2014年全国高考理数真题试卷（新课标I卷）
一、选择题
1．（2014·新课标I卷理）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（ ）
A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1]
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，
解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），
∵B=[﹣2，2），
∴A∩B=[﹣2，﹣1]．
故选：D．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
2．（2014·新课标I卷理） =（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： = =﹣（1+i）=﹣1﹣i，
故选：D．
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．
3．（2014·新课标I卷理）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x） g（x）是偶函数 B．|f（x）| g（x）是奇函数
C．f（x） |g（x）|是奇函数 D．|f（x） g（x）|是奇函数
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
f（﹣x） g（﹣x）=﹣f（x） g（x），故函数是奇函数，故A错误，
|f（﹣x）| g（﹣x）=|f（x）| g（x）为偶函数，故B错误，
f（﹣x） |g（﹣x）|=﹣f（x） |g（x）|是奇函数，故C正确．
|f（﹣x） g（﹣x）|=|f（x） g（x）|为偶函数，故D错误，
故选：C
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
4．（2014·新课标I卷理）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）
A． B．3 C．m D．3m
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为 ，
∴一个焦点为（ ，0），一条渐近线方程为 =0，
∴点F到C的一条渐近线的距离为 = ．
故选：A．
【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．
5．（2014·新课标I卷理）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，
周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，
∴所求概率为 = ．
故选：D．
【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．
6．（2014·新课标I卷理）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|
=|cosx| |sinx|= |sin2x|，
其周期为T= ，最大值为 ，最小值为0，
故选C．
【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．
7．（2014·新课标I卷理）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+ = ，a=2，b= ，n=2；
第二次循环M=2+ = ，a= ，b= ，n=3；
第三次循环M= + = ，a= ，b= ，n=4．
不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M= ．
故选：D．
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．
8．（2014·新课标I卷理）设α∈（0， ），β∈（0， ），且tanα= ，则（ ）
A．3α﹣β= B．3α+β=
C．2α﹣β= D．2α+β=
【答案】C
【知识点】三角函数的化简求值
【解析】【解答】解：由tanα= ，得：
，
即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，
sin（α﹣β）=cosα=sin（ ），
∵α∈（0， ），β∈（0， ），
∴当 时，sin（α﹣β）=sin（ ）=cosα成立．
故选：C．
【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．
9．（2014·新课标I卷理）不等式组 的解集记为D，有下列四个命题：
p1： （x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2： （x，y）∈D，x+2y≥2
p3： （x，y）∈D，x+2y≤3 p4： （x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（ ）
A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：作出图形如下：
由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，
p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故： （x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；
p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内， （x，y）∈D，x+2y≥2，故p2： （x，y）∈D，x+2y≥2正确；
p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3： （x，y）∈D，x+2y≤3错误；
p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4： （x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；
综上所述，p1、p2正确；
故选：C．
【分析】作出不等式组 的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．
10．（2014·新课标I卷理）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 =4 ，则|QF|=（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，
∵ =4 ，
∴|PQ|=3d，
∴不妨设直线PF的斜率为﹣ =﹣2 ，
∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=﹣2 （x﹣2），
与y2=8x联立可得x=1，
∴|QF|=d=1+2=3，
故选：B．
【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．
11．（2014·新课标I卷理）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x= 时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（ ）= ﹣3 +1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．
12．（2014·新课标I卷理）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A．6 B．6 C．4 D．4
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，
∴ ．AC= =6，AD=4 ，
显然AC最长．长为6．
故选：B．
【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．
二、填空题
13．（2014·新课标I卷理）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为 ．（用数字填写答案）
【答案】-20
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．
含x2y6的系数是28，
∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．
故答案为：﹣20
【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．
14．（2014·新课标I卷理）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 ．
【答案】A
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断乙去过的城市为A．
故答案为：A．
【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．
15．（2014·新课标I卷理）已知A，B，C为圆O上的三点，若 = （ + ），则 与 的夹角为 ．
【答案】90°
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：在圆中若 = （ + ），
即2 = + ，
即 + 的和向量是过A，O的直径，
则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，
则 ⊥ ，
即 与 的夹角为90°，
故答案为：90°
【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．
16．（2014·新课标I卷理）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC
（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c
2a﹣b2=c2﹣bc，
又因为：a=2，
所以： ，
△ABC面积 ，
而b2+c2﹣a2=bc
b2+c2﹣bc=a2
b2+c2﹣bc=4
bc≤4
所以： ，即△ABC面积的最大值为 ．
故答案为： ．
【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．
三、解答题
17．（2014·新课标I卷理）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．
（1）证明：an+2﹣an=λ
（2）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，
∴an+1（an+2﹣an）=λan+1
∵an+1≠0，
∴an+2﹣an=λ．
（2）解：①当λ=0时，anan+1=﹣1，假设{an}为等差数列，设公差为d．
则an+2﹣an=0，∴2d=0，解得d=0，
∴an=an+1=1，
∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{an}不为等差数列．
②当λ≠0时，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．
则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，
∴ ．
∴ ， ，
∴λSn=1+ = ，
根据{an}为等差数列的充要条件是 ，解得λ=4．
此时可得 ，an=2n﹣1．
因此存在λ=4，使得{an}为等差数列
【知识点】等差关系的确定；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相减即可得出；（2）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d， ．得到λSn= ，根据{an}为等差数列的充要条件是 ，解得λ即可．
18．（2014·新课标I卷理）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附： ≈12.2．
若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．
【答案】（1）解：抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差s2分别为：
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．
（2）解：（i）由（1）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；
（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，
依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（2）（i）由（1）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．
19．（2014·新课标I卷理）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．
（1）证明：AC=AB1；
（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．
【答案】（1）证明：连结BC1，交B1C于点O，连结AO，
∵侧面BB1C1C为菱形，
∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，
又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，
∵AO 平面ABO，∴B1C⊥AO，
又B10=CO，∴AC=AB1，
（2）解：∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，
又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，
∴OA，OB，OB1两两垂直，
以O为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，| |为单位长度，
的方向为y轴的正方向， 的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，
∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，
∴A（0，0， ），B（1，0，0，），B1（0， ，0），C（0， ，0）
∴ =（0， ， ）， = =（1，0， ）， = =（﹣1， ，0），
设向量 =（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，
则 ，可取 =（1， ， ），
同理可得平面A1B1C1的一个法向量 =（1，﹣ ， ），
∴cos＜ ， ＞= = ，
∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，| |为单位长度， 的方向为y轴的正方向， 的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．
20．（2014·新课标I卷理）已知点A（0，﹣2），椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点．
（1）求E的方程；
（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【答案】（1）解：设F（c，0），由条件知 ，得 又 ，
所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程 ．
（2）解：依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）
将y=kx﹣2代入 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
当△=16（4k2﹣3）＞0，即 时，
从而
又点O到直线PQ的距离 ，所以△OPQ的面积 = ，
设 ，则t＞0， ，
当且仅当t=2，k=± 等号成立，且满足△＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y= x﹣2或y=﹣ x﹣2
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（2）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入 ，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．
21．（2014·新课标I卷理）设函数f（x）=aexlnx+ ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．
（1）求a、b；
（2）证明：f（x）＞1．
【答案】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）= + ，
由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，
故a=1，b=2；
（2）证明：由（1）知，f（x）=exlnx+ ，
∵f（x）＞1，∴exlnx+ ＞1，∴lnx＞ ﹣ ，
∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣ ，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，
∴当x∈（0， ）时，g′（x）＜0；当x∈（ ，+∞）时，g′（x）＞0．
故g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（ ）=﹣ ．
设函数h（x）=xe﹣x﹣ ，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．
∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣ ．
综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（2）由（1）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣ ，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）= ，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；
四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分） 选修4-1：几何证明选讲
22．（2014·新课标I卷理）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．
（1）证明：∠D=∠E；
（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D=∠CBE，
∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE，
∴∠D=∠E；
（2）解：设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，
∴O在直线MN上，
∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，
∴OM⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE=∠E，
∴∠A=∠E，
由（1）知，∠D=∠E，
∴△ADE为等边三角形．
【知识点】弦切角；与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（2）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．
23．（2014·新课标I卷理）已知曲线C： + =1，直线l： （t为参数）
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
【答案】（1）解：对于曲线C： + =1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲线C的参数方程为 ，（θ为参数）．
对于直线l： ，
由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；
（2）解：设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为 ．
则 ，其中α为锐角．
当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为 ．
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为 ．
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（2）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．
24．（2014·新课标I卷理）若a＞0，b＞0，且 + = ．
（1）求a3+b3的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
【答案】（1）解：∵a＞0，b＞0，且 + = ，
∴ = + ≥2 ，∴ab≥2，
当且仅当a=b= 时取等号．
∵a3+b3≥2 ≥2 =4 ，当且仅当a=b= 时取等号，
∴a3+b3的最小值为4 ．
（2）解：∵2a+3b≥2 =2 ，当且仅当2a=3b时，取等号．
而由（1）可知，2 ≥2 =4 ＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．
【知识点】平均值不等式
【解析】【分析】（1）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（2）根据 ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．
1 / 12014年全国高考理数真题试卷（新课标I卷）
一、选择题
1．（2014·新课标I卷理）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（ ）
A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1]
2．（2014·新课标I卷理） =（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．（2014·新课标I卷理）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x） g（x）是偶函数 B．|f（x）| g（x）是奇函数
C．f（x） |g（x）|是奇函数 D．|f（x） g（x）|是奇函数
4．（2014·新课标I卷理）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）
A． B．3 C．m D．3m
5．（2014·新课标I卷理）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2014·新课标I卷理）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2014·新课标I卷理）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）
A． B． C． D．
8．（2014·新课标I卷理）设α∈（0， ），β∈（0， ），且tanα= ，则（ ）
A．3α﹣β= B．3α+β=
C．2α﹣β= D．2α+β=
9．（2014·新课标I卷理）不等式组 的解集记为D，有下列四个命题：
p1： （x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2： （x，y）∈D，x+2y≥2
p3： （x，y）∈D，x+2y≤3 p4： （x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（ ）
A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3
10．（2014·新课标I卷理）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 =4 ，则|QF|=（ ）
A． B．3 C． D．2
11．（2014·新课标I卷理）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
12．（2014·新课标I卷理）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A．6 B．6 C．4 D．4
二、填空题
13．（2014·新课标I卷理）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为 ．（用数字填写答案）
14．（2014·新课标I卷理）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 ．
15．（2014·新课标I卷理）已知A，B，C为圆O上的三点，若 = （ + ），则 与 的夹角为 ．
16．（2014·新课标I卷理）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
三、解答题
17．（2014·新课标I卷理）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．
（1）证明：an+2﹣an=λ
（2）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
18．（2014·新课标I卷理）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附： ≈12.2．
若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．
19．（2014·新课标I卷理）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．
（1）证明：AC=AB1；
（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．
20．（2014·新课标I卷理）已知点A（0，﹣2），椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点．
（1）求E的方程；
（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
21．（2014·新课标I卷理）设函数f（x）=aexlnx+ ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．
（1）求a、b；
（2）证明：f（x）＞1．
四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分） 选修4-1：几何证明选讲
22．（2014·新课标I卷理）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．
（1）证明：∠D=∠E；
（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
23．（2014·新课标I卷理）已知曲线C： + =1，直线l： （t为参数）
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
24．（2014·新课标I卷理）若a＞0，b＞0，且 + = ．
（1）求a3+b3的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，
解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），
∵B=[﹣2，2），
∴A∩B=[﹣2，﹣1]．
故选：D．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： = =﹣（1+i）=﹣1﹣i，
故选：D．
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．
3．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
f（﹣x） g（﹣x）=﹣f（x） g（x），故函数是奇函数，故A错误，
|f（﹣x）| g（﹣x）=|f（x）| g（x）为偶函数，故B错误，
f（﹣x） |g（﹣x）|=﹣f（x） |g（x）|是奇函数，故C正确．
|f（﹣x） g（﹣x）|=|f（x） g（x）|为偶函数，故D错误，
故选：C
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
4．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为 ，
∴一个焦点为（ ，0），一条渐近线方程为 =0，
∴点F到C的一条渐近线的距离为 = ．
故选：A．
【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．
5．【答案】D
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，
周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，
∴所求概率为 = ．
故选：D．
【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．
6．【答案】C
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|
=|cosx| |sinx|= |sin2x|，
其周期为T= ，最大值为 ，最小值为0，
故选C．
【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．
7．【答案】D
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+ = ，a=2，b= ，n=2；
第二次循环M=2+ = ，a= ，b= ，n=3；
第三次循环M= + = ，a= ，b= ，n=4．
不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M= ．
故选：D．
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．
8．【答案】C
【知识点】三角函数的化简求值
【解析】【解答】解：由tanα= ，得：
，
即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，
sin（α﹣β）=cosα=sin（ ），
∵α∈（0， ），β∈（0， ），
∴当 时，sin（α﹣β）=sin（ ）=cosα成立．
故选：C．
【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．
9．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：作出图形如下：
由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，
p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故： （x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；
p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内， （x，y）∈D，x+2y≥2，故p2： （x，y）∈D，x+2y≥2正确；
p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3： （x，y）∈D，x+2y≤3错误；
p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4： （x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；
综上所述，p1、p2正确；
故选：C．
【分析】作出不等式组 的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．
10．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，
∵ =4 ，
∴|PQ|=3d，
∴不妨设直线PF的斜率为﹣ =﹣2 ，
∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=﹣2 （x﹣2），
与y2=8x联立可得x=1，
∴|QF|=d=1+2=3，
故选：B．
【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．
11．【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x= 时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（ ）= ﹣3 +1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．
12．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，
∴ ．AC= =6，AD=4 ，
显然AC最长．长为6．
故选：B．
【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．
13．【答案】-20
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．
含x2y6的系数是28，
∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．
故答案为：﹣20
【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．
14．【答案】A
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断乙去过的城市为A．
故答案为：A．
【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．
15．【答案】90°
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：在圆中若 = （ + ），
即2 = + ，
即 + 的和向量是过A，O的直径，
则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，
则 ⊥ ，
即 与 的夹角为90°，
故答案为：90°
【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．
16．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC
（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c
2a﹣b2=c2﹣bc，
又因为：a=2，
所以： ，
△ABC面积 ，
而b2+c2﹣a2=bc
b2+c2﹣bc=a2
b2+c2﹣bc=4
bc≤4
所以： ，即△ABC面积的最大值为 ．
故答案为： ．
【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．
17．【答案】（1）证明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，
∴an+1（an+2﹣an）=λan+1
∵an+1≠0，
∴an+2﹣an=λ．
（2）解：①当λ=0时，anan+1=﹣1，假设{an}为等差数列，设公差为d．
则an+2﹣an=0，∴2d=0，解得d=0，
∴an=an+1=1，
∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{an}不为等差数列．
②当λ≠0时，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．
则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，
∴ ．
∴ ， ，
∴λSn=1+ = ，
根据{an}为等差数列的充要条件是 ，解得λ=4．
此时可得 ，an=2n﹣1．
因此存在λ=4，使得{an}为等差数列
【知识点】等差关系的确定；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相减即可得出；（2）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d， ．得到λSn= ，根据{an}为等差数列的充要条件是 ，解得λ即可．
18．【答案】（1）解：抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差s2分别为：
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．
（2）解：（i）由（1）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；
（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，
依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（2）（i）由（1）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．
19．【答案】（1）证明：连结BC1，交B1C于点O，连结AO，
∵侧面BB1C1C为菱形，
∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，
又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，
∵AO 平面ABO，∴B1C⊥AO，
又B10=CO，∴AC=AB1，
（2）解：∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，
又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，
∴OA，OB，OB1两两垂直，
以O为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，| |为单位长度，
的方向为y轴的正方向， 的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，
∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，
∴A（0，0， ），B（1，0，0，），B1（0， ，0），C（0， ，0）
∴ =（0， ， ）， = =（1，0， ）， = =（﹣1， ，0），
设向量 =（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，
则 ，可取 =（1， ， ），
同理可得平面A1B1C1的一个法向量 =（1，﹣ ， ），
∴cos＜ ， ＞= = ，
∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，| |为单位长度， 的方向为y轴的正方向， 的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．
20．【答案】（1）解：设F（c，0），由条件知 ，得 又 ，
所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程 ．
（2）解：依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）
将y=kx﹣2代入 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
当△=16（4k2﹣3）＞0，即 时，
从而
又点O到直线PQ的距离 ，所以△OPQ的面积 = ，
设 ，则t＞0， ，
当且仅当t=2，k=± 等号成立，且满足△＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y= x﹣2或y=﹣ x﹣2
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（2）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入 ，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．
21．【答案】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）= + ，
由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，
故a=1，b=2；
（2）证明：由（1）知，f（x）=exlnx+ ，
∵f（x）＞1，∴exlnx+ ＞1，∴lnx＞ ﹣ ，
∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣ ，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，
∴当x∈（0， ）时，g′（x）＜0；当x∈（ ，+∞）时，g′（x）＞0．
故g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（ ）=﹣ ．
设函数h（x）=xe﹣x﹣ ，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．
∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣ ．
综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（2）由（1）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣ ，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）= ，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D=∠CBE，
∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE，
∴∠D=∠E；
（2）解：设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，
∴O在直线MN上，
∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，
∴OM⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE=∠E，
∴∠A=∠E，
由（1）知，∠D=∠E，
∴△ADE为等边三角形．
【知识点】弦切角；与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（2）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．
23．【答案】（1）解：对于曲线C： + =1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲线C的参数方程为 ，（θ为参数）．
对于直线l： ，
由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；
（2）解：设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为 ．
则 ，其中α为锐角．
当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为 ．
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为 ．
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（2）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．
24．【答案】（1）解：∵a＞0，b＞0，且 + = ，
∴ = + ≥2 ，∴ab≥2，
当且仅当a=b= 时取等号．
∵a3+b3≥2 ≥2 =4 ，当且仅当a=b= 时取等号，
∴a3+b3的最小值为4 ．
（2）解：∵2a+3b≥2 =2 ，当且仅当2a=3b时，取等号．
而由（1）可知，2 ≥2 =4 ＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．
【知识点】平均值不等式
【解析】【分析】（1）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（2）根据 ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．
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