2014年高考理数真题试卷（江西卷）
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2014·江西理） 是z的共轭复数，若z+ =2，（z﹣ ）i=2（i为虚数单位），则z=（ ）
A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由于，（z﹣ ）i=2，可得z﹣ =﹣2i ①
又z+ =2 ②
由①②解得z=1﹣i
故选D．
【分析】由题，先求出z﹣ =﹣2i，再与z+ =2联立即可解出z得出正确选项．
2．（2014·江西理）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（ ）
A．（0，1） B．[0，1]
C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣x＞0，即x＞1或x＜0，
故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），
故选：C
【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．
3．（2014·江西理）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣1
【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：∵g（x）=ax2﹣x（a∈R），
∴g（1）=a﹣1，
若f[g（1）]=1，
则f（a﹣1）=1，
即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，
解得a=1，
故选：A．
【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．
4．（2014·江西理）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C= ，则△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，
又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，
∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．
∴S△ABC= = ．
故选：C．
【分析】将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．
5．（2014·江西理）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确，
故选：B．
【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．
6．（2014·江西理）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
表1
成绩 性别 不及格 及格 总计
男 6 14 20
女 10 22 32
总计 16 36 52
表2
视力 性别 好 差 总计
男 4 16 20
女 12 20 32
总计 16 36 52
表3
智商 性别 偏高 正常 总计
男 8 12 20
女 8 24 32
总计 16 36 52
表4
阅读量 性别 丰富 不丰富 总计
男 14 6 20
女 2 30 32
总计 16 36 52
A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量
【答案】D
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】解：表1：X2= ≈0.009；
表2：X2= ≈1.769；
表3：X2= ≈1.3；
表4：X2= ≈23.48，
∴阅读量与性别有关联的可能性最大，
故选：D．
【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论．
7．（2014·江西理）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg +lg +lg +…+lg 的值，
∵S=lg +lg +…+lg =lg ＞﹣1，而S=lg +lg +…+lg =lg ＜﹣1，
∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．
故选：B．
【分析】算法的功能是求S=0+lg +lg +lg +…+lg 的值，根据条件确定跳出循环的i值．
8．（2014·江西理）若f（x）=x2+2 f（x）dx，则 f（x）dx=（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
【答案】B
【知识点】定积分
【解析】【解答】解：若 f（x）dx=﹣1，则：f（x）=x2﹣2，
∴x2﹣2=x2+2 （x2﹣2）dx=x2+2（ ） =x2﹣ ，显然A不正确；
若 f（x）dx=- ，则：f（x）=x2﹣ ，
∴x2﹣ =x2+2 （x2﹣ ）dx=x2+2（ ） =x2﹣ ，显然B正确；
若 f（x）dx= ，则：f（x）=x2+ ，
∴x2+ =x2+2 （x2+ ）dx=x2+2（ ） =x2+2，显然C不正确；
若 f（x）dx=1，则：f（x）=x2+2，
∴x2+2=x2+2 （x2+2）dx=x2+2（ ） =x2+ ，显然D不正确；
故选：B．
【分析】利用回代验证法推出选项即可．
9．（2014·江西理）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（ ）
A．π B．π
C．（6﹣2 ）π D．π
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，
由已知得|OC|=|CE|=r，
过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，
交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，
则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小
此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为：
d= = ，
此时r=
∴圆C的面积的最小值为：Smin=π×（ ）2= ．
故选：A．
【分析】如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小．
10．（2014·江西理）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为li（i=2，3，4），l1=AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：根据题意有：
A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；
A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；
E的坐标为（4，3，12）
（1）l1长度计算
所以：l1=|AE|= =13．
（2）l2长度计算
将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：
A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；
显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称．
设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2，yE2，24）
根据相似三角形易知：
xE2=2xE=2×4=8，
yE2=2yE=2×3=6，
即：E2（8，6，24）
根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内．
根据反射原理，E2在平面ABCD上的投影即为AE反射光与平面ABCD的交点．
所以F的坐标为（8，6，0）．
因此：l2=|EF|= =13．
（3）l3长度计算
设G的坐标为：（xG，yG，zG）
如果G落在平面BCC1B1；
这个时候有：xG=11，yG≤7，zG≤12
根据反射原理有：AE∥FG
于是：向量 与向量 共线；
即有： =λ
因为： =（4，3，12）； =（xG﹣8，yG﹣6，zG﹣0）=（3，yG﹣6，zG）
即有：（4，3，12）=λ（3，yG﹣6，zG）
解得：yG= ，zG=9；
故G的坐标为：（11， ，9）
因为： ＞7，故G点不在平面BCC1B1上，
所以：G点只能在平面DCC1D1上；
因此有：yG=7；xG≤11，zG≤12
此时： =（xG﹣8，yG﹣6，zG﹣0）=（xG﹣8，1，zG）
即有：（4，3，12）=λ（xG﹣8，1，zG）
解得：xG= ，zG=4；
满足：xG≤11，zG≤12
故G的坐标为：（ ，7，4）
所以：l3=|FG|= =
（4）l4长度计算
设G点在平面A1B1C1D1的投影为G’，坐标为（ ，7，12）
因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；
即：AEFGH共面
故EG的反射线GH只能与平面A1B1C1D1相交，且交点H只能在A1G'；
易知：l4＞|GG’|=12﹣4=8＞l3．
根据以上解析，可知l1，l2，l3，l4要满足以下关系：
l1=l2；且l4＞l3
对比ABCD选项，可知，只有C选项满足以上条件．
故本题选：C．
【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解．
二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题
11．（2014·江西理）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】绝对值三角不等式；函数最值的应用
【解析】【解答】解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|
=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|
≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，
当且仅当x∈[0，1]，y∈[﹣1，1]成立．
故选：C．
【分析】把表达式分成2组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．
12．（2014·江西理）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（ ）
A．ρ= ，0≤θ≤
B．ρ= ，0≤θ≤
C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤
D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤
【答案】A
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，y=1﹣x（0≤x≤1），
可得ρcosθ+ρsinθ=1，即 ρ= ．
由0≤x≤1，可得线段y=1﹣x（0≤x≤1）在第一象限，故极角θ∈[0， ]，
故选：A．
【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，把方程y=1﹣x（0≤x≤1）化为极坐标方程．
三、填空题
13．（2014·江西理）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是 ．
【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，
满足条件的事件是恰好有1件次品有C 种结果，
∴恰好有一件次品的概率是P= =
故答案为：
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C73 种结果，得到概率．
14．（2014·江西理）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是 ．
【答案】（﹣ln2，2）
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设P（x，y），则y=e﹣x，
∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，
∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，
∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．
故答案为：（﹣ln2，2）．
【分析】先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．
15．（2014·江西理）已知单位向量 与 的夹角为α，且cosα= ，向量 =3 ﹣2 与 =3 ﹣ 的夹角为β，则cosβ= ．
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：单位向量 与 的夹角为α，且cosα= ，不妨 =（1，0）， = ，
=3 ﹣2 =（ ）， =3 ﹣ =（ ），
∴cosβ= = = ．
故答案为： ．
【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．
16．（2014·江西理）过点M（1，1）作斜率为﹣ 的直线与椭圆C： + =1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ①， ②，
∵M是线段AB的中点，
∴ =1， =1，
∵直线AB的方程是y=﹣ （x﹣1）+1，
∴y1﹣y2=﹣ （x1﹣x2），
∵过点M（1，1）作斜率为﹣ 的直线与椭圆C： + =1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，
∴①②两式相减可得 ，即 ，
∴a= b，
∴ =b，
∴e= = ．
故答案为： ．
【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣ ，即可求出椭圆C的离心率．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（2014·江西理）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣ ， ）
（1）当a= ，θ= 时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；
（2）若f（ ）=0，f（π）=1，求a，θ的值．
【答案】（1）解：当a= ，θ= 时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）
=sin（x+ ）+ cos（x+ ）= sinx+ cosx﹣ sinx=﹣ sinx+ cosx
=sin（ ﹣x）=﹣sin（x﹣ ）．
∵x∈[0，π]，∴x﹣ ∈[﹣ ， ]，
∴sin（x﹣ ）∈[﹣ ，1]，
∴﹣sin（x﹣ ）∈[﹣1， ]，
故f（x）在区间[0，π]上的最小值为﹣1，最大值为
（2）解：∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣ ， ），
f（ ）=0，f（π）=1，
∴cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，
由①求得sinθ= ，由②可得cos2θ= =﹣ ﹣ ．
再根据cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣ ﹣ =1﹣2× ，
求得 a=﹣1，∴sinθ=﹣ ，θ=﹣ ．
综上可得，所求的a=﹣1，θ=﹣
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=﹣sin（x﹣ ），再根据x∈[0，π]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．（2）由条件可得θ∈（﹣ ， ），cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由这两个式子求出a和θ的值．
18．（2014·江西理）已知首项是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0．
（1）令cn= ，求数列{cn}的通项公式；
（2）若bn=3n﹣1，求数列{an}的前n项和Sn．
【答案】（1）解：∵anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn= ，
∴cn﹣cn+1+2=0，
∴cn+1﹣cn=2，
∵首项是1的两个数列{an}，{bn}，
∴数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴cn=2n﹣1
（2）解：∵bn=3n﹣1，cn= ，
∴an=（2n﹣1） 3n﹣1，
∴Sn=1×30+3×31+…+（2n﹣1）×3n﹣1，
∴3Sn=1×3+3×32+…+（2n﹣1）×3n，
∴﹣2Sn=1+2 （31+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1） 3n，
∴Sn=（n﹣1）3n+1．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn= ，可得数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{cn}的通项公式；（2）用错位相减法来求和．
19．（2014·江西理）已知函数f（x）=（x2+bx+b） （b∈R）
（1）当b=4时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间（0， ）上单调递增，求b的取值范围．
【答案】（1）解：当b=4时，f（x）=（x2+4x+4） = （x ），
则 = ．
由f′（x）=0，得x=﹣2或x=0．
当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．
当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上为增函数．
当0＜x＜ 时，f′（x）＜0，f（x）在（0， ）上为减函数．
∴当x=﹣2时，f（x）取极小值为0．
当x=0时，f（x）取极大值为4
（2）解：由f（x）=（x2+bx+b） ，得：
= ．
由f（x）在区间（0， ）上单调递增，
得f′（x）≥0对任意x∈（0， ）恒成立．
即﹣5x2﹣3bx+2x≥0对任意x∈（0， ）恒成立．
∴ 对任意x∈（0， ）恒成立．
∵ ．
∴ ．
∴b的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）把b=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0， ）上大于等于0恒成立，得到 对任意x∈（0， ）恒成立．由单调性求出 的范围得答案．
20．（2014·江西理）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）若∠BPC=90°，PB= ，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD
（2）解：过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，
作OM⊥BC，连接PM
∴PM⊥BC，
∵∠BPC=90°，PB= ，PC=2，
∴BC= ，PM= = = ，BM= = ，
设AB=x，∴OM=x∴PO= ，
∴VP﹣ABCD= ×x× × = = ，
当 ，即x= ，VP﹣ABCD= ，
建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示，
则P（0，0， ），D（﹣ ，0，0），C（﹣ ， ，0），M（0， ，0），B（ ， ，0）
面PBC的法向量为 =（0，1，1），面DPC的法向量为 =（1，0，﹣2）
∴cosθ= =﹣ =﹣ ．由图可知二面角为锐角，即cos
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）要证AD⊥PD，可以证明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM，由边长关系得到BC= ，PM= ，设AB=x，则VP﹣ABCD= ，故当 时，VP﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．
21．（2014·江西理）如图，已知双曲线C： ﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l： ﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x= 相交于点N．证明：当点P在C上移动时， 恒为定值，并求此定值．
【答案】（1）解：依题意知，A（c， ），设B（t，﹣ ），
∵AB⊥OB，BF∥OA，∴ =﹣1， = ，
整理得：t= ，a= ，
∴双曲线C的方程为 ﹣y2=1
（2）证明：由（1）知A（2， ），l的方程为： ﹣y0y=1，
又F（2，0），直线l： ﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x= 相交于点N．
于是可得M（2， ），N（ ， ），
∴ = = = = =
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）依题意知，A（c， ），设B（t，﹣ ），利用AB⊥OB，BF∥OA，可求得a= ，从而可得双曲线C的方程；（2）易求A（2， ），l的方程为： ﹣y0y=1，直线l： ﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x= 相交于点N，可求得M（2， ），N（ ， ），于是化简 = 可得其值为 ，于是原结论得证．
22．（2014·江西理）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．
（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；
（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；
（3）对（2）中的事件C， 表示C的对立事件，判断P（C）和P（ ）的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）解：当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5
其中P（ξ=2）= = ，
P（ξ=3）= = ，
P（ξ=4）= = ，
P（ξ=5）= = ，
故随机变量ξ的分布列为：
ξ 2 3 4 5
P
ξ的数学期望E（ξ）=2× +3× +4× +5× =
（2）解：∵C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，
∴P（C）=2×
（3）解：当n=2时，P（C）=2× = ，此时P（ ）＜ ；
即P（ ）＜P（C）；
当n≥3时，P（C）=2× ＜ ，此时P（ ）＞ ；
即P（ ）＞P（C）
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．（2）根据C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件C发生的概率P（C）的表达式；（3）判断P（C）和P（ ）的大小关系，即判断P（C）和 的大小关系，根据（2）的公式，可得答案．
1 / 12014年高考理数真题试卷（江西卷）
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2014·江西理） 是z的共轭复数，若z+ =2，（z﹣ ）i=2（i为虚数单位），则z=（ ）
A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i
2．（2014·江西理）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（ ）
A．（0，1） B．[0，1]
C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）
3．（2014·江西理）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣1
4．（2014·江西理）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C= ，则△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．3
5．（2014·江西理）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2014·江西理）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
表1
成绩 性别 不及格 及格 总计
男 6 14 20
女 10 22 32
总计 16 36 52
表2
视力 性别 好 差 总计
男 4 16 20
女 12 20 32
总计 16 36 52
表3
智商 性别 偏高 正常 总计
男 8 12 20
女 8 24 32
总计 16 36 52
表4
阅读量 性别 丰富 不丰富 总计
男 14 6 20
女 2 30 32
总计 16 36 52
A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量
7．（2014·江西理）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
8．（2014·江西理）若f（x）=x2+2 f（x）dx，则 f（x）dx=（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
9．（2014·江西理）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（ ）
A．π B．π
C．（6﹣2 ）π D．π
10．（2014·江西理）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为li（i=2，3，4），l1=AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）
A． B．
C． D．
二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题
11．（2014·江西理）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2014·江西理）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（ ）
A．ρ= ，0≤θ≤
B．ρ= ，0≤θ≤
C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤
D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤
三、填空题
13．（2014·江西理）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是 ．
14．（2014·江西理）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是 ．
15．（2014·江西理）已知单位向量 与 的夹角为α，且cosα= ，向量 =3 ﹣2 与 =3 ﹣ 的夹角为β，则cosβ= ．
16．（2014·江西理）过点M（1，1）作斜率为﹣ 的直线与椭圆C： + =1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 ．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（2014·江西理）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣ ， ）
（1）当a= ，θ= 时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；
（2）若f（ ）=0，f（π）=1，求a，θ的值．
18．（2014·江西理）已知首项是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0．
（1）令cn= ，求数列{cn}的通项公式；
（2）若bn=3n﹣1，求数列{an}的前n项和Sn．
19．（2014·江西理）已知函数f（x）=（x2+bx+b） （b∈R）
（1）当b=4时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间（0， ）上单调递增，求b的取值范围．
20．（2014·江西理）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）若∠BPC=90°，PB= ，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
21．（2014·江西理）如图，已知双曲线C： ﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l： ﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x= 相交于点N．证明：当点P在C上移动时， 恒为定值，并求此定值．
22．（2014·江西理）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．
（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；
（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；
（3）对（2）中的事件C， 表示C的对立事件，判断P（C）和P（ ）的大小关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由于，（z﹣ ）i=2，可得z﹣ =﹣2i ①
又z+ =2 ②
由①②解得z=1﹣i
故选D．
【分析】由题，先求出z﹣ =﹣2i，再与z+ =2联立即可解出z得出正确选项．
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣x＞0，即x＞1或x＜0，
故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），
故选：C
【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．
3．【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：∵g（x）=ax2﹣x（a∈R），
∴g（1）=a﹣1，
若f[g（1）]=1，
则f（a﹣1）=1，
即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，
解得a=1，
故选：A．
【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．
4．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，
又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，
∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．
∴S△ABC= = ．
故选：C．
【分析】将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．
5．【答案】B
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确，
故选：B．
【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．
6．【答案】D
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】解：表1：X2= ≈0.009；
表2：X2= ≈1.769；
表3：X2= ≈1.3；
表4：X2= ≈23.48，
∴阅读量与性别有关联的可能性最大，
故选：D．
【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论．
7．【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg +lg +lg +…+lg 的值，
∵S=lg +lg +…+lg =lg ＞﹣1，而S=lg +lg +…+lg =lg ＜﹣1，
∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．
故选：B．
【分析】算法的功能是求S=0+lg +lg +lg +…+lg 的值，根据条件确定跳出循环的i值．
8．【答案】B
【知识点】定积分
【解析】【解答】解：若 f（x）dx=﹣1，则：f（x）=x2﹣2，
∴x2﹣2=x2+2 （x2﹣2）dx=x2+2（ ） =x2﹣ ，显然A不正确；
若 f（x）dx=- ，则：f（x）=x2﹣ ，
∴x2﹣ =x2+2 （x2﹣ ）dx=x2+2（ ） =x2﹣ ，显然B正确；
若 f（x）dx= ，则：f（x）=x2+ ，
∴x2+ =x2+2 （x2+ ）dx=x2+2（ ） =x2+2，显然C不正确；
若 f（x）dx=1，则：f（x）=x2+2，
∴x2+2=x2+2 （x2+2）dx=x2+2（ ） =x2+ ，显然D不正确；
故选：B．
【分析】利用回代验证法推出选项即可．
9．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，
由已知得|OC|=|CE|=r，
过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，
交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，
则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小
此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为：
d= = ，
此时r=
∴圆C的面积的最小值为：Smin=π×（ ）2= ．
故选：A．
【分析】如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小．
10．【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：根据题意有：
A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；
A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；
E的坐标为（4，3，12）
（1）l1长度计算
所以：l1=|AE|= =13．
（2）l2长度计算
将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：
A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；
显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称．
设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2，yE2，24）
根据相似三角形易知：
xE2=2xE=2×4=8，
yE2=2yE=2×3=6，
即：E2（8，6，24）
根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内．
根据反射原理，E2在平面ABCD上的投影即为AE反射光与平面ABCD的交点．
所以F的坐标为（8，6，0）．
因此：l2=|EF|= =13．
（3）l3长度计算
设G的坐标为：（xG，yG，zG）
如果G落在平面BCC1B1；
这个时候有：xG=11，yG≤7，zG≤12
根据反射原理有：AE∥FG
于是：向量 与向量 共线；
即有： =λ
因为： =（4，3，12）； =（xG﹣8，yG﹣6，zG﹣0）=（3，yG﹣6，zG）
即有：（4，3，12）=λ（3，yG﹣6，zG）
解得：yG= ，zG=9；
故G的坐标为：（11， ，9）
因为： ＞7，故G点不在平面BCC1B1上，
所以：G点只能在平面DCC1D1上；
因此有：yG=7；xG≤11，zG≤12
此时： =（xG﹣8，yG﹣6，zG﹣0）=（xG﹣8，1，zG）
即有：（4，3，12）=λ（xG﹣8，1，zG）
解得：xG= ，zG=4；
满足：xG≤11，zG≤12
故G的坐标为：（ ，7，4）
所以：l3=|FG|= =
（4）l4长度计算
设G点在平面A1B1C1D1的投影为G’，坐标为（ ，7，12）
因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；
即：AEFGH共面
故EG的反射线GH只能与平面A1B1C1D1相交，且交点H只能在A1G'；
易知：l4＞|GG’|=12﹣4=8＞l3．
根据以上解析，可知l1，l2，l3，l4要满足以下关系：
l1=l2；且l4＞l3
对比ABCD选项，可知，只有C选项满足以上条件．
故本题选：C．
【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解．
11．【答案】C
【知识点】绝对值三角不等式；函数最值的应用
【解析】【解答】解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|
=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|
≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，
当且仅当x∈[0，1]，y∈[﹣1，1]成立．
故选：C．
【分析】把表达式分成2组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．
12．【答案】A
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，y=1﹣x（0≤x≤1），
可得ρcosθ+ρsinθ=1，即 ρ= ．
由0≤x≤1，可得线段y=1﹣x（0≤x≤1）在第一象限，故极角θ∈[0， ]，
故选：A．
【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，把方程y=1﹣x（0≤x≤1）化为极坐标方程．
13．【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，
满足条件的事件是恰好有1件次品有C 种结果，
∴恰好有一件次品的概率是P= =
故答案为：
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C73 种结果，得到概率．
14．【答案】（﹣ln2，2）
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设P（x，y），则y=e﹣x，
∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，
∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，
∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．
故答案为：（﹣ln2，2）．
【分析】先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．
15．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：单位向量 与 的夹角为α，且cosα= ，不妨 =（1，0）， = ，
=3 ﹣2 =（ ）， =3 ﹣ =（ ），
∴cosβ= = = ．
故答案为： ．
【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．
16．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ①， ②，
∵M是线段AB的中点，
∴ =1， =1，
∵直线AB的方程是y=﹣ （x﹣1）+1，
∴y1﹣y2=﹣ （x1﹣x2），
∵过点M（1，1）作斜率为﹣ 的直线与椭圆C： + =1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，
∴①②两式相减可得 ，即 ，
∴a= b，
∴ =b，
∴e= = ．
故答案为： ．
【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣ ，即可求出椭圆C的离心率．
17．【答案】（1）解：当a= ，θ= 时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）
=sin（x+ ）+ cos（x+ ）= sinx+ cosx﹣ sinx=﹣ sinx+ cosx
=sin（ ﹣x）=﹣sin（x﹣ ）．
∵x∈[0，π]，∴x﹣ ∈[﹣ ， ]，
∴sin（x﹣ ）∈[﹣ ，1]，
∴﹣sin（x﹣ ）∈[﹣1， ]，
故f（x）在区间[0，π]上的最小值为﹣1，最大值为
（2）解：∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣ ， ），
f（ ）=0，f（π）=1，
∴cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，
由①求得sinθ= ，由②可得cos2θ= =﹣ ﹣ ．
再根据cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣ ﹣ =1﹣2× ，
求得 a=﹣1，∴sinθ=﹣ ，θ=﹣ ．
综上可得，所求的a=﹣1，θ=﹣
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=﹣sin（x﹣ ），再根据x∈[0，π]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．（2）由条件可得θ∈（﹣ ， ），cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由这两个式子求出a和θ的值．
18．【答案】（1）解：∵anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn= ，
∴cn﹣cn+1+2=0，
∴cn+1﹣cn=2，
∵首项是1的两个数列{an}，{bn}，
∴数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴cn=2n﹣1
（2）解：∵bn=3n﹣1，cn= ，
∴an=（2n﹣1） 3n﹣1，
∴Sn=1×30+3×31+…+（2n﹣1）×3n﹣1，
∴3Sn=1×3+3×32+…+（2n﹣1）×3n，
∴﹣2Sn=1+2 （31+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1） 3n，
∴Sn=（n﹣1）3n+1．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn= ，可得数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{cn}的通项公式；（2）用错位相减法来求和．
19．【答案】（1）解：当b=4时，f（x）=（x2+4x+4） = （x ），
则 = ．
由f′（x）=0，得x=﹣2或x=0．
当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．
当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上为增函数．
当0＜x＜ 时，f′（x）＜0，f（x）在（0， ）上为减函数．
∴当x=﹣2时，f（x）取极小值为0．
当x=0时，f（x）取极大值为4
（2）解：由f（x）=（x2+bx+b） ，得：
= ．
由f（x）在区间（0， ）上单调递增，
得f′（x）≥0对任意x∈（0， ）恒成立．
即﹣5x2﹣3bx+2x≥0对任意x∈（0， ）恒成立．
∴ 对任意x∈（0， ）恒成立．
∵ ．
∴ ．
∴b的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）把b=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0， ）上大于等于0恒成立，得到 对任意x∈（0， ）恒成立．由单调性求出 的范围得答案．
20．【答案】（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD
（2）解：过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，
作OM⊥BC，连接PM
∴PM⊥BC，
∵∠BPC=90°，PB= ，PC=2，
∴BC= ，PM= = = ，BM= = ，
设AB=x，∴OM=x∴PO= ，
∴VP﹣ABCD= ×x× × = = ，
当 ，即x= ，VP﹣ABCD= ，
建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示，
则P（0，0， ），D（﹣ ，0，0），C（﹣ ， ，0），M（0， ，0），B（ ， ，0）
面PBC的法向量为 =（0，1，1），面DPC的法向量为 =（1，0，﹣2）
∴cosθ= =﹣ =﹣ ．由图可知二面角为锐角，即cos
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）要证AD⊥PD，可以证明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM，由边长关系得到BC= ，PM= ，设AB=x，则VP﹣ABCD= ，故当 时，VP﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．
21．【答案】（1）解：依题意知，A（c， ），设B（t，﹣ ），
∵AB⊥OB，BF∥OA，∴ =﹣1， = ，
整理得：t= ，a= ，
∴双曲线C的方程为 ﹣y2=1
（2）证明：由（1）知A（2， ），l的方程为： ﹣y0y=1，
又F（2，0），直线l： ﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x= 相交于点N．
于是可得M（2， ），N（ ， ），
∴ = = = = =
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）依题意知，A（c， ），设B（t，﹣ ），利用AB⊥OB，BF∥OA，可求得a= ，从而可得双曲线C的方程；（2）易求A（2， ），l的方程为： ﹣y0y=1，直线l： ﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x= 相交于点N，可求得M（2， ），N（ ， ），于是化简 = 可得其值为 ，于是原结论得证．
22．【答案】（1）解：当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5
其中P（ξ=2）= = ，
P（ξ=3）= = ，
P（ξ=4）= = ，
P（ξ=5）= = ，
故随机变量ξ的分布列为：
ξ 2 3 4 5
P
ξ的数学期望E（ξ）=2× +3× +4× +5× =
（2）解：∵C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，
∴P（C）=2×
（3）解：当n=2时，P（C）=2× = ，此时P（ ）＜ ；
即P（ ）＜P（C）；
当n≥3时，P（C）=2× ＜ ，此时P（ ）＞ ；
即P（ ）＞P（C）
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．（2）根据C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件C发生的概率P（C）的表达式；（3）判断P（C）和P（ ）的大小关系，即判断P（C）和 的大小关系，根据（2）的公式，可得答案．
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