2014年高考理数真题试卷（安徽卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（2014·安徽理）设i是虚数单位， 表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则 +i =（ ）
A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i
2．（2014·安徽理）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2014·安徽理）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A．34 B．55 C．78 D．89
4．（2014·安徽理）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是 （t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．2
5．（2014·安徽理）x、y满足约束条件 ，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）
A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣1
6．（2014·安徽理）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（ ）=（ ）
A． B． C．0 D．﹣
7．（2014·安徽理）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A．21+ B．18+ C．21 D．18
8．（2014·安徽理）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（ ）
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
9．（2014·安徽理）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8
10．（2014·安徽理）在平面直角坐标系xOy中．已知向量 、 ，| |=| |=1， =0，点Q满足 = （ + ），曲线C={P| = cosθ+ sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤| |≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（ ）
A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R
二、填空题：把答案填在答题卡相应位置．
11．（2014·安徽理）若将函数f（x）=sin（2x+ ）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是 ．
12．（2014·安徽理）数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= ．
13．（2014·安徽理）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+ ）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn．若点Ai（i，ai）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a= ．
14．（2014·安徽理）设F1，F2分别是椭圆E：x2+ =1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为 ．
15．（2014·安徽理）已知两个不相等的非零向量 ， ，两组向量 ， ， ， ， 和 ， ， ， ， 均由2个 和3个 排列而成，记S= + + + + ，Smin表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①S有5个不同的值；
②若 ⊥ ，则Smin与| |无关；
③若 ∥ ，则Smin与| |无关；
④若| |＞4| |，则Smin＞0；
⑤若| |=2| |，Smin=8| |2，则 与 的夹角为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．
16．（2014·安徽理）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．
（1）求a的值；
（2）求sin（A+ ）的值．
17．（2014·安徽理）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立．
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．
18．（2014·安徽理）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．
（1）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（2）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．
19．（2014·安徽理）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．
（1）证明：A1B1∥A2B2；
（2）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求 的值．
20．（2014·安徽理）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．
（1）证明：Q为BB1的中点；
（2）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
（3）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
21．（2014·安徽理）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．
（1）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；
（2）数列{an}满足a1＞ ，an+1= an+ an1﹣p．证明：an＞an+1＞ ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵z=1+i，
∴ ，
∴ +i =
= ．
故选：C．
【分析】把z及 代入 +i ，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
2．【答案】B
【知识点】充要条件
【解析】【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．
故选：B．
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
3．【答案】B
【知识点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用；程序框图
【解析】【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；
第二次循环得z=3，x=2，y=3；
第三次循环得z=5，x=3，y=5；
第四次循环得z=8，x=5，y=8；
第五次循环得z=13，x=8，y=13；
第六次循环得z=21，x=13，y=21；
第七次循环得z=34，x=21，y=34；
第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，
故选B
【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．
4．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：直线l的参数方程是 （t为参数），化为普通方程为 x﹣y﹣4=0；
圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=4x，
即 （x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心、半径r等于2的圆．
弦心距d= = ＜r，∴弦长为2 =2 =2 ，
故选：D．
【分析】先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长．
5．【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，
若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，
综上a=﹣1或a=2，
故选：D
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．
6．【答案】A
【知识点】抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，
∴f（ ）=f（ ）
=f（ ）+sin
=f（ ）+sin +sin
=f（ ）+sin +sin +sin
=sin +sin +sin
=
= ．
故选：A．
【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．
7．【答案】A
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，
几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底= =21+ ．
故选：A．
【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．
8．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有 =66条，
同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，
不满足题意的共有：3×6=18．
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48．
故选：C．
【分析】利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果．
9．【答案】D
【知识点】函数最值的应用
【解析】【解答】解：﹣ ＜﹣1时，x＜﹣ ，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞ ﹣1；
﹣ ≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥ ﹣1；
x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，
∴ ﹣1=3或a﹣2=3，
∴a=8或a=5，
a=5时， ﹣1＜a﹣2，故舍去；
﹣ ≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；
﹣1≤x≤﹣ ，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣ +1；
x＞﹣ ，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣ +1，
∴2﹣a=3或﹣ +1=3，
∴a=﹣1或a=﹣4，
a=﹣1时，﹣ +1＜2﹣a，故舍去；
综上，a=﹣4或8．
故选：D．
【分析】分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．
10．【答案】A
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量 、 ，| |=| |=1， =0，
不妨令 =（1，0）， =（0，1），
则 = （ + ）=（ ， ），
= cosθ+ sinθ=（cosθ，sinθ），
故P点的轨迹为单位圆，
Ω={P|（0＜r≤| |≤R，r＜R}表示的平面区域为：
以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，
若C∩Ω为两段分离的曲线，
则单位圆与圆环的内外圆均相交，
故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，
∵|OQ|=2，
故1＜r＜R＜3，
故选：A
【分析】不妨令 =（1，0）， =（0，1），则P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤| |≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．
11．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+ ）的图象向右平移φ个单位，
所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+ ]=sin（2x+ ﹣2φ）关于y轴对称，
则 ﹣2φ=kπ+ ，k∈z，即 φ=﹣ ﹣ ，故φ的最小正值为 ，
故答案为： ．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+ ﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得 ﹣2φ=kπ+ ，k∈z，由此求得φ的最小正值．
12．【答案】1
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，
得： ，
整理得： ，
即 +5a1+a1+4d．
化简得：（d+1）2=0，即d=﹣1．
∴q= = ．
故答案为：1．
【分析】设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由 化简得答案．
13．【答案】3
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（1+ ）n的展开式的通项为 ，
由图知，a0=1，a1=3，a2=4，
∴ ， ，
， ，
a2﹣3a=0，
解得a=3，
故答案为：3．
【分析】求出（1+ ）n的展开式的通项为 ，由图知，a0=1，a1=3，a2=4，列出方程组，求出a的值．
14．【答案】x2+ =1
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，
∴A点坐标为（c，b2），
设B（x，y），则
∵|AF1|=3|F1B|，
∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）
∴B（﹣ c，﹣ b2），
代入椭圆方程可得 ，
∵1=b2+c2，
∴b2= ，c2= ，
∴x2+ =1．
故答案为：x2+ =1．
【分析】求出B（﹣ c，﹣ b2），代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．
15．【答案】②④
【知识点】命题的真假判断与应用；共线（平行）向量
【解析】【解答】解：∵xi，yi（i=1，2，3，4，5）均由2个 和3个 排列而成，
∴S=xiyi可能情况有三种：①S=2 +3 ；②S= +2 +2 ；③S=4 + ．
S有3种结果：S1= + + + + ，
S2= + + + + ，
S3= + + + + ，故①错误；
∵S1﹣S2=S2﹣S3= + ﹣2 ≥ + ﹣2| | | |= ≥0，
∴S中最小为S3；
若 ⊥ ，则Smin=S3= ，与| |无关，故②正确；
③若 ∥ ，则Smin=S3=4 + ，与| |有关，故③错误；
④若| |＞4| |，则Smin=S3=4| | | |cosθ+ ＞﹣4| | | |+ ＞﹣ + =0，故④正确；
⑤若| |=2| |，Smin=S3=8| |2cosθ+4 =8 ，
∴2cosθ=1，∴θ= ，
即 与 的夹角为 ．
综上所述，命题正确的是②④，
故答案为：②④．
【分析】依题意，可求得S有3种结果：S1= + + + + ，S2= + + + + ，S3= + + + + ，可判断①错误；
进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3= + ﹣2 ≥ + ﹣2| | | |= ≥0，即S中最小为S3；再对②③④⑤逐一分析即可得答案．
16．【答案】（1）解：∵A=2B， ，b=3，
∴a=6cosB，
∴a=6 ，
∴a=2 ；
（2）解：∵a=6cosB，
∴cosB= ，
∴sinB= ，
∴sinA=sin2B= ，cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣ ，
∴sin（A+ ）= （sinA+cosA）=
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；（2）求出sinA，cosA，即可求sin（A+ ）的值．
17．【答案】（1）解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，Ak表示第k局甲获胜，Bk表示第k局乙获胜，
则P（Ak）= ，P（Bk）= ，k=1，2，3，4，5
P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（ ）2+ ×（ ）2+ × ×（ ）2= ．
（2）解：X的可能取值为2，3，4，5．
P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）= ，
P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）= ，
P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）= ，
P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）= = ，
或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）= ，
故分布列为：
X 2 3 4 5
P
E（X）=2× +3× +4× +5× = ．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值．
18．【答案】（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，
由f′（x）=0，得x1= ，x2= ，x1＜x2，
∴由f′（x）＜0得x＜ ，x＞ ；
由f′（x）＞0得 ＜x＜ ；
故f（x）在（﹣∞， ）和（ ，+∞）单调递减，
在（ ， ）上单调递增；
（2）解：∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈[0，1]，当 时，即a≥4
①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．
②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减，
因此f（x）在x=x2= 处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，
∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；
当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；
当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性即可；（2）利用（1）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．
19．【答案】（1）证明：由题意可知，l1和l2的斜率存在且不为0，
设l1：y=k1x，l2：y=k2x．
联立 ，解得 ．
联立 ，解得 ．
联立 ，解得 ．
联立 ，解得 ．
∴ ，
．
，
∴A1B1∥A2B2；
（2）解：由（1）知A1B1∥A2B2，
同（1）可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2．
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，
因此 ，
又 ，
∴ ．
故 ．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意设出直线l1和l2的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到 的坐标，然后由向量共线得答案；（2）结合（1）可知△A1B1C1与△A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．
20．【答案】（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，
∴平面QBC∥平面A1D1DA，
∴平面A1CD与面QBC、平面A1D1DA的交线平行，∴QC∥A1D
∴△QBC∽△A1AD，
∴ = ，
∴Q为BB1的中点；
（2）解：连接QA，QD，设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V1，V2，
设BC=a，则AD=2a，∴ = = ，VQ﹣ABCD= = ahd，
∴V2= ，
∵V棱柱= ahd，
∴V1= ahd，
∴四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比 ；
（3）解：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，∴DE⊥A1E，
∴∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，
∵BC∥AD，AD=2BC，
∴S△ADC=2S△ABC，
∵梯形ABCD的面积为6，DC=2，
∴S△ADC=4，AE=4，
∴tan∠AEA1= =1，
∴∠AEA1= ，
∴平面α与底面ABCD所成二面角的大小为 ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）证明平面QBC∥平面A1D1DA，可得△QBC∽△A1AD，即可证明Q为BB1的中点；（2）设BC=a，则AD=2a，则 = = ，VQ﹣ABCD= = ahd，利用V棱柱= ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（3）△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，DE⊥A1E，可得∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角，求出S△ADC=4，AE=4，可得tan∠AEA1= =1，即可求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
21．【答案】（1）证明：令f（x）=（1+x）p﹣（1+px），则f′（x）=p（1+x）p﹣1﹣p=p[（1+x）p﹣1﹣1]．
①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）p﹣1＜（1+x）0=1，
∴（1+x）p﹣1﹣1＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，
∴f（x）＞f（0）=（1+0）p﹣（1+p×0）=0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，
∴（1+x）p＞1+px．
②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0=1，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）＞f（0）=0，
∴（1+x）p＞1+px．
综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．
（2）证明：先证an+1＞ ．
∵an+1= an+ an1﹣p，∴只需证 an+ an1﹣p＞ ，
将 写成p﹣1个 相加，上式左边= ，
当且仅当 ，即 时，上式取“=”号，
当n=1时，由题设知 ，∴上式“=”号不成立，
∴ an+ an1﹣p＞ ，即an+1＞ ．
再证an＞an+1．
只需证an＞ an+ an1﹣p，化简、整理得anp＞c，只需证an＞ ．
由前知an+1＞ 成立，即从数列{an}的第2项开始成立，
又n=1时，由题设知 成立，
∴ 对n∈N*成立，∴an＞an+1．
综上知，an＞an+1＞ ，原不等式得证．
【知识点】数列与不等式的综合；分析法和综合法；不等式的证明
【解析】【分析】第（1）问中，可构造函数f（x）=（1+x）p﹣（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；
对第（2）问，从an+1 着手，由an+1= an+ an1﹣p，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将an＞an+1进行转换，设法利用已证结论证明．
1 / 12014年高考理数真题试卷（安徽卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（2014·安徽理）设i是虚数单位， 表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则 +i =（ ）
A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵z=1+i，
∴ ，
∴ +i =
= ．
故选：C．
【分析】把z及 代入 +i ，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
2．（2014·安徽理）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】充要条件
【解析】【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．
故选：B．
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
3．（2014·安徽理）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A．34 B．55 C．78 D．89
【答案】B
【知识点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用；程序框图
【解析】【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；
第二次循环得z=3，x=2，y=3；
第三次循环得z=5，x=3，y=5；
第四次循环得z=8，x=5，y=8；
第五次循环得z=13，x=8，y=13；
第六次循环得z=21，x=13，y=21；
第七次循环得z=34，x=21，y=34；
第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，
故选B
【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．
4．（2014·安徽理）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是 （t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：直线l的参数方程是 （t为参数），化为普通方程为 x﹣y﹣4=0；
圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=4x，
即 （x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心、半径r等于2的圆．
弦心距d= = ＜r，∴弦长为2 =2 =2 ，
故选：D．
【分析】先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长．
5．（2014·安徽理）x、y满足约束条件 ，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）
A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣1
【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，
若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，
综上a=﹣1或a=2，
故选：D
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．
6．（2014·安徽理）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（ ）=（ ）
A． B． C．0 D．﹣
【答案】A
【知识点】抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，
∴f（ ）=f（ ）
=f（ ）+sin
=f（ ）+sin +sin
=f（ ）+sin +sin +sin
=sin +sin +sin
=
= ．
故选：A．
【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．
7．（2014·安徽理）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A．21+ B．18+ C．21 D．18
【答案】A
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，
几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底= =21+ ．
故选：A．
【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．
8．（2014·安徽理）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（ ）
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有 =66条，
同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，
不满足题意的共有：3×6=18．
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48．
故选：C．
【分析】利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果．
9．（2014·安徽理）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8
【答案】D
【知识点】函数最值的应用
【解析】【解答】解：﹣ ＜﹣1时，x＜﹣ ，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞ ﹣1；
﹣ ≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥ ﹣1；
x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，
∴ ﹣1=3或a﹣2=3，
∴a=8或a=5，
a=5时， ﹣1＜a﹣2，故舍去；
﹣ ≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；
﹣1≤x≤﹣ ，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣ +1；
x＞﹣ ，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣ +1，
∴2﹣a=3或﹣ +1=3，
∴a=﹣1或a=﹣4，
a=﹣1时，﹣ +1＜2﹣a，故舍去；
综上，a=﹣4或8．
故选：D．
【分析】分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．
10．（2014·安徽理）在平面直角坐标系xOy中．已知向量 、 ，| |=| |=1， =0，点Q满足 = （ + ），曲线C={P| = cosθ+ sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤| |≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（ ）
A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R
【答案】A
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量 、 ，| |=| |=1， =0，
不妨令 =（1，0）， =（0，1），
则 = （ + ）=（ ， ），
= cosθ+ sinθ=（cosθ，sinθ），
故P点的轨迹为单位圆，
Ω={P|（0＜r≤| |≤R，r＜R}表示的平面区域为：
以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，
若C∩Ω为两段分离的曲线，
则单位圆与圆环的内外圆均相交，
故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，
∵|OQ|=2，
故1＜r＜R＜3，
故选：A
【分析】不妨令 =（1，0）， =（0，1），则P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤| |≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．
二、填空题：把答案填在答题卡相应位置．
11．（2014·安徽理）若将函数f（x）=sin（2x+ ）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是 ．
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+ ）的图象向右平移φ个单位，
所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+ ]=sin（2x+ ﹣2φ）关于y轴对称，
则 ﹣2φ=kπ+ ，k∈z，即 φ=﹣ ﹣ ，故φ的最小正值为 ，
故答案为： ．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+ ﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得 ﹣2φ=kπ+ ，k∈z，由此求得φ的最小正值．
12．（2014·安徽理）数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= ．
【答案】1
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，
得： ，
整理得： ，
即 +5a1+a1+4d．
化简得：（d+1）2=0，即d=﹣1．
∴q= = ．
故答案为：1．
【分析】设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由 化简得答案．
13．（2014·安徽理）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+ ）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn．若点Ai（i，ai）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a= ．
【答案】3
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（1+ ）n的展开式的通项为 ，
由图知，a0=1，a1=3，a2=4，
∴ ， ，
， ，
a2﹣3a=0，
解得a=3，
故答案为：3．
【分析】求出（1+ ）n的展开式的通项为 ，由图知，a0=1，a1=3，a2=4，列出方程组，求出a的值．
14．（2014·安徽理）设F1，F2分别是椭圆E：x2+ =1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为 ．
【答案】x2+ =1
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，
∴A点坐标为（c，b2），
设B（x，y），则
∵|AF1|=3|F1B|，
∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）
∴B（﹣ c，﹣ b2），
代入椭圆方程可得 ，
∵1=b2+c2，
∴b2= ，c2= ，
∴x2+ =1．
故答案为：x2+ =1．
【分析】求出B（﹣ c，﹣ b2），代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．
15．（2014·安徽理）已知两个不相等的非零向量 ， ，两组向量 ， ， ， ， 和 ， ， ， ， 均由2个 和3个 排列而成，记S= + + + + ，Smin表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①S有5个不同的值；
②若 ⊥ ，则Smin与| |无关；
③若 ∥ ，则Smin与| |无关；
④若| |＞4| |，则Smin＞0；
⑤若| |=2| |，Smin=8| |2，则 与 的夹角为 ．
【答案】②④
【知识点】命题的真假判断与应用；共线（平行）向量
【解析】【解答】解：∵xi，yi（i=1，2，3，4，5）均由2个 和3个 排列而成，
∴S=xiyi可能情况有三种：①S=2 +3 ；②S= +2 +2 ；③S=4 + ．
S有3种结果：S1= + + + + ，
S2= + + + + ，
S3= + + + + ，故①错误；
∵S1﹣S2=S2﹣S3= + ﹣2 ≥ + ﹣2| | | |= ≥0，
∴S中最小为S3；
若 ⊥ ，则Smin=S3= ，与| |无关，故②正确；
③若 ∥ ，则Smin=S3=4 + ，与| |有关，故③错误；
④若| |＞4| |，则Smin=S3=4| | | |cosθ+ ＞﹣4| | | |+ ＞﹣ + =0，故④正确；
⑤若| |=2| |，Smin=S3=8| |2cosθ+4 =8 ，
∴2cosθ=1，∴θ= ，
即 与 的夹角为 ．
综上所述，命题正确的是②④，
故答案为：②④．
【分析】依题意，可求得S有3种结果：S1= + + + + ，S2= + + + + ，S3= + + + + ，可判断①错误；
进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3= + ﹣2 ≥ + ﹣2| | | |= ≥0，即S中最小为S3；再对②③④⑤逐一分析即可得答案．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．
16．（2014·安徽理）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．
（1）求a的值；
（2）求sin（A+ ）的值．
【答案】（1）解：∵A=2B， ，b=3，
∴a=6cosB，
∴a=6 ，
∴a=2 ；
（2）解：∵a=6cosB，
∴cosB= ，
∴sinB= ，
∴sinA=sin2B= ，cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣ ，
∴sin（A+ ）= （sinA+cosA）=
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；（2）求出sinA，cosA，即可求sin（A+ ）的值．
17．（2014·安徽理）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立．
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．
【答案】（1）解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，Ak表示第k局甲获胜，Bk表示第k局乙获胜，
则P（Ak）= ，P（Bk）= ，k=1，2，3，4，5
P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（ ）2+ ×（ ）2+ × ×（ ）2= ．
（2）解：X的可能取值为2，3，4，5．
P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）= ，
P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）= ，
P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）= ，
P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）= = ，
或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）= ，
故分布列为：
X 2 3 4 5
P
E（X）=2× +3× +4× +5× = ．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值．
18．（2014·安徽理）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．
（1）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（2）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．
【答案】（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，
由f′（x）=0，得x1= ，x2= ，x1＜x2，
∴由f′（x）＜0得x＜ ，x＞ ；
由f′（x）＞0得 ＜x＜ ；
故f（x）在（﹣∞， ）和（ ，+∞）单调递减，
在（ ， ）上单调递增；
（2）解：∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈[0，1]，当 时，即a≥4
①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．
②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减，
因此f（x）在x=x2= 处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，
∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；
当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；
当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性即可；（2）利用（1）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．
19．（2014·安徽理）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．
（1）证明：A1B1∥A2B2；
（2）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求 的值．
【答案】（1）证明：由题意可知，l1和l2的斜率存在且不为0，
设l1：y=k1x，l2：y=k2x．
联立 ，解得 ．
联立 ，解得 ．
联立 ，解得 ．
联立 ，解得 ．
∴ ，
．
，
∴A1B1∥A2B2；
（2）解：由（1）知A1B1∥A2B2，
同（1）可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2．
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，
因此 ，
又 ，
∴ ．
故 ．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意设出直线l1和l2的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到 的坐标，然后由向量共线得答案；（2）结合（1）可知△A1B1C1与△A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．
20．（2014·安徽理）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．
（1）证明：Q为BB1的中点；
（2）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
（3）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
【答案】（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，
∴平面QBC∥平面A1D1DA，
∴平面A1CD与面QBC、平面A1D1DA的交线平行，∴QC∥A1D
∴△QBC∽△A1AD，
∴ = ，
∴Q为BB1的中点；
（2）解：连接QA，QD，设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V1，V2，
设BC=a，则AD=2a，∴ = = ，VQ﹣ABCD= = ahd，
∴V2= ，
∵V棱柱= ahd，
∴V1= ahd，
∴四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比 ；
（3）解：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，∴DE⊥A1E，
∴∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，
∵BC∥AD，AD=2BC，
∴S△ADC=2S△ABC，
∵梯形ABCD的面积为6，DC=2，
∴S△ADC=4，AE=4，
∴tan∠AEA1= =1，
∴∠AEA1= ，
∴平面α与底面ABCD所成二面角的大小为 ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）证明平面QBC∥平面A1D1DA，可得△QBC∽△A1AD，即可证明Q为BB1的中点；（2）设BC=a，则AD=2a，则 = = ，VQ﹣ABCD= = ahd，利用V棱柱= ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（3）△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，DE⊥A1E，可得∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角，求出S△ADC=4，AE=4，可得tan∠AEA1= =1，即可求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
21．（2014·安徽理）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．
（1）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；
（2）数列{an}满足a1＞ ，an+1= an+ an1﹣p．证明：an＞an+1＞ ．
【答案】（1）证明：令f（x）=（1+x）p﹣（1+px），则f′（x）=p（1+x）p﹣1﹣p=p[（1+x）p﹣1﹣1]．
①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）p﹣1＜（1+x）0=1，
∴（1+x）p﹣1﹣1＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，
∴f（x）＞f（0）=（1+0）p﹣（1+p×0）=0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，
∴（1+x）p＞1+px．
②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0=1，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）＞f（0）=0，
∴（1+x）p＞1+px．
综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．
（2）证明：先证an+1＞ ．
∵an+1= an+ an1﹣p，∴只需证 an+ an1﹣p＞ ，
将 写成p﹣1个 相加，上式左边= ，
当且仅当 ，即 时，上式取“=”号，
当n=1时，由题设知 ，∴上式“=”号不成立，
∴ an+ an1﹣p＞ ，即an+1＞ ．
再证an＞an+1．
只需证an＞ an+ an1﹣p，化简、整理得anp＞c，只需证an＞ ．
由前知an+1＞ 成立，即从数列{an}的第2项开始成立，
又n=1时，由题设知 成立，
∴ 对n∈N*成立，∴an＞an+1．
综上知，an＞an+1＞ ，原不等式得证．
【知识点】数列与不等式的综合；分析法和综合法；不等式的证明
【解析】【分析】第（1）问中，可构造函数f（x）=（1+x）p﹣（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；
对第（2）问，从an+1 着手，由an+1= an+ an1﹣p，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将an＞an+1进行转换，设法利用已证结论证明．
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