2013年高考理数真题试卷（江西卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2013·江西理）已知集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=（ ）
A．﹣2i B．2i C．﹣4i D．4i
2．（2013·江西理）函数y= ln（1﹣x）的定义域为（ ）
A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1] D．[0，1]
3．（2013·江西理）等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（ ）
A．﹣24 B．0 C．12 D．24
4．（2013·江西理）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．07 C．02 D．01
5．（2013·江西理）（x2﹣ ）5的展开式中的常数项为（ ）
A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40
6．（2013·江西理）若S1= x2dx，S2= dx，S3= exdx，则S1，S2，S3的大小关系为（ ）
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1
7．（2013·江西理）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（ ）
A．S=2*i﹣2 B．S=2*i﹣1 C．S=2*I D．S=2*i+4
8．（2013·江西理）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．（2013·江西理）过点（ ）引直线l与曲线y= 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（ ）
A． B．- C． D．
10．（2013·江西理）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1 ， l2之间，l∥l1 ， l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧
的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2 ， 则函数y=f（x）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、第Ⅱ卷填空题
11．（2013·江西理）函数y= 最小正周期T为 ．
12．（2013·江西理）设 ， 为单位向量．且 、 的夹角为 ，若 = +3 ， =2 ，则向量 在 方向上的射影为 ．
13．（2013·江西理）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，则f′（1）= ．
14．（2013·江西理）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 =1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p= ．
三、第Ⅱ卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分．
15．（2013·江西理）（坐标系与参数方程选做题）
设曲线C的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为 ．
16．（2013·江西理）（不等式选做题）
在实数范围内，不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集为 ．
四、第Ⅱ卷解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2013·江西理）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣ sinA）cosB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围．
18．（2013·江西理）正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）令b ，数列{bn}的前n项和为Tn．证明：对于任意n∈N*，都有 ．
19．（2013·江西理）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．
20．（2013·江西理）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA= ，连接CE并延长交AD于F
（1）求证：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
21．（2013·江西理）如图，椭圆C： 经过点P（1， ），离心率e= ，直线l的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
22．（2013·江西理）已知函数f（x）= ，a为常数且a＞0．
（1）f（x）的图象关于直线x= 对称；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；
（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：根据题意得：zi=4，
解得：z=﹣4i．
故选C
【分析】根据两集合的交集中的元素为4，得到zi=4，即可求出z的值．
2．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意，自变量满足 ，解得0≤x＜1，即函数y= 的定义域为[0，1）
故选B
【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组 ，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项
3．【答案】A
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：由于 x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=﹣3，
故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24，
故选A．
【分析】由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．
4．【答案】D
【知识点】简单随机抽样
【解析】【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，
第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，
第三个数为08，符合条件，
以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，
故第5个数为01．
故选：D．
【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．
5．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：设（ ）5展开式中的通项为Tr+1，
则Tr+1= x2（5﹣r） （﹣2）r x﹣3r=（﹣2）r x10﹣5r，
令10﹣5r=0得r=2，
∴（ ）5展开式中的常数项为（﹣2）2× =4×10=40．
故选C．
【分析】利用（ ）5展开式中的通项公式Tr+1= x2（5﹣r） （﹣2）r x﹣3r，令x的幂指数为0，求得r的值，即可求得（ ）5展开式中的常数项．
6．【答案】B
【知识点】微积分基本定理
【解析】【解答】解：由于S1= x2dx= | = ，
S2= dx=lnx| =ln2，
S3= exdx=ex| =e2﹣e．
且ln2＜ ＜e2﹣e，则S2＜S1＜S3．
故选：B．
【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．
7．【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I时，
程序在运行过程中各变量的值如下表示：
i S 是否继续循环
循环前1 0/
第一圈 2 5 是
第二圈 3 6 是
第三圈 4 9 是
第四圈 5 10 否
故输出的i值为：5，符合题意．
故选C．
【分析】题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案．
8．【答案】A
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】解：由题意可知直线CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以m=4，
直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8．
故选A．
【分析】判断CE与EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，求出m+n的值．
9．【答案】B
【知识点】直线的斜率；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由y= ，得x2+y2=1（y≥0）．
所以曲线y= 表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），
设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，
则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0= ，即 ．
则原点O到l的距离d= ，l被半圆截得的半弦长为 ．
则 =
= = ．
令 ，则 ，当 ，即 时，S△ABO有最大值为 ．
此时由 ，解得k=﹣ ．
故答案为B．
【分析】由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．
10．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=
；
当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×
=2
；
当x=
时，∠FOG=
，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=
，
在正△AED中，AE=ED=DA=1，
∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×
﹣2×1=2
﹣2．如图．
又当x=
时，图中y0=
+
（2
﹣
）=
＞2
﹣2．
故当x=
时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．
故选D．
【分析】由题意可知：随着l从l1平行移动到l2 ， y=EB+BC+CD越来越大，考查几个特殊的情况，计算出相应的函数值y，结合考查选项可得答案．
11．【答案】π
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：y=sin2x+2 × =sin2x﹣ cos2x+ =2（ sin2x﹣ cos2x）+ =2sin（2x﹣ ）+ ，
∵ω=2，∴T=π．
故答案为：π
【分析】函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期．
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵ 、 为单位向量，且 和 的夹角θ等于 ，∴ =1×1×cos = ．
∵ = +3 ， =2 ，∴ =（ +3 ） （2 ）=2 +6 =2+3=5．
∴ 在 上的射影为 = ，
故答案为 ．
【分析】根据题意求得 的值，从而求得 的值，再根据 在 上的射影为 ，运算求得结果．
13．【答案】2
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，
令ex=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，
∴f′（x）= +1，故f′（1）=1+1=2．
故答案为：2．
【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．
14．【答案】6
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为（0， ），准线方程为：y=﹣ ，
准线方程与双曲线联立可得： ，
解得x=± ，
因为△ABF为等边三角形，所以 ，即p2=3x2，
即 ，解得p=6．
故答案为：6．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．
15．【答案】ρcos2θ﹣sinθ=0
【知识点】简单曲线的极坐标方程；抛物线的参数方程
【解析】【解答】解：由 （t为参数），得y=x2，
令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入并整理得ρcos2θ﹣sinθ=0．
即曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣sinθ=0．
故答案为：ρcos2θ﹣sinθ=0．
【分析】先求出曲线C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得极坐标方程．
16．【答案】[0，4]
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集，就是﹣1≤|x﹣2|﹣1≤1的解集，也就是0≤|x﹣2|≤2的解集，
0≤|x﹣2|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0≤x≤4．
所以不等式的解集为[0，4]．
故答案为：[0，4]．
【分析】利用绝对值不等式的等价形式，利用绝对值不等式几何意义求解即可．
17．【答案】（1）解：由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣ sinAcosB=0，
即sinAsinB﹣ sinAcosB=0，
∵sinA≠0，∴sinB﹣ cosB=0，即tanB= ，
又B为三角形的内角，
则B=
（2）解：∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB= ，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣ ）2+ ，
∵0＜a＜1，∴ ≤b2＜1，
则 ≤b＜1
【知识点】两角和与差的余弦公式；余弦定理
【解析】【分析】（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围．
18．【答案】（1）解：由Sn2
可得，[ ]（Sn+1）=0
∵正项数列{an}，Sn＞0
∴Sn=n2+n
于是a1=S1=2
n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n，而n=1时也适合
∴an=2n
（2）解：证明：由b = =
∴
=
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由Sn2 可求sn，然后利用a1=s1，n≥2时，an=sn﹣sn﹣1可求an（2）由b = = ，利用裂项求和可求Tn，利用放缩法即可证明
19．【答案】（1）解：从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有 =28种
X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形
所以小波参加学校合唱团的概率P（X=0）= =
（2）解：两向量数量积的所有可能情形有﹣2，﹣1，0，1
X=﹣2时有2种情形
X=1时有8种情形
X=﹣1时，有10种情形
X的分布列为：
X ﹣2 ﹣1 0 1
P
EX= =
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而X=0时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值
20．【答案】（1）解：∵在△DAB中，E为BD的中点，EA=EB=AB=1，
∴AE= BD，可得∠BAD= ，且∠ABE=∠AEB=
∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=
∴∠EDA=∠EAD= ，可得EF⊥AD，AF=FD
又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∵AD 平面ABCD，∴FG⊥AD
又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线，∴AD⊥平面CFG
（2）解：以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得
A（0，0，0），B（1，0，0），C（ ， ，0），D（0， ，0），P（0，0， ）
∴ =（ ， ，0）， =（﹣ ，﹣ ， ）， =（﹣ ， ，0）
设平面BCP的法向量 =（1，y1，z1），则
解得y1=﹣ ，z1= ，可得 =（1，﹣ ， ），
设平面DCP的法向量 =（1，y2，z2），则
解得y2= ，z2=2，可得 =（1， ，2），
∴cos＜ ， ＞= = =
因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于﹣cos＜ ， ＞=﹣ ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用直角三角形的判定得到∠BAD= ，且∠ABE=∠AEB= ．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠FEA= ，所以EF⊥AD且AF=FD，结合题意得到FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA，根据PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，得到A、B、C、D、P的坐标，从而得到 、 、 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出 =（1，﹣ ， ）和 =（1， ，2）分别为平面BCP、平面DCP的法向量，利用空间向量的夹角公式算出 、 夹角的余弦，即可得到平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
21．【答案】（1）解：椭圆C： 经过点P （1， ），可得 ①
由离心率e= 得 = ，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=
故椭圆的方程为
（2）解：方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③
代入椭圆方程 并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
x1+x2= ， ④
在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），
从而 ， ， =k﹣
注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有 = =k
所以k1+k2= + = + ﹣ （ + ）
=2k﹣ × ⑤
④代入⑤得k1+k2=2k﹣ × =2k﹣1
又k3=k﹣ ，所以k1+k2=2k3
故存在常数λ=2符合题意
方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为
令x=4，求得M（4， ）
从而直线PM的斜率为k3= ，
联立 ，得A（ ， ），
则直线PA的斜率k1= ，直线PB的斜率为k2=
所以k1+k2= + =2× =2k3，
故存在常数λ=2符合题意
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由题意将点P （1， ）代入椭圆的方程，得到 ，再由离心率为e= ，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2= ， ，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为 ，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值
22．【答案】（1）证明：∵ = =a（1﹣2|x|）， =a（1﹣2|x|），
∴ ，∴f（x）的图象关于直线x= 对称
（2）解：当 时，有f（f（x））= ．
∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．
当 时，有f（f（x））= ．
∴f（f（x））=x有解集，{x|x }，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．
当 时，有f（f（x））= ，
∴f（f（x））=x有四个解：0， ， ， ．
由f（0）=0， ， ， ．
故只有 ， 是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为
（3）解：由（2）得 ， ．
∵x2为函数f（x）的最大值点，∴ ，或 ．
当 时，S（a）= | ﹣ |= ．
求导得：S′（a）= ．
∴当 时，S（a）单调递增，当 时，S（a）单调递减．
当 时，S（a）= ，求导得 ．
∵ ，从而有 ．
∴当 时，S（a）单调递增
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的值；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）只要证明 成立即可；（2）对a分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出；（3）由（2）得出x3，得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性．
1 / 12013年高考理数真题试卷（江西卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2013·江西理）已知集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=（ ）
A．﹣2i B．2i C．﹣4i D．4i
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：根据题意得：zi=4，
解得：z=﹣4i．
故选C
【分析】根据两集合的交集中的元素为4，得到zi=4，即可求出z的值．
2．（2013·江西理）函数y= ln（1﹣x）的定义域为（ ）
A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1] D．[0，1]
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意，自变量满足 ，解得0≤x＜1，即函数y= 的定义域为[0，1）
故选B
【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组 ，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项
3．（2013·江西理）等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（ ）
A．﹣24 B．0 C．12 D．24
【答案】A
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：由于 x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=﹣3，
故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24，
故选A．
【分析】由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．
4．（2013·江西理）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．07 C．02 D．01
【答案】D
【知识点】简单随机抽样
【解析】【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，
第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，
第三个数为08，符合条件，
以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，
故第5个数为01．
故选：D．
【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．
5．（2013·江西理）（x2﹣ ）5的展开式中的常数项为（ ）
A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：设（ ）5展开式中的通项为Tr+1，
则Tr+1= x2（5﹣r） （﹣2）r x﹣3r=（﹣2）r x10﹣5r，
令10﹣5r=0得r=2，
∴（ ）5展开式中的常数项为（﹣2）2× =4×10=40．
故选C．
【分析】利用（ ）5展开式中的通项公式Tr+1= x2（5﹣r） （﹣2）r x﹣3r，令x的幂指数为0，求得r的值，即可求得（ ）5展开式中的常数项．
6．（2013·江西理）若S1= x2dx，S2= dx，S3= exdx，则S1，S2，S3的大小关系为（ ）
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1
【答案】B
【知识点】微积分基本定理
【解析】【解答】解：由于S1= x2dx= | = ，
S2= dx=lnx| =ln2，
S3= exdx=ex| =e2﹣e．
且ln2＜ ＜e2﹣e，则S2＜S1＜S3．
故选：B．
【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．
7．（2013·江西理）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（ ）
A．S=2*i﹣2 B．S=2*i﹣1 C．S=2*I D．S=2*i+4
【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I时，
程序在运行过程中各变量的值如下表示：
i S 是否继续循环
循环前1 0/
第一圈 2 5 是
第二圈 3 6 是
第三圈 4 9 是
第四圈 5 10 否
故输出的i值为：5，符合题意．
故选C．
【分析】题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案．
8．（2013·江西理）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】解：由题意可知直线CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以m=4，
直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8．
故选A．
【分析】判断CE与EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，求出m+n的值．
9．（2013·江西理）过点（ ）引直线l与曲线y= 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（ ）
A． B．- C． D．
【答案】B
【知识点】直线的斜率；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由y= ，得x2+y2=1（y≥0）．
所以曲线y= 表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），
设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，
则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0= ，即 ．
则原点O到l的距离d= ，l被半圆截得的半弦长为 ．
则 =
= = ．
令 ，则 ，当 ，即 时，S△ABO有最大值为 ．
此时由 ，解得k=﹣ ．
故答案为B．
【分析】由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．
10．（2013·江西理）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1 ， l2之间，l∥l1 ， l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧
的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2 ， 则函数y=f（x）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=
；
当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×
=2
；
当x=
时，∠FOG=
，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=
，
在正△AED中，AE=ED=DA=1，
∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×
﹣2×1=2
﹣2．如图．
又当x=
时，图中y0=
+
（2
﹣
）=
＞2
﹣2．
故当x=
时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．
故选D．
【分析】由题意可知：随着l从l1平行移动到l2 ， y=EB+BC+CD越来越大，考查几个特殊的情况，计算出相应的函数值y，结合考查选项可得答案．
二、第Ⅱ卷填空题
11．（2013·江西理）函数y= 最小正周期T为 ．
【答案】π
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：y=sin2x+2 × =sin2x﹣ cos2x+ =2（ sin2x﹣ cos2x）+ =2sin（2x﹣ ）+ ，
∵ω=2，∴T=π．
故答案为：π
【分析】函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期．
12．（2013·江西理）设 ， 为单位向量．且 、 的夹角为 ，若 = +3 ， =2 ，则向量 在 方向上的射影为 ．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵ 、 为单位向量，且 和 的夹角θ等于 ，∴ =1×1×cos = ．
∵ = +3 ， =2 ，∴ =（ +3 ） （2 ）=2 +6 =2+3=5．
∴ 在 上的射影为 = ，
故答案为 ．
【分析】根据题意求得 的值，从而求得 的值，再根据 在 上的射影为 ，运算求得结果．
13．（2013·江西理）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，则f′（1）= ．
【答案】2
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，
令ex=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，
∴f′（x）= +1，故f′（1）=1+1=2．
故答案为：2．
【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．
14．（2013·江西理）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 =1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p= ．
【答案】6
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为（0， ），准线方程为：y=﹣ ，
准线方程与双曲线联立可得： ，
解得x=± ，
因为△ABF为等边三角形，所以 ，即p2=3x2，
即 ，解得p=6．
故答案为：6．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．
三、第Ⅱ卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分．
15．（2013·江西理）（坐标系与参数方程选做题）
设曲线C的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为 ．
【答案】ρcos2θ﹣sinθ=0
【知识点】简单曲线的极坐标方程；抛物线的参数方程
【解析】【解答】解：由 （t为参数），得y=x2，
令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入并整理得ρcos2θ﹣sinθ=0．
即曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣sinθ=0．
故答案为：ρcos2θ﹣sinθ=0．
【分析】先求出曲线C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得极坐标方程．
16．（2013·江西理）（不等式选做题）
在实数范围内，不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集为 ．
【答案】[0，4]
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集，就是﹣1≤|x﹣2|﹣1≤1的解集，也就是0≤|x﹣2|≤2的解集，
0≤|x﹣2|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0≤x≤4．
所以不等式的解集为[0，4]．
故答案为：[0，4]．
【分析】利用绝对值不等式的等价形式，利用绝对值不等式几何意义求解即可．
四、第Ⅱ卷解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2013·江西理）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣ sinA）cosB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围．
【答案】（1）解：由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣ sinAcosB=0，
即sinAsinB﹣ sinAcosB=0，
∵sinA≠0，∴sinB﹣ cosB=0，即tanB= ，
又B为三角形的内角，
则B=
（2）解：∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB= ，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣ ）2+ ，
∵0＜a＜1，∴ ≤b2＜1，
则 ≤b＜1
【知识点】两角和与差的余弦公式；余弦定理
【解析】【分析】（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围．
18．（2013·江西理）正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）令b ，数列{bn}的前n项和为Tn．证明：对于任意n∈N*，都有 ．
【答案】（1）解：由Sn2
可得，[ ]（Sn+1）=0
∵正项数列{an}，Sn＞0
∴Sn=n2+n
于是a1=S1=2
n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n，而n=1时也适合
∴an=2n
（2）解：证明：由b = =
∴
=
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由Sn2 可求sn，然后利用a1=s1，n≥2时，an=sn﹣sn﹣1可求an（2）由b = = ，利用裂项求和可求Tn，利用放缩法即可证明
19．（2013·江西理）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有 =28种
X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形
所以小波参加学校合唱团的概率P（X=0）= =
（2）解：两向量数量积的所有可能情形有﹣2，﹣1，0，1
X=﹣2时有2种情形
X=1时有8种情形
X=﹣1时，有10种情形
X的分布列为：
X ﹣2 ﹣1 0 1
P
EX= =
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而X=0时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值
20．（2013·江西理）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA= ，连接CE并延长交AD于F
（1）求证：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
【答案】（1）解：∵在△DAB中，E为BD的中点，EA=EB=AB=1，
∴AE= BD，可得∠BAD= ，且∠ABE=∠AEB=
∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=
∴∠EDA=∠EAD= ，可得EF⊥AD，AF=FD
又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∵AD 平面ABCD，∴FG⊥AD
又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线，∴AD⊥平面CFG
（2）解：以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得
A（0，0，0），B（1，0，0），C（ ， ，0），D（0， ，0），P（0，0， ）
∴ =（ ， ，0）， =（﹣ ，﹣ ， ）， =（﹣ ， ，0）
设平面BCP的法向量 =（1，y1，z1），则
解得y1=﹣ ，z1= ，可得 =（1，﹣ ， ），
设平面DCP的法向量 =（1，y2，z2），则
解得y2= ，z2=2，可得 =（1， ，2），
∴cos＜ ， ＞= = =
因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于﹣cos＜ ， ＞=﹣ ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用直角三角形的判定得到∠BAD= ，且∠ABE=∠AEB= ．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠FEA= ，所以EF⊥AD且AF=FD，结合题意得到FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA，根据PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，得到A、B、C、D、P的坐标，从而得到 、 、 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出 =（1，﹣ ， ）和 =（1， ，2）分别为平面BCP、平面DCP的法向量，利用空间向量的夹角公式算出 、 夹角的余弦，即可得到平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
21．（2013·江西理）如图，椭圆C： 经过点P（1， ），离心率e= ，直线l的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：椭圆C： 经过点P （1， ），可得 ①
由离心率e= 得 = ，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=
故椭圆的方程为
（2）解：方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③
代入椭圆方程 并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
x1+x2= ， ④
在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），
从而 ， ， =k﹣
注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有 = =k
所以k1+k2= + = + ﹣ （ + ）
=2k﹣ × ⑤
④代入⑤得k1+k2=2k﹣ × =2k﹣1
又k3=k﹣ ，所以k1+k2=2k3
故存在常数λ=2符合题意
方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为
令x=4，求得M（4， ）
从而直线PM的斜率为k3= ，
联立 ，得A（ ， ），
则直线PA的斜率k1= ，直线PB的斜率为k2=
所以k1+k2= + =2× =2k3，
故存在常数λ=2符合题意
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由题意将点P （1， ）代入椭圆的方程，得到 ，再由离心率为e= ，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2= ， ，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为 ，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值
22．（2013·江西理）已知函数f（x）= ，a为常数且a＞0．
（1）f（x）的图象关于直线x= 对称；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；
（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．
【答案】（1）证明：∵ = =a（1﹣2|x|）， =a（1﹣2|x|），
∴ ，∴f（x）的图象关于直线x= 对称
（2）解：当 时，有f（f（x））= ．
∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．
当 时，有f（f（x））= ．
∴f（f（x））=x有解集，{x|x }，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．
当 时，有f（f（x））= ，
∴f（f（x））=x有四个解：0， ， ， ．
由f（0）=0， ， ， ．
故只有 ， 是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为
（3）解：由（2）得 ， ．
∵x2为函数f（x）的最大值点，∴ ，或 ．
当 时，S（a）= | ﹣ |= ．
求导得：S′（a）= ．
∴当 时，S（a）单调递增，当 时，S（a）单调递减．
当 时，S（a）= ，求导得 ．
∵ ，从而有 ．
∴当 时，S（a）单调递增
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的值；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）只要证明 成立即可；（2）对a分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出；（3）由（2）得出x3，得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性．
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