2014年高考理数真题试卷（山东卷）

2014年高考理数真题试卷（山东卷）
一、选择题
1．（2014·山东理）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（　　）
A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，
∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，
故选：D．
【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．
2．（2014·山东理）设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（　　）
A．[0，2] B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，
B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，
则A∩B={x丨1≤y＜3}，
故选：C
【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
3．（2014·山东理）函数f（x）= 的定义域为（　　）
A．（0， ） B．（2，+∞）
C．（0， ）∪（2，+∞） D．（0， ]∪[2，+∞）
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则 ，
即log2x＞1或log2x＜﹣1，
解得x＞2或0＜x＜ ，
即函数的定义域为（0， ）∪（2，+∞），
故选：C
【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．
4．（2014·山东理）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）
A．方程x3+ax+b=0没有实根 B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
【答案】A
【知识点】反证法与放缩法
【解析】【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，
∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．
故选：A．
【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．
5．（2014·山东理）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（　　）
A．＞ B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）
C．sinx＞siny D．x3＞y3
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y，
A．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但 = = ，故 ＞ 不成立．
B．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但ln（x2+1）=ln（y2+1）=ln2，故ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立．
C．当x=π，y=0时，满足x＞y，此时sinx=sinπ=0，siny=sin0=0，有sinx＞siny，但sinx＞siny不成立．
D．∵函数y=x3为增函数，故当x＞y时，x3＞y3，恒成立，
故选：D．
【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．
6．（2014·山东理）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　）
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】定积分
【解析】【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，
曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫ （4x﹣x3）dx，
而∫ （4x﹣x3）dx=（2x2﹣ x4）| =8﹣4=4，
∴曲边梯形的面积是4，
故选：D．
【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
7．（2014·山东理）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．18
【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，
第三组中没有疗效的有6人，
第三组中有疗效的有12人．
故选：C．
【分析】由频率= 以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；
8．（2014·山东理）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）
A．（0， ） B．（ ，1） C．（1，2） D．（2，+∞）
【答案】B
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）
和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，
如图所示：KOA= ，
数形结合可得 ＜k＜1，
故选：B．
【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．
9．（2014·山东理）已知x，y满足约束条件 ，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2 时，a2+b2的最小值为（　　）
A．5 B．4 C． D．2
【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件 作可行域如图，
联立 ，解得：A（2，1）．
化目标函数为直线方程得： （b＞0）．
由图可知，当直线 过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．
∴2a+b=2 ．
即2a+b﹣2 =0．
则a2+b2的最小值为 ．
故选：B．
【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2 =0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2 =0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．
10．（2014·山东理）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为 =1，双曲线C2的方程为 =1，C1与C2的离心率之积为 ，则C2的渐近线方程为（　　）
A．x± y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为 =1，C1的离心率为： ，
双曲线C2的方程为 =1，C2的离心率为： ，
∵C1与C2的离心率之积为 ，
∴ ，
∴ = ， = ，
C2的渐近线方程为：y= ，即x± y=0．
故选：A．
【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．
二、填空题
11．（2014·山东理）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为　 　．
【答案】3
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：循环前输入的x的值为1，
第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，
满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，
满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0
满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，
输出n：3．
故答案为：3．
【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．
12．（2014·山东理）若△ABC中，已知 =tanA，当A= 时，△ABC的面积为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：△ABC中，∵ =AB AC cosA=tanA，
∴当A= 时，有 AB AC = ，解得AB AC= ，
△ABC的面积为 AB AC sinA= × × = ，
故答案为： ．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得AB AC= ，再根据△ABC的面积为 AB AC sinA，计算求得结果．
13．（2014·山东理）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则 =　 　．
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，
三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，
∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的 = ，
∴ = = ．
故答案为： ．
【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．
14．（2014·山东理）若（ax2+ ）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为　 　．
【答案】2
【知识点】基本不等式；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（ax2+ ）6的展开式中x3项的系数为20，
所以Tr+1= = ，
令12﹣3r=3，∴r=3， ，
∴ab=1，
a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．
a2+b2的最小值为：2．
故答案为：2．
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．
15．（2014·山东理）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）= 关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是　 　．
【答案】（2 ，+∞）
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：根据“对称函数”的定义可知， ，
即h（x）=6x+2b﹣ ，
若h（x）＞g（x）恒成立，
则等价为6x+2b﹣ ＞ ，
即3x+b＞ 恒成立，
设y1=3x+b，y2= ，
作出两个函数对应的图象如图，
当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d= ，
即|b|=2 ，
∴b=2 或﹣2 ，（舍去），
即要使h（x）＞g（x）恒成立，
则b＞2 ，
即实数b的取值范围是（2 ，+∞），
故答案为：（2 ，+∞）
【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论．
三、解答题
16．（2014·山东理）已知向量 =（m，cos2x）， =（sin2x，n），函数f（x）= ，且y=f（x）的图象过点（ ， ）和点（ ，﹣2）．
（1）求m，n的值；
（2）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．
【答案】（1）解：由题意可得 函数f（x）= =msin2x+ncos2x，
再由y=f（x）的图象过点（ ， ）和点（ ，﹣2），可得 ．
解得 m= ，n=1．
（2）解：由（1）可得f（x）= sin2x+cos2x=2（ sin2x+ cos2x）=2sin（2x+ ）．
将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，
得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+ ]=2sin（2x+2φ+ ）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2．
y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，
故函数g（x）的一个最高点在y轴上，
∴2φ+ =2kπ+ ，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ= ，
故g（x）=2sin（2x+ ）=2cos2x．
令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得 kπ﹣ ≤x≤kπ，
故y=g（x）的单调递增区间是[kπ﹣ ，kπ]，k∈Z
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）由题意可得 函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（ ， ）和点（ ，﹣2），解方程组求得m、n的值．（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+ ），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+ ）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ= ，可得g（x）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得g（x）的增区间．
17．（2014·山东理）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．
（1）求证：C1M∥平面A1ADD1；
（2）若CD1垂直于平面ABCD且CD1= ，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．
【答案】（1）解：连接AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，∴CD C1D1，
又M为AB的中点，∴AM=1．
∴CD∥AM，CD=AM，
∴AM C1D1，
∴AMC1D1为平行四边形，∴AD1∥MC1，又MC1 平面A1ADD1，AD1 平面A1ADD1，
∴C1M∥平面A1ADD1；
（2）解：解法一：∵AB∥A1B1，A1B1∥C1D1，
∴面D1C1M与ABC1D1共面，
作CN⊥AB，连接D1N，则∠D1NC即为所求二面角，
在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，
∴CN= ，
在Rt△D1CN中，CD1= ，CN= ，
∴D1N=
∴cos∠D1CN= = =
解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系
则C1（﹣1，0， ），D1，（0，0， ），M（ ， ，0），
∴ =（1，0，0）， =（ ， ，﹣ ），
设平面C1D1M的法向量 =（x1，y1，z1），
则 ，∴ =（0，2，1）．
显然平面ABCD的法向量 =（0，0，1），
cos＜ ， ＞|= = = ，
显然二面角为锐角，
∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接AD1，易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1；（2）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，易求C1（﹣1，0， ），D1，（0，0， ），M（ ， ，0）， =（1，1，0）， =（ ， ，﹣ ），设平面C1D1M的法向量 =（x1，y1，z1），可求得 =（0，2，1），而平面ABCD的法向量 =（1，0，0），从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．
18．（2014·山东理）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为 ，在D上的概率为 ；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为 ，在D上的概率为 ．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：
（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为 + = ，
回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为 + = ，
故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P= ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× = + = ．
（2）解：ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6
其中P（ξ=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）= ；
P（ξ=1）= ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× = ；
P（ξ=2）= × = ；
P（ξ=3）= ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× = ；
P（ξ=4）= × + × = ；
P（ξ=6）= × = ；
故ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4 6
P
故ξ的数学期望为E（ξ）=0× +1× +2× +3× +4× +6× = ．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．
19．（2014·山东理）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=（﹣1）n﹣1 ，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）解：∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，
∴Sn= =n2﹣n+na1，
∵S1，S2，S4成等比数列，
∴ ，
∴ ，化为 ，解得a1=1．
∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（2）解：由（1）可得bn=（﹣1）n﹣1 = = ．
∴Tn= ﹣ + +…+ ．
当n为偶数时，Tn= ﹣ + +…+ ﹣ =1﹣ = ．
当n为奇数时，Tn= ﹣ + +…﹣ + =1+ = ．
∴Tn=
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）由（1）可得bn= ．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．
20．（2014·山东理）设函数f（x）= ﹣k（ +lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．
（1）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．
【答案】（1）解： f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）= ﹣k（ ﹣ ）
= （x＞0），
当k≤0时，kx≤0，
∴ex﹣kx＞0，
令f′（x）=0，则x=2，
∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．
（2）解：由（1）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，
故f（x）在（0，2）内不存在极值点；
当k＞0时，设函数g（x）=ex﹣kx，x∈（0，+∞）．
∵g′（x）=ex﹣k=ex﹣elnk，
当0＜k≤1时，
当x∈（0，2）时，g′（x）=ex﹣k＞0，y=g（x）单调递增，
故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；
当k＞1时，
得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，
x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，
∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）
函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点
当且仅当
解得：e
综上所述，
函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e， ）
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（2）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．
21．（2014·山东理）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
（1）求C的方程；
（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，
A（3， ），F（ ，0）， ，
∴ ．
∵△ADF为正三角形，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴p=2．
∴C的方程为y2=4x．
当D在焦点F的左侧时， ．
又|FD|=2|FG|=2（ ﹣3）=p﹣6，
∵△ADF为正三角形，
∴3+ =p﹣6，解得p=18，
∴C的方程为y2=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．
∴C的方程为y2=4x．
（2）解：（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，
∴D（x1+2，0），
∴kAD=﹣ ．
由直线l1∥l可设直线l1方程为 ，
联立方程 ，消去x得 ①
由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，
这时方程①的解为 ，代入 得x=m2，∴E（m2，2m）．
点A的坐标可化为 ，直线AE方程为y﹣2m= （x﹣m2），
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线AE过定点（1，0）；
（ⅱ）直线AB的方程为 ，即 ．
联立方程 ，消去x得 ，
∴ ，
∴ = ，
由（ⅰ）点E的坐标为 ，点E到直线AB的距离为：
= ，
∴△ABE的面积 = ，
当且仅当y1=±2时等号成立，
∴△ABE的面积最小值为16．
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（ⅱ） 利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．
1 / 12014年高考理数真题试卷（山东卷）
一、选择题
1．（2014·山东理）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（　　）
A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i
2．（2014·山东理）设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（　　）
A．[0，2] B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）
3．（2014·山东理）函数f（x）= 的定义域为（　　）
A．（0， ） B．（2，+∞）
C．（0， ）∪（2，+∞） D．（0， ]∪[2，+∞）
4．（2014·山东理）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）
A．方程x3+ax+b=0没有实根 B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
5．（2014·山东理）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（　　）
A．＞ B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）
C．sinx＞siny D．x3＞y3
6．（2014·山东理）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　）
A．2 B．4 C．2 D．4
7．（2014·山东理）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．18
8．（2014·山东理）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）
A．（0， ） B．（ ，1） C．（1，2） D．（2，+∞）
9．（2014·山东理）已知x，y满足约束条件 ，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2 时，a2+b2的最小值为（　　）
A．5 B．4 C． D．2
10．（2014·山东理）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为 =1，双曲线C2的方程为 =1，C1与C2的离心率之积为 ，则C2的渐近线方程为（　　）
A．x± y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0
二、填空题
11．（2014·山东理）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为　 　．
12．（2014·山东理）若△ABC中，已知 =tanA，当A= 时，△ABC的面积为　 　．
13．（2014·山东理）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则 =　 　．
14．（2014·山东理）若（ax2+ ）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为　 　．
15．（2014·山东理）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）= 关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是　 　．
三、解答题
16．（2014·山东理）已知向量 =（m，cos2x）， =（sin2x，n），函数f（x）= ，且y=f（x）的图象过点（ ， ）和点（ ，﹣2）．
（1）求m，n的值；
（2）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．
17．（2014·山东理）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．
（1）求证：C1M∥平面A1ADD1；
（2）若CD1垂直于平面ABCD且CD1= ，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．
18．（2014·山东理）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为 ，在D上的概率为 ；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为 ，在D上的概率为 ．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：
（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．
19．（2014·山东理）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=（﹣1）n﹣1 ，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．（2014·山东理）设函数f（x）= ﹣k（ +lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．
（1）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．
21．（2014·山东理）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
（1）求C的方程；
（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，
∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，
故选：D．
【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．
2．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，
B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，
则A∩B={x丨1≤y＜3}，
故选：C
【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
3．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则 ，
即log2x＞1或log2x＜﹣1，
解得x＞2或0＜x＜ ，
即函数的定义域为（0， ）∪（2，+∞），
故选：C
【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．
4．【答案】A
【知识点】反证法与放缩法
【解析】【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，
∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．
故选：A．
【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．
5．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y，
A．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但 = = ，故 ＞ 不成立．
B．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但ln（x2+1）=ln（y2+1）=ln2，故ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立．
C．当x=π，y=0时，满足x＞y，此时sinx=sinπ=0，siny=sin0=0，有sinx＞siny，但sinx＞siny不成立．
D．∵函数y=x3为增函数，故当x＞y时，x3＞y3，恒成立，
故选：D．
【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．
6．【答案】D
【知识点】定积分
【解析】【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，
曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫ （4x﹣x3）dx，
而∫ （4x﹣x3）dx=（2x2﹣ x4）| =8﹣4=4，
∴曲边梯形的面积是4，
故选：D．
【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
7．【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，
第三组中没有疗效的有6人，
第三组中有疗效的有12人．
故选：C．
【分析】由频率= 以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；
8．【答案】B
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）
和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，
如图所示：KOA= ，
数形结合可得 ＜k＜1，
故选：B．
【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．
9．【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件 作可行域如图，
联立 ，解得：A（2，1）．
化目标函数为直线方程得： （b＞0）．
由图可知，当直线 过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．
∴2a+b=2 ．
即2a+b﹣2 =0．
则a2+b2的最小值为 ．
故选：B．
【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2 =0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2 =0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．
10．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为 =1，C1的离心率为： ，
双曲线C2的方程为 =1，C2的离心率为： ，
∵C1与C2的离心率之积为 ，
∴ ，
∴ = ， = ，
C2的渐近线方程为：y= ，即x± y=0．
故选：A．
【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．
11．【答案】3
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：循环前输入的x的值为1，
第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，
满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，
满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0
满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，
输出n：3．
故答案为：3．
【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：△ABC中，∵ =AB AC cosA=tanA，
∴当A= 时，有 AB AC = ，解得AB AC= ，
△ABC的面积为 AB AC sinA= × × = ，
故答案为： ．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得AB AC= ，再根据△ABC的面积为 AB AC sinA，计算求得结果．
13．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，
三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，
∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的 = ，
∴ = = ．
故答案为： ．
【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．
14．【答案】2
【知识点】基本不等式；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（ax2+ ）6的展开式中x3项的系数为20，
所以Tr+1= = ，
令12﹣3r=3，∴r=3， ，
∴ab=1，
a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．
a2+b2的最小值为：2．
故答案为：2．
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．
15．【答案】（2 ，+∞）
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：根据“对称函数”的定义可知， ，
即h（x）=6x+2b﹣ ，
若h（x）＞g（x）恒成立，
则等价为6x+2b﹣ ＞ ，
即3x+b＞ 恒成立，
设y1=3x+b，y2= ，
作出两个函数对应的图象如图，
当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d= ，
即|b|=2 ，
∴b=2 或﹣2 ，（舍去），
即要使h（x）＞g（x）恒成立，
则b＞2 ，
即实数b的取值范围是（2 ，+∞），
故答案为：（2 ，+∞）
【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论．
16．【答案】（1）解：由题意可得 函数f（x）= =msin2x+ncos2x，
再由y=f（x）的图象过点（ ， ）和点（ ，﹣2），可得 ．
解得 m= ，n=1．
（2）解：由（1）可得f（x）= sin2x+cos2x=2（ sin2x+ cos2x）=2sin（2x+ ）．
将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，
得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+ ]=2sin（2x+2φ+ ）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2．
y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，
故函数g（x）的一个最高点在y轴上，
∴2φ+ =2kπ+ ，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ= ，
故g（x）=2sin（2x+ ）=2cos2x．
令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得 kπ﹣ ≤x≤kπ，
故y=g（x）的单调递增区间是[kπ﹣ ，kπ]，k∈Z
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）由题意可得 函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（ ， ）和点（ ，﹣2），解方程组求得m、n的值．（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+ ），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+ ）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ= ，可得g（x）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得g（x）的增区间．
17．【答案】（1）解：连接AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，∴CD C1D1，
又M为AB的中点，∴AM=1．
∴CD∥AM，CD=AM，
∴AM C1D1，
∴AMC1D1为平行四边形，∴AD1∥MC1，又MC1 平面A1ADD1，AD1 平面A1ADD1，
∴C1M∥平面A1ADD1；
（2）解：解法一：∵AB∥A1B1，A1B1∥C1D1，
∴面D1C1M与ABC1D1共面，
作CN⊥AB，连接D1N，则∠D1NC即为所求二面角，
在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，
∴CN= ，
在Rt△D1CN中，CD1= ，CN= ，
∴D1N=
∴cos∠D1CN= = =
解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系
则C1（﹣1，0， ），D1，（0，0， ），M（ ， ，0），
∴ =（1，0，0）， =（ ， ，﹣ ），
设平面C1D1M的法向量 =（x1，y1，z1），
则 ，∴ =（0，2，1）．
显然平面ABCD的法向量 =（0，0，1），
cos＜ ， ＞|= = = ，
显然二面角为锐角，
∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接AD1，易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1；（2）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，易求C1（﹣1，0， ），D1，（0，0， ），M（ ， ，0）， =（1，1，0）， =（ ， ，﹣ ），设平面C1D1M的法向量 =（x1，y1，z1），可求得 =（0，2，1），而平面ABCD的法向量 =（1，0，0），从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．
18．【答案】（1）解：小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为 + = ，
回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为 + = ，
故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P= ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× = + = ．
（2）解：ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6
其中P（ξ=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）= ；
P（ξ=1）= ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× = ；
P（ξ=2）= × = ；
P（ξ=3）= ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× = ；
P（ξ=4）= × + × = ；
P（ξ=6）= × = ；
故ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4 6
P
故ξ的数学期望为E（ξ）=0× +1× +2× +3× +4× +6× = ．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．
19．【答案】（1）解：∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，
∴Sn= =n2﹣n+na1，
∵S1，S2，S4成等比数列，
∴ ，
∴ ，化为 ，解得a1=1．
∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（2）解：由（1）可得bn=（﹣1）n﹣1 = = ．
∴Tn= ﹣ + +…+ ．
当n为偶数时，Tn= ﹣ + +…+ ﹣ =1﹣ = ．
当n为奇数时，Tn= ﹣ + +…﹣ + =1+ = ．
∴Tn=
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）由（1）可得bn= ．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．
20．【答案】（1）解： f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）= ﹣k（ ﹣ ）
= （x＞0），
当k≤0时，kx≤0，
∴ex﹣kx＞0，
令f′（x）=0，则x=2，
∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．
（2）解：由（1）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，
故f（x）在（0，2）内不存在极值点；
当k＞0时，设函数g（x）=ex﹣kx，x∈（0，+∞）．
∵g′（x）=ex﹣k=ex﹣elnk，
当0＜k≤1时，
当x∈（0，2）时，g′（x）=ex﹣k＞0，y=g（x）单调递增，
故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；
当k＞1时，
得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，
x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，
∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）
函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点
当且仅当
解得：e
综上所述，
函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e， ）
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（2）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．
21．【答案】（1）解：当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，
A（3， ），F（ ，0）， ，
∴ ．
∵△ADF为正三角形，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴p=2．
∴C的方程为y2=4x．
当D在焦点F的左侧时， ．
又|FD|=2|FG|=2（ ﹣3）=p﹣6，
∵△ADF为正三角形，
∴3+ =p﹣6，解得p=18，
∴C的方程为y2=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．
∴C的方程为y2=4x．
（2）解：（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，
∴D（x1+2，0），
∴kAD=﹣ ．
由直线l1∥l可设直线l1方程为 ，
联立方程 ，消去x得 ①
由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，
这时方程①的解为 ，代入 得x=m2，∴E（m2，2m）．
点A的坐标可化为 ，直线AE方程为y﹣2m= （x﹣m2），
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线AE过定点（1，0）；
（ⅱ）直线AB的方程为 ，即 ．
联立方程 ，消去x得 ，
∴ ，
∴ = ，
由（ⅰ）点E的坐标为 ，点E到直线AB的距离为：
= ，
∴△ABE的面积 = ，
当且仅当y1=±2时等号成立，
∴△ABE的面积最小值为16．
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（ⅱ） 利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．
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