2014年高考理数真题试卷（天津卷）
一、选择题
1．（2014·天津理）i是虚数单位，复数 =（ ）
A．1﹣i B．﹣1+i
C．+ I D．﹣ 177 + 257 i
2．（2014·天津理）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=x+2y的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2014·天津理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（ ）
A．15 B．105 C．245 D．945
4．（2014·天津理）函数f（x）= （x2﹣4）的单调递增区间为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）
C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）
5．（2014·天津理）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣ =1 B．﹣ =1
C．﹣ =1 D．﹣ =1
6．（2014·天津理）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD平分∠CBF；
②FB2=FD FA；
③AE CE=BE DE；
④AF BD=AB BF．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
7．（2014·天津理）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8．（2014·天津理）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上， =λ ， =μ ，若 =1， =﹣ ，则λ+μ=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2014·天津理）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生．
10．（2014·天津理）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3．
11．（2014·天津理）设{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为 ．
12．（2014·天津理）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c= a，2sinB=3sinC，则cosA的值为 ．
13．（2014·天津理）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为 ．
14．（2014·天津理）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题
15．（2014·天津理）已知函数f（x）=cosx sin（x+ ）﹣ cos2x+ ，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在闭区间[﹣ ， ]上的最大值和最小值．
16．（2014·天津理）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（2014·天津理）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（1）证明：BE⊥DC；
（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（3）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
18．（2014·天津理）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|= |F1F2|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
19．（2014·天津理）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1，xi∈M，i=1，2，…n}．
（1）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；
（2）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：若an＜bn，则s＜t．
20．（2014·天津理）设f（x）=x﹣aex（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．
（1）求a的取值范围；
（2）证明： 随着a的减小而增大；
（3）证明x1+x2随着a的减小而增大．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数 = = ，
故选A．
【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．
2．【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=﹣ ，
平移直线y=﹣ ，由图象可知当直线y=﹣ 经过点B（1，1）时，直线y=﹣ 的截距最小，此时z最小．
此时z的最小值为z=1+2×1=3，
故选：B．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
3．【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，
∵跳出循环的i值为4，
∴输出S=1×3×5×7=105．
故选：B．
【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．
4．【答案】D
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得 x＞2，或 x＜﹣2，
故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y= t随t的减小而增大，
所以y= （x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．
故选：D．
【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）= t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 上的减区间．
5．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，
令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，
∵双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，
∴ =2，
∵c2=a2+b2，
∴a2=5，b2=20，
∴双曲线的方程为 ﹣ =1．
故选：A．
【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得 =2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．
6．【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，
∴∠DBC=∠DAC．
∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，
∴∠FBD=∠BAF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAF=∠DAC．
∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．
又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．
由 ，FB2=FD FA．即结论②成立．
由 ，得AF BD=AB BF．即结论④成立．
正确结论有①②④．
故答案为D
【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．
7．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若a＞b，
①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a a＞b b，此时成立．
②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a a＞﹣b b，即a2＜b2，此时成立．
③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a a＞﹣b b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．
若a|a|＞b|b|，
①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．
②当a＞0，b＜0时，a＞b．
③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，
综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，
故选：C．
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
8．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得若 =（ + ） （ + ）= + + +
=2×2×cos120°+ +λ +λ μ =﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°
=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，
∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．
=﹣ （﹣ ）= =（1﹣λ） （1﹣μ） =（1﹣λ） （1﹣μ）
=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣ ，
即﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ②．
由①②求得λ+μ= ，
故答案为： ．
【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由 =1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由 =﹣ ，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ②．结合①②求得λ+μ的值．
9．【答案】60
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为 = ，
故应从一年级本科生中抽取名学生数为300× =60，
故答案为：60．
【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．
10．【答案】
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，
其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，
∴几何体的体积V=π×12×4+ ×π×22×2=4π+ π= ．
故答案为： ．
【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．
11．【答案】﹣
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，an=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，Sn= = ，
再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得 =S1 S4，即 =a1 （4a1﹣6），
解得 a1=﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【分析】由条件求得，Sn= ，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得 =S1 S4，由此求得a1的值．
12．【答案】﹣
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，
∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，
∴2b=3c ②，
∴由①②可得a=2c，b= ．
再由余弦定理可得 cosA= = =﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b= ，再由余弦定理求得cosA= 的值．
13．【答案】3
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，
即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，
∵△AOB是等边三角形，∴B（ a，a），
代入x2+（y﹣2）2=4，可得（ a）2+（a﹣2）2=4，
∵a＞0，∴a=3．
故答案为：3．
【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．
14．【答案】（0，1）∪（9，+∞）
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，
作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，
当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，
则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|= ，
当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），
当直线和抛物线相切时，有三个零点，
此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），
即x2+（3﹣a）x+a=0，
则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，
当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，
要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，
若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，
此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，
即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，
则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，
综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），
方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，
若x=1，则4=0不成立，
故x≠1，
则方程等价为a= = =| |=|x﹣1+ +5|，
设g（x）=x﹣1+ +5，
当x＞1时，g（x）=x﹣1+ +5≥ ，当且仅当x﹣1= ，即x=3时取等号，
当x＜1时，g（x）=x﹣1+ +5 =5﹣4=1，当且仅当﹣（x﹣1）=﹣ ，即x=﹣1时取等号，
则|g（x）|的图象如图：
若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，
则满足a＞9或0＜a＜1，
故答案为：（0，1）∪（9，+∞）
【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．
15．【答案】（1）解：由题意得，f（x）=cosx （ sinx+ cosx）
=
=
=
=
所以，f（x）的最小正周期 =π．
（2）解：由（1）得f（x）= ，
由x∈[﹣ ， ]得，2x∈[﹣ ， ]，则 ∈[ ， ]，
∴当 =﹣ 时，即 =﹣1时，函数f（x）取到最小值是： ，
当 = 时，即 = 时，f（x）取到最大值是： ，
所以，所求的最大值为 ，最小值为-
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式 求出此函数的最小正周期；（2）由（1）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出 的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．
16．【答案】（1）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，
则 ，
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为 ．
（2）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3， （k=0，1，2，3）
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（2）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3， （k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．
17．【答案】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）
∴ =（0，1，1）， =（2，0，0）
∵ =0，
∴BE⊥DC；
（2）解：∵ =（﹣1，2，0）， =（1，0，﹣2），
设平面PBD的法向量 =（x，y，z），
由 ，得 ，
令y=1，则 =（2，1，1），
则直线BE与平面PBD所成角θ满足：
sinθ= = = ，
故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 ．
（3）解：∵ =（1，2，0）， =（﹣2，﹣2，2）， =（2，2，0），
由F点在棱PC上，设 =λ =（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），
故 = + =（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），
由BF⊥AC，得 =2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，
解得λ= ，
即 =（﹣ ， ， ），
设平面FBA的法向量为 =（a，b，c），
由 ，得
令c=1，则 =（0，﹣3，1），
取平面ABP的法向量 =（0，1，0），
则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：
cosα= = = ，
故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：
【知识点】直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据 =0，可得BE⊥DC；（2）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）根据BF⊥AC，求出向量 的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
18．【答案】（1）解：设椭圆的右焦点为F2（c，0），
由|AB|= |F1F2|，可得 ，化为a2+b2=3c2．
又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．
∴e= ．
（2）解：由（1）可得b2=c2．因此椭圆方程为 ．
设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得 =（x0+c，y0）， =（c，c）．
∵ ，
∴ =c（x0+c）+cy0=0，
∴x0+y0+c=0，
∵点P在椭圆上，∴ ．
联立 ，化为 =0，
∵x0≠0，∴ ，
代入x0+y0+c=0，可得 ．
∴P ．
设圆心为T（x1，y1），则 =﹣ ， = ．
∴T ，
∴圆的半径r= = ．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．
∵直线l与圆相切，
∴ ，
整理得k2﹣8k+1=0，解得 ．
∴直线l的斜率为 ．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|= |F1F2|．可得 ，再利用b2=a2﹣c2，e= 即可得出．（2）由（1）可得b2=c2．可设椭圆方程为 ，设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得 ， ．利用圆的性质可得 ，于是 =0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得 ．联立可得 =0，解得P ．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T ，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．
19．【答案】（1）解：当q=2，n=3时，
M={0，1}，A={x| ，xi∈M，i=1，2，3}．
可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．
（2）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，∴an﹣bn≤﹣1．
可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+ +
≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]
= ＜0．
∴s＜t．
【知识点】数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x| ，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（2）由于ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，可得an﹣bn≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+ + ≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
20．【答案】（1）解：∵f（x）=x﹣aex，∴f′（x）=1﹣aex；
下面分两种情况讨论：
①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；
②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：
x （﹣∞，﹣lna） ﹣lna （﹣lna，+∞）
f′（x） + 0 ﹣
f（x） 递增 极大值﹣lna﹣1 递减
∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）；
∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：
①f（﹣lna）＞0；
②存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0；
③存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0；
由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；
取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，
取s2= +ln ，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（ ﹣ ）+（ln ﹣ ）＜0；
∴a的取值范围是（0，e﹣1）．
（2）证明：由f（x）=x﹣aex=0，得a= ，
设g（x）= ，由g′（x）= ，得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
并且当x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，
x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；
对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；
g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；
∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（Xi）＞g（Yi），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；
又由X、Y＞0，得 ＜ ＜ ；∴ 随着a的减小而增大；
（3）证明：∵x1=a ，x2=a ，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；
∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln ，设 =t，则t＞1，
∴ ，解得x1= ，x2= ，
∴x1+x2= …①；
令h（x）= ，x∈（1，+∞），则h′（x）= ；
令u（x）=﹣2lnx+x﹣ ，得u′（x）= ，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，
∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，
∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；
∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．
由（2）知，t随着a的减小而增大，
∴x1+x2随着a的减小而增大．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（2）由f（x）=0，得a= ，设g（x）= ，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a ，x2=a ，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln ，令 =t，整理得到x1+x2= ，令h（x）= ，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（2）知，t随着a的减小而增大，即得证．
1 / 12014年高考理数真题试卷（天津卷）
一、选择题
1．（2014·天津理）i是虚数单位，复数 =（ ）
A．1﹣i B．﹣1+i
C．+ I D．﹣ 177 + 257 i
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数 = = ，
故选A．
【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．
2．（2014·天津理）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=x+2y的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=﹣ ，
平移直线y=﹣ ，由图象可知当直线y=﹣ 经过点B（1，1）时，直线y=﹣ 的截距最小，此时z最小．
此时z的最小值为z=1+2×1=3，
故选：B．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
3．（2014·天津理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（ ）
A．15 B．105 C．245 D．945
【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，
∵跳出循环的i值为4，
∴输出S=1×3×5×7=105．
故选：B．
【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．
4．（2014·天津理）函数f（x）= （x2﹣4）的单调递增区间为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）
C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）
【答案】D
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得 x＞2，或 x＜﹣2，
故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y= t随t的减小而增大，
所以y= （x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．
故选：D．
【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）= t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 上的减区间．
5．（2014·天津理）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣ =1 B．﹣ =1
C．﹣ =1 D．﹣ =1
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，
令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，
∵双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，
∴ =2，
∵c2=a2+b2，
∴a2=5，b2=20，
∴双曲线的方程为 ﹣ =1．
故选：A．
【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得 =2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．
6．（2014·天津理）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD平分∠CBF；
②FB2=FD FA；
③AE CE=BE DE；
④AF BD=AB BF．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，
∴∠DBC=∠DAC．
∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，
∴∠FBD=∠BAF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAF=∠DAC．
∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．
又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．
由 ，FB2=FD FA．即结论②成立．
由 ，得AF BD=AB BF．即结论④成立．
正确结论有①②④．
故答案为D
【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．
7．（2014·天津理）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若a＞b，
①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a a＞b b，此时成立．
②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a a＞﹣b b，即a2＜b2，此时成立．
③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a a＞﹣b b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．
若a|a|＞b|b|，
①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．
②当a＞0，b＜0时，a＞b．
③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，
综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，
故选：C．
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
8．（2014·天津理）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上， =λ ， =μ ，若 =1， =﹣ ，则λ+μ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得若 =（ + ） （ + ）= + + +
=2×2×cos120°+ +λ +λ μ =﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°
=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，
∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．
=﹣ （﹣ ）= =（1﹣λ） （1﹣μ） =（1﹣λ） （1﹣μ）
=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣ ，
即﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ②．
由①②求得λ+μ= ，
故答案为： ．
【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由 =1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由 =﹣ ，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ②．结合①②求得λ+μ的值．
二、填空题
9．（2014·天津理）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生．
【答案】60
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为 = ，
故应从一年级本科生中抽取名学生数为300× =60，
故答案为：60．
【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．
10．（2014·天津理）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3．
【答案】
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，
其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，
∴几何体的体积V=π×12×4+ ×π×22×2=4π+ π= ．
故答案为： ．
【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．
11．（2014·天津理）设{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为 ．
【答案】﹣
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，an=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，Sn= = ，
再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得 =S1 S4，即 =a1 （4a1﹣6），
解得 a1=﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【分析】由条件求得，Sn= ，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得 =S1 S4，由此求得a1的值．
12．（2014·天津理）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c= a，2sinB=3sinC，则cosA的值为 ．
【答案】﹣
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，
∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，
∴2b=3c ②，
∴由①②可得a=2c，b= ．
再由余弦定理可得 cosA= = =﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b= ，再由余弦定理求得cosA= 的值．
13．（2014·天津理）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为 ．
【答案】3
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，
即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，
∵△AOB是等边三角形，∴B（ a，a），
代入x2+（y﹣2）2=4，可得（ a）2+（a﹣2）2=4，
∵a＞0，∴a=3．
故答案为：3．
【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．
14．（2014·天津理）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为 ．
【答案】（0，1）∪（9，+∞）
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，
作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，
当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，
则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|= ，
当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），
当直线和抛物线相切时，有三个零点，
此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），
即x2+（3﹣a）x+a=0，
则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，
当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，
要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，
若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，
此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，
即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，
则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，
综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），
方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，
若x=1，则4=0不成立，
故x≠1，
则方程等价为a= = =| |=|x﹣1+ +5|，
设g（x）=x﹣1+ +5，
当x＞1时，g（x）=x﹣1+ +5≥ ，当且仅当x﹣1= ，即x=3时取等号，
当x＜1时，g（x）=x﹣1+ +5 =5﹣4=1，当且仅当﹣（x﹣1）=﹣ ，即x=﹣1时取等号，
则|g（x）|的图象如图：
若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，
则满足a＞9或0＜a＜1，
故答案为：（0，1）∪（9，+∞）
【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．
三、解答题
15．（2014·天津理）已知函数f（x）=cosx sin（x+ ）﹣ cos2x+ ，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在闭区间[﹣ ， ]上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：由题意得，f（x）=cosx （ sinx+ cosx）
=
=
=
=
所以，f（x）的最小正周期 =π．
（2）解：由（1）得f（x）= ，
由x∈[﹣ ， ]得，2x∈[﹣ ， ]，则 ∈[ ， ]，
∴当 =﹣ 时，即 =﹣1时，函数f（x）取到最小值是： ，
当 = 时，即 = 时，f（x）取到最大值是： ，
所以，所求的最大值为 ，最小值为-
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式 求出此函数的最小正周期；（2）由（1）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出 的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．
16．（2014·天津理）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，
则 ，
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为 ．
（2）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3， （k=0，1，2，3）
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（2）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3， （k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．
17．（2014·天津理）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（1）证明：BE⊥DC；
（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（3）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
【答案】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）
∴ =（0，1，1）， =（2，0，0）
∵ =0，
∴BE⊥DC；
（2）解：∵ =（﹣1，2，0）， =（1，0，﹣2），
设平面PBD的法向量 =（x，y，z），
由 ，得 ，
令y=1，则 =（2，1，1），
则直线BE与平面PBD所成角θ满足：
sinθ= = = ，
故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 ．
（3）解：∵ =（1，2，0）， =（﹣2，﹣2，2）， =（2，2，0），
由F点在棱PC上，设 =λ =（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），
故 = + =（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），
由BF⊥AC，得 =2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，
解得λ= ，
即 =（﹣ ， ， ），
设平面FBA的法向量为 =（a，b，c），
由 ，得
令c=1，则 =（0，﹣3，1），
取平面ABP的法向量 =（0，1，0），
则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：
cosα= = = ，
故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：
【知识点】直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据 =0，可得BE⊥DC；（2）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）根据BF⊥AC，求出向量 的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
18．（2014·天津理）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|= |F1F2|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
【答案】（1）解：设椭圆的右焦点为F2（c，0），
由|AB|= |F1F2|，可得 ，化为a2+b2=3c2．
又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．
∴e= ．
（2）解：由（1）可得b2=c2．因此椭圆方程为 ．
设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得 =（x0+c，y0）， =（c，c）．
∵ ，
∴ =c（x0+c）+cy0=0，
∴x0+y0+c=0，
∵点P在椭圆上，∴ ．
联立 ，化为 =0，
∵x0≠0，∴ ，
代入x0+y0+c=0，可得 ．
∴P ．
设圆心为T（x1，y1），则 =﹣ ， = ．
∴T ，
∴圆的半径r= = ．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．
∵直线l与圆相切，
∴ ，
整理得k2﹣8k+1=0，解得 ．
∴直线l的斜率为 ．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|= |F1F2|．可得 ，再利用b2=a2﹣c2，e= 即可得出．（2）由（1）可得b2=c2．可设椭圆方程为 ，设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得 ， ．利用圆的性质可得 ，于是 =0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得 ．联立可得 =0，解得P ．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T ，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．
19．（2014·天津理）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1，xi∈M，i=1，2，…n}．
（1）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；
（2）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：若an＜bn，则s＜t．
【答案】（1）解：当q=2，n=3时，
M={0，1}，A={x| ，xi∈M，i=1，2，3}．
可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．
（2）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，∴an﹣bn≤﹣1．
可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+ +
≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]
= ＜0．
∴s＜t．
【知识点】数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x| ，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（2）由于ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，可得an﹣bn≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+ + ≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
20．（2014·天津理）设f（x）=x﹣aex（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．
（1）求a的取值范围；
（2）证明： 随着a的减小而增大；
（3）证明x1+x2随着a的减小而增大．
【答案】（1）解：∵f（x）=x﹣aex，∴f′（x）=1﹣aex；
下面分两种情况讨论：
①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；
②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：
x （﹣∞，﹣lna） ﹣lna （﹣lna，+∞）
f′（x） + 0 ﹣
f（x） 递增 极大值﹣lna﹣1 递减
∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）；
∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：
①f（﹣lna）＞0；
②存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0；
③存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0；
由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；
取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，
取s2= +ln ，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（ ﹣ ）+（ln ﹣ ）＜0；
∴a的取值范围是（0，e﹣1）．
（2）证明：由f（x）=x﹣aex=0，得a= ，
设g（x）= ，由g′（x）= ，得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
并且当x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，
x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；
对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；
g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；
∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（Xi）＞g（Yi），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；
又由X、Y＞0，得 ＜ ＜ ；∴ 随着a的减小而增大；
（3）证明：∵x1=a ，x2=a ，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；
∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln ，设 =t，则t＞1，
∴ ，解得x1= ，x2= ，
∴x1+x2= …①；
令h（x）= ，x∈（1，+∞），则h′（x）= ；
令u（x）=﹣2lnx+x﹣ ，得u′（x）= ，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，
∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，
∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；
∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．
由（2）知，t随着a的减小而增大，
∴x1+x2随着a的减小而增大．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（2）由f（x）=0，得a= ，设g（x）= ，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a ，x2=a ，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln ，令 =t，整理得到x1+x2= ，令h（x）= ，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（2）知，t随着a的减小而增大，即得证．
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