2014年高考理数真题试卷（湖南卷）
一、选择题
1．（2014·湖南理）满足 =i（i为虚数单位）的复数z=（ ）
A．+ i B．﹣ i
C．﹣ + i D．﹣ ﹣ i
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵ =i，
∴z+i=zi，
即z= = = ﹣ i，
故选：B．
【分析】根据复数的基本运算即可得到结论．
2．（2014·湖南理）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（ ）
A．P1=P2＜P3 B．P2=P3＜P1 C．P1=P3＜P2 D．P1=P2=P3
【答案】D
【知识点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法
【解析】【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，
即P1=P2=P3．
故选：D．
【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．
3．（2014·湖南理）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得
f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，
根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得
f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，
f（1）+g（1）=1．
故选：C．
【分析】将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．
4．（2014·湖南理）（ x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（ ）
A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由二项式定理可知：Tr+1= ，
要求解（ x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数，
所以r=3，
所求系数为： =﹣20．
故选：A．
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可．
5．（2014·湖南理）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，
当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，
则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，
故选：C．
【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．
6．（2014·湖南理）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（ ）
A．[﹣6，﹣2] B．[﹣5，﹣1] C．[﹣4，5] D．[﹣3，6]
【答案】D
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，
若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，
综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，
故选：D
【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．
7．（2014·湖南理）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则
8﹣r+6﹣r= ，
∴r=2．
故选：B．
【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．
8．（2014·湖南理）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
A． B．
C．pq D．﹣1
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，
则（1+p）（1+q）=（1+x）2，
解得x= ﹣1，
故选：D．
【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，可得（1+p）（1+q）=（1+x）2，解出即可．
9．（2014·湖南理）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且 f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=
【答案】A
【知识点】定积分；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），
f（x）dx=﹣cos（x﹣φ） =﹣cos（ ﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]= cosφ﹣ sinφ= cos（φ+ ）=0，
∴φ+ =kπ+ ，k∈z，即 φ=kπ+ ，k∈z，故可取φ= ，f（x）=sin（x﹣ ）．
令x﹣ =kπ+ ，求得 x=kπ+ ，k∈Z，
则函数f（x）的图象的一条对称轴为 x= ，
故选：A．
【分析】由 f（x）dx=0求得 cos（φ+ ）=0，故有 φ+ =kπ+ ，k∈z．可取φ= ，则f（x）=sin（x﹣ ）．
令x﹣ =kπ+ ，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．
10．（2014·湖南理）若函数f（x）=x2+ex﹣ （x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣ ） B．（ ）
C．（ ） D．（ ）
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由题意可得：
存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+ex0﹣ =（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），
即ex0﹣ ﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，
∵当x趋近于负无穷大时，ex0﹣ ﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，
且函数h（x）=ex﹣ ﹣ln（﹣x+a）为增函数，
∴h（0）=e0﹣ ﹣lna＞0，
∴lna＜ln ，
∴a＜ ，
∴a的取值范围是（﹣∞， ），
故选：A
【分析】由题意可得ex0﹣ ﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=ex﹣ ﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．
二、填空题（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．（2014·湖南理）在平面直角坐标系中，倾斜角为 的直线l与曲线C： ，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是 ．
【答案】ρ（cosθ﹣sinθ）=1
【知识点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：设倾斜角为 的直线l的方程为y=x+b，
曲线C： （α为参数），即 （x﹣2）2+（y﹣1）2=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆．
由于弦长|AB|=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l上，故有1=2+b，解得b=﹣1，
故直线l的方程为 y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0．
再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，即ρ（cosθ﹣sinθ）=1
故答案为：ρ（cosθ﹣sinθ）=1．
【分析】由题意可得直线l的方程为y=x+b，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心（2，1）在直线l上，由此求得b的值，可得直线的方程．
12．（2014·湖南理）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB= ，BC=2 ，则⊙O的半径等于 ．
【答案】1.5
【知识点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：设垂足为D，⊙O的半径等于R，则
∵AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB= ，BC=2 ，
∴AD=1，
∴R2=2+（R﹣1）2，
∴R=1.5．
故答案为：1.5
【分析】设垂足为D，⊙O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可．
13．（2014·湖南理）若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣ ＜x＜ }，则a= ．
【答案】-3
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：显然，a=0时，条件|ax﹣2|＜3恒成立，不满足解集为{x|﹣ ＜x＜ }．
当a＞0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得﹣ ＜x＜ ，
再根据的解集为{x|﹣ ＜x＜ }，∴ ，a无解．
当a＜0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得 ＜x＜﹣ ，
再根据的解集为{x|﹣ ＜x＜ }，∴ ，解得a=﹣3，
故答案为：﹣3．
【分析】分a=0、a＞0、a＜0三种情况，分别去掉绝对值求得不等式的解集，再把求得的解集和所给的解集作对比，从而求得a的值，综合可得结论．
14．（2014·湖南理）若变量x，y满足约束条件 ，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=
【答案】-2
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．
目标函数为2x+y=﹣6，
由 ，解得 ，
即A（﹣2，﹣2），
∵点A也在直线y=k上，
∴k=﹣2，
故答案为：﹣2．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．
15．（2014·湖南理）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则 = ．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意可得 ， ，
将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中，得
∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得 ，化简整理得a2+2ab﹣b2=0，
此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得 ，
取 ，
从而 ，
故答案为： ．
【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求 的值．
16．（2014·湖南理）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0， ），C（3，0），动点D满足| |=1，则| + + |的最大值是 ．
【答案】+1
【知识点】向量在几何中的应用；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），
则| + + |≤| + + |+| |= +1．
∴| + + |的最大值是 +1，
故答案为： +1．
【分析】由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），求得| + + |≤| + + |+| |，可得| + + |的最大值．
三、解答题
17．（2014·湖南理）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 ．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，
因为甲乙研发新产品成功的概率分别为 和 ．
则P（B）= ，
再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）= ，
故至少有一种新产品研发成功的概率为 ．
（2）解：由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，
由独立试验的概率计算公式可得，
，
，
，
，
所以X的分布列如下：
X 0 120 100 220
P（x）
则数学期望E（X）= =140．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用对立事件的概率公式，计算即可，（2）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可．
18．（2014·湖南理）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC= ．
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若cos∠BAD=﹣ ，sin∠CBA= ，求BC的长．
【答案】（1）解： cos∠CAD= = = ．
（2）解：∵cos∠BAD=﹣ ，
∴sin∠BAD= = ，
∵cos∠CAD= ，
∴sin∠CAD= =
∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD= × + × = ，
∴由正弦定理知 = ，
∴BC= sin∠BAC= × =3
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．（2）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．
19．（2014·湖南理）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，
A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
（1）证明：O1O⊥底面ABCD；
（2）若∠CBA=60°，求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．
【答案】（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，
∴四边形ABCD为菱形，
又∵AC∩BD=O，
故O为BD的中点，
同理O1也是B1D1的中点，
又∵四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，
∴O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，
∴OO1⊥AC，OO1⊥BD，
又∵AC∩BD=O，AC，BD 平面ABCD，
∴O1O⊥底面ABCD；
（2）解：设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均相等，所以四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵O1O⊥底面ABCD，
∴OB，OC，OO1两两垂直，
如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O﹣xyz．
设AB=2，
∵∠CBA=60°，
∴OA=OC=1，OB=OD= ，
则O（0，0，0），B1（ ），C1（0，1，2）
易知， =（0，1，0）是平面BDD1B1的一个法向量，
设 =（x，y，z）是平面OB1C1的一个法向量，则 ，即
取z=﹣ ，则x=2，y=2 ，所以 =（2，2 ，﹣ ）
设二面角C1﹣OB1﹣D的大小为θ，易知θ是锐角，于是：
cosθ=|cos＜ ， ＞|=| |= = ，
故二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）由已知中，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．可得O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，进而OO1⊥AC，OO1⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到O1O⊥底面ABCD；（2）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2a，设AB为2，若∠CBA=60°，OA=OC=1，OB=OD= ，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BDD1B1和平面OB1C1的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值．
20．（2014·湖南理）已知数列{an}满足a1=1，|an+1﹣an|=pn，n∈N*．
（1）若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；
（2）若p= ，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．
【答案】（1）解：∵数列{an}是递增数列，∴an+1﹣an＞0，
则|an+1﹣an|=pn化为：an+1﹣an=pn，
分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p， ，
即a2=1+p， ，
∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，
即4（1+p）=1+3（p2+p+1），
化简得3p2﹣p=0，解得 或0，
当p=0时，数列an为常数数列，不符合数列{an}是递增数列，
∴ ；
（2）解：由题意可得，|an+1﹣an|= ，
则|a2n﹣a2n﹣1|= ，|a2n+2﹣a2n+1|= ，
∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，
∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，
则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得
a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，
又∵|a2n﹣a2n﹣1|= ＞|a2n+2﹣a2n+1|= ，
∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即 ，
同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，
则a2n+1﹣a2n=
当数列{an}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），
， ， ，…， ，
这2m﹣1个等式相加可得，
= = ，
则 ；
当数列{an}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*）
， ， ，…， ，
这2m个等式相加可得，
= ﹣ = ，
则 ，且当m=0时a1=1符合，
故 ，
综上得，
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{an}是递增数列”对求出的p的值取舍；（2）根据数列的单调性和式子“|an+1﹣an|=pn”、不等式的可加性，求出 和a2n+1﹣a2n= ，再对数列{an}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{an}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．
21．（2014·湖南理）如图，O为坐标原点，椭圆C1： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2： ﹣ =1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2= ，且|F2F4|= ﹣1．
（1）求C1、C2的方程；
（2）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
【答案】（1）解：由题意可知， ，且 ．
∵e1e2= ，且|F2F4|= ﹣1．
∴ ，且 ．
解得： ．
∴椭圆C1的方程为 ，双曲线C2的方程为 ；
（2）解：由（1）可得F1（﹣1，0）．
∵直线AB不垂直于y轴，
∴设AB的方程为x=ny﹣1，
联立 ，得（n2+2）y2﹣2ny﹣1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
则 ， ．
则
= = ．
∵M在直线AB上，
∴ ．
直线PQ的方程为 ，
联立 ，得 ．
解得 ，代入 得 ．
由2﹣n2＞0，得﹣ ＜n＜ ．
∴P，Q的坐标分别为 ，
则P，Q到AB的距离分别为： ， ．
∵P，Q在直线A，B的两端，
∴ ．
则四边形APBQ的面积S= |AB| ．
∴当n2=0，即n=0时，四边形APBQ面积取得最小值2．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由斜率公式写出e1，e2，把双曲线的焦点用含有a，b的代数式表示，结合已知条件列关于a，b的方程组求解a，b的值，则圆锥曲线方程可求；（2）设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB中点M的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度，写出PQ的方程，和双曲线联立后解出P，Q的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P，Q到AB的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积，再由关于n的函数的单调性求得最值．
22．（2014·湖南理）已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣ ．
（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．
【答案】（1）解：∵f（x）=ln（1+ax）﹣ ．
∴f′（x）= = ，
∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=± ，则函数f（x）在（0， ）单调递减，在（ ，+∞）单调递增．
（2）解：由（1）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．
因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x1= ，x2=﹣ ，
且由f（x）的定义域可知x＞﹣ 且x≠﹣2，
∴﹣ ＞﹣ 且﹣ ≠﹣2，解得a≠ ，则x1，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，
∴f（x1）+f（x2）=ln[1+ax1]﹣ +ln（1+ax2）﹣ =ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣
=ln（2a﹣1）2﹣ =ln（2a﹣1）2+ ﹣2．
令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠ 得，
当0＜a＜ 时，﹣1＜x＜0；当 ＜a＜1时，0＜x＜1．
令g（x）=lnx2+ ﹣2．
（i）当﹣1＜x＜0时，g（x）=2ln（﹣x）+ ﹣2，∴g′（x）= ﹣ = ＜0，
故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，
∴当0＜a＜ 时，f（x1）+f（x2）＜0；
（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+ ﹣2，g′（x）= ﹣ = ＜0，
故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，
∴当 ＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；
综上所述，a的取值范围是（ ，1）．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（2）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．
1 / 12014年高考理数真题试卷（湖南卷）
一、选择题
1．（2014·湖南理）满足 =i（i为虚数单位）的复数z=（ ）
A．+ i B．﹣ i
C．﹣ + i D．﹣ ﹣ i
2．（2014·湖南理）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（ ）
A．P1=P2＜P3 B．P2=P3＜P1 C．P1=P3＜P2 D．P1=P2=P3
3．（2014·湖南理）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
4．（2014·湖南理）（ x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（ ）
A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20
5．（2014·湖南理）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．（2014·湖南理）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（ ）
A．[﹣6，﹣2] B．[﹣5，﹣1] C．[﹣4，5] D．[﹣3，6]
7．（2014·湖南理）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2014·湖南理）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
A． B．
C．pq D．﹣1
9．（2014·湖南理）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且 f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=
10．（2014·湖南理）若函数f（x）=x2+ex﹣ （x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣ ） B．（ ）
C．（ ） D．（ ）
二、填空题（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．（2014·湖南理）在平面直角坐标系中，倾斜角为 的直线l与曲线C： ，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是 ．
12．（2014·湖南理）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB= ，BC=2 ，则⊙O的半径等于 ．
13．（2014·湖南理）若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣ ＜x＜ }，则a= ．
14．（2014·湖南理）若变量x，y满足约束条件 ，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=
15．（2014·湖南理）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则 = ．
16．（2014·湖南理）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0， ），C（3，0），动点D满足| |=1，则| + + |的最大值是 ．
三、解答题
17．（2014·湖南理）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 ．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．
18．（2014·湖南理）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC= ．
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若cos∠BAD=﹣ ，sin∠CBA= ，求BC的长．
19．（2014·湖南理）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，
A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
（1）证明：O1O⊥底面ABCD；
（2）若∠CBA=60°，求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．
20．（2014·湖南理）已知数列{an}满足a1=1，|an+1﹣an|=pn，n∈N*．
（1）若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；
（2）若p= ，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．
21．（2014·湖南理）如图，O为坐标原点，椭圆C1： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2： ﹣ =1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2= ，且|F2F4|= ﹣1．
（1）求C1、C2的方程；
（2）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
22．（2014·湖南理）已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣ ．
（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵ =i，
∴z+i=zi，
即z= = = ﹣ i，
故选：B．
【分析】根据复数的基本运算即可得到结论．
2．【答案】D
【知识点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法
【解析】【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，
即P1=P2=P3．
故选：D．
【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．
3．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得
f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，
根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得
f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，
f（1）+g（1）=1．
故选：C．
【分析】将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．
4．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由二项式定理可知：Tr+1= ，
要求解（ x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数，
所以r=3，
所求系数为： =﹣20．
故选：A．
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可．
5．【答案】C
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，
当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，
则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，
故选：C．
【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．
6．【答案】D
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，
若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，
综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，
故选：D
【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．
7．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则
8﹣r+6﹣r= ，
∴r=2．
故选：B．
【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．
8．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，
则（1+p）（1+q）=（1+x）2，
解得x= ﹣1，
故选：D．
【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，可得（1+p）（1+q）=（1+x）2，解出即可．
9．【答案】A
【知识点】定积分；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），
f（x）dx=﹣cos（x﹣φ） =﹣cos（ ﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]= cosφ﹣ sinφ= cos（φ+ ）=0，
∴φ+ =kπ+ ，k∈z，即 φ=kπ+ ，k∈z，故可取φ= ，f（x）=sin（x﹣ ）．
令x﹣ =kπ+ ，求得 x=kπ+ ，k∈Z，
则函数f（x）的图象的一条对称轴为 x= ，
故选：A．
【分析】由 f（x）dx=0求得 cos（φ+ ）=0，故有 φ+ =kπ+ ，k∈z．可取φ= ，则f（x）=sin（x﹣ ）．
令x﹣ =kπ+ ，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．
10．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由题意可得：
存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+ex0﹣ =（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），
即ex0﹣ ﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，
∵当x趋近于负无穷大时，ex0﹣ ﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，
且函数h（x）=ex﹣ ﹣ln（﹣x+a）为增函数，
∴h（0）=e0﹣ ﹣lna＞0，
∴lna＜ln ，
∴a＜ ，
∴a的取值范围是（﹣∞， ），
故选：A
【分析】由题意可得ex0﹣ ﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=ex﹣ ﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．
11．【答案】ρ（cosθ﹣sinθ）=1
【知识点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：设倾斜角为 的直线l的方程为y=x+b，
曲线C： （α为参数），即 （x﹣2）2+（y﹣1）2=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆．
由于弦长|AB|=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l上，故有1=2+b，解得b=﹣1，
故直线l的方程为 y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0．
再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，即ρ（cosθ﹣sinθ）=1
故答案为：ρ（cosθ﹣sinθ）=1．
【分析】由题意可得直线l的方程为y=x+b，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心（2，1）在直线l上，由此求得b的值，可得直线的方程．
12．【答案】1.5
【知识点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：设垂足为D，⊙O的半径等于R，则
∵AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB= ，BC=2 ，
∴AD=1，
∴R2=2+（R﹣1）2，
∴R=1.5．
故答案为：1.5
【分析】设垂足为D，⊙O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可．
13．【答案】-3
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：显然，a=0时，条件|ax﹣2|＜3恒成立，不满足解集为{x|﹣ ＜x＜ }．
当a＞0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得﹣ ＜x＜ ，
再根据的解集为{x|﹣ ＜x＜ }，∴ ，a无解．
当a＜0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得 ＜x＜﹣ ，
再根据的解集为{x|﹣ ＜x＜ }，∴ ，解得a=﹣3，
故答案为：﹣3．
【分析】分a=0、a＞0、a＜0三种情况，分别去掉绝对值求得不等式的解集，再把求得的解集和所给的解集作对比，从而求得a的值，综合可得结论．
14．【答案】-2
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．
目标函数为2x+y=﹣6，
由 ，解得 ，
即A（﹣2，﹣2），
∵点A也在直线y=k上，
∴k=﹣2，
故答案为：﹣2．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．
15．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意可得 ， ，
将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中，得
∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得 ，化简整理得a2+2ab﹣b2=0，
此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得 ，
取 ，
从而 ，
故答案为： ．
【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求 的值．
16．【答案】+1
【知识点】向量在几何中的应用；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），
则| + + |≤| + + |+| |= +1．
∴| + + |的最大值是 +1，
故答案为： +1．
【分析】由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），求得| + + |≤| + + |+| |，可得| + + |的最大值．
17．【答案】（1）解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，
因为甲乙研发新产品成功的概率分别为 和 ．
则P（B）= ，
再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）= ，
故至少有一种新产品研发成功的概率为 ．
（2）解：由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，
由独立试验的概率计算公式可得，
，
，
，
，
所以X的分布列如下：
X 0 120 100 220
P（x）
则数学期望E（X）= =140．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用对立事件的概率公式，计算即可，（2）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可．
18．【答案】（1）解： cos∠CAD= = = ．
（2）解：∵cos∠BAD=﹣ ，
∴sin∠BAD= = ，
∵cos∠CAD= ，
∴sin∠CAD= =
∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD= × + × = ，
∴由正弦定理知 = ，
∴BC= sin∠BAC= × =3
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．（2）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．
19．【答案】（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，
∴四边形ABCD为菱形，
又∵AC∩BD=O，
故O为BD的中点，
同理O1也是B1D1的中点，
又∵四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，
∴O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，
∴OO1⊥AC，OO1⊥BD，
又∵AC∩BD=O，AC，BD 平面ABCD，
∴O1O⊥底面ABCD；
（2）解：设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均相等，所以四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵O1O⊥底面ABCD，
∴OB，OC，OO1两两垂直，
如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O﹣xyz．
设AB=2，
∵∠CBA=60°，
∴OA=OC=1，OB=OD= ，
则O（0，0，0），B1（ ），C1（0，1，2）
易知， =（0，1，0）是平面BDD1B1的一个法向量，
设 =（x，y，z）是平面OB1C1的一个法向量，则 ，即
取z=﹣ ，则x=2，y=2 ，所以 =（2，2 ，﹣ ）
设二面角C1﹣OB1﹣D的大小为θ，易知θ是锐角，于是：
cosθ=|cos＜ ， ＞|=| |= = ，
故二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）由已知中，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．可得O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，进而OO1⊥AC，OO1⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到O1O⊥底面ABCD；（2）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2a，设AB为2，若∠CBA=60°，OA=OC=1，OB=OD= ，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BDD1B1和平面OB1C1的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值．
20．【答案】（1）解：∵数列{an}是递增数列，∴an+1﹣an＞0，
则|an+1﹣an|=pn化为：an+1﹣an=pn，
分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p， ，
即a2=1+p， ，
∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，
即4（1+p）=1+3（p2+p+1），
化简得3p2﹣p=0，解得 或0，
当p=0时，数列an为常数数列，不符合数列{an}是递增数列，
∴ ；
（2）解：由题意可得，|an+1﹣an|= ，
则|a2n﹣a2n﹣1|= ，|a2n+2﹣a2n+1|= ，
∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，
∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，
则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得
a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，
又∵|a2n﹣a2n﹣1|= ＞|a2n+2﹣a2n+1|= ，
∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即 ，
同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，
则a2n+1﹣a2n=
当数列{an}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），
， ， ，…， ，
这2m﹣1个等式相加可得，
= = ，
则 ；
当数列{an}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*）
， ， ，…， ，
这2m个等式相加可得，
= ﹣ = ，
则 ，且当m=0时a1=1符合，
故 ，
综上得，
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{an}是递增数列”对求出的p的值取舍；（2）根据数列的单调性和式子“|an+1﹣an|=pn”、不等式的可加性，求出 和a2n+1﹣a2n= ，再对数列{an}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{an}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．
21．【答案】（1）解：由题意可知， ，且 ．
∵e1e2= ，且|F2F4|= ﹣1．
∴ ，且 ．
解得： ．
∴椭圆C1的方程为 ，双曲线C2的方程为 ；
（2）解：由（1）可得F1（﹣1，0）．
∵直线AB不垂直于y轴，
∴设AB的方程为x=ny﹣1，
联立 ，得（n2+2）y2﹣2ny﹣1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
则 ， ．
则
= = ．
∵M在直线AB上，
∴ ．
直线PQ的方程为 ，
联立 ，得 ．
解得 ，代入 得 ．
由2﹣n2＞0，得﹣ ＜n＜ ．
∴P，Q的坐标分别为 ，
则P，Q到AB的距离分别为： ， ．
∵P，Q在直线A，B的两端，
∴ ．
则四边形APBQ的面积S= |AB| ．
∴当n2=0，即n=0时，四边形APBQ面积取得最小值2．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由斜率公式写出e1，e2，把双曲线的焦点用含有a，b的代数式表示，结合已知条件列关于a，b的方程组求解a，b的值，则圆锥曲线方程可求；（2）设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB中点M的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度，写出PQ的方程，和双曲线联立后解出P，Q的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P，Q到AB的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积，再由关于n的函数的单调性求得最值．
22．【答案】（1）解：∵f（x）=ln（1+ax）﹣ ．
∴f′（x）= = ，
∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=± ，则函数f（x）在（0， ）单调递减，在（ ，+∞）单调递增．
（2）解：由（1）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．
因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x1= ，x2=﹣ ，
且由f（x）的定义域可知x＞﹣ 且x≠﹣2，
∴﹣ ＞﹣ 且﹣ ≠﹣2，解得a≠ ，则x1，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，
∴f（x1）+f（x2）=ln[1+ax1]﹣ +ln（1+ax2）﹣ =ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣
=ln（2a﹣1）2﹣ =ln（2a﹣1）2+ ﹣2．
令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠ 得，
当0＜a＜ 时，﹣1＜x＜0；当 ＜a＜1时，0＜x＜1．
令g（x）=lnx2+ ﹣2．
（i）当﹣1＜x＜0时，g（x）=2ln（﹣x）+ ﹣2，∴g′（x）= ﹣ = ＜0，
故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，
∴当0＜a＜ 时，f（x1）+f（x2）＜0；
（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+ ﹣2，g′（x）= ﹣ = ＜0，
故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，
∴当 ＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；
综上所述，a的取值范围是（ ，1）．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（2）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．
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