2014年高考理数真题试卷（四川卷）
一、选择题：在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2014·四川理）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1}
C．{0，1} D．{﹣1，0}
2．（2014·四川理）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（ ）
A．30 B．20 C．15 D．10
3．（2014·四川理）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度
4．（2014·四川理）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．＞ B．＜ C．＞ D．＜
5．（2014·四川理）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2014·四川理）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）
A．192种 B．216种 C．240种 D．288种
7．（2014·四川理）平面向量 =（1，2）， =（4，2）， =m + （m∈R），且 与 的夹角等于 与 的夹角，则m=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
8．（2014·四川理）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（ ）
A．[ ，1] B．[ ，1]
C．[ ， ] D．[ ，1]
9．（2014·四川理）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（ ）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
10．（2014·四川理）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， =2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
11．（2014·四川理）复数 = ．
12．（2014·四川理）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）= ，则f（ ）= ．
13．（2014·四川理）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， ≈1.73）
14．（2014·四川理）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA| |PB|的最大值是 ．
15．（2014·四川理）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“ b∈R， a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x） B．
④若函数f（x）=aln（x+2）+ （x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）
三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（2014·四川理）已知函数f（x）=sin（3x+ ）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（ ）= cos（α+ ）cos2α，求cosα﹣sinα的值．
17．（2014·四川理）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
18．（2014·四川理）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．
（1）证明：P是线段BC的中点；
（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．
19．（2014·四川理）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．
（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；
（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣ ，求数列{ }的前n项和Tn．
20．（2014·四川理）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当 最小时，求点T的坐标．
21．（2014·四川理）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，
∴A∩B={﹣1，0，1，2}．
故选：A．
【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得．
2．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，
令r=2可得，T3=C62x2=15x2，
∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，
在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．
故选：C．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．
3．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+ ），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度，
即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，
故选：A．
【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+ ），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
4．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，
则 ， ，∴A、B不正确；
， =﹣ ，
∴C不正确，D正确．
解法二：
∵c＜d＜0，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【分析】利用特例法，判断选项即可．
5．【答案】C
【知识点】简单线性规划；程序框图的三种基本逻辑结构的应用
【解析】【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域 内，目标还是S=2x+y的最大值，
画出可行域如图：
当 时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．
故选：C．
【分析】算法的功能是求可行域 内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值．
6．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：最左端排甲，共有 =120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有 =96种，
根据加法原理可得，共有120+96=216种．
故选：B．
【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．
7．【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：∵向量 =（1，2）， =（4，2），
∴ =m + =（m+4，2m+2），
又∵ 与 的夹角等于 与 的夹角，
∴ = ，
∴ = ，
∴ = ，
解得m=2，
故选：D
【分析】由已知求出向量 的坐标，再根据 与 的夹角等于 与 的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案．
8．【答案】B
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是 ∪ ．
不妨取AB=2．
在Rt△AOA1中， = = ．
sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1= ，
=1．
∴sinα的取值范围是 ．
故选：B．
【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是 ∪ ．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．
9．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），
∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；
f（ ）=ln（1+ ）﹣ln（1﹣ ）=ln（ ）﹣ln（ ）=ln（ ）=ln[（ ）2]=2ln（ ）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；
当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x| f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））
∵g′（x）= + ﹣2= ≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，
又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；
故正确的命题有①②③，
故选：A
【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．
10．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB与x轴的交点为M（m，0），
由 y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1 y2=﹣m，
∵ =2，∴x1 x2+y1 y2=2，
结合 及 ，得 ，
∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1 y2=﹣2，故m=2．
不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又 ，
∴S△ABO+S△AFO= = ×2×（y1﹣y2）+ × y1，
= ．
当且仅当 ，即 时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．
【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及 =2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．
11．【答案】﹣2i
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数 = = =﹣2i，
故答案为：﹣2i．
【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．
12．【答案】1
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，
∴ =1．
故答案为：1．
【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（ ）的值转化成求f（ ）的值．
13．【答案】60
【知识点】正弦定理；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，
则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，
AB= ，根据正弦定理， ，
得BC= = =60m．
故答案为：60m．
【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．
14．【答案】5
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．
故|PA| |PB|≤ =5（当且仅当 时取“=”）
故答案为：5
【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA| |PB|的最大值．
15．【答案】①③④
【知识点】充要条件；全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；函数的值域
【解析】【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都 a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都 a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．
∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）．
则f（x）+g（x） B，故③是真命题；（4）对于命题④，∵﹣ ≤ ≤ ，
当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）= ，f（x）∈B，故④是真命题．
故答案为①③④．
【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．
16．【答案】（1）解：∵函数f（x）=sin（3x+ ），令 2kπ﹣ ≤3x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，
求得 ﹣ ≤x≤ + ，故函数的增区间为[ ﹣ ， + ]，k∈Z
（2）解：由函数的解析式可得 f（ ）=sin（α+ ），又f（ ）= cos（α+ ）cos2α，
∴sin（α+ ）= cos（α+ ）cos2α，即sin（α+ ）= cos（α+ ）（cos2α﹣sin2α），
∴sinαcos +cosαsin = （cosαcos ﹣sinαsin ）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）
即 （sinα+cosα）= （cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），
又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，
当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα= ，cosα=﹣ ，此时cosα﹣sinα=﹣ ．
当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣ ．
综上所述：cosα﹣sinα=﹣ 或﹣ ．
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）令 2kπ﹣ ≤3x+ ≤2kπ+ ，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得 f（ ）=sin（α+ ），又f（ ）= cos（α+ ）cos2α，可得sin（α+ ）= cos（α+ ）cos2α，化简可得 （cosα﹣sinα）2= ．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．
17．【答案】（1）解：X可能取值有﹣200，10，20，100．
则P（X=﹣200）= ，
P（X=10）= =
P（X=20）= = ，
P（X=100）= = ，
故分布列为：
X ﹣200 10 20 100
P
由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p= + =
（2）解：则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣ ．
（3）解：由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）× +10× +20× ×100=﹣ = ．
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．
18．【答案】（1）证明：由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：
平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2
设O为BD的中点，连接OA，OC
于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC BD⊥AC
因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP
假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线
从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点
（2）解：以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0， ），M（ ，O， ），N（ ，0， ），P（ ， ，0）
于是 ， ，
设平面ANP和平面NPM的法向量分别为 和
由 ，则 ，设z1=1，则
由 ，则 ，设z2=1，则
cos = = =
所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．
19．【答案】（1）解：∵点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，
∴ ，
又等差数列{an}的公差为d，
∴ = =2d，
∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，
∴ =b8，
∴ =4=2d，解得d=2．
又a1=﹣2，∴Sn= =﹣2n+ =n2﹣3n
（2）解：由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，
∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为 ，
又 ，令y=0可得x= ，
∴ ，解得a2=2．
∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．
∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，
∴bn=2n．
∴ ．
∴Tn= +…+ + ，
∴2Tn=1+ + +…+ ，
两式相减得Tn=1+ +…+ ﹣ = ﹣
=
= ．
【知识点】数列的求和；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）由于点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，可得 ，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得 =2d．由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得 =b8，进而得到 =4=2d，解得d．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2．进而得到an，bn．再利用“错位相减法”即可得出．
20．【答案】（1）解：依题意有 解得
所以椭圆C的标准方程为 + =1
（2）解：设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），
①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率 ．
由 （m2+3）y2﹣4my﹣2=0，
所以 ，
于是 ，从而 ，
即 ，则直线ON的斜率 ，
又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率 ，得t=m．
从而 ，即kOT=kON，
所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．
②由两点间距离公式得 ，
由弦长公式得 = = ，
所以 ，
令 ，则 （当且仅当x2=2时，取“=”号），
所以当 最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将 表示出来，由 取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．
21．【答案】（1）解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，
又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，
∴①当 时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；
②当 ，则1＜2a＜e，
∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，
∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，
g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；
③当 时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，
综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为
（2）解：由f（1）=0， e﹣a﹣b﹣1=0 b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，
若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
由（1）知当a≤ 或a≥ 时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．
若 ，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1
令h（x）= （1＜x＜e）
则 = ，∴ ．由 ＞0 x＜
∴h（x）在区间（1， ）上单调递增，在区间（ ，e）上单调递减，
= = ＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间 ，
又 ，所以e﹣2＜a＜1，
综上得：e﹣2＜a＜1．
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．
1 / 12014年高考理数真题试卷（四川卷）
一、选择题：在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2014·四川理）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1}
C．{0，1} D．{﹣1，0}
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，
∴A∩B={﹣1，0，1，2}．
故选：A．
【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得．
2．（2014·四川理）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（ ）
A．30 B．20 C．15 D．10
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，
令r=2可得，T3=C62x2=15x2，
∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，
在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．
故选：C．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．
3．（2014·四川理）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+ ），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度，
即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，
故选：A．
【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+ ），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
4．（2014·四川理）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．＞ B．＜ C．＞ D．＜
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，
则 ， ，∴A、B不正确；
， =﹣ ，
∴C不正确，D正确．
解法二：
∵c＜d＜0，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【分析】利用特例法，判断选项即可．
5．（2014·四川理）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】简单线性规划；程序框图的三种基本逻辑结构的应用
【解析】【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域 内，目标还是S=2x+y的最大值，
画出可行域如图：
当 时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．
故选：C．
【分析】算法的功能是求可行域 内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值．
6．（2014·四川理）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）
A．192种 B．216种 C．240种 D．288种
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：最左端排甲，共有 =120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有 =96种，
根据加法原理可得，共有120+96=216种．
故选：B．
【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．
7．（2014·四川理）平面向量 =（1，2）， =（4，2）， =m + （m∈R），且 与 的夹角等于 与 的夹角，则m=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：∵向量 =（1，2）， =（4，2），
∴ =m + =（m+4，2m+2），
又∵ 与 的夹角等于 与 的夹角，
∴ = ，
∴ = ，
∴ = ，
解得m=2，
故选：D
【分析】由已知求出向量 的坐标，再根据 与 的夹角等于 与 的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案．
8．（2014·四川理）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（ ）
A．[ ，1] B．[ ，1]
C．[ ， ] D．[ ，1]
【答案】B
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是 ∪ ．
不妨取AB=2．
在Rt△AOA1中， = = ．
sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1= ，
=1．
∴sinα的取值范围是 ．
故选：B．
【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是 ∪ ．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．
9．（2014·四川理）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（ ）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），
∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；
f（ ）=ln（1+ ）﹣ln（1﹣ ）=ln（ ）﹣ln（ ）=ln（ ）=ln[（ ）2]=2ln（ ）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；
当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x| f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））
∵g′（x）= + ﹣2= ≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，
又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；
故正确的命题有①②③，
故选：A
【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．
10．（2014·四川理）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， =2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB与x轴的交点为M（m，0），
由 y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1 y2=﹣m，
∵ =2，∴x1 x2+y1 y2=2，
结合 及 ，得 ，
∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1 y2=﹣2，故m=2．
不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又 ，
∴S△ABO+S△AFO= = ×2×（y1﹣y2）+ × y1，
= ．
当且仅当 ，即 时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．
【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及 =2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．
二、填空题
11．（2014·四川理）复数 = ．
【答案】﹣2i
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数 = = =﹣2i，
故答案为：﹣2i．
【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．
12．（2014·四川理）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）= ，则f（ ）= ．
【答案】1
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，
∴ =1．
故答案为：1．
【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（ ）的值转化成求f（ ）的值．
13．（2014·四川理）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， ≈1.73）
【答案】60
【知识点】正弦定理；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，
则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，
AB= ，根据正弦定理， ，
得BC= = =60m．
故答案为：60m．
【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．
14．（2014·四川理）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA| |PB|的最大值是 ．
【答案】5
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．
故|PA| |PB|≤ =5（当且仅当 时取“=”）
故答案为：5
【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA| |PB|的最大值．
15．（2014·四川理）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“ b∈R， a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x） B．
④若函数f（x）=aln（x+2）+ （x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）
【答案】①③④
【知识点】充要条件；全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；函数的值域
【解析】【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都 a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都 a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．
∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）．
则f（x）+g（x） B，故③是真命题；（4）对于命题④，∵﹣ ≤ ≤ ，
当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）= ，f（x）∈B，故④是真命题．
故答案为①③④．
【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．
三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（2014·四川理）已知函数f（x）=sin（3x+ ）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（ ）= cos（α+ ）cos2α，求cosα﹣sinα的值．
【答案】（1）解：∵函数f（x）=sin（3x+ ），令 2kπ﹣ ≤3x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，
求得 ﹣ ≤x≤ + ，故函数的增区间为[ ﹣ ， + ]，k∈Z
（2）解：由函数的解析式可得 f（ ）=sin（α+ ），又f（ ）= cos（α+ ）cos2α，
∴sin（α+ ）= cos（α+ ）cos2α，即sin（α+ ）= cos（α+ ）（cos2α﹣sin2α），
∴sinαcos +cosαsin = （cosαcos ﹣sinαsin ）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）
即 （sinα+cosα）= （cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），
又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，
当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα= ，cosα=﹣ ，此时cosα﹣sinα=﹣ ．
当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣ ．
综上所述：cosα﹣sinα=﹣ 或﹣ ．
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）令 2kπ﹣ ≤3x+ ≤2kπ+ ，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得 f（ ）=sin（α+ ），又f（ ）= cos（α+ ）cos2α，可得sin（α+ ）= cos（α+ ）cos2α，化简可得 （cosα﹣sinα）2= ．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．
17．（2014·四川理）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
【答案】（1）解：X可能取值有﹣200，10，20，100．
则P（X=﹣200）= ，
P（X=10）= =
P（X=20）= = ，
P（X=100）= = ，
故分布列为：
X ﹣200 10 20 100
P
由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p= + =
（2）解：则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣ ．
（3）解：由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）× +10× +20× ×100=﹣ = ．
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．
18．（2014·四川理）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．
（1）证明：P是线段BC的中点；
（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．
【答案】（1）证明：由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：
平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2
设O为BD的中点，连接OA，OC
于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC BD⊥AC
因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP
假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线
从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点
（2）解：以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0， ），M（ ，O， ），N（ ，0， ），P（ ， ，0）
于是 ， ，
设平面ANP和平面NPM的法向量分别为 和
由 ，则 ，设z1=1，则
由 ，则 ，设z2=1，则
cos = = =
所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．
19．（2014·四川理）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．
（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；
（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣ ，求数列{ }的前n项和Tn．
【答案】（1）解：∵点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，
∴ ，
又等差数列{an}的公差为d，
∴ = =2d，
∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，
∴ =b8，
∴ =4=2d，解得d=2．
又a1=﹣2，∴Sn= =﹣2n+ =n2﹣3n
（2）解：由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，
∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为 ，
又 ，令y=0可得x= ，
∴ ，解得a2=2．
∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．
∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，
∴bn=2n．
∴ ．
∴Tn= +…+ + ，
∴2Tn=1+ + +…+ ，
两式相减得Tn=1+ +…+ ﹣ = ﹣
=
= ．
【知识点】数列的求和；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）由于点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，可得 ，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得 =2d．由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得 =b8，进而得到 =4=2d，解得d．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2．进而得到an，bn．再利用“错位相减法”即可得出．
20．（2014·四川理）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当 最小时，求点T的坐标．
【答案】（1）解：依题意有 解得
所以椭圆C的标准方程为 + =1
（2）解：设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），
①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率 ．
由 （m2+3）y2﹣4my﹣2=0，
所以 ，
于是 ，从而 ，
即 ，则直线ON的斜率 ，
又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率 ，得t=m．
从而 ，即kOT=kON，
所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．
②由两点间距离公式得 ，
由弦长公式得 = = ，
所以 ，
令 ，则 （当且仅当x2=2时，取“=”号），
所以当 最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将 表示出来，由 取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．
21．（2014·四川理）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，
又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，
∴①当 时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；
②当 ，则1＜2a＜e，
∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，
∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，
g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；
③当 时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，
综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为
（2）解：由f（1）=0， e﹣a﹣b﹣1=0 b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，
若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
由（1）知当a≤ 或a≥ 时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．
若 ，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1
令h（x）= （1＜x＜e）
则 = ，∴ ．由 ＞0 x＜
∴h（x）在区间（1， ）上单调递增，在区间（ ，e）上单调递减，
= = ＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间 ，
又 ，所以e﹣2＜a＜1，
综上得：e﹣2＜a＜1．
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．
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