2013年高考理数真题试卷（湖南卷）
一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2013·湖南理）复数z=i （1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2013·湖南理）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
3．（2013·湖南理）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB= b，则角A等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2013·湖南理）若变量x，y满足约束条件 ，则x+2y的最大值是（ ）
A． B．0 C． D．
5．（2013·湖南理）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（2013·湖南理）已知 ， 是单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2013·湖南理）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ）
A．1 B． C． D．
8．（2013·湖南理）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、填空题
9．（2013·湖南理）在平面直角坐标系xOy中，若直线l： ，（t为参数）过椭圆C： （θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 ．
10．（2013·湖南理）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为 ．
11．（2013·湖南理）如图，在半径为 的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为 ．
12．（2013·湖南理）若 ，则常数T的值为 ．
13．（2013·湖南理）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为 ．
14．（2013·湖南理）设F1，F2是双曲线C： （a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为 ．
15．（2013·湖南理）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）nan﹣ ，n∈N*，则
①a3= ；
②S1+S2+…+S100= ．
16．（2013·湖南理）设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为 ．
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
① x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；
② x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则 x∈（1，2），使f（x）=0．
三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2013·湖南理）已知函数f（x）=sin（x﹣ ）+cos（x﹣ ），g（x）=2sin2 ．
（1）若α是第一象限角，且f（α）= ，求g（α）的值；
（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．
18．（2013·湖南理）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；
（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
19．（2013·湖南理）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．
（1）证明：AC⊥B1D；
（2）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．
20．（2013·湖南理）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．
（1）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（2）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
21．（2013·湖南理）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（1）若k1＞0，k2＞0，证明： ；
（2）若点M到直线l的距离的最小值为 ，求抛物线E的方程．
22．（2013·湖南理）已知a＞0，函数 ．
（1）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
（2）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：z=i （1+i）=﹣1+i，
故复数z对应的点为（﹣1，1），
在复平面的第二象限，
故选B．
【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．
2．【答案】D
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．
故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．
故选：D．
【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．
3．【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，2asinB= b，
∴由正弦定理 = =2R得：2sinAsinB= sinB，
∴sinA= ，又△ABC为锐角三角形，
∴A= ．
故选D．
【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．
4．【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组 表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣ ，﹣1），B（ ， ），C（2，﹣1）
设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（ ， ）=
故选：C
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x= ，y= 时，x+2y取得最大值为 ．
5．【答案】B
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图：
由图可知，两个函数图象共有2个交点
故选B．
【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．
6．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：令 ， ， ，
如图所示：则 ，
又 ，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，
易知点C与O、D共线时 达到最值，最大值为 +1，最小值为 ﹣1，
所以 的取值范围为[ ﹣1， +1]．
故选A．
【分析】令 ， ， ，作出图象，根据图象可求出 的最大值、最小值．
7．【答案】C
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为 ．
因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为 ．
因此可知：A，B，D皆有可能，而 ＜1，故C不可能．
故选C．
【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为 即可得出．
8．【答案】D
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：建立如图所示的坐标系：
可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，
△ABC的重心为（ ， ），设P（a，0），其中0＜a＜4，
则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足 ，
解得 ，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率为k= = ，故直线QR的方程为y= （x+a），
由于直线QR过△ABC的重心（ ， ），代入化简可得3a2﹣4a=0，
解得a= ，或a=0（舍去），故P（ ，0），故AP=
故选D
【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．
9．【答案】3
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：由直线l： ，得y=x﹣a，
再由椭圆C： ，得 ，
①2+②2得， ．
所以椭圆C： 的右顶点为（3，0）．
因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．
故答案为3．
【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．
10．【答案】12
【知识点】柯西不等式的几何意义
【解析】【解答】解：∵a+2b+3c=6，
∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]
化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）
∴a2+4b2+9c2≥12，
当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c= 时等号成立
由此可得：当且仅当a=2，b=1，c= 时，a2+4b2+9c2的最小值为12
故答案为：12
【分析】根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c= 时，a2+4b2+9c2的最小值为12．
11．【答案】
【知识点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，
∴2×2=CP 1，
解得：CP=4，又PD=1，
∴CD=5，
又⊙O的半径为 ，
则圆心O到弦CD的距离为d= = = ．
故答案为： ．
【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率．
12．【答案】3
【知识点】定积分
【解析】【解答】解： = =9，解得T=3，
故答案为：3．
【分析】利用微积分基本定理即可求得．
13．【答案】9
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：
是否继续循环 a b
循环前/1 2
第一圈 是 3 2
第二圈 是 5 2
第三圈 是 7 2
第四圈 是 9 2
第五圈 否
故最终输出的a值为9．
故答案为：9．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，
不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a
所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，
∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，
∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，
即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a× ，
∴c2﹣2 ca+3a2=0，
∴c= a
所以e= = ．
故答案为： ．
【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．
15．【答案】﹣ ；
【知识点】数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】解：由 ，n∈N*，
当n=1时，有 ，得 ．
当n≥2时， ．
即 ．
若n为偶数，则 ．
所以 （n为正奇数）；
若n为奇数，则 = ．
所以 （n为正偶数）．
所以① ．
故答案为﹣ ；
②因为 （n为正奇数），所以﹣ ，
又 （n为正偶数），所以 ．
则 ．
， ．
则 ．
…
．
所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100
=
=
=
= ．
故答案为 ．
【分析】①把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式 ．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；②把①中求出的数列的通项公式代入 ，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．
16．【答案】（1）{x|0＜x≤1}
（2）①②③
【知识点】命题的真假判断与应用；进行简单的合情推理；函数的零点
【解析】【解答】解：（1）因为c＞a，由a，b，c不能构成一个三角形的三条边长得c≥a+b=2a，所以 ，则 ．
令f（x）=ax+bx﹣cx= ．
得 ，所以 ．
又∵ ＞1，则ln ＞0，所以x= ＞0，
所以0＜x≤1．
故答案为{x|0＜x≤1}；
（2）①因为 ，
又 ，
所以对 x∈（﹣∞，1）， ．
所以命题①正确；
②令x=﹣1，a=2，b=4，c=5．则ax= ，bx= ，cx= ．不能构成一个三角形的三条边长．
所以命题②正确；
③若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．
f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．
所以 x∈（1，2），使f（x）=0．
所以命题③正确．
故答案为①②③．
【分析】（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得 的范围，解出函数f（x）=ax+bx﹣cx的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；（2）对于①，把函数式f（x）=ax+bx﹣cx变形为 ，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．
17．【答案】（1）解：∵f（x）= sinx﹣ cosx+ cosx+ sinx= sinx，
所以f（α）= sinα= ，所以sinα= ．
又α∈（0， ），所以cosα= ，
所以g（α）=2sin2 =1﹣cosα= ．
（2）解：由f（x）≥g（x）得 sinx≥1﹣cosx，
所以 sinx+ cosx=sin（x+ ）≥ ．
解2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+ ，k∈z，
所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+ 〕k∈z．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）= ，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2 =1﹣cosα的值．（2）由不等式可得 sin（x+ ）≥ ，解不等式 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ，k∈z，求得x的取值集合．
18．【答案】（1）解：所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 =36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为 = ；
（2）解：先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列
∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）
∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3
由P（X=k）= 得P（X=1）= ，P（X=2）= ，P（X=3）= = ，P（X=4）= =
∴所求的分布列为
Y 51 48 45 42
P
数学期望为E（Y）=51× +48× +45× +42× =46
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（2）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．
19．【答案】（1）证明：∵BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴AC⊥BB1，
又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线
∴AC⊥平面BB1D，
∵B1D 平面BB1D，∴AC⊥B1D；
（2）解：∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，
由此可得：直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成
的角（记为θ），连接A1D，
∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，
∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1 平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1
又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D
∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，
由（1）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，
∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB
因此， ，可得AB= =
连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，
∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=
在Rt△AB1D中，cos∠ADB1= = = ，
即cos（90°﹣θ）=sinθ= ，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；（2）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB= ，最后在Rt△AB1D中算出B1D= ，可得cos∠ADB1= ，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．
20．【答案】（1）解：设点P的坐标为（x，y），则
点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；
（2）解：由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值
①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|
∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24
∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24
∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21
∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21
∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；
②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|
此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21
由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立
综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
【知识点】根据实际问题选择函数类型；绝对值三角不等式
【解析】【分析】（1）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；（2）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．
21．【答案】（1）解：由题意，抛物线E的焦点为 ，直线l1的方程为 ．
由 ，得 ．
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．
从而x1+x2=2pk1， ．
所以点M的坐标为 ， ．
同理可得点N的坐标为 ， ．
于是 ．
由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜ ．
故 ．
（2）解：由抛物线的定义得 ， ，
所以 ，从而圆M的半径 ．
故圆M的方程为 ，
化简得 ．
同理可得圆N的方程为
于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为 ．
又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．
因为p＞0，所以点M到直线l的距离为
= ．
故当 时，d取最小值 ．由题设 ，解得p=8．
故所求抛物线E的方程为x2=16y．
【知识点】平面向量的数量积运算；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量 和 的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（2）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（1）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于 求出p的值，则抛物线E的方程可求．
22．【答案】（1）解：当0≤x≤a时， ；当x＞a时，
∴当0≤x≤a时， ，f（x）在（0，a）上单调递减；
当x＞a时， ，f（x）在（a，+∞）上单调递增．
①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=
②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增
∴g（a）=max{f（0），f（4）}
∵f（0）﹣f（4）= =
∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）= ；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）= ，
综上所述，g（a）= ；
（2）解：由（1）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；
当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在
两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1
∴ =﹣1
∴①
∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），
∴x1+2a∈（2a，3a）， ∈（ ，1）
∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（ ，1）的交集非空
∵ ，∴当且仅当0＜2a＜1，即 时，A∩B≠
综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0， ）．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（2）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．
1 / 12013年高考理数真题试卷（湖南卷）
一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2013·湖南理）复数z=i （1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：z=i （1+i）=﹣1+i，
故复数z对应的点为（﹣1，1），
在复平面的第二象限，
故选B．
【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．
2．（2013·湖南理）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
【答案】D
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．
故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．
故选：D．
【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．
3．（2013·湖南理）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB= b，则角A等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，2asinB= b，
∴由正弦定理 = =2R得：2sinAsinB= sinB，
∴sinA= ，又△ABC为锐角三角形，
∴A= ．
故选D．
【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．
4．（2013·湖南理）若变量x，y满足约束条件 ，则x+2y的最大值是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组 表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣ ，﹣1），B（ ， ），C（2，﹣1）
设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（ ， ）=
故选：C
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x= ，y= 时，x+2y取得最大值为 ．
5．（2013·湖南理）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图：
由图可知，两个函数图象共有2个交点
故选B．
【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．
6．（2013·湖南理）已知 ， 是单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：令 ， ， ，
如图所示：则 ，
又 ，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，
易知点C与O、D共线时 达到最值，最大值为 +1，最小值为 ﹣1，
所以 的取值范围为[ ﹣1， +1]．
故选A．
【分析】令 ， ， ，作出图象，根据图象可求出 的最大值、最小值．
7．（2013·湖南理）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为 ．
因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为 ．
因此可知：A，B，D皆有可能，而 ＜1，故C不可能．
故选C．
【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为 即可得出．
8．（2013·湖南理）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：建立如图所示的坐标系：
可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，
△ABC的重心为（ ， ），设P（a，0），其中0＜a＜4，
则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足 ，
解得 ，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率为k= = ，故直线QR的方程为y= （x+a），
由于直线QR过△ABC的重心（ ， ），代入化简可得3a2﹣4a=0，
解得a= ，或a=0（舍去），故P（ ，0），故AP=
故选D
【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．
二、填空题
9．（2013·湖南理）在平面直角坐标系xOy中，若直线l： ，（t为参数）过椭圆C： （θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 ．
【答案】3
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：由直线l： ，得y=x﹣a，
再由椭圆C： ，得 ，
①2+②2得， ．
所以椭圆C： 的右顶点为（3，0）．
因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．
故答案为3．
【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．
10．（2013·湖南理）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为 ．
【答案】12
【知识点】柯西不等式的几何意义
【解析】【解答】解：∵a+2b+3c=6，
∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]
化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）
∴a2+4b2+9c2≥12，
当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c= 时等号成立
由此可得：当且仅当a=2，b=1，c= 时，a2+4b2+9c2的最小值为12
故答案为：12
【分析】根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c= 时，a2+4b2+9c2的最小值为12．
11．（2013·湖南理）如图，在半径为 的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为 ．
【答案】
【知识点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，
∴2×2=CP 1，
解得：CP=4，又PD=1，
∴CD=5，
又⊙O的半径为 ，
则圆心O到弦CD的距离为d= = = ．
故答案为： ．
【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率．
12．（2013·湖南理）若 ，则常数T的值为 ．
【答案】3
【知识点】定积分
【解析】【解答】解： = =9，解得T=3，
故答案为：3．
【分析】利用微积分基本定理即可求得．
13．（2013·湖南理）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为 ．
【答案】9
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：
是否继续循环 a b
循环前/1 2
第一圈 是 3 2
第二圈 是 5 2
第三圈 是 7 2
第四圈 是 9 2
第五圈 否
故最终输出的a值为9．
故答案为：9．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．
14．（2013·湖南理）设F1，F2是双曲线C： （a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，
不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a
所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，
∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，
∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，
即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a× ，
∴c2﹣2 ca+3a2=0，
∴c= a
所以e= = ．
故答案为： ．
【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．
15．（2013·湖南理）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）nan﹣ ，n∈N*，则
①a3= ；
②S1+S2+…+S100= ．
【答案】﹣ ；
【知识点】数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】解：由 ，n∈N*，
当n=1时，有 ，得 ．
当n≥2时， ．
即 ．
若n为偶数，则 ．
所以 （n为正奇数）；
若n为奇数，则 = ．
所以 （n为正偶数）．
所以① ．
故答案为﹣ ；
②因为 （n为正奇数），所以﹣ ，
又 （n为正偶数），所以 ．
则 ．
， ．
则 ．
…
．
所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100
=
=
=
= ．
故答案为 ．
【分析】①把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式 ．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；②把①中求出的数列的通项公式代入 ，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．
16．（2013·湖南理）设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为 ．
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
① x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；
② x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则 x∈（1，2），使f（x）=0．
【答案】（1）{x|0＜x≤1}
（2）①②③
【知识点】命题的真假判断与应用；进行简单的合情推理；函数的零点
【解析】【解答】解：（1）因为c＞a，由a，b，c不能构成一个三角形的三条边长得c≥a+b=2a，所以 ，则 ．
令f（x）=ax+bx﹣cx= ．
得 ，所以 ．
又∵ ＞1，则ln ＞0，所以x= ＞0，
所以0＜x≤1．
故答案为{x|0＜x≤1}；
（2）①因为 ，
又 ，
所以对 x∈（﹣∞，1）， ．
所以命题①正确；
②令x=﹣1，a=2，b=4，c=5．则ax= ，bx= ，cx= ．不能构成一个三角形的三条边长．
所以命题②正确；
③若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．
f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．
所以 x∈（1，2），使f（x）=0．
所以命题③正确．
故答案为①②③．
【分析】（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得 的范围，解出函数f（x）=ax+bx﹣cx的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；（2）对于①，把函数式f（x）=ax+bx﹣cx变形为 ，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．
三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2013·湖南理）已知函数f（x）=sin（x﹣ ）+cos（x﹣ ），g（x）=2sin2 ．
（1）若α是第一象限角，且f（α）= ，求g（α）的值；
（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．
【答案】（1）解：∵f（x）= sinx﹣ cosx+ cosx+ sinx= sinx，
所以f（α）= sinα= ，所以sinα= ．
又α∈（0， ），所以cosα= ，
所以g（α）=2sin2 =1﹣cosα= ．
（2）解：由f（x）≥g（x）得 sinx≥1﹣cosx，
所以 sinx+ cosx=sin（x+ ）≥ ．
解2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+ ，k∈z，
所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+ 〕k∈z．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）= ，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2 =1﹣cosα的值．（2）由不等式可得 sin（x+ ）≥ ，解不等式 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ，k∈z，求得x的取值集合．
18．（2013·湖南理）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；
（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 =36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为 = ；
（2）解：先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列
∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）
∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3
由P（X=k）= 得P（X=1）= ，P（X=2）= ，P（X=3）= = ，P（X=4）= =
∴所求的分布列为
Y 51 48 45 42
P
数学期望为E（Y）=51× +48× +45× +42× =46
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（2）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．
19．（2013·湖南理）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．
（1）证明：AC⊥B1D；
（2）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明：∵BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴AC⊥BB1，
又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线
∴AC⊥平面BB1D，
∵B1D 平面BB1D，∴AC⊥B1D；
（2）解：∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，
由此可得：直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成
的角（记为θ），连接A1D，
∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，
∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1 平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1
又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D
∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，
由（1）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，
∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB
因此， ，可得AB= =
连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，
∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=
在Rt△AB1D中，cos∠ADB1= = = ，
即cos（90°﹣θ）=sinθ= ，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；（2）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB= ，最后在Rt△AB1D中算出B1D= ，可得cos∠ADB1= ，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．
20．（2013·湖南理）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．
（1）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（2）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
【答案】（1）解：设点P的坐标为（x，y），则
点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；
（2）解：由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值
①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|
∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24
∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24
∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21
∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21
∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；
②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|
此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21
由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立
综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
【知识点】根据实际问题选择函数类型；绝对值三角不等式
【解析】【分析】（1）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；（2）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．
21．（2013·湖南理）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（1）若k1＞0，k2＞0，证明： ；
（2）若点M到直线l的距离的最小值为 ，求抛物线E的方程．
【答案】（1）解：由题意，抛物线E的焦点为 ，直线l1的方程为 ．
由 ，得 ．
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．
从而x1+x2=2pk1， ．
所以点M的坐标为 ， ．
同理可得点N的坐标为 ， ．
于是 ．
由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜ ．
故 ．
（2）解：由抛物线的定义得 ， ，
所以 ，从而圆M的半径 ．
故圆M的方程为 ，
化简得 ．
同理可得圆N的方程为
于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为 ．
又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．
因为p＞0，所以点M到直线l的距离为
= ．
故当 时，d取最小值 ．由题设 ，解得p=8．
故所求抛物线E的方程为x2=16y．
【知识点】平面向量的数量积运算；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量 和 的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（2）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（1）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于 求出p的值，则抛物线E的方程可求．
22．（2013·湖南理）已知a＞0，函数 ．
（1）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
（2）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当0≤x≤a时， ；当x＞a时，
∴当0≤x≤a时， ，f（x）在（0，a）上单调递减；
当x＞a时， ，f（x）在（a，+∞）上单调递增．
①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=
②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增
∴g（a）=max{f（0），f（4）}
∵f（0）﹣f（4）= =
∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）= ；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）= ，
综上所述，g（a）= ；
（2）解：由（1）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；
当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在
两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1
∴ =﹣1
∴①
∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），
∴x1+2a∈（2a，3a）， ∈（ ，1）
∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（ ，1）的交集非空
∵ ，∴当且仅当0＜2a＜1，即 时，A∩B≠
综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0， ）．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（2）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．
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