2014年高考理数真题试卷（上海卷）
一、填空题
1．（2014·上海理）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是 ．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：y=1﹣2cos2（2x）
=﹣[2cos2（2x）﹣1]
=﹣cos4x，
∴函数的最小正周期为T= =
故答案为：
【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．
2．（2014·上海理）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+ ） = ．
【答案】6
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，
则（z+ ） =
=（1+2i）（1﹣2i）+1
=1﹣4i2+1
=2+4
=6．
故答案为：6
【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．
3．（2014·上海理）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 + =1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．
【答案】x=﹣2
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意椭圆 + =1，故它的右焦点坐标是（2，0），
又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆 + =1的右焦点重合，
故 得p=4，
∴抛物线的准线方程为x=﹣ =﹣2．
故答案为：x=﹣2
【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆 + =1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程
4．（2014·上海理）设f（x）= ，若f（2）=4，则a的取值范围为 ．
【答案】（﹣∞，2]
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；
当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；
当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；
∴a≤2，
故答案为：（﹣∞，2]．
【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．
5．（2014·上海理）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵xy=1，
∴y=
∴x2+2y2=x2+ ≥2 =2 ，
当且仅当x2= ，即x=± 时取等号，
故答案为：2
【分析】由已知可得y= ，代入要求的式子，由基本不等式可得．
6．（2014·上海理）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．
【答案】arccos
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，
∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，
∴ = =3，
即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，
故圆锥的轴截面如下图所示：
则cosθ= = ，
∴θ=arccos ，
故答案为：arccos
【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．
7．（2014·上海理）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 ．
【答案】
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，
∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ= ．
故答案为： ．
【分析】由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．
8．（2014·上海理）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1= （a3+a4+…an），则q= ．
【答案】
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解：∵无穷等比数列{an}的公比为q，
a1= （a3+a4+…an）
= （ ﹣a1﹣a1q）
= ，
∴q2+q﹣1=0，
解得q= 或q= （舍）．
故答案为： ．
【分析】由已知条件推导出a1= ，由此能求出q的值．
9．（2014·上海理）若f（x）= ﹣ ，则满足f（x）＜0的x的取值范围是 ．
【答案】（0，1）
【知识点】其他不等式的解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：f（x）= ﹣ ，若满足f（x）＜0，
即 ＜ ，
∴ ，
∵y= 是增函数，
∴ 的解集为：（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．
10．（2014·上海理）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有 种情况，
其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），
（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），
∴选择的3天恰好为连续3天的概率是 ，
故答案为： ．
【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，
再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．
11．（2014·上海理）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ．
【答案】-1
【知识点】集合相等
【解析】【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，
则 ①或 ②，
由①得 ，
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．
若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，
∵互异的复数a，b，
∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，
故答案为：﹣1．
【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．
12．（2014·上海理）设常数a使方程sinx+ cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的图象
【解析】【解答】解：sinx+ cosx=2（ sinx+ cosx）=2sin（x+ ）=a，
如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a= 时，直线与三角函数图象恰有三个交点，
令sin（x+ ）= ，x+ =2kπ+ ，即x=2kπ，或x+ =2kπ+ ，即x=2kπ+ ，
∴此时x1=0，x2= ，x3=2π，
∴x1+x2+x3=0+ +2π= ．
故答案为：
【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+ ）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a= 时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．
13．（2014·上海理）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 ．
【答案】0.2
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：设小白得5分的概率至少为x，
则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，
∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，
E（ξ）=4.2，
∴4（1﹣x）+5x=4.2，
解得x=0.2．
故答案为：0.2．
【分析】设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果．
14．（2014·上海理）已知曲线C：x=﹣ ，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得 + = ，则m的取值范围为 ．
【答案】[2，3]
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：曲线C：x=﹣ ，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP∈[﹣2，0]，
对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得 + = ，
说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，
∴m= ∈[2，3]．
故答案为：[2，3]．
【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过 + = ，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．
二、选择题，每题有且只有一个正确答案
15．（2014·上海理）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，
若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，
故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，
故选：B．
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．
16．（2014·上海理）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则 （i=1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： = ，
则 = （ ）=| |2+ ，
∵ ，
∴ =| |2=1，
∴ （i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，
故选A．
【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案．
17．（2014·上海理）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组 的解的情况是（ ）
A．无论k，P1，P2如何，总是无解
B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解
C．存在k，P1，P2，使之恰有两解
D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解
【答案】B
【知识点】一次函数的性质与图象
【解析】【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，
∴k= ，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1
，
①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，
即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．
∴方程组有唯一解．
故选：B．
【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．
18．（2014·上海理）设f（x）= ，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]
【答案】D
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，
当a≥0时，f（0）=a2，
由题意得：a2≤x+ +a，
解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，
∴0≤a≤2，
故选：D．
【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．
三、解答题
19．（2014·上海理）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．
【答案】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，
∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，
∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，
∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，
∴△P1P2P3的边长为4，
VP﹣ABC= =
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．
20．（2014·上海理）设常数a≥0，函数f（x）= ．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
【答案】（1）解：∵a=4，
∴
∴ ，
∴ ，
∴调换x，y的位置可得 ，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
（2）解：若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，
∴ = ，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．
∵2x﹣2﹣x不恒为0，
∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；
若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，
∴ =﹣ ，整理可得a2﹣1=0，
∴a=±1，
∵a≥0，
∴a=1，
此时f（x）= ，满足条件；
当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数
综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数
【知识点】函数的奇偶性；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．
21．（2014·上海理）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．
【答案】（1）解：设CD的长为x米，则tanα= ，tanβ= ，
∵0 ，
∴tanα≥tan2β＞0，
∴tan ，
即 = ，
解得0 ≈28.28，
即CD的长至多为28.28米
（2）解：设DB=a，DA=b，CD=m，
则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，
由正弦定理得 ，
即a= ，
∴m= ≈26.93，
答：CD的长为26.93米．
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．
22．（2014·上海理）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．
（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
【答案】（1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，
∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔
（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得 （1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1﹣4k2≤0，
∴k≤﹣ ，或 k≥ ．
曲线上有两个点（﹣1，0）和（1，0）被直线y=kx分隔
（3）证明：设点M（x，y），则 |x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．
y轴为x=0，显然与方程①联立无解．
又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有 η=1×（﹣1）=﹣1＜0，
故x=0是一条分隔线．
若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx﹣2）2]x2=1，
令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，
∵k≠2，f（0）f（1）=﹣（k﹣2）2＜0，∴f（x）=0没有实数解，
k=2，f（x）=[x2+（2x﹣2）2]x2﹣1=0没有实数解，
即y=kx与E有公共点，
∴y=kx不是E的分隔线．
∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得 （1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．
23．（2014·上海理）已知数列{an}满足 an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．
（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若 Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．
（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．
【答案】（1）解：依题意： ，
∴ ；又
∴3≤x≤27，
综上可得：3≤x≤6
（2）解：由已知得， ， ，
∴ ，
当q=1时，Sn=n， Sn≤Sn+1≤3Sn，即 ，成立．
当1＜q≤3时， ， Sn≤Sn+1≤3Sn，即 ，
∴
不等式
∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n=1，
得q2﹣3q+2≤0，
解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，
∴qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，
∴1＜q≤2，
当 时，
， Sn≤Sn+1≤3Sn，即 ，
∴此不等式即 ，
3q﹣1＞0，q﹣3＜0，
3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，
qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0
∴ 时，不等式恒成立，
上，q的取值范围为：
（3）解：设a1，a2，…ak的公差为d．由 ，且a1=1，
得
即
当n=1时，﹣ ≤d≤2；
当n=2，3，…，k﹣1时，由 ，得d≥ ，
所以d≥ ，
所以1000=k ，即k2﹣2000k+1000≤0，
得k≤1999
所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…ak的公差为﹣
【知识点】数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）依题意： ，又 将已知代入求出x的范围；（2）先求出通项： ，由 求出 ，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式 Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差．
1 / 12014年高考理数真题试卷（上海卷）
一、填空题
1．（2014·上海理）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是 ．
2．（2014·上海理）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+ ） = ．
3．（2014·上海理）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 + =1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．
4．（2014·上海理）设f（x）= ，若f（2）=4，则a的取值范围为 ．
5．（2014·上海理）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 ．
6．（2014·上海理）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．
7．（2014·上海理）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 ．
8．（2014·上海理）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1= （a3+a4+…an），则q= ．
9．（2014·上海理）若f（x）= ﹣ ，则满足f（x）＜0的x的取值范围是 ．
10．（2014·上海理）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．
11．（2014·上海理）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ．
12．（2014·上海理）设常数a使方程sinx+ cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= ．
13．（2014·上海理）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 ．
14．（2014·上海理）已知曲线C：x=﹣ ，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得 + = ，则m的取值范围为 ．
二、选择题，每题有且只有一个正确答案
15．（2014·上海理）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．（2014·上海理）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则 （i=1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（2014·上海理）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组 的解的情况是（ ）
A．无论k，P1，P2如何，总是无解
B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解
C．存在k，P1，P2，使之恰有两解
D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解
18．（2014·上海理）设f（x）= ，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]
三、解答题
19．（2014·上海理）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．
20．（2014·上海理）设常数a≥0，函数f（x）= ．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
21．（2014·上海理）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．
22．（2014·上海理）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．
（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
23．（2014·上海理）已知数列{an}满足 an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．
（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若 Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．
（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：y=1﹣2cos2（2x）
=﹣[2cos2（2x）﹣1]
=﹣cos4x，
∴函数的最小正周期为T= =
故答案为：
【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．
2．【答案】6
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，
则（z+ ） =
=（1+2i）（1﹣2i）+1
=1﹣4i2+1
=2+4
=6．
故答案为：6
【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．
3．【答案】x=﹣2
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意椭圆 + =1，故它的右焦点坐标是（2，0），
又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆 + =1的右焦点重合，
故 得p=4，
∴抛物线的准线方程为x=﹣ =﹣2．
故答案为：x=﹣2
【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆 + =1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程
4．【答案】（﹣∞，2]
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；
当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；
当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；
∴a≤2，
故答案为：（﹣∞，2]．
【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．
5．【答案】2
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵xy=1，
∴y=
∴x2+2y2=x2+ ≥2 =2 ，
当且仅当x2= ，即x=± 时取等号，
故答案为：2
【分析】由已知可得y= ，代入要求的式子，由基本不等式可得．
6．【答案】arccos
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，
∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，
∴ = =3，
即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，
故圆锥的轴截面如下图所示：
则cosθ= = ，
∴θ=arccos ，
故答案为：arccos
【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．
7．【答案】
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，
∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ= ．
故答案为： ．
【分析】由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．
8．【答案】
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解：∵无穷等比数列{an}的公比为q，
a1= （a3+a4+…an）
= （ ﹣a1﹣a1q）
= ，
∴q2+q﹣1=0，
解得q= 或q= （舍）．
故答案为： ．
【分析】由已知条件推导出a1= ，由此能求出q的值．
9．【答案】（0，1）
【知识点】其他不等式的解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：f（x）= ﹣ ，若满足f（x）＜0，
即 ＜ ，
∴ ，
∵y= 是增函数，
∴ 的解集为：（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．
10．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有 种情况，
其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），
（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），
∴选择的3天恰好为连续3天的概率是 ，
故答案为： ．
【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，
再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．
11．【答案】-1
【知识点】集合相等
【解析】【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，
则 ①或 ②，
由①得 ，
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．
若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，
∵互异的复数a，b，
∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，
故答案为：﹣1．
【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．
12．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的图象
【解析】【解答】解：sinx+ cosx=2（ sinx+ cosx）=2sin（x+ ）=a，
如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a= 时，直线与三角函数图象恰有三个交点，
令sin（x+ ）= ，x+ =2kπ+ ，即x=2kπ，或x+ =2kπ+ ，即x=2kπ+ ，
∴此时x1=0，x2= ，x3=2π，
∴x1+x2+x3=0+ +2π= ．
故答案为：
【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+ ）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a= 时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．
13．【答案】0.2
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：设小白得5分的概率至少为x，
则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，
∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，
E（ξ）=4.2，
∴4（1﹣x）+5x=4.2，
解得x=0.2．
故答案为：0.2．
【分析】设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果．
14．【答案】[2，3]
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：曲线C：x=﹣ ，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP∈[﹣2，0]，
对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得 + = ，
说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，
∴m= ∈[2，3]．
故答案为：[2，3]．
【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过 + = ，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．
15．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，
若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，
故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，
故选：B．
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．
16．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： = ，
则 = （ ）=| |2+ ，
∵ ，
∴ =| |2=1，
∴ （i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，
故选A．
【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案．
17．【答案】B
【知识点】一次函数的性质与图象
【解析】【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，
∴k= ，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1
，
①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，
即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．
∴方程组有唯一解．
故选：B．
【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．
18．【答案】D
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，
当a≥0时，f（0）=a2，
由题意得：a2≤x+ +a，
解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，
∴0≤a≤2，
故选：D．
【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．
19．【答案】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，
∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，
∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，
∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，
∴△P1P2P3的边长为4，
VP﹣ABC= =
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．
20．【答案】（1）解：∵a=4，
∴
∴ ，
∴ ，
∴调换x，y的位置可得 ，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
（2）解：若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，
∴ = ，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．
∵2x﹣2﹣x不恒为0，
∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；
若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，
∴ =﹣ ，整理可得a2﹣1=0，
∴a=±1，
∵a≥0，
∴a=1，
此时f（x）= ，满足条件；
当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数
综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数
【知识点】函数的奇偶性；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．
21．【答案】（1）解：设CD的长为x米，则tanα= ，tanβ= ，
∵0 ，
∴tanα≥tan2β＞0，
∴tan ，
即 = ，
解得0 ≈28.28，
即CD的长至多为28.28米
（2）解：设DB=a，DA=b，CD=m，
则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，
由正弦定理得 ，
即a= ，
∴m= ≈26.93，
答：CD的长为26.93米．
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．
22．【答案】（1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，
∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔
（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得 （1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1﹣4k2≤0，
∴k≤﹣ ，或 k≥ ．
曲线上有两个点（﹣1，0）和（1，0）被直线y=kx分隔
（3）证明：设点M（x，y），则 |x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．
y轴为x=0，显然与方程①联立无解．
又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有 η=1×（﹣1）=﹣1＜0，
故x=0是一条分隔线．
若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx﹣2）2]x2=1，
令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，
∵k≠2，f（0）f（1）=﹣（k﹣2）2＜0，∴f（x）=0没有实数解，
k=2，f（x）=[x2+（2x﹣2）2]x2﹣1=0没有实数解，
即y=kx与E有公共点，
∴y=kx不是E的分隔线．
∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得 （1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．
23．【答案】（1）解：依题意： ，
∴ ；又
∴3≤x≤27，
综上可得：3≤x≤6
（2）解：由已知得， ， ，
∴ ，
当q=1时，Sn=n， Sn≤Sn+1≤3Sn，即 ，成立．
当1＜q≤3时， ， Sn≤Sn+1≤3Sn，即 ，
∴
不等式
∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n=1，
得q2﹣3q+2≤0，
解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，
∴qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，
∴1＜q≤2，
当 时，
， Sn≤Sn+1≤3Sn，即 ，
∴此不等式即 ，
3q﹣1＞0，q﹣3＜0，
3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，
qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0
∴ 时，不等式恒成立，
上，q的取值范围为：
（3）解：设a1，a2，…ak的公差为d．由 ，且a1=1，
得
即
当n=1时，﹣ ≤d≤2；
当n=2，3，…，k﹣1时，由 ，得d≥ ，
所以d≥ ，
所以1000=k ，即k2﹣2000k+1000≤0，
得k≤1999
所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…ak的公差为﹣
【知识点】数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）依题意： ，又 将已知代入求出x的范围；（2）先求出通项： ，由 求出 ，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式 Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差．
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