否等于4进行判断，不等于4，继续判断a是否为奇数，是执行路径a=3a+1，否执行路径 ，再执行i=i+1，依次循环执行，当a等于4时跳出循环，输出i的值．
13．（2013·湖北理）设x，y，z∈R，且满足： ，则x+y+z= ．
【答案】
【知识点】进行简单的合情推理；一般形式的柯西不等式
【解析】【解答】解：根据柯西不等式，得
（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）
当且仅当 时，上式的等号成立
∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，
结合 ，可得x+2y+3z恰好取到最大值
∴ = ，可得x= ，y= ，z=
因此，x+y+z= + + =
故答案为：
【分析】根据柯西不等式，算出（x+2y+3z）2≤14（x2+y2+z2）=14，从而得到x+2y+3z恰好取到最大值 ，由不等式的等号成立的条件解出x= 、y= 且z= ，由此即可得到x+y+z的值．
14．（2013·湖北理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为 ．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 ，
正方形数N（n，4）=n2，
五边形数 ，
六边形数N（n，6）=2n2﹣n，
…
可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）= ．
【答案】1000
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：原已知式子可化为： ，
， ，
，
由归纳推理可得 ，
故 =1100﹣100=1000
故答案为：1000
【分析】观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得 ，把n=10，k=24代入可得答案．
15．（2013·湖北理）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则 的值为 ．
【答案】8
【知识点】直角三角形的射影定理；与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，
∵AB=3AD，
∴AD=2x，BD=4x，OD=x
又∵点C在直径AB上的射影为D，
在△ABC中，由射影定理得：CD2=AD BD=8x2，
在△ODC中，由射影定理得：OD2=OE OC=x2，CD2=CE OC=8x2，
故 = =8
故答案为：8
【分析】设圆O的半径为3x，根据射影定理，可以求出OD2=OE OC=x2，CD2=CE OC=8x2，进而得到 的值．
16．（2013·湖北理）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为 为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为 为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：直线l的极坐标方程分别为 为非零常数）化成直角坐标方程为x+y﹣m=0，
它与x轴的交点坐标为（m，0），由题意知，（m，0）为椭圆的焦点，故|m|=c，
又直线l与圆O：ρ=b相切，∴ ，
从而c= b，又b2=a2﹣c2，
∴c2=2（a2﹣c2），
∴3c2=2a2，∴ = ．
则椭圆C的离心率为 ．
故答案为： ．
【分析】先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线l的极坐标方程分别为 为非零常数）化成直角坐标方程，再利用直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，从而得到c= b，又b2=a2﹣c2，消去b后得到关于a，c的等式，即可求出椭圆C的离心率．
三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2013·湖北理）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5 ，b=5，求sinBsinC的值．
【答案】（1）解：由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，
即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得 （舍去）．
因为0＜A＜π，所以 ．
（2）解：由S= = = ，得到bc=20．又b=5，解得c=4．
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故 ．
又由正弦定理得 ．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（2）由三角形的面积公式 即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到 即可得出．
18．（2013·湖北理）已知等比数列{an}满足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数m，使得 ？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得
解得
故 ．
（2）解：若 ，则 ，
故 是首项为 ，公比为 的等比数列，
从而 ．
若 ，则 是首项为 ，公比为﹣1的等比数列，
从而 故 ．
综上，对任何正整数m，总有 ．
故不存在正整数m，使得 成立．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1，q，进而可求通项公式（2）结合（I）可知 是等比数列，结合等比数列的求和公式可求 ，即可判断
19．（2013·湖北理）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；
（2）设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足 ．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．
【答案】（1）解：直线l∥平面PAC，证明如下：
连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC，所以EF∥平面ABC．
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．
因为l 平面PAC，EF 平面PAC，所以直线l∥平面PAC．
（2）解：（综合法）如图1，连接BD，由（1）可知交线l即为直线BD，且l∥AC．
因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．
已知PC⊥平面ABC，而l 平面ABC，所以PC⊥l．
而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．
连接BE，BF，因为BF 平面PBC，所以l⊥BF．
故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．
由 ，作DQ∥CP，且 ．
连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，
从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD．
连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，
故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．
又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，
于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得 ，
从而 ．
（向量法）如图2，由 ，作DQ∥CP，且 ．
连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD．
以点C为原点，向量 所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a，CB=b，CP=2c，则有 ．
于是 ，
∴ = ，从而 ，
又取平面ABC的一个法向量为 ，可得 ，
设平面BEF的一个法向量为 ，
所以由 可得 取 =（0，c，b），
于是 ，从而 ．
故 ，即sinθ=sinαsinβ．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）直线l∥平面PAC．连接EF，利用三角形的中位线定理可得，EF∥AC；利用线面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC．由线面平行的性质定理可得EF∥l．再利用线面平行的判定定理即可证明直线l∥平面PAC．（2）综合法：利用线面垂直的判定定理可证明l⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF 平面PBC，所以l⊥BC．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．已知PC⊥平面ABC，可知CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．由BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；
向量法：以点C为原点，向量 所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
20．（2013·湖北理）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0．
（1）求p0的值；
（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）
（2）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
【答案】（1）解：由于随机变量X服从正态分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．
由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=
（2）解：设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x+2400y．
依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p0．
由（1）知，p0=P（X≤900），故P（X≤36x+60y）≥p0等价于36x+60y≥900．
于是问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y．
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．
由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距 最小，即z取得最小值．
故应配备A型车5辆，B型车12辆．
【知识点】简单线性规划；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）变量服从正态分布N（800，502），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0．（2）设每天应派出A型x辆、B型车y辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解．
21．（2013·湖北理）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记 ，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．
（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；
（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．
【答案】（1）解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为
， ．其中a＞m＞n＞0，
＞1．
如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则
，
，
所以 ．
在C1和C2的方程中分别令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=﹣m，
于是 ．
若 ，则 ，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得 ．
故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则 ．
（2）解：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，
不妨设直线l：y=kx（k＞0），
点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则
，所以d1=d2．
又 ，所以 ，即|BD|=λ|AB|．
由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，
|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是 ．
将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得
根据对称性可知xC=﹣xB，xD=﹣xA，于是
②
从而由①和②可得
③
令 ，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得 ．
因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当 ，
等价于 ，由λ＞1，解得 ，
即 ，由λ＞1，解得 ，所以
当 时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；
当 时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面积比=λ列式求λ的值；（2）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到 ，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围．
22．（2013·湖北理）设n是正整数，r为正有理数．
（1）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；
（参考数据： ．
（2）证明： ；
（3）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如 ．令 的值．
【答案】（1）解：由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）r﹣（r+1）=（r+1）[（1+x）r﹣1]，
令f'（x）=0，解得x=0．
当﹣1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）内是减函数；
当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．
故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．
（2）证明：由（1），当x∈（﹣1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，故当x＞﹣1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①在①中，令 （这时x＞﹣1且x≠0），得 ．上式两边同乘nr+1，得（n+1）r+1＞nr+1+nr（r+1），
即 ，②
当n＞1时，在①中令 （这时x＞﹣1且x≠0），类似可得 ，③且当n=1时，③也成立．综合②，③得 ，④
（3）解：在④中，令 ，n分别取值81，82，83，…，125，
得 ， ， ，… ，
将以上各式相加，并整理得 ．
代入数据计算，可得
由[S]的定义，得[S]=211．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；数列的求和；不等式的证明
【解析】【分析】（1）先求出函数f（x）的导函数f′（x），令f'（x）=0，解得x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值为f（0）=0；（2）根据（1）知，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，令 代入并化简得 ，再令 得， ，即结论得到证明；（3）根据（Ⅱ）的结论，令 ，n分别取值81，82，83，…，125，分别列出不等式，再将各式相加得， ，再由参考数据和条件进行求解．
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