2013年高考理数真题试卷（山东卷）
一、选择题
1．（2013·山东理）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数 为（ ）
A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i
【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，
∴z﹣3= =2+i
∴z=5+i，
∴ =5﹣i．
故选D．
【分析】利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数 ．
2．（2013·山东理）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【答案】C
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【解答】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，
∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；
当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；
当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；
∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．
故选C．
【分析】依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案．
3．（2013·山东理）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时， ，则f（﹣1）=（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+ ，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
故选A．
【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．
4．（2013·山东理）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图所示，
∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，
∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．
∵ = = ．
∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1= = ，解得 ．
又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴ = =1，
在Rt△AA1P中， ，
∴ ．
故选B．
【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1= 即可得出．
5．（2013·山东理）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（ ）
A． B． C．0 D．-
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），
则f（x+ ）=sin[2（x+ ）+φ]=sin（2x+ +φ），
∵f（x+ ）为偶函数，
∴ +φ=kπ+ ，
∴φ=kπ+ ，k∈Z，
∴当k=0时，φ= ．
故φ的一个可能的值为 ．
故选B．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移 个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．
6．（2013·山东理）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（ ）
A．2 B．1 C．- D．-
【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：不等式组 表示的区域如图，
当M取得点A（3，﹣1）时，
z直线OM斜率取得最小，最小值为
k= =﹣ ．
故选C．
【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．
7．（2013·山东理）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：∵ p是q的必要而不充分条件，
∴q是 p的充分不必要条件，即q p，但 p不能 q，
其逆否命题为p q，但 q不能 p，
则p是 q的充分不必要条件．
故选A．
【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是 p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．
8．（2013·山东理）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，
由当x= 时， ，
当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．
由此可排除选项A和选项C．
故正确的选项为D．
故选D．
【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．
9．（2013·山东理）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0
【答案】A
【知识点】直线的一般式方程；圆的切线方程
【解析】【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．
故选A．
【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．
10．（2013·山东理）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．243 B．252 C．261 D．279
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，
其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，
所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．
故选B．
【分析】求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．
11．（2013·山东理）抛物线C1： 的焦点与双曲线C2： 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由 ，得x2=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（ ）．
由 ，得 ， ．
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为 ，
即 ①．
设该直线交抛物线于M（ ），则C1在点M处的切线的斜率为 ．
由题意可知 ，得 ，代入M点得M（ ）
把M点代入①得： ．
解得p= ．
故选：D．
【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数 在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．
12．（2013·山东理）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当 取得最大值时， 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．3
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，
∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，
∴ = = ≤ =1（当且仅当x=2y时取“=”），
∴ =1，此时，x=2y．
∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，
∴ = =﹣ +1≤1，当且仅当y=1时取得“=”，满足题意．
∴ 的最大值为1．
故选B．
【分析】依题意，当 取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）= ，利用配方法即可求得其最大值．
二、填空题
13．（2013·山东理）执行右面的程序框图，若输入的 值为0.25，则输出的n值为 ．
【答案】3
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：循环前，F0=1，F1=2，n=1，
第一次循环，F0=1，F1=3，n=2，
第二次循环，F0=2，F1=4，n=3，
此时 ，满足条件 ，退出循环，输出n=3，
故答案为：3．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出n的值．
14．（2013·山东理）在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概型；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．
由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1 可得 ① ，或② ，
③ ．
解①可得x∈ ，解②可得1≤x＜2，解③可得 x≥2．
故原不等式的解集为{x|x≥1}，
∴|在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为P= = ．
故答案为：
【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣3，3]的长度求比值即得．
15．（2013·山东理）已知向量 与 的夹角为120°，且| |=3，| |=2．若 =λ + ，且 ⊥ ，则实数λ= ．
【答案】
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
因为 ，
所以 ，
所以
=
=
=﹣12λ+7=0
解得λ= ．
故答案为： ．
【分析】利用 ， ，表示 向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．
16．（2013·山东理）定义“正对数”：ln+x= ，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a；
②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；
③若a＞0，b＞0，则 ；
④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）
【答案】①③④
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：（1）对于①，由定义，当a≥1时，ab≥1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（ab）=bln+a；当a＜1时，ab＜1，故ln+（ab）=0，又a＜1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（ab）=bln+a，故①正确；
（2）对于②，此命题不成立，可令a=2，b= ，则ab= ，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b，故②错误；
（3）对于③，
i． ≥1时，此时 ≥0，
当a≥b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb= ，此时则 ，命题成立；
当a＞1＞b＞0时，ln+a﹣ln+b=lna，此时 ， ＞lna，则 ，命题成立；
当1＞a≥b＞0时，ln+a﹣ln+b=0， 成立；
ii． ＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；
（4）对于④，
当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），
∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0，
∴a+b≤2ab，
∴ln（a+b）＜ln（2ab），
∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
当a＞1，0＜b＜1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a），
∵a+b﹣2a=b﹣a≤0，
∴a+b≤2a，
∴ln（a+b）＜ln（2a），
∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
当b＞1，0＜a＜1时，同理可证ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
当0＜a＜1，0＜b＜1时，可分a+b≥1和a+b＜1两种情况，均有ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
故④正确．
故答案为①③④．
【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假．
三、解答题
17．（2013·山东理）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2， ．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
【答案】（1）解：∵a+c=6①，b=2，cosB= ，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ ac=36﹣ ac=4，
整理得：ac=9②，
联立①②解得：a=c=3；
（2）解：∵cosB= ，B为三角形的内角，
∴sinB= = ，
∵b=2，a=3，sinB= ，
∴由正弦定理得：sinA= = = ，
∵a=c，即A=C，∴A为锐角，
∴cosA= = ，
则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB= × ﹣ × =
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可；（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
18．（2013·山东理）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
（1）求证：AB∥GH；
（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．
【答案】（1）证明：如图，
∵C，D为AQ，BQ的中点，∴CD∥AB，
又E，F分别AP，BP的中点，∴EF∥AB，
则EF∥CD．又EF 平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．
又CD 平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．
又AB∥CD，∴AB∥GH
（2）解：由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，三角形ABQ为直角三角形，
以B为坐标原点，分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设AB=BP=BQ=2，
则D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1），
因为H为三角形PBQ的重心，所以H（0， ， ）．
则 ，
， ．
设平面GCD的一个法向量为
由 ，得 ，取z1=1，得y1=2．
所以 ．
设平面EFG的一个法向量为
由 ，得 ，取z2=2，得y2=1．
所以 ．
所以 = ．
则二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于-
【知识点】直线与平面平行的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由给出的D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF，再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH，从而得到AB∥GH；（2）由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA、BQ、BP的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值．
19．（2013·山东理）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是 ，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ．设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜
①3：0，概率为P1=（ ）3= ；
②3：1，概率为P2=C （ ）2×（1﹣ ）× = ；
③3：2，概率为P3=C （ ）2×（1﹣ ）2× =
∴甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率：
（2）解：乙队得分X，则X的取值可能为0，1，2，3．
由（1）知P（X=0）=P1+P2= ；
P（X=1）=P3= ；
P（X=2）=C （1﹣ ）2×（ ）2× = ；
P（X=3）=（1﹣ ）3+C （1﹣ ）2×（ ）× = ；
则X的分布列为
X 3 2 1 0
P
E（X）=3× +2× +1× +0× =
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；（2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．
20．（2013·山东理）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn且 （λ为常数）．令cn=b2n（n∈N*）求数列{cn}的前n项和Rn．
【答案】（1）解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①
再由S4=4S2，得 ，即d=2a1②
联立①、②得a1=1，d=2．
所以an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1
（2）解：把an=2n﹣1代入 ，得 ，则 ．
所以b1=T1=λ﹣1，
当n≥2时， = ．
所以 ， ．
Rn=c1+c2+…+cn= ③
④
③﹣④得： =
所以 ；
所以数列{cn}的前n项和
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{an}的通项公式；（2）把{an}的通项公式代入 ，求出当n≥2时的通项公式，然后由cn=b2n得数列{cn}的通项公式，最后利用错位相减法求其前n项和．
21．（2013·山东理）设函数 ．
（1）求f（x）的单调区间及最大值；
（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．
【答案】（1）解：∵ = ，解f′（x）＞0，得 ；解f′（x）＜0，得 ．
∴函数f（x）的单调递增区间为 ；单调递减区间为 ．
故f（x）在x= 取得最大值，且
（2）解：函数y=|lnx|，当x＞0时的值域为[0，+∞）．如图所示：
①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣ ﹣c，
c= =g（x），
则 =- ．
令h（x）=e2x+x﹣2x2，则h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]单调递增，
∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．
∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．
∴c ．
②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣ -c，得到c=lnx﹣ =m（x），
则 = ＞0，
故m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）= ．
综上①②可知：当 时，方程|lnx|=f（x）无实数根；
当 时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；
当 时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0即可得出单调区间及极值与最值；（2）分类讨论：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣ ﹣c，②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣ -c．利用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论．
22．（2013·山东理）椭圆C： 的左右焦点分别是F1，F2，离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明 为定值，并求出这个定值．
【答案】（1）解：把﹣c代入椭圆方程得 ，解得 ，
∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴ ．
又 ，联立得 解得 ，
∴椭圆C的方程为
（2）解：如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，
由角平分线的性质可得 ，
又t+n=2a=4，消去t得到 ，化为 ，
∵a﹣c＜n＜a+c，即 ，也即 ，解得 ．
∴m的取值范围；
（3）解：证明：设P（x0，y0），
不妨设y0＞0，由椭圆方程 ，
取 ，则 = ，
∴k= = ．
∵ ， ，
∴ = ，
∴ = =﹣8为定值．
【知识点】直线的斜率；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）把﹣c代入椭圆方程得 ，解得 ，由已知过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得 ．再利用 ，及a2=b2+c2即可得出；（2）设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得 ，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去t得到 ，化为 ，再根据a﹣c＜n＜a+c，即可得到m的取值范围；（3）设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程 ，取 ，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k1，k2，代入即可证明结论．
1 / 12013年高考理数真题试卷（山东卷）
一、选择题
1．（2013·山东理）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数 为（ ）
A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i
2．（2013·山东理）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
3．（2013·山东理）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时， ，则f（﹣1）=（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
4．（2013·山东理）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2013·山东理）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（ ）
A． B． C．0 D．-
6．（2013·山东理）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（ ）
A．2 B．1 C．- D．-
7．（2013·山东理）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2013·山东理）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2013·山东理）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0
10．（2013·山东理）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．243 B．252 C．261 D．279
11．（2013·山东理）抛物线C1： 的焦点与双曲线C2： 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（ ）
A． B． C． D．
12．（2013·山东理）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当 取得最大值时， 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．3
二、填空题
13．（2013·山东理）执行右面的程序框图，若输入的 值为0.25，则输出的n值为 ．
14．（2013·山东理）在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为 ．
15．（2013·山东理）已知向量 与 的夹角为120°，且| |=3，| |=2．若 =λ + ，且 ⊥ ，则实数λ= ．
16．（2013·山东理）定义“正对数”：ln+x= ，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a；
②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；
③若a＞0，b＞0，则 ；
④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）
三、解答题
17．（2013·山东理）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2， ．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
18．（2013·山东理）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
（1）求证：AB∥GH；
（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．
19．（2013·山东理）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是 ，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ．设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．
20．（2013·山东理）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn且 （λ为常数）．令cn=b2n（n∈N*）求数列{cn}的前n项和Rn．
21．（2013·山东理）设函数 ．
（1）求f（x）的单调区间及最大值；
（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．
22．（2013·山东理）椭圆C： 的左右焦点分别是F1，F2，离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明 为定值，并求出这个定值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，
∴z﹣3= =2+i
∴z=5+i，
∴ =5﹣i．
故选D．
【分析】利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数 ．
2．【答案】C
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【解答】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，
∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；
当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；
当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；
∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．
故选C．
【分析】依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案．
3．【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+ ，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
故选A．
【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．
4．【答案】B
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图所示，
∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，
∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．
∵ = = ．
∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1= = ，解得 ．
又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴ = =1，
在Rt△AA1P中， ，
∴ ．
故选B．
【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1= 即可得出．
5．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），
则f（x+ ）=sin[2（x+ ）+φ]=sin（2x+ +φ），
∵f（x+ ）为偶函数，
∴ +φ=kπ+ ，
∴φ=kπ+ ，k∈Z，
∴当k=0时，φ= ．
故φ的一个可能的值为 ．
故选B．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移 个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．
6．【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：不等式组 表示的区域如图，
当M取得点A（3，﹣1）时，
z直线OM斜率取得最小，最小值为
k= =﹣ ．
故选C．
【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．
7．【答案】A
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：∵ p是q的必要而不充分条件，
∴q是 p的充分不必要条件，即q p，但 p不能 q，
其逆否命题为p q，但 q不能 p，
则p是 q的充分不必要条件．
故选A．
【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是 p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．
8．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，
由当x= 时， ，
当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．
由此可排除选项A和选项C．
故正确的选项为D．
故选D．
【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．
9．【答案】A
【知识点】直线的一般式方程；圆的切线方程
【解析】【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．
故选A．
【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．
10．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，
其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，
所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．
故选B．
【分析】求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．
11．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由 ，得x2=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（ ）．
由 ，得 ， ．
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为 ，
即 ①．
设该直线交抛物线于M（ ），则C1在点M处的切线的斜率为 ．
由题意可知 ，得 ，代入M点得M（ ）
把M点代入①得： ．
解得p= ．
故选：D．
【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数 在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．
12．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，
∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，
∴ = = ≤ =1（当且仅当x=2y时取“=”），
∴ =1，此时，x=2y．
∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，
∴ = =﹣ +1≤1，当且仅当y=1时取得“=”，满足题意．
∴ 的最大值为1．
故选B．
【分析】依题意，当 取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）= ，利用配方法即可求得其最大值．
13．【答案】3
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：循环前，F0=1，F1=2，n=1，
第一次循环，F0=1，F1=3，n=2，
第二次循环，F0=2，F1=4，n=3，
此时 ，满足条件 ，退出循环，输出n=3，
故答案为：3．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出n的值．
14．【答案】
【知识点】几何概型；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．
由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1 可得 ① ，或② ，
③ ．
解①可得x∈ ，解②可得1≤x＜2，解③可得 x≥2．
故原不等式的解集为{x|x≥1}，
∴|在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为P= = ．
故答案为：
【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣3，3]的长度求比值即得．
15．【答案】
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
因为 ，
所以 ，
所以
=
=
=﹣12λ+7=0
解得λ= ．
故答案为： ．
【分析】利用 ， ，表示 向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．
16．【答案】①③④
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：（1）对于①，由定义，当a≥1时，ab≥1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（ab）=bln+a；当a＜1时，ab＜1，故ln+（ab）=0，又a＜1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（ab）=bln+a，故①正确；
（2）对于②，此命题不成立，可令a=2，b= ，则ab= ，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b，故②错误；
（3）对于③，
i． ≥1时，此时 ≥0，
当a≥b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb= ，此时则 ，命题成立；
当a＞1＞b＞0时，ln+a﹣ln+b=lna，此时 ， ＞lna，则 ，命题成立；
当1＞a≥b＞0时，ln+a﹣ln+b=0， 成立；
ii． ＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；
（4）对于④，
当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），
∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0，
∴a+b≤2ab，
∴ln（a+b）＜ln（2ab），
∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
当a＞1，0＜b＜1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a），
∵a+b﹣2a=b﹣a≤0，
∴a+b≤2a，
∴ln（a+b）＜ln（2a），
∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
当b＞1，0＜a＜1时，同理可证ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
当0＜a＜1，0＜b＜1时，可分a+b≥1和a+b＜1两种情况，均有ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
故④正确．
故答案为①③④．
【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假．
17．【答案】（1）解：∵a+c=6①，b=2，cosB= ，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ ac=36﹣ ac=4，
整理得：ac=9②，
联立①②解得：a=c=3；
（2）解：∵cosB= ，B为三角形的内角，
∴sinB= = ，
∵b=2，a=3，sinB= ，
∴由正弦定理得：sinA= = = ，
∵a=c，即A=C，∴A为锐角，
∴cosA= = ，
则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB= × ﹣ × =
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可；（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
18．【答案】（1）证明：如图，
∵C，D为AQ，BQ的中点，∴CD∥AB，
又E，F分别AP，BP的中点，∴EF∥AB，
则EF∥CD．又EF 平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．
又CD 平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．
又AB∥CD，∴AB∥GH
（2）解：由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，三角形ABQ为直角三角形，
以B为坐标原点，分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设AB=BP=BQ=2，
则D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1），
因为H为三角形PBQ的重心，所以H（0， ， ）．
则 ，
， ．
设平面GCD的一个法向量为
由 ，得 ，取z1=1，得y1=2．
所以 ．
设平面EFG的一个法向量为
由 ，得 ，取z2=2，得y2=1．
所以 ．
所以 = ．
则二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于-
【知识点】直线与平面平行的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由给出的D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF，再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH，从而得到AB∥GH；（2）由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA、BQ、BP的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值．
19．【答案】（1）解：甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜
①3：0，概率为P1=（ ）3= ；
②3：1，概率为P2=C （ ）2×（1﹣ ）× = ；
③3：2，概率为P3=C （ ）2×（1﹣ ）2× =
∴甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率：
（2）解：乙队得分X，则X的取值可能为0，1，2，3．
由（1）知P（X=0）=P1+P2= ；
P（X=1）=P3= ；
P（X=2）=C （1﹣ ）2×（ ）2× = ；
P（X=3）=（1﹣ ）3+C （1﹣ ）2×（ ）× = ；
则X的分布列为
X 3 2 1 0
P
E（X）=3× +2× +1× +0× =
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；（2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．
20．【答案】（1）解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①
再由S4=4S2，得 ，即d=2a1②
联立①、②得a1=1，d=2．
所以an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1
（2）解：把an=2n﹣1代入 ，得 ，则 ．
所以b1=T1=λ﹣1，
当n≥2时， = ．
所以 ， ．
Rn=c1+c2+…+cn= ③
④
③﹣④得： =
所以 ；
所以数列{cn}的前n项和
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{an}的通项公式；（2）把{an}的通项公式代入 ，求出当n≥2时的通项公式，然后由cn=b2n得数列{cn}的通项公式，最后利用错位相减法求其前n项和．
21．【答案】（1）解：∵ = ，解f′（x）＞0，得 ；解f′（x）＜0，得 ．
∴函数f（x）的单调递增区间为 ；单调递减区间为 ．
故f（x）在x= 取得最大值，且
（2）解：函数y=|lnx|，当x＞0时的值域为[0，+∞）．如图所示：
①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣ ﹣c，
c= =g（x），
则 =- ．
令h（x）=e2x+x﹣2x2，则h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]单调递增，
∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．
∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．
∴c ．
②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣ -c，得到c=lnx﹣ =m（x），
则 = ＞0，
故m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）= ．
综上①②可知：当 时，方程|lnx|=f（x）无实数根；
当 时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；
当 时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0即可得出单调区间及极值与最值；（2）分类讨论：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣ ﹣c，②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣ -c．利用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论．
22．【答案】（1）解：把﹣c代入椭圆方程得 ，解得 ，
∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴ ．
又 ，联立得 解得 ，
∴椭圆C的方程为
（2）解：如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，
由角平分线的性质可得 ，
又t+n=2a=4，消去t得到 ，化为 ，
∵a﹣c＜n＜a+c，即 ，也即 ，解得 ．
∴m的取值范围；
（3）解：证明：设P（x0，y0），
不妨设y0＞0，由椭圆方程 ，
取 ，则 = ，
∴k= = ．
∵ ， ，
∴ = ，
∴ = =﹣8为定值．
【知识点】直线的斜率；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）把﹣c代入椭圆方程得 ，解得 ，由已知过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得 ．再利用 ，及a2=b2+c2即可得出；（2）设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得 ，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去t得到 ，化为 ，再根据a﹣c＜n＜a+c，即可得到m的取值范围；（3）设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程 ，取 ，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k1，k2，代入即可证明结论．
1 / 1
