2014年高考理数真题试卷（陕西卷）
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
1．（2014·陕西理）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（ ）
A．[0，1] B．[0，1） C．（0，1] D．（0，1）
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，
∴M∩N=[0，1）．
故选B．
【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．
2．（2014·陕西理）函数f（x）=cos（2x﹣ ）的最小正周期是（ ）
A． B．π C．2π D．4π
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：根据复合三角函数的周期公式 得，
函数f（x）=cos（2x﹣ ）的最小正周期是π，
故选B．
【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式 求解．
3．（2014·陕西理）定积分 （2x+ex）dx的值为（ ）
A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1
【答案】C
【知识点】定积分
【解析】【解答】解： （2x+ex）dx=（x2+ex） =（1+e）﹣（0+e0）=e．
故选：C．
【分析】根据微积分基本定理计算即可．
4．（2014·陕西理）根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（ ）
A．an=2n B．an=2（n﹣1）
C．an=2n D．an=2n﹣1
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；程序框图
【解析】【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，
∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n．
故选：C．
【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．
5．（2014·陕西理）已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B．4π C．2π D．
【答案】D
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为 ，
∴正四棱柱体对角线的长为 =2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1
根据球的体积公式，得此球的体积为V= πR3= π．
故选：D．
【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．
6．（2014·陕西理）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为 ，两条长度为 ，
∴所求概率为 = ．
故选：C．
【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为 ，两条长度为 ，即可得出结论．
7．（2014·陕西理）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（ ）
A．f（x）= B．f（x）=x3
C．f（x）=（ ）x D．f（x）=3x
【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A．f（x）= ，f（y）= ，f（x+y）= ，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；
B．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；
C．f（x）= ，f（y）= ，f（x+y）= ，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故C错．
D．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；
故选D．
【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．
8．（2014·陕西理）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假
【答案】B
【知识点】四种命题间的逆否关系
【解析】【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；
其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，
∴原命题的逆命题是假命题；
根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，
∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题．
故选：B．
【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假．
9．（2014·陕西理）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（ ）
A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a
【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：方法1：∵yi=xi+a，
∴E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a，
方差D（yi）=D（xi）+E（a）=4．
方法2：由题意知yi=xi+a，
则 = （x1+x2+…+x10+10×a）= （x1+x2+…+x10）= +a=1+a，
方差s2= [（x1+a﹣（ +a）2+（x2+a﹣（ +a）2+…+（x10+a﹣（ +a）2]= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（x10﹣ ）2]=s2=4．
故选：A．
【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．
方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．
10．（2014·陕西理）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A．y= ﹣ x B．y= x3﹣ x
C．y= x3﹣x D．y=﹣ x3+ x
【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；导数的几何意义
【解析】【解答】解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，依次特征寻找正确选项：
A选项，导数为 ，令其为0，解得x=±5，故A正确；
B选项，导数为 ，令其为0，x=±5不成立，故B错误；
C选项，导数为 ，令其为0，x=±5不成立，故C错误；
D选项，导数为 ，令其为0，x=±5不成立，故D错误．
故选：A．
【分析】分别求出四个选项中的导数，验证在x=±5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式．
二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分
11．（2014·陕西理）已知4a=2，lgx=a，则x= ．
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由4a=2，得 ，
再由lgx=a= ，
得x= ．
故答案为： ．
【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．
12．（2014·陕西理）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为 ．
【答案】x2+（y﹣1）2=1
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，
可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，
故答案为：x2+（y﹣1）2=1．
【分析】利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为 （b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．
13．（2014·陕西理）设0＜θ＜ ，向量 =（sin2θ，cosθ）， =（cosθ，1），若 ∥ ，则tanθ= ．
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：∵ ∥ ，向量 =（sin2θ，cosθ）， =（cosθ，1），
∴sin2θ﹣cos2θ=0，
∴2sinθcosθ=cos2θ，
∵0＜θ＜ ，∴cosθ≠0．
∴2tanθ=1，
∴tanθ= ．
故答案为： ．
【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
14．（2014·陕西理）观察分析下表中的数据：
多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是 ．
【答案】F+V﹣E=2
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，
①正方体：F=6，V=8，E=12，得F+V﹣E=8+6﹣12=2；
②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V﹣E=5+6﹣9=2；
③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+V﹣E=4+4﹣6=2．
根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V﹣E=2
再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立．
因此归纳出一般结论：F+V﹣E=2
故答案为：F+V﹣E=2
【分析】通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+V﹣E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案．
15．（2014·陕西理）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由柯西不等式得，
（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）
∵a2+b2=5，ma+nb=5，
∴（m2+n2）≥5
∴ 的最小值为
故答案为：
【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．
16．（2014·陕西理）如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF= ．
【答案】3
【知识点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，
∴∠AEF=∠C，
∵∠EAF=∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴ ，
∵BC=6，AC=2AE，
∴EF=3．
故答案为：3．
【分析】证明△AEF∽△ACB，可得 ，即可得出结论．
17．（2014·陕西理）在极坐标系中，点（2， ）到直线 的距离是 ．
【答案】1
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：点P（2， ）化为 = ，y=2 =1，∴P ．
直线 展开化为： =1，化为直角坐标方程为： ，即 =0．
∴点P到直线的距离d= =1．
故答案为：1．
【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤
18．（2014·陕西理）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
（1）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（2）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．
【答案】（1）解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，
∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），
∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；
（2）解：∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
∴cosB= = ≥ = ，
当且仅当a=c时等号成立，
∴cosB的最小值为
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（2）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值．
19．（2014·陕西理）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．
（1）证明：四边形EFGH是矩形；
（2）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
【答案】（1）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，
且侧棱AD⊥底面BDC．
如图，
∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD 平面ABD，
∴AD∥EF．
∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD 平面ADC，
∴AD∥GH．
由平行公理可得EF∥GH．
∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC 平面BDC，
∴BC∥FG．
∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC 平面ABC，
∴BC∥EH．
由平行公理可得FG∥EH．
∴四边形EFGH为平行四边形．
又AD⊥平面BDC，BC 平面BDC，
∴AD⊥BC，则EF⊥EH．
∴四边形EFGH是矩形；
（2）解：
解法一：取AD的中点M，连结，显然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH⊥平面EFGH，取EH的中点N，连结MN，则MN⊥EH，
∴MN⊥平面EFGH，则∠MFN就是MF（即AB）与平面EFGH所成的角θ，
∵△MEH是等腰直角三角形，
∴MN= ，又MF= AB= ，
∴sin∠AFN= = ，即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是 ．
解法二：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由三视图可知DB=DC=2，DA=1．
又E为AB中点，
∴F，G分别为DB，DC中点．
∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0， ），G（0，1，0）．
则 ．
设平面EFGH的一个法向量为 ．
由 ，得 ，取y=1，得x=1．
∴ ．
则sinθ=|cos＜ ＞|= = = ．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论；（2）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出 及平面EFGH的一个法向量 ，用 与 所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
20．（2014·陕西理）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．
（1）若 ，求| |；
（2）设 =m +n （m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．
【答案】（1）解：∵A（1，1），B（2，3），C（3，2）， ，
∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0
∴3x﹣6=0，3y﹣6=0
∴x=2，y=2，
即 =（2，2）
∴
（2）解：∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），
∴ ，
∵ =m +n ，
∴（x，y）=（m+2n，2m+n）
∴x=m+2n，y=2m+n
∴m﹣n=y﹣x，
令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，
故m﹣n的最大值为1．
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算
【解析】【分析】（1）先根据 ，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；（2）利用向量的坐标运算，先求出 ， ，再根据 =m +n ，表示出m﹣n=y﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值．
21．（2014·陕西理）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量（kg） 300 500
概率 0.5 0.5
作物市场价格（元/kg） 6 10
概率 0.4 0.6
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
【答案】（1）解：设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，
则P（A）=0.5，P（B）=0.4，
∵利润=产量×市场价格﹣成本，
∴X的所有值为：
500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，
300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，
则P（X=4000）=P（ ）P（ ）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，
P（X=2000）=P（ ）P（B）+P（A）P（ ）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，
P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，
则X的分布列为：
X 4000 2000 800
P 0.3 0.5 0.2
（2）解：设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），
则C1，C2，C3相互独立，
由（1）知，P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），
3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，
3季的利润有2季不少于2000的概率为P（ C2C3）+P（C1 C3）+P（C1C2 ）=3×0.82×0.2=0.384，
综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．
22．（2014·陕西理）如图，曲线C由上半椭圆C1： =1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为 ．
（1）求a，b的值；
（2）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．
【答案】（1）解：在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点．
设C1：的半焦距为c，由 = 及a2﹣c2=b2=1得a=2．
∴a=2，b=1．
（2）解：由（1）知上半椭圆C1的方程为 +x2=1（y≥0）．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），
代入C1的方程，整理得
（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）
设点P（xp，yp），
∵直线l过点B，
∴x=1是方程（*）的一个根，
由求根公式，得xp= ，从而yp= ，
∴点P的坐标为（ ， ）．
同理，由 得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），
∴ = （k，﹣4）， =﹣k（1，k+2），
∵AP⊥AQ，∴ =0，即 [k﹣4（k+2）]=0，
∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣ ．
经检验，k=﹣ 符合题意，
故直线l的方程为y=﹣ （x﹣1），即8x+3y﹣8=0．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由 = 及a2﹣c2=b2=1得a=2；（2）由（1）知上半椭圆C1的方程为 +x2=1（y≥0），设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（xp，yp），依题意，可求得点P的坐标为（ ， ）；同理可得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用 =0，可求得k的值，从而可得答案．
23．（2014·陕西理）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（1）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．
【答案】（1）解：由题设得，
由已知 ，
，
…
可得
下面用数学归纳法证明．①当n=1时， ，结论成立．
②假设n=k时结论成立，即 ，
那么n=k+1时， = 即结论成立．
由①②可知，结论对n∈N+成立．
（2）解：已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥ 恒成立．
设φ（x）=ln（1+x）﹣ （x≥0），则φ′（x）= ，
当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），
∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，
又φ（0）=0，
∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．
∴当a≤1时，ln（1+x）≥ 恒成立，（仅当x=0时等号成立）
当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，
∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0
即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，
故知ln（1+x）≥ 不恒成立，
综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．
（3）解：由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）= ，
n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），
比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）
证明如下：上述不等式等价于 ，
在（2）中取a=1，可得 ，
令 则
故有 ，
ln3﹣ln2 ，…
，
上述各式相加可得 结论得证
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由已知 ， ， …可得 用数学归纳法加以证明；（2）由已知得到ln（1+x）≥ 恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣ （x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；（3）在（2）中取a=1，可得 ，令 则 ，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．
1 / 12014年高考理数真题试卷（陕西卷）
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
1．（2014·陕西理）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（ ）
A．[0，1] B．[0，1） C．（0，1] D．（0，1）
2．（2014·陕西理）函数f（x）=cos（2x﹣ ）的最小正周期是（ ）
A． B．π C．2π D．4π
3．（2014·陕西理）定积分 （2x+ex）dx的值为（ ）
A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1
4．（2014·陕西理）根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（ ）
A．an=2n B．an=2（n﹣1）
C．an=2n D．an=2n﹣1
5．（2014·陕西理）已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B．4π C．2π D．
6．（2014·陕西理）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2014·陕西理）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（ ）
A．f（x）= B．f（x）=x3
C．f（x）=（ ）x D．f（x）=3x
8．（2014·陕西理）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假
9．（2014·陕西理）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（ ）
A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a
10．（2014·陕西理）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A．y= ﹣ x B．y= x3﹣ x
C．y= x3﹣x D．y=﹣ x3+ x
二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分
11．（2014·陕西理）已知4a=2，lgx=a，则x= ．
12．（2014·陕西理）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为 ．
13．（2014·陕西理）设0＜θ＜ ，向量 =（sin2θ，cosθ）， =（cosθ，1），若 ∥ ，则tanθ= ．
14．（2014·陕西理）观察分析下表中的数据：
多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是 ．
15．（2014·陕西理）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则 的最小值为 ．
16．（2014·陕西理）如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF= ．
17．（2014·陕西理）在极坐标系中，点（2， ）到直线 的距离是 ．
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤
18．（2014·陕西理）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
（1）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（2）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．
19．（2014·陕西理）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．
（1）证明：四边形EFGH是矩形；
（2）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
20．（2014·陕西理）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．
（1）若 ，求| |；
（2）设 =m +n （m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．
21．（2014·陕西理）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量（kg） 300 500
概率 0.5 0.5
作物市场价格（元/kg） 6 10
概率 0.4 0.6
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
22．（2014·陕西理）如图，曲线C由上半椭圆C1： =1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为 ．
（1）求a，b的值；
（2）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．
23．（2014·陕西理）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（1）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，
∴M∩N=[0，1）．
故选B．
【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．
2．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：根据复合三角函数的周期公式 得，
函数f（x）=cos（2x﹣ ）的最小正周期是π，
故选B．
【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式 求解．
3．【答案】C
【知识点】定积分
【解析】【解答】解： （2x+ex）dx=（x2+ex） =（1+e）﹣（0+e0）=e．
故选：C．
【分析】根据微积分基本定理计算即可．
4．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；程序框图
【解析】【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，
∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n．
故选：C．
【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．
5．【答案】D
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为 ，
∴正四棱柱体对角线的长为 =2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1
根据球的体积公式，得此球的体积为V= πR3= π．
故选：D．
【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．
6．【答案】C
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为 ，两条长度为 ，
∴所求概率为 = ．
故选：C．
【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为 ，两条长度为 ，即可得出结论．
7．【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A．f（x）= ，f（y）= ，f（x+y）= ，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；
B．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；
C．f（x）= ，f（y）= ，f（x+y）= ，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故C错．
D．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；
故选D．
【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．
8．【答案】B
【知识点】四种命题间的逆否关系
【解析】【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；
其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，
∴原命题的逆命题是假命题；
根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，
∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题．
故选：B．
【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假．
9．【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：方法1：∵yi=xi+a，
∴E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a，
方差D（yi）=D（xi）+E（a）=4．
方法2：由题意知yi=xi+a，
则 = （x1+x2+…+x10+10×a）= （x1+x2+…+x10）= +a=1+a，
方差s2= [（x1+a﹣（ +a）2+（x2+a﹣（ +a）2+…+（x10+a﹣（ +a）2]= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（x10﹣ ）2]=s2=4．
故选：A．
【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．
方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．
10．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；导数的几何意义
【解析】【解答】解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，依次特征寻找正确选项：
A选项，导数为 ，令其为0，解得x=±5，故A正确；
B选项，导数为 ，令其为0，x=±5不成立，故B错误；
C选项，导数为 ，令其为0，x=±5不成立，故C错误；
D选项，导数为 ，令其为0，x=±5不成立，故D错误．
故选：A．
【分析】分别求出四个选项中的导数，验证在x=±5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式．
11．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由4a=2，得 ，
再由lgx=a= ，
得x= ．
故答案为： ．
【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．
12．【答案】x2+（y﹣1）2=1
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，
可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，
故答案为：x2+（y﹣1）2=1．
【分析】利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为 （b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．
13．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：∵ ∥ ，向量 =（sin2θ，cosθ）， =（cosθ，1），
∴sin2θ﹣cos2θ=0，
∴2sinθcosθ=cos2θ，
∵0＜θ＜ ，∴cosθ≠0．
∴2tanθ=1，
∴tanθ= ．
故答案为： ．
【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
14．【答案】F+V﹣E=2
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，
①正方体：F=6，V=8，E=12，得F+V﹣E=8+6﹣12=2；
②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V﹣E=5+6﹣9=2；
③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+V﹣E=4+4﹣6=2．
根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V﹣E=2
再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立．
因此归纳出一般结论：F+V﹣E=2
故答案为：F+V﹣E=2
【分析】通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+V﹣E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案．
15．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由柯西不等式得，
（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）
∵a2+b2=5，ma+nb=5，
∴（m2+n2）≥5
∴ 的最小值为
故答案为：
【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．
16．【答案】3
【知识点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，
∴∠AEF=∠C，
∵∠EAF=∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴ ，
∵BC=6，AC=2AE，
∴EF=3．
故答案为：3．
【分析】证明△AEF∽△ACB，可得 ，即可得出结论．
17．【答案】1
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：点P（2， ）化为 = ，y=2 =1，∴P ．
直线 展开化为： =1，化为直角坐标方程为： ，即 =0．
∴点P到直线的距离d= =1．
故答案为：1．
【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．
18．【答案】（1）解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，
∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），
∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；
（2）解：∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
∴cosB= = ≥ = ，
当且仅当a=c时等号成立，
∴cosB的最小值为
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（2）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值．
19．【答案】（1）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，
且侧棱AD⊥底面BDC．
如图，
∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD 平面ABD，
∴AD∥EF．
∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD 平面ADC，
∴AD∥GH．
由平行公理可得EF∥GH．
∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC 平面BDC，
∴BC∥FG．
∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC 平面ABC，
∴BC∥EH．
由平行公理可得FG∥EH．
∴四边形EFGH为平行四边形．
又AD⊥平面BDC，BC 平面BDC，
∴AD⊥BC，则EF⊥EH．
∴四边形EFGH是矩形；
（2）解：
解法一：取AD的中点M，连结，显然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH⊥平面EFGH，取EH的中点N，连结MN，则MN⊥EH，
∴MN⊥平面EFGH，则∠MFN就是MF（即AB）与平面EFGH所成的角θ，
∵△MEH是等腰直角三角形，
∴MN= ，又MF= AB= ，
∴sin∠AFN= = ，即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是 ．
解法二：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由三视图可知DB=DC=2，DA=1．
又E为AB中点，
∴F，G分别为DB，DC中点．
∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0， ），G（0，1，0）．
则 ．
设平面EFGH的一个法向量为 ．
由 ，得 ，取y=1，得x=1．
∴ ．
则sinθ=|cos＜ ＞|= = = ．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论；（2）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出 及平面EFGH的一个法向量 ，用 与 所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
20．【答案】（1）解：∵A（1，1），B（2，3），C（3，2）， ，
∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0
∴3x﹣6=0，3y﹣6=0
∴x=2，y=2，
即 =（2，2）
∴
（2）解：∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），
∴ ，
∵ =m +n ，
∴（x，y）=（m+2n，2m+n）
∴x=m+2n，y=2m+n
∴m﹣n=y﹣x，
令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，
故m﹣n的最大值为1．
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算
【解析】【分析】（1）先根据 ，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；（2）利用向量的坐标运算，先求出 ， ，再根据 =m +n ，表示出m﹣n=y﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值．
21．【答案】（1）解：设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，
则P（A）=0.5，P（B）=0.4，
∵利润=产量×市场价格﹣成本，
∴X的所有值为：
500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，
300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，
则P（X=4000）=P（ ）P（ ）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，
P（X=2000）=P（ ）P（B）+P（A）P（ ）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，
P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，
则X的分布列为：
X 4000 2000 800
P 0.3 0.5 0.2
（2）解：设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），
则C1，C2，C3相互独立，
由（1）知，P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），
3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，
3季的利润有2季不少于2000的概率为P（ C2C3）+P（C1 C3）+P（C1C2 ）=3×0.82×0.2=0.384，
综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．
22．【答案】（1）解：在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点．
设C1：的半焦距为c，由 = 及a2﹣c2=b2=1得a=2．
∴a=2，b=1．
（2）解：由（1）知上半椭圆C1的方程为 +x2=1（y≥0）．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），
代入C1的方程，整理得
（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）
设点P（xp，yp），
∵直线l过点B，
∴x=1是方程（*）的一个根，
由求根公式，得xp= ，从而yp= ，
∴点P的坐标为（ ， ）．
同理，由 得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），
∴ = （k，﹣4）， =﹣k（1，k+2），
∵AP⊥AQ，∴ =0，即 [k﹣4（k+2）]=0，
∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣ ．
经检验，k=﹣ 符合题意，
故直线l的方程为y=﹣ （x﹣1），即8x+3y﹣8=0．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由 = 及a2﹣c2=b2=1得a=2；（2）由（1）知上半椭圆C1的方程为 +x2=1（y≥0），设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（xp，yp），依题意，可求得点P的坐标为（ ， ）；同理可得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用 =0，可求得k的值，从而可得答案．
23．【答案】（1）解：由题设得，
由已知 ，
，
…
可得
下面用数学归纳法证明．①当n=1时， ，结论成立．
②假设n=k时结论成立，即 ，
那么n=k+1时， = 即结论成立．
由①②可知，结论对n∈N+成立．
（2）解：已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥ 恒成立．
设φ（x）=ln（1+x）﹣ （x≥0），则φ′（x）= ，
当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），
∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，
又φ（0）=0，
∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．
∴当a≤1时，ln（1+x）≥ 恒成立，（仅当x=0时等号成立）
当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，
∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0
即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，
故知ln（1+x）≥ 不恒成立，
综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．
（3）解：由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）= ，
n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），
比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）
证明如下：上述不等式等价于 ，
在（2）中取a=1，可得 ，
令 则
故有 ，
ln3﹣ln2 ，…
，
上述各式相加可得 结论得证
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由已知 ， ， …可得 用数学归纳法加以证明；（2）由已知得到ln（1+x）≥ 恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣ （x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；（3）在（2）中取a=1，可得 ，令 则 ，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．
1 / 1
