2014年高考理数真题试卷（北京卷）
一、选择题（在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．（2014·北京理）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
2．（2014·北京理）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y= B．y=（x﹣1）2
C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）
3．（2014·北京理）曲线 （θ为参数）的对称中心（ ）
A．在直线y=2x上 B．在直线y=﹣2x上
C．在直线y=x﹣1上 D．在直线y=x+1上
4．（2014·北京理）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（ ）
A．7 B．42 C．210 D．840
5．（2014·北京理）设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2014·北京理）若x，y满足 且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
7．（2014·北京理）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1， ），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A．S1=S2=S3 B．S2=S1且S2≠S3
C．S3=S1且S3≠S2 D．S3=S2且S3≠S1
8．（2014·北京理）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（ ）
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
二、填空题
9．（2014·北京理）复数（ ）2= ．
10．（2014·北京理）已知向量 ， 满足| |=1， =（2，1），且 + = （λ∈R），则|λ|= ．
11．（2014·北京理）设双曲线C经过点（2，2），且与 ﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为 ；渐近线方程为 ．
12．（2014·北京理）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n= 时，{an}的前n项和最大．
13．（2014·北京理）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 种．
14．（2014·北京理）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[ ， ]上具有单调性，且f（ ）=f（ ）=﹣f（ ），则f（x）的最小正周期为 ．
三、解答题
15．（2014·北京理）如图，在△ABC中，∠B= ，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC= ．
（1）求sin∠BAD；
（2）求BD，AC的长．
16．（2014·北京理）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；
场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数
主场1 22 12 客场1 18 8
主场2 15 12 客场2 13 12
主场3 12 8 客场3 21 7
主场4 23 8 客场4 18 15
主场5 24 20 客场5 25 12
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
（3）记 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与 的大小（只需写出结论）．
17．（2014·北京理）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．
（1）求证：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．
18．（2014·北京理）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0， ]
（1）求证：f（x）≤0；
（2）若a＜ ＜b对x∈（0， ）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．
19．（2014·北京理）已知椭圆C：x2+2y2=4，
（1）求椭圆C的离心率
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．
20．（2014·北京理）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），记T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），其中max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}表示Tk﹣1（P）和a1+a2+…+ak两个数中最大的数，
（1）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；
（2）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；
（3）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，
∴A∩B={0，2}
故选C
【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．
2．【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由于函数y= 在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，
由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，
由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，
由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，
故选：A．
【分析】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．
3．【答案】B
【知识点】圆的参数方程
【解析】【解答】解：曲线 （θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，
故选：B．
【分析】曲线 （θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．
4．【答案】C
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，
当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，
∴跳出循环的k值为4，
∴输出S=7×6×5=210．
故选：C．
【分析】算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．
5．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{an}不是递增数列，充分性不成立．
若an=﹣1 为递增数列，但q= ＞1不成立，即必要性不成立，
故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
6．【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，
故由约束条件 作出可行域如图，
由kx﹣y+2=0，得x= ，
∴B（﹣ ）．
由z=y﹣x得y=x+z．
由图可知，当直线y=x+z过B（﹣ ）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．
此时 ，解得：k=﹣ ．
故选：D．
【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
7．【答案】D
【知识点】空间直角坐标系
【解析】【解答】解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1， ），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，
在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1= ．
在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1， ），S2=.
在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（0，1， ），S3= ，
则S3=S2且S3≠S1，
故选：D．
【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．
8．【答案】B
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，
语文成绩得B得也最多只有一个，
得C最多只有一个，
因此学生最多只有3人，
显然（AC）（BB）（CA）满足条件，
故学生最多有3个．
故选：B．
【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．
9．【答案】-1
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：（ ）2=v．
故答案为：﹣1．
【分析】由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案．
10．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设 =（x，y）．
∵向量 ， 满足| |=1， =（2，1），且 + = （λ∈R），
∴ + =λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），
∴ ，化为λ2=5．
解得|λ|= ．
故答案为： ．
【分析】设 =（x，y）．由于向量 ， 满足| |=1， =（2，1），且 + = （λ∈R），可得 ，解出即可．
11．【答案】；y=±2x
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：与 ﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为 ﹣x2=m，（m≠0），
∵双曲线C经过点（2，2），
∴m= ，
即双曲线方程为 ﹣x2=﹣3，即 ，
对应的渐近线方程为y=±2x，
故答案为： ，y=±2x．
【分析】利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．
12．【答案】8
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，
∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，
∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，
∴等差数列{an}的前8项和最大，
故答案为：8．
【分析】可得等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．
13．【答案】36
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有 种方法，而A、B可交换位置，所以有2 =48种摆法，
又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2 =12种摆法，
故满足条件的摆法有48﹣12=36种．
故答案为：36．
【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足A、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．
14．【答案】π
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由f（ ）=f（ ），可知函数f（x）的一条对称轴为x= ，
则x= 离最近对称轴距离为 ．
又f（ ）=﹣f（ ），则f（x）有对称中心（ ，0），
由于f（x）在区间[ ， ]上具有单调性，
则 ≤ T T≥ ，从而 = T=π．
故答案为：π．
【分析】由f（ ）=f（ ）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[ ， ]上具有单调性，且f（ ）=﹣f（ ）
可得函数的半周期，则周期可求．
15．【答案】（1）解：在△ABC中，∵cos∠ADC= ，
∴sin∠ADC= = = = ，
则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC cosB﹣cos∠ADC sinB= × ﹣ =
（2）解：在△ABD中，由正弦定理得BD= = ，
在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB BCcosB=82+52﹣2×8× =49，
即AC=7．
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．
16．【答案】（1）解：设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场
所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=
（2）解：设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率 ，客场命中率超过0.6的概率 ，
故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=
（3）解： = （12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4
EX=
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可．（3）求出平均数和EX，比较即可．
17．【答案】（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，
∴AB∥DE，又∵AB 平面PDE，∴AB∥平面PDE，
∵AB 平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，
∴AB∥FG
（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，
如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），
B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），
E（0，2，0），F（0，1，1）， ，
设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），则
即 ，
令z=1，则y=﹣1，∴n=（0，﹣1，1），
设直线BC与平面ABF所成的角为α，则
sinα=|cos |=| |= ，
∴直线BC与平面ABF所成的角为 ，
设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设 ，
即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵n是平面ABF的法向量，
∴n =0，即（0，﹣1，1） （2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ= ，∴H（ ），
∴PH= =2．
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos |，求出角α；设H（u，v，w），再设 ，用λ表示H的坐标，再由n =0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长．
18．【答案】（1）解：由f（x）=xcosx﹣sinx得
f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，
此在区间∈（0， ）上f′（x）=﹣xsinx＜0，
所以f（x）在区间∈[0， ]上单调递减，
从而f（x）≤f（0）=0
（2）解：当x＞0时，“ ＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“ ＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”
令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，
当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0， ）上恒成立，
当c≥1时，因为对任意x∈（0， ），g′（x）=cosx﹣c＜0，
所以g（x）在区间[0， ]上单调递减，
从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0， ）恒成立，
当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0， ）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，
g（x）与g′（x）在区间（0， ）上的情况如下：
x （0，x0） x0 （x0， ）
g′（x） + ﹣
g（x） ↑ ↓
因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，
所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0， ）恒成立，
当且仅当
综上所述当且仅当 时，g（x）＞0对任意x∈（0， ）恒成立，
当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0， ）恒成立，
所以若a＜ ＜b对x∈（0， ）上恒成立，则a的最大值为 ，b的最小值为1
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0， ）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0， ]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“ ＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“ ＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值．
19．【答案】（1）解：由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为 ．
∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．
因此a=2，c= ．
故椭圆C的离心率e=
（2）解：直线AB与圆x2+y2=2相切．
证明如下：
设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．
∵OA⊥OB，
∴ =0，即tx0+2y0=0，解得 ．
当x0=t时， ，代入椭圆C的方程，得t= ．
故直线AB的方程为x= ，圆心O到直线AB的距离d= ．
此时直线AB与圆x2+y2=2相切．
当x0≠t时，直线AB的方程为 ，
即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．
圆心O到直线AB的距离d= ．
又 ，t= ．
故 = ．
此时直线AB与圆x2+y2=2相切
【知识点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到 =0，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x2+y2=2相切．
20．【答案】（1）解： T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+max{T1（P），2+4}=1+max{7，6}=8；
（2）解：T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}．
当m=a时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，
∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T2（P）≤T2（P′）；
当m=d时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，
∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T2（P）≤T2（P′）；
∴无论m=a和m=d，T2（P）≤T2（P′）；
（3）解：数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T5（P）最小；
T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52．
【知识点】分析法和综合法
【解析】【分析】（1）利用T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），可求T1（P），T2（P）的值；（2）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P′）的大小；（3）根据新定义，可得结论．
1 / 12014年高考理数真题试卷（北京卷）
一、选择题（在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．（2014·北京理）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，
∴A∩B={0，2}
故选C
【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．
2．（2014·北京理）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y= B．y=（x﹣1）2
C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）
【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由于函数y= 在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，
由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，
由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，
由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，
故选：A．
【分析】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．
3．（2014·北京理）曲线 （θ为参数）的对称中心（ ）
A．在直线y=2x上 B．在直线y=﹣2x上
C．在直线y=x﹣1上 D．在直线y=x+1上
【答案】B
【知识点】圆的参数方程
【解析】【解答】解：曲线 （θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，
故选：B．
【分析】曲线 （θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．
4．（2014·北京理）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（ ）
A．7 B．42 C．210 D．840
【答案】C
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，
当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，
∴跳出循环的k值为4，
∴输出S=7×6×5=210．
故选：C．
【分析】算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．
5．（2014·北京理）设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{an}不是递增数列，充分性不成立．
若an=﹣1 为递增数列，但q= ＞1不成立，即必要性不成立，
故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
6．（2014·北京理）若x，y满足 且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，
故由约束条件 作出可行域如图，
由kx﹣y+2=0，得x= ，
∴B（﹣ ）．
由z=y﹣x得y=x+z．
由图可知，当直线y=x+z过B（﹣ ）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．
此时 ，解得：k=﹣ ．
故选：D．
【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
7．（2014·北京理）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1， ），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A．S1=S2=S3 B．S2=S1且S2≠S3
C．S3=S1且S3≠S2 D．S3=S2且S3≠S1
【答案】D
【知识点】空间直角坐标系
【解析】【解答】解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1， ），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，
在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1= ．
在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1， ），S2=.
在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（0，1， ），S3= ，
则S3=S2且S3≠S1，
故选：D．
【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．
8．（2014·北京理）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（ ）
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
【答案】B
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，
语文成绩得B得也最多只有一个，
得C最多只有一个，
因此学生最多只有3人，
显然（AC）（BB）（CA）满足条件，
故学生最多有3个．
故选：B．
【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．
二、填空题
9．（2014·北京理）复数（ ）2= ．
【答案】-1
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：（ ）2=v．
故答案为：﹣1．
【分析】由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案．
10．（2014·北京理）已知向量 ， 满足| |=1， =（2，1），且 + = （λ∈R），则|λ|= ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设 =（x，y）．
∵向量 ， 满足| |=1， =（2，1），且 + = （λ∈R），
∴ + =λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），
∴ ，化为λ2=5．
解得|λ|= ．
故答案为： ．
【分析】设 =（x，y）．由于向量 ， 满足| |=1， =（2，1），且 + = （λ∈R），可得 ，解出即可．
11．（2014·北京理）设双曲线C经过点（2，2），且与 ﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为 ；渐近线方程为 ．
【答案】；y=±2x
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：与 ﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为 ﹣x2=m，（m≠0），
∵双曲线C经过点（2，2），
∴m= ，
即双曲线方程为 ﹣x2=﹣3，即 ，
对应的渐近线方程为y=±2x，
故答案为： ，y=±2x．
【分析】利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．
12．（2014·北京理）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n= 时，{an}的前n项和最大．
【答案】8
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，
∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，
∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，
∴等差数列{an}的前8项和最大，
故答案为：8．
【分析】可得等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．
13．（2014·北京理）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 种．
【答案】36
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有 种方法，而A、B可交换位置，所以有2 =48种摆法，
又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2 =12种摆法，
故满足条件的摆法有48﹣12=36种．
故答案为：36．
【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足A、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．
14．（2014·北京理）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[ ， ]上具有单调性，且f（ ）=f（ ）=﹣f（ ），则f（x）的最小正周期为 ．
【答案】π
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由f（ ）=f（ ），可知函数f（x）的一条对称轴为x= ，
则x= 离最近对称轴距离为 ．
又f（ ）=﹣f（ ），则f（x）有对称中心（ ，0），
由于f（x）在区间[ ， ]上具有单调性，
则 ≤ T T≥ ，从而 = T=π．
故答案为：π．
【分析】由f（ ）=f（ ）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[ ， ]上具有单调性，且f（ ）=﹣f（ ）
可得函数的半周期，则周期可求．
三、解答题
15．（2014·北京理）如图，在△ABC中，∠B= ，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC= ．
（1）求sin∠BAD；
（2）求BD，AC的长．
【答案】（1）解：在△ABC中，∵cos∠ADC= ，
∴sin∠ADC= = = = ，
则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC cosB﹣cos∠ADC sinB= × ﹣ =
（2）解：在△ABD中，由正弦定理得BD= = ，
在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB BCcosB=82+52﹣2×8× =49，
即AC=7．
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．
16．（2014·北京理）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；
场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数
主场1 22 12 客场1 18 8
主场2 15 12 客场2 13 12
主场3 12 8 客场3 21 7
主场4 23 8 客场4 18 15
主场5 24 20 客场5 25 12
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
（3）记 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与 的大小（只需写出结论）．
【答案】（1）解：设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场
所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=
（2）解：设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率 ，客场命中率超过0.6的概率 ，
故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=
（3）解： = （12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4
EX=
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可．（3）求出平均数和EX，比较即可．
17．（2014·北京理）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．
（1）求证：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．
【答案】（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，
∴AB∥DE，又∵AB 平面PDE，∴AB∥平面PDE，
∵AB 平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，
∴AB∥FG
（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，
如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），
B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），
E（0，2，0），F（0，1，1）， ，
设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），则
即 ，
令z=1，则y=﹣1，∴n=（0，﹣1，1），
设直线BC与平面ABF所成的角为α，则
sinα=|cos |=| |= ，
∴直线BC与平面ABF所成的角为 ，
设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设 ，
即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵n是平面ABF的法向量，
∴n =0，即（0，﹣1，1） （2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ= ，∴H（ ），
∴PH= =2．
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos |，求出角α；设H（u，v，w），再设 ，用λ表示H的坐标，再由n =0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长．
18．（2014·北京理）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0， ]
（1）求证：f（x）≤0；
（2）若a＜ ＜b对x∈（0， ）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．
【答案】（1）解：由f（x）=xcosx﹣sinx得
f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，
此在区间∈（0， ）上f′（x）=﹣xsinx＜0，
所以f（x）在区间∈[0， ]上单调递减，
从而f（x）≤f（0）=0
（2）解：当x＞0时，“ ＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“ ＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”
令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，
当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0， ）上恒成立，
当c≥1时，因为对任意x∈（0， ），g′（x）=cosx﹣c＜0，
所以g（x）在区间[0， ]上单调递减，
从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0， ）恒成立，
当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0， ）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，
g（x）与g′（x）在区间（0， ）上的情况如下：
x （0，x0） x0 （x0， ）
g′（x） + ﹣
g（x） ↑ ↓
因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，
所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0， ）恒成立，
当且仅当
综上所述当且仅当 时，g（x）＞0对任意x∈（0， ）恒成立，
当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0， ）恒成立，
所以若a＜ ＜b对x∈（0， ）上恒成立，则a的最大值为 ，b的最小值为1
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0， ）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0， ]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“ ＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“ ＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值．
19．（2014·北京理）已知椭圆C：x2+2y2=4，
（1）求椭圆C的离心率
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为 ．
∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．
因此a=2，c= ．
故椭圆C的离心率e=
（2）解：直线AB与圆x2+y2=2相切．
证明如下：
设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．
∵OA⊥OB，
∴ =0，即tx0+2y0=0，解得 ．
当x0=t时， ，代入椭圆C的方程，得t= ．
故直线AB的方程为x= ，圆心O到直线AB的距离d= ．
此时直线AB与圆x2+y2=2相切．
当x0≠t时，直线AB的方程为 ，
即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．
圆心O到直线AB的距离d= ．
又 ，t= ．
故 = ．
此时直线AB与圆x2+y2=2相切
【知识点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到 =0，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x2+y2=2相切．
20．（2014·北京理）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），记T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），其中max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}表示Tk﹣1（P）和a1+a2+…+ak两个数中最大的数，
（1）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；
（2）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；
（3）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．
【答案】（1）解： T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+max{T1（P），2+4}=1+max{7，6}=8；
（2）解：T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}．
当m=a时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，
∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T2（P）≤T2（P′）；
当m=d时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，
∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T2（P）≤T2（P′）；
∴无论m=a和m=d，T2（P）≤T2（P′）；
（3）解：数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T5（P）最小；
T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52．
【知识点】分析法和综合法
【解析】【分析】（1）利用T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），可求T1（P），T2（P）的值；（2）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P′）的大小；（3）根据新定义，可得结论．
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