2014年高考理数真题试卷（江苏卷）
一、填空题
1．（2014·江苏理）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B= ．
【答案】{﹣1，3}
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，
∴A∩B={﹣1，3}，
故答案为：{﹣1，3}
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．
2．（2014·江苏理）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 ．
【答案】21
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，
故z的实部为21，
故答案为：21
【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论．
3．（2014·江苏理）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 ．
【答案】5
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，
∵24=16＜20，25=32＞20，
∴输出n=5．
故答案为：5．
【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．
4．（2014·江苏理）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，
所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，
故所求概率P= ．
故答案为： ．
【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可．
5．（2014·江苏理）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为 的交点，则φ的值是 ．
【答案】
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为 的交点，
∴ = ．
∵0≤φ＜π，∴ ，
∴ +φ= ，
解得φ= ．
故答案为： ．
【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为 的交点，可得 = ．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．
6．（2014·江苏理）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm．
【答案】24
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，
∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）．
故答案为：24．
【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数．
7．（2014·江苏理）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 ．
【答案】4
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0．
∵a8=a6+2a4，
∴ ，
化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．
∴a6= = =1×22=4．
故答案为：4．
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
8．（2014·江苏理）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且 = ，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；
∵ = ，
∴ ，它们的侧面积相等，
∴ ，
∴ = = = ．
故答案为： ．
【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．
9．（2014·江苏理）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为 ．
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，
∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d= = ，
∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2 =2 =
故答案为： ．
【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长．
10．（2014·江苏理）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是 ．
【答案】（﹣ ，0）
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，
对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴ ，
即 ，解得﹣ ＜m＜0，
故答案为：（﹣ ，0）．
【分析】由条件利用二次函数的性质可得 ，由此求得m的范围．
11．（2014·江苏理）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+ （a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是 ．
【答案】-3
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k= ，
曲线y=ax2+ （a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，
∴y′=2ax﹣ ，
∴ ，
解得： ，
故a+b=﹣3，
故答案为：﹣3
【分析】由曲线y=ax2+ （a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2= ，解方程可得答案．
12．（2014·江苏理）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3 ， =2，则 的值是 ．
【答案】22
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：∵ =3 ，
∴ = + ， = ﹣ ，
又∵AB=8，AD=5，
∴ =（ + ） （ ﹣ ）=| |2﹣ ﹣ | |2=25﹣ ﹣12=2，
故 =22，
故答案为：22．
【分析】由 =3 ，可得 = + ， = ﹣ ，进而由AB=8，AD=5， =3 ， =2，构造方程，进而可得答案．
13．（2014·江苏理）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是
【答案】（0，）
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知 ．
故答案为：（0，）．
【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．
14．（2014·江苏理）若△ABC的内角满足sinA+ sinB=2sinC，则cosC的最小值是 ．
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理得a+ b=2c，得c= （a+ b），
由余弦定理得cosC= = =
= ≥ = ，
当且仅当 时，取等号，
故 ≤cosC＜1，故cosC的最小值是 ．
故答案为： ．
【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．
二、解答题
15．（2014·江苏理）已知α∈（ ，π），sinα= ．
（1）求sin（ +α）的值；
（2）求cos（ ﹣2α）的值．
【答案】（1）解：α∈（ ，π），sinα= ．∴cosα=﹣ =
sin（ +α）=sin cosα+cos sinα= =﹣ ；
∴sin（ +α）的值为：﹣
（2）解：∵α∈（ ，π），sinα= ．∴cos2α=1﹣2sin2α= ，sin2α=2sinαcosα=﹣
∴cos（ ﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α= =﹣ ．
cos（ ﹣2α）的值为：﹣ ．
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（ +α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（ ﹣2α）的值．
16．（2014·江苏理）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
【答案】（1）证明：∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，
又∵PA 平面DEF，DE 平面DEF，
∴PA∥平面DEF
（2）证明：∵D、E为PC、AC的中点，∴DE= PA=3；
又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF= BC=4；
∴DE2+EF2=DF2，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；
∵DE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．
17．（2014·江苏理）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．
（1）若点C的坐标为（ ， ），且BF2= ，求椭圆的方程；
（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
【答案】（1）解：∵C的坐标为（ ， ），
∴ ，即 ，
∵ ，
∴a2=（ ）2=2，即b2=1，
则椭圆的方程为 +y2=1
（2）解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），
∵B（0，b），
∴直线BF2：y=﹣ x+b，代入椭圆方程 + =1（a＞b＞0）得（ ）x2﹣ =0，
解得x=0，或x= ，
∵A（ ， ），且A，C关于x轴对称，
∴C（ ，﹣ ），
则 =﹣ = ，
∵F1C⊥AB，
∴ ×（ ）=﹣1，
由b2=a2﹣c2得 ，
即e=
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．
18．（2014·江苏理）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO= ．
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
【答案】（1）解：如图，
过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，
∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，
∴∠ABF=∠BCE，
∴ ．
设AF=4x（m），则BF=3x（m）．
∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），
∴BE=（3x+60）m．
∵ ，
∴CE= （m）．
∴ （m）．
∴ ，
解得：x=20．
∴BE=120m，CE=90m，
则BC=150m
（2）解：如图，
设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，
∵∠POM=∠PQC=90°，
∴∠PMO=∠BCO．
设OM=xm，则OP= m，PM= m．
∴PC= m，PQ= m．
设⊙M半径为R，
∴R=MQ= m= m．
∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，
则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，
∴136﹣ ﹣（60﹣x）≥80，136﹣ ﹣x≥80．
解得：10≤x≤35．
∴当且仅当x=10时R取到最大值．
∴OM=10m时，保护区面积最大．
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．
19．（2014·江苏理）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵f（x）=ex+e﹣x，
∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数
（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，
即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，
∵x＞0，
∴ex+e﹣x﹣1＞0，
即m≤ 在（0，+∞）上恒成立，
设t=ex，（t＞1），则m≤ 在（1，+∞）上恒成立，
∵ =﹣ =﹣ ，当且仅当t=2时等号成立，
∴m
（3）解：令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），
则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），
当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，
故此时g（x）的最小值g（1）=e+ ﹣2a，
由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，
故e+ ﹣2a＜0，
即a＞ （e+ ），
令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，
则h′（x）=1﹣ ，
由h′（x）=1﹣ =0，解得x=e﹣1，
当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，
当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），
注意到h（1）=h（e）=0，
∴当x∈（1，e﹣1） （0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，
当x∈（e﹣1，e） （e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，
∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．
①a∈（ （e+ ），e） （1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，
②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，
③当a∈（e，+∞） （e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．
20．（2014·江苏理）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．
（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；
（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．
【答案】（1）解：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，
当n=1时，a1=S1=2．
当n=1时，S1=a1．
当n≥2时，Sn=an+1．
∴数列{an}是“H”数列
（2）解：Sn= = ，
对 n∈N*， m∈N*使Sn=am，即 ，
取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得 ，
∵d＜0，∴m＜2，
又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1
（3）证明：设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，
对 n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1，
cn=（n﹣1）（a1+d），
对 n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d，
则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列．
数列{bn}的前n项和Tn= ，
令Tn=（2﹣m）a1，则 ．
当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．
当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．
因此对 n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列．
数列{cn}的前n项和Rn= ，
令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m= ．
∵对 n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．
因此对 n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列．
因此命题得证
【知识点】数列的应用；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出．（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对 n∈N*， m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】
21．（2014·江苏理）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．
【答案】证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠OCB=∠D．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论．
22．（2014·江苏理）已知矩阵A= ，B= ，向量 = ，x，y为实数，若A =B ，求x+y的值．
【答案】解：∵矩阵A= ，B= ，向量 = ，A =B ，
∴ ，
∴x=﹣ ，y=4，
∴x+y=
【知识点】矩阵与向量乘法的意义
【解析】【分析】利用矩阵的乘法，结合A =B ，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值．
23．（2014·江苏理）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．
【答案】解：直线l的参数方程为 ，化为普通方程为x+y=3，
与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0，
∴交点A（1，2），B（9，﹣6），
∴|AB|= =8
【知识点】直线的参数方程
【解析】【分析】直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．
24．（2014·江苏理）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．
【答案】证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3 ，1+x2+y≥3
分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，
∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy
【知识点】不等式的证明
【解析】【分析】由均值不等式可得1+x+y2≥3 ，1+x2+y≥ ，两式相乘可得结论．
25．（2014·江苏理）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．
【答案】（1）解：一次取2个球共有 =36种可能，2个球颜色相同共有 =10种可能情况
∴取出的2个球颜色相同的概率P=
（2）解：X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）= ，P（X=3）=
于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）= ，
X的概率分布列为
X 2 3 4
P
故X数学期望E（X）=
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．
26．（2014·江苏理）已知函数f0（x）= （x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*．
（1）求2f1（ ）+ f2（ ）的值；
（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（ ）+ fn（ ）|= 都成立．
【答案】（1）解：∵f0（x）= ，∴xf0（x）=sinx，
则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，
∵fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*，
∴f0（x）+xf1（x）=cosx，
两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，
将x= 代入上式得，2f1（ ）+ f2（ ）=﹣1
（2）证明：由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+ ），
恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），
再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+ ），
同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），
猜想得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+ ）对任意n∈N*恒成立，
下面用数学归纳法进行证明等式成立：
①当n=1时， 成立，则上式成立；
②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即 ，
∵[kfk﹣1（x）+xfk（x）]′=kfk﹣1′（x）+fk（x）+xfk′（x）
=（k+1）fk（x）+xfk+1（x）
又
= = = ，
∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时．等式 也成立，
由①②得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+ ）对任意n∈N*恒成立，
令x= 代入上式得，nfn﹣1（ ）+ fn（ ）=sin（ + ）=±cos =± ，
所以，对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（ ）+ fn（ ）|= 都成立
【知识点】导数的四则运算；三角函数中的恒等变换应用
【解析】【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x= 代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x= 代入所给的式子求解验证．
1 / 12014年高考理数真题试卷（江苏卷）
一、填空题
1．（2014·江苏理）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B= ．
2．（2014·江苏理）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 ．
3．（2014·江苏理）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 ．
4．（2014·江苏理）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ．
5．（2014·江苏理）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为 的交点，则φ的值是 ．
6．（2014·江苏理）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm．
7．（2014·江苏理）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 ．
8．（2014·江苏理）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且 = ，则 的值是 ．
9．（2014·江苏理）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为 ．
10．（2014·江苏理）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是 ．
11．（2014·江苏理）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+ （a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是 ．
12．（2014·江苏理）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3 ， =2，则 的值是 ．
13．（2014·江苏理）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是
14．（2014·江苏理）若△ABC的内角满足sinA+ sinB=2sinC，则cosC的最小值是 ．
二、解答题
15．（2014·江苏理）已知α∈（ ，π），sinα= ．
（1）求sin（ +α）的值；
（2）求cos（ ﹣2α）的值．
16．（2014·江苏理）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
17．（2014·江苏理）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．
（1）若点C的坐标为（ ， ），且BF2= ，求椭圆的方程；
（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
18．（2014·江苏理）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO= ．
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
19．（2014·江苏理）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．
20．（2014·江苏理）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．
（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；
（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】
21．（2014·江苏理）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．
22．（2014·江苏理）已知矩阵A= ，B= ，向量 = ，x，y为实数，若A =B ，求x+y的值．
23．（2014·江苏理）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．
24．（2014·江苏理）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．
25．（2014·江苏理）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．
26．（2014·江苏理）已知函数f0（x）= （x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*．
（1）求2f1（ ）+ f2（ ）的值；
（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（ ）+ fn（ ）|= 都成立．
答案解析部分
1．【答案】{﹣1，3}
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，
∴A∩B={﹣1，3}，
故答案为：{﹣1，3}
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．
2．【答案】21
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，
故z的实部为21，
故答案为：21
【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论．
3．【答案】5
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，
∵24=16＜20，25=32＞20，
∴输出n=5．
故答案为：5．
【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．
4．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，
所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，
故所求概率P= ．
故答案为： ．
【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可．
5．【答案】
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为 的交点，
∴ = ．
∵0≤φ＜π，∴ ，
∴ +φ= ，
解得φ= ．
故答案为： ．
【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为 的交点，可得 = ．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．
6．【答案】24
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，
∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）．
故答案为：24．
【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数．
7．【答案】4
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0．
∵a8=a6+2a4，
∴ ，
化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．
∴a6= = =1×22=4．
故答案为：4．
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
8．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；
∵ = ，
∴ ，它们的侧面积相等，
∴ ，
∴ = = = ．
故答案为： ．
【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．
9．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，
∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d= = ，
∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2 =2 =
故答案为： ．
【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长．
10．【答案】（﹣ ，0）
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，
对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴ ，
即 ，解得﹣ ＜m＜0，
故答案为：（﹣ ，0）．
【分析】由条件利用二次函数的性质可得 ，由此求得m的范围．
11．【答案】-3
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k= ，
曲线y=ax2+ （a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，
∴y′=2ax﹣ ，
∴ ，
解得： ，
故a+b=﹣3，
故答案为：﹣3
【分析】由曲线y=ax2+ （a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2= ，解方程可得答案．
12．【答案】22
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：∵ =3 ，
∴ = + ， = ﹣ ，
又∵AB=8，AD=5，
∴ =（ + ） （ ﹣ ）=| |2﹣ ﹣ | |2=25﹣ ﹣12=2，
故 =22，
故答案为：22．
【分析】由 =3 ，可得 = + ， = ﹣ ，进而由AB=8，AD=5， =3 ， =2，构造方程，进而可得答案．
13．【答案】（0，）
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知 ．
故答案为：（0，）．
【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．
14．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理得a+ b=2c，得c= （a+ b），
由余弦定理得cosC= = =
= ≥ = ，
当且仅当 时，取等号，
故 ≤cosC＜1，故cosC的最小值是 ．
故答案为： ．
【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．
15．【答案】（1）解：α∈（ ，π），sinα= ．∴cosα=﹣ =
sin（ +α）=sin cosα+cos sinα= =﹣ ；
∴sin（ +α）的值为：﹣
（2）解：∵α∈（ ，π），sinα= ．∴cos2α=1﹣2sin2α= ，sin2α=2sinαcosα=﹣
∴cos（ ﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α= =﹣ ．
cos（ ﹣2α）的值为：﹣ ．
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（ +α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（ ﹣2α）的值．
16．【答案】（1）证明：∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，
又∵PA 平面DEF，DE 平面DEF，
∴PA∥平面DEF
（2）证明：∵D、E为PC、AC的中点，∴DE= PA=3；
又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF= BC=4；
∴DE2+EF2=DF2，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；
∵DE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．
17．【答案】（1）解：∵C的坐标为（ ， ），
∴ ，即 ，
∵ ，
∴a2=（ ）2=2，即b2=1，
则椭圆的方程为 +y2=1
（2）解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），
∵B（0，b），
∴直线BF2：y=﹣ x+b，代入椭圆方程 + =1（a＞b＞0）得（ ）x2﹣ =0，
解得x=0，或x= ，
∵A（ ， ），且A，C关于x轴对称，
∴C（ ，﹣ ），
则 =﹣ = ，
∵F1C⊥AB，
∴ ×（ ）=﹣1，
由b2=a2﹣c2得 ，
即e=
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．
18．【答案】（1）解：如图，
过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，
∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，
∴∠ABF=∠BCE，
∴ ．
设AF=4x（m），则BF=3x（m）．
∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），
∴BE=（3x+60）m．
∵ ，
∴CE= （m）．
∴ （m）．
∴ ，
解得：x=20．
∴BE=120m，CE=90m，
则BC=150m
（2）解：如图，
设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，
∵∠POM=∠PQC=90°，
∴∠PMO=∠BCO．
设OM=xm，则OP= m，PM= m．
∴PC= m，PQ= m．
设⊙M半径为R，
∴R=MQ= m= m．
∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，
则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，
∴136﹣ ﹣（60﹣x）≥80，136﹣ ﹣x≥80．
解得：10≤x≤35．
∴当且仅当x=10时R取到最大值．
∴OM=10m时，保护区面积最大．
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．
19．【答案】（1）证明：∵f（x）=ex+e﹣x，
∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数
（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，
即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，
∵x＞0，
∴ex+e﹣x﹣1＞0，
即m≤ 在（0，+∞）上恒成立，
设t=ex，（t＞1），则m≤ 在（1，+∞）上恒成立，
∵ =﹣ =﹣ ，当且仅当t=2时等号成立，
∴m
（3）解：令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），
则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），
当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，
故此时g（x）的最小值g（1）=e+ ﹣2a，
由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，
故e+ ﹣2a＜0，
即a＞ （e+ ），
令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，
则h′（x）=1﹣ ，
由h′（x）=1﹣ =0，解得x=e﹣1，
当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，
当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），
注意到h（1）=h（e）=0，
∴当x∈（1，e﹣1） （0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，
当x∈（e﹣1，e） （e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，
∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．
①a∈（ （e+ ），e） （1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，
②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，
③当a∈（e，+∞） （e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．
20．【答案】（1）解：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，
当n=1时，a1=S1=2．
当n=1时，S1=a1．
当n≥2时，Sn=an+1．
∴数列{an}是“H”数列
（2）解：Sn= = ，
对 n∈N*， m∈N*使Sn=am，即 ，
取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得 ，
∵d＜0，∴m＜2，
又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1
（3）证明：设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，
对 n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1，
cn=（n﹣1）（a1+d），
对 n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d，
则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列．
数列{bn}的前n项和Tn= ，
令Tn=（2﹣m）a1，则 ．
当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．
当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．
因此对 n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列．
数列{cn}的前n项和Rn= ，
令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m= ．
∵对 n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．
因此对 n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列．
因此命题得证
【知识点】数列的应用；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出．（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对 n∈N*， m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．
21．【答案】证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠OCB=∠D．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论．
22．【答案】解：∵矩阵A= ，B= ，向量 = ，A =B ，
∴ ，
∴x=﹣ ，y=4，
∴x+y=
【知识点】矩阵与向量乘法的意义
【解析】【分析】利用矩阵的乘法，结合A =B ，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值．
23．【答案】解：直线l的参数方程为 ，化为普通方程为x+y=3，
与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0，
∴交点A（1，2），B（9，﹣6），
∴|AB|= =8
【知识点】直线的参数方程
【解析】【分析】直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．
24．【答案】证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3 ，1+x2+y≥3
分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，
∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy
【知识点】不等式的证明
【解析】【分析】由均值不等式可得1+x+y2≥3 ，1+x2+y≥ ，两式相乘可得结论．
25．【答案】（1）解：一次取2个球共有 =36种可能，2个球颜色相同共有 =10种可能情况
∴取出的2个球颜色相同的概率P=
（2）解：X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）= ，P（X=3）=
于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）= ，
X的概率分布列为
X 2 3 4
P
故X数学期望E（X）=
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．
26．【答案】（1）解：∵f0（x）= ，∴xf0（x）=sinx，
则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，
∵fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*，
∴f0（x）+xf1（x）=cosx，
两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，
将x= 代入上式得，2f1（ ）+ f2（ ）=﹣1
（2）证明：由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+ ），
恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），
再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+ ），
同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），
猜想得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+ ）对任意n∈N*恒成立，
下面用数学归纳法进行证明等式成立：
①当n=1时， 成立，则上式成立；
②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即 ，
∵[kfk﹣1（x）+xfk（x）]′=kfk﹣1′（x）+fk（x）+xfk′（x）
=（k+1）fk（x）+xfk+1（x）
又
= = = ，
∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时．等式 也成立，
由①②得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+ ）对任意n∈N*恒成立，
令x= 代入上式得，nfn﹣1（ ）+ fn（ ）=sin（ + ）=±cos =± ，
所以，对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（ ）+ fn（ ）|= 都成立
【知识点】导数的四则运算；三角函数中的恒等变换应用
【解析】【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x= 代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x= 代入所给的式子求解验证．
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