2013年高考理数真题试卷（天津卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2013·天津理）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，2] B．[1，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]
2．（2013·天津理）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（ ）
A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2
3．（2013·天津理）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（ ）
A．64 B．73 C．512 D．585
4．（2013·天津理）已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的 ，则其体积缩小到原来的 ；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x+y+1=0与圆 相切．
其中真命题的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
5．（2013·天津理）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为 ，则p=（ ）
A．1 B． C．2 D．3
6．（2013·天津理）在△ABC中， ，则sin∠BAC=（ ）
A． B． C． D．
7．（2013·天津理）函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2013·天津理）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2013·天津理）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi= ．
10．（2013·天津理） 的二项展开式中的常数项为 ．
11．（2013·天津理）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为 ，则|CP|= ．
12．（2013·天津理）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若 ，则AB的长为 ．
13．（2013·天津理）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为 ．
14．（2013·天津理）设a+b=2，b＞0，则当a= 时， 取得最小值．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2013·天津理）已知函数 ．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间 上的最大值和最小值．
16．（2013·天津理）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（2013·天津理）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．
（1）证明B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 ，求线段AM的长．
18．（2013·天津理）设椭圆 =1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为 ，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若 =8，求k的值．
19．（2013·天津理）已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
20．（2013·天津理）已知函数f（x）=x2lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
（3）设（2）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}
∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}
故选D．
【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．
2．【答案】A
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：设变量x、y满足约束条件 ，
在坐标系中画出可行域三角形，
平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，
则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．
故选A．
【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．
3．【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：经过第一次循环得到S=0+13，不满足S≥50，x=2，
执行第二次循环得到S=13+23，不满足S≥50，x=4，
执行第三次循环得到S=13+23+43=73，
满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S=73．
故选B．
【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出S，结束循环，得到所求．
4．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：①由球的体积公式V= 可知，若一个球的半径缩小到原来的 ，则其体积缩小到原来的 ；故①正确；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；
③圆 的圆心到直线x+y+1=0的距离d= =半径r，故直线x+y+1=0与圆 相切，③正确．
故选C．
【分析】对于①由球的体积公式V= 可知①正确；对于②通过举反例，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；对于③利用圆 的圆心到直线x+y+1=0的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可．
5．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵双曲线 ，
∴双曲线的渐近线方程是y=± x
又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣ ，
故A，B两点的纵坐标分别是y=± ，双曲线的离心率为2，所以 ，
∴ 则 ，
A，B两点的纵坐标分别是y=± = ，
又，△AOB的面积为 ，x轴是角AOB的角平分线
∴ ，得p=2．
故选C．
【分析】求出双曲线 的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为 ，列出方程，由此方程求出p的值．
6．【答案】C
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC= ，AB= ，BC=3，
∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cos∠ABC=2+9﹣6=5，
∴AC= ，
则由正弦定理 = 得：sin∠BAC= = ．
故选C
【分析】由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值．
7．【答案】B
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1，令f（x）=0，
在同一坐标系中作出y=（ ）x．与y=|log0.5x|，如图，
由图可得零点的个数为2．
故选B．
【分析】通过令f（x）=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：取a=﹣ 时，f（x）=﹣ x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣ ）|x﹣ |+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得﹣ ＜x＜0；
（2）0≤x≤ 时，解得0 ；
（3）x＞ 时，解得 ，
综上知，a=﹣ 时，A=（﹣ ， ），符合题意，排除B、D；
取a=1时，f（x）=x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；
综上，a=1，A= ，不合题意，排除C，
故选A．
【分析】排除法：取a=﹣ ，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣ ）|x﹣ |+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤ ，x＞ 讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．
9．【答案】1+2i
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为（a+i）（1+i）=bi，
所以a﹣1+（a+1）i=bi，
所以 ，解得a=1，b=2，
所以a+bi=1+2i．
故答案为：1+2i．
【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果．
10．【答案】15
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解；设 的二项展开式中的通项为Tr+1，则Tr+1= （﹣1）r ，
由6﹣ r=0得：r=4．
∴ 的二项展开式中的常数项为 （﹣1）4= =15．
故答案为：15．
【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1= （﹣1）r 中x的幂指数为0即可求得答案．
11．【答案】
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】解：圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆的方程为：x2+y2=4x，圆心为C（2，0），
点P的极坐标为 ，所以P的直角坐标（2，2 ），
所以|CP|= =2 ．
故答案为：2 ．
【分析】求出圆的直角坐标方程，求出圆的圆心坐标，化P的极坐标为直角坐标，利用两点间距离公式求出距离即可．
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵ ， ．
∴ = =
= + ﹣ = =1，
化为 ，
∵ ，∴ ．
故答案为 ．
【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出．
13．【答案】
【知识点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：如图由切角弦定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC，所以∠EAB=∠ABC，
所以直线AE∥直线BC，又因为AC∥BE，所以是平行四边形．
因为AB=AC，AE=6，BD=5，∴AC=AB=4，BC=6．
△AFC∽△DFB，
即： ，
CF= ，
故答案为： ．
【分析】利用切割线定理求出EB，证明四边形AEBC是平行四边形，通过三角形相似求出CF即可．
14．【答案】﹣2
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵a+b=2，b＞0，
∴ = ，（a＜2）
设f（a）= ，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．
利用导数研究其单调性得，
当a＜0时，f（a）=﹣ + ，
f′（a）= = ，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，
故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，
∴当a=﹣2时， 取得最小值 ．
同样地，当0＜a＜2时，得到当a= 时， 取得最小值 ．
综合，则当a=﹣2时， 取得最小值．
故答案为：﹣2．
【分析】由于a+b=2，b＞0，从而 = ，（a＜2），设f（a）= ，（a＜2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案．
15．【答案】（1）解：∵sinxcosx= sin2x，cos2x= （1+cos2x）
∴f（x）=﹣ sin（2x+ ）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1
=2sin2x﹣2cos2x=2 sin（2x﹣ ）
因此，f（x）的最小正周期T= =π；
（2）解：∵0≤x≤ ，∴﹣ ≤2x﹣ ≤
∴当x=0时，sin（2x﹣ ）取得最小值﹣ ；当x= 时，sin（2x﹣ ）取得最大值1
由此可得，f（x）在区间 上的最大值为f（ ）=2 ；最小值为f（0）=﹣2．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式将sin（2x+ ）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x﹣2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2 sin（2x﹣ ），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（2）根据x∈ ，得﹣ ≤2x﹣ ≤ ．再由正弦函数在区间[﹣ ， ]上的图象与性质，可得f（x）在区间 上的最大值为与最小值．
16．【答案】（1）解：设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则
P（A）= =
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为
（2）解：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
P（X=4）= =
X的分布列为
EX= =
x 1 2 3 4
P
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有 ，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（2）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值
17．【答案】（1）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，
依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．
则 ，
而 =0．
所以B1C1⊥CE；
（2）解： ，
设平面B1CE的法向量为 ，
则 ，即 ，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．
所以 ．
由（1）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，
故 为平面CEC1的一个法向量，
于是 = ．
从而 = = ．
所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为 ．
（3）解： ，
设 0≤λ≤1，
有 ．
取 为平面ADD1A1的一个法向量，
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，
则 =
= ．
于是 ．
解得 ．所以 ．
所以线段AM的长为 ．
【知识点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出 和 ，由 得到B1C1⊥CE；（2）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（3）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入 求出λ的值，则线段AM的长可求．
18．【答案】（1）解：根据椭圆方程为 ．
∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为 ，
∴当x=﹣c时， ，得y=± ，
∴ = ，
∵离心率为 ，∴ = ，
解得b= ，c=1，a= ．
∴椭圆的方程为 ；
（2）解：直线CD：y=k（x+1），
设C（x1，y1），D（x2，y2），
由 消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，又A（﹣ ，0），B（ ，0），
∴
=（x1+ ，y1） （ ﹣x2．﹣y2）+（x2+ ，y2） （ ﹣x1．﹣y1），
=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，
=6+ =8，解得k= ．
【知识点】平面向量的数量积运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于 ，再由离心率为 ，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．（2）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由 消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得 ，利用 =8，即可求得k的值．
19．【答案】（1）解：设等比数列的公比为q，
∵S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．
∴S5+a5﹣（S3+a3）=S4+a4﹣（S5+a5）
即4a5=a3，
故q2= =
又∵数列{an}不是递减数列，且等比数列的首项为
∴q=﹣
∴数列{an}的通项公式an= ×（﹣ ）n﹣1=（﹣1）n﹣1
（2）解：由（1）得
Sn=1﹣（﹣ ）n=
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1＜Sn≤S1=
故0＜ ≤ = ﹣ =
当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以1＞Sn≥S2=
故0＞ ≥ = ﹣ =
综上，对于n∈N*，总有 ≤ ≤
故数列{Tn}的最大项的值为 ，最小项的值为
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可构造关于q的方程，结合首项为 的等比数列{an}不是递减数列，求出q值，可得答案．（2）由（1）可得Sn的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出 在n为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案．
20．【答案】（1）解：由题意可知函数的定义域为（0，+∞），
求导数可得f′（x）=2xlnx+x2 =2xlnx+x=x（2lnx+1），
令f′（x）=0，可解得x= ，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x （0， ） （ ，+∞）
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f（x）的单调递减区间为（0， ），单调递增区间为（ ，+∞）
（2）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），
由（1）可知，h（x）在区间（1，+∞）单调递增，h（1）=﹣t＜0，h（et）=e2tlnet﹣t=t（e2t﹣1）＞0，
故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立；
（3）证明：因为s=g（t），由（2）知，t=f（s），且s＞1，
从而 = = = = ，其中u=lns，
要使 成立，只需 ，
即2＜ ，即2＜2+ ，
只需 ，变形可得只需0＜lnu＜ ，
当t＞e2时，若s=g（t）≤e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）≤f（e）=e2，矛盾，
所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立，
另一方面，令F（u）=lnu﹣ ，u＞1，F′（u）= ，
令F′（u）=0，可解得u=2，
当1＜u＜2时，F′（u）＞0，当u＞2时，F′（u）＜0，
故函数F（u）在u=2处取到极大值，也是最大值F（2）=ln2﹣1＜0，
故有F（u）=lnu﹣ ＜0，即lnu＜ ，
综上可证：当t＞e2时，有 成立．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明；函数的零点
【解析】【分析】（1）函数的定义域为（0，+∞），求导数令f′（x）=0，可解得x= ，由导数在（0， ），和（ ，+∞）的正负可得单调性；（2）当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可得函数h（x）的单调性，可得结论；（3）令u=lns，原命题转化为0＜lnu＜ ，一方面由f（s）的单调性，可得u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu﹣ ，u＞1，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证．
1 / 12013年高考理数真题试卷（天津卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2013·天津理）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，2] B．[1，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}
∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}
故选D．
【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．
2．（2013·天津理）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（ ）
A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：设变量x、y满足约束条件 ，
在坐标系中画出可行域三角形，
平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，
则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．
故选A．
【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．
3．（2013·天津理）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（ ）
A．64 B．73 C．512 D．585
【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：经过第一次循环得到S=0+13，不满足S≥50，x=2，
执行第二次循环得到S=13+23，不满足S≥50，x=4，
执行第三次循环得到S=13+23+43=73，
满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S=73．
故选B．
【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出S，结束循环，得到所求．
4．（2013·天津理）已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的 ，则其体积缩小到原来的 ；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x+y+1=0与圆 相切．
其中真命题的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：①由球的体积公式V= 可知，若一个球的半径缩小到原来的 ，则其体积缩小到原来的 ；故①正确；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；
③圆 的圆心到直线x+y+1=0的距离d= =半径r，故直线x+y+1=0与圆 相切，③正确．
故选C．
【分析】对于①由球的体积公式V= 可知①正确；对于②通过举反例，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；对于③利用圆 的圆心到直线x+y+1=0的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可．
5．（2013·天津理）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为 ，则p=（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵双曲线 ，
∴双曲线的渐近线方程是y=± x
又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣ ，
故A，B两点的纵坐标分别是y=± ，双曲线的离心率为2，所以 ，
∴ 则 ，
A，B两点的纵坐标分别是y=± = ，
又，△AOB的面积为 ，x轴是角AOB的角平分线
∴ ，得p=2．
故选C．
【分析】求出双曲线 的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为 ，列出方程，由此方程求出p的值．
6．（2013·天津理）在△ABC中， ，则sin∠BAC=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC= ，AB= ，BC=3，
∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cos∠ABC=2+9﹣6=5，
∴AC= ，
则由正弦定理 = 得：sin∠BAC= = ．
故选C
【分析】由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值．
7．（2013·天津理）函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1，令f（x）=0，
在同一坐标系中作出y=（ ）x．与y=|log0.5x|，如图，
由图可得零点的个数为2．
故选B．
【分析】通过令f（x）=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．
8．（2013·天津理）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：取a=﹣ 时，f（x）=﹣ x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣ ）|x﹣ |+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得﹣ ＜x＜0；
（2）0≤x≤ 时，解得0 ；
（3）x＞ 时，解得 ，
综上知，a=﹣ 时，A=（﹣ ， ），符合题意，排除B、D；
取a=1时，f（x）=x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；
综上，a=1，A= ，不合题意，排除C，
故选A．
【分析】排除法：取a=﹣ ，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣ ）|x﹣ |+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤ ，x＞ 讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．
二、填空题
9．（2013·天津理）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi= ．
【答案】1+2i
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为（a+i）（1+i）=bi，
所以a﹣1+（a+1）i=bi，
所以 ，解得a=1，b=2，
所以a+bi=1+2i．
故答案为：1+2i．
【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果．
10．（2013·天津理） 的二项展开式中的常数项为 ．
【答案】15
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解；设 的二项展开式中的通项为Tr+1，则Tr+1= （﹣1）r ，
由6﹣ r=0得：r=4．
∴ 的二项展开式中的常数项为 （﹣1）4= =15．
故答案为：15．
【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1= （﹣1）r 中x的幂指数为0即可求得答案．
11．（2013·天津理）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为 ，则|CP|= ．
【答案】
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】解：圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆的方程为：x2+y2=4x，圆心为C（2，0），
点P的极坐标为 ，所以P的直角坐标（2，2 ），
所以|CP|= =2 ．
故答案为：2 ．
【分析】求出圆的直角坐标方程，求出圆的圆心坐标，化P的极坐标为直角坐标，利用两点间距离公式求出距离即可．
12．（2013·天津理）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若 ，则AB的长为 ．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵ ， ．
∴ = =
= + ﹣ = =1，
化为 ，
∵ ，∴ ．
故答案为 ．
【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出．
13．（2013·天津理）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为 ．
【答案】
【知识点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：如图由切角弦定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC，所以∠EAB=∠ABC，
所以直线AE∥直线BC，又因为AC∥BE，所以是平行四边形．
因为AB=AC，AE=6，BD=5，∴AC=AB=4，BC=6．
△AFC∽△DFB，
即： ，
CF= ，
故答案为： ．
【分析】利用切割线定理求出EB，证明四边形AEBC是平行四边形，通过三角形相似求出CF即可．
14．（2013·天津理）设a+b=2，b＞0，则当a= 时， 取得最小值．
【答案】﹣2
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵a+b=2，b＞0，
∴ = ，（a＜2）
设f（a）= ，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．
利用导数研究其单调性得，
当a＜0时，f（a）=﹣ + ，
f′（a）= = ，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，
故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，
∴当a=﹣2时， 取得最小值 ．
同样地，当0＜a＜2时，得到当a= 时， 取得最小值 ．
综合，则当a=﹣2时， 取得最小值．
故答案为：﹣2．
【分析】由于a+b=2，b＞0，从而 = ，（a＜2），设f（a）= ，（a＜2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2013·天津理）已知函数 ．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间 上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：∵sinxcosx= sin2x，cos2x= （1+cos2x）
∴f（x）=﹣ sin（2x+ ）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1
=2sin2x﹣2cos2x=2 sin（2x﹣ ）
因此，f（x）的最小正周期T= =π；
（2）解：∵0≤x≤ ，∴﹣ ≤2x﹣ ≤
∴当x=0时，sin（2x﹣ ）取得最小值﹣ ；当x= 时，sin（2x﹣ ）取得最大值1
由此可得，f（x）在区间 上的最大值为f（ ）=2 ；最小值为f（0）=﹣2．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式将sin（2x+ ）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x﹣2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2 sin（2x﹣ ），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（2）根据x∈ ，得﹣ ≤2x﹣ ≤ ．再由正弦函数在区间[﹣ ， ]上的图象与性质，可得f（x）在区间 上的最大值为与最小值．
16．（2013·天津理）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则
P（A）= =
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为
（2）解：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
P（X=4）= =
X的分布列为
EX= =
x 1 2 3 4
P
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有 ，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（2）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值
17．（2013·天津理）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．
（1）证明B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 ，求线段AM的长．
【答案】（1）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，
依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．
则 ，
而 =0．
所以B1C1⊥CE；
（2）解： ，
设平面B1CE的法向量为 ，
则 ，即 ，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．
所以 ．
由（1）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，
故 为平面CEC1的一个法向量，
于是 = ．
从而 = = ．
所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为 ．
（3）解： ，
设 0≤λ≤1，
有 ．
取 为平面ADD1A1的一个法向量，
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，
则 =
= ．
于是 ．
解得 ．所以 ．
所以线段AM的长为 ．
【知识点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出 和 ，由 得到B1C1⊥CE；（2）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（3）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入 求出λ的值，则线段AM的长可求．
18．（2013·天津理）设椭圆 =1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为 ，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若 =8，求k的值．
【答案】（1）解：根据椭圆方程为 ．
∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为 ，
∴当x=﹣c时， ，得y=± ，
∴ = ，
∵离心率为 ，∴ = ，
解得b= ，c=1，a= ．
∴椭圆的方程为 ；
（2）解：直线CD：y=k（x+1），
设C（x1，y1），D（x2，y2），
由 消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，又A（﹣ ，0），B（ ，0），
∴
=（x1+ ，y1） （ ﹣x2．﹣y2）+（x2+ ，y2） （ ﹣x1．﹣y1），
=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，
=6+ =8，解得k= ．
【知识点】平面向量的数量积运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于 ，再由离心率为 ，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．（2）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由 消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得 ，利用 =8，即可求得k的值．
19．（2013·天津理）已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
【答案】（1）解：设等比数列的公比为q，
∵S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．
∴S5+a5﹣（S3+a3）=S4+a4﹣（S5+a5）
即4a5=a3，
故q2= =
又∵数列{an}不是递减数列，且等比数列的首项为
∴q=﹣
∴数列{an}的通项公式an= ×（﹣ ）n﹣1=（﹣1）n﹣1
（2）解：由（1）得
Sn=1﹣（﹣ ）n=
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1＜Sn≤S1=
故0＜ ≤ = ﹣ =
当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以1＞Sn≥S2=
故0＞ ≥ = ﹣ =
综上，对于n∈N*，总有 ≤ ≤
故数列{Tn}的最大项的值为 ，最小项的值为
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可构造关于q的方程，结合首项为 的等比数列{an}不是递减数列，求出q值，可得答案．（2）由（1）可得Sn的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出 在n为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案．
20．（2013·天津理）已知函数f（x）=x2lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
（3）设（2）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有 ．
【答案】（1）解：由题意可知函数的定义域为（0，+∞），
求导数可得f′（x）=2xlnx+x2 =2xlnx+x=x（2lnx+1），
令f′（x）=0，可解得x= ，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x （0， ） （ ，+∞）
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f（x）的单调递减区间为（0， ），单调递增区间为（ ，+∞）
（2）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），
由（1）可知，h（x）在区间（1，+∞）单调递增，h（1）=﹣t＜0，h（et）=e2tlnet﹣t=t（e2t﹣1）＞0，
故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立；
（3）证明：因为s=g（t），由（2）知，t=f（s），且s＞1，
从而 = = = = ，其中u=lns，
要使 成立，只需 ，
即2＜ ，即2＜2+ ，
只需 ，变形可得只需0＜lnu＜ ，
当t＞e2时，若s=g（t）≤e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）≤f（e）=e2，矛盾，
所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立，
另一方面，令F（u）=lnu﹣ ，u＞1，F′（u）= ，
令F′（u）=0，可解得u=2，
当1＜u＜2时，F′（u）＞0，当u＞2时，F′（u）＜0，
故函数F（u）在u=2处取到极大值，也是最大值F（2）=ln2﹣1＜0，
故有F（u）=lnu﹣ ＜0，即lnu＜ ，
综上可证：当t＞e2时，有 成立．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明；函数的零点
【解析】【分析】（1）函数的定义域为（0，+∞），求导数令f′（x）=0，可解得x= ，由导数在（0， ），和（ ，+∞）的正负可得单调性；（2）当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可得函数h（x）的单调性，可得结论；（3）令u=lns，原命题转化为0＜lnu＜ ，一方面由f（s）的单调性，可得u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu﹣ ，u＞1，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证．
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