2014年高考理数真题试卷（重庆卷）
一、选择题：在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2014·重庆理）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2014·重庆理）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（ ）
A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
3．（2014·重庆理）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 =3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A．=0.4x+2.3 B．y^=2x﹣2.4
C．y^=﹣2x+9.5 D．y^=﹣0.3x+4.4
4．（2014·重庆理）已知向量 =（k，3）， =（1，4）， =（2，1）且（2 ﹣3 ）⊥ ，则实数k=（ ）
A．﹣ B．0 C．3 D．
5．（2014·重庆理）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）
A．s＞ B．s＞ C．s＞ D．s＞
6．（2014·重庆理）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0，q：“x＞0”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧（￢q）
C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）
7．（2014·重庆理）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（ ）
A．54 B．60 C．66 D．72
8．（2014·重庆理）设F1，F2分别为双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1| |PF2|= ab，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
9．（2014·重庆理）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A．72 B．120 C．144 D．168
10．（2014·重庆理）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+ ，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（ ）
A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16
C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24
二、填空题
11．（2014·重庆理）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（ UA）∩B= ．
12．（2014·重庆理）函数f（x）=log2 （2x）的最小值为 ．
13．（2014·重庆理）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a= ．
三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分
14．（2014·重庆理）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB= ．
15．（2014·重庆理）已知直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ= ．
16．（2014·重庆理）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+ a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2014·重庆理）已知函数f（x）= sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ≤φ＜ ）的图象关于直线x= 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（1）求ω和φ的值；
（2）若f（ ）= （ ＜α＜ ），求cos（α+ ）的值．
18．（2014·重庆理）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）
19．（2014·重庆理）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD= ，M为BC上的一点，且BM= ，MP⊥AP．
（1）求PO的长；
（2）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．
20．（2014·重庆理）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．
（1）确定a，b的值；
（2）若c=3，判断f（x）的单调性；
（3）若f（x）有极值，求c的取值范围．
21．（2014·重庆理）如图，设椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2， =2 ，△DF1F2的面积为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．
22．（2014·重庆理）设a1=1，an+1= +b（n∈N*）
（1）若b=1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；
（2）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i
∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0
∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限
故选A．
【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．
2．【答案】D
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：A项中a3=a1 q2，a1 a9= q8，（a3）2≠a1 a9，故A项说法错误，
B项中（a3）2=（a1 q2）2≠a2 a6= q6，故B项说法错误，
C项中（a4）2=（a1 q3）2≠a2 a8= q8，故C项说法错误，
D项中（a6）2=（a1 q5）2=a3 a9= q10，故D项说法正确，
故选D．
【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．
3．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：∵变量x与y正相关，
∴可以排除C，D；
样本平均数 =3， =3.5，代入A符合，B不符合，
故选：A．
【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．
4．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：∵ =（k，3）， =（1，4）， =（2，1）
∴2 ﹣3 =（2k﹣3，﹣6），
∵（2 ﹣3 ）⊥ ，
∴（2 ﹣3 ） =0'
∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，
解得，k=3．
故选：C．
【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．
5．【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：由程序框图知：程序运行的S= × ×…× ，
∵输出的k=6，∴S= × × = ，
∴判断框的条件是S＞ ，
故选：C．
【分析】程序运行的S= × ×…× ，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件．
6．【答案】D
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】解：p：根据指数函数的性质可知，对任意x∈R，总有2x＞0成立，即p为真命题，
q：“x＞0”是“x＞2”的必要不充分条件，即q为假命题，
则p∧￢q为真命题，
故选：D．
【分析】判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论．
7．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：
三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，
三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，
∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5
∴几何体的表面积S= ×3×4+ ×3×5+ ×4+ ×5+3×5=60．
故选：B．
【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．
8．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x
由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，
∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1| |PF2|= ab，
∴2ex=3b，（ex）2﹣a2= ab
∴ b2﹣a2= ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，
∴（3b﹣4a）（3b+a）=0
∴a= b，
∴c= = b，
∴e= = ．
故选：B．
【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a= b，从而c= = b，即可求出双曲线的离心率．
9．【答案】B
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：分2步进行分析：
先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，
因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分3种情况讨论：
①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，
排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是4×2=8种；
②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，
相声类节目放在2端，有2种情况，
此时有4种安排方法；
③将中间2个空位安排3个节目，
将一个小品类节目和相声类节目作为一个整体放在其中一个空位，剩下一个空位安排另一个小品类节目，
此时有C21×2×2=8种安排方法，
则中间空位的安排方法有8＋4＋8=20种，
则同类节目不相邻的排法种数是6×20=120种，
故选：B．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．
10．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+ ，
∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+ ，
∴sin2A+sin2B+sin2C= ，
∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）= ，
2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））= ，
化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]= ，
∴sinAsinBsinC= ．
设外接圆的半径为R，
由正弦定理可得： =2R，
由S= ，及正弦定理得sinAsinBsinC= = ，
即R2=4S，
∵面积S满足1≤S≤2，
∴4≤R2≤8，即2≤R≤2 ，
由sinAsinBsinC= 可得 ，显然选项C，D不一定正确，
A．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，
B．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16 ，不一定正确，
故选：A
【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明即可得到结论．
11．【答案】{7，9}
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，
∴（ UA）={4，6，7，9}，∴（ UA）∩B={7，9}，
故答案为：{7，9}．
【分析】由条件利用补集的定义求得 UA，再根据两个集合的交集的定义求得（ UA）∩B．
12．【答案】-
【知识点】换底公式的应用；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】解：∵f（x）=log2 （2x）
∴f（x）= （ ） （2x）
= x （2x）
= x（ x+ 2）
= x（ x+2）
= ，
∴当 x+1=0
即x= 时，函数f（x）的最小值是- ．
故答案为：﹣
【分析】利用对数的运算性质可得f（x）= ，即可求得f（x）最小值．
13．【答案】4±
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴圆心C到直线AB的距离d= ，
即d= ，
平方得a2﹣8a+1=0，
解得a=4± ，
故答案为：4±
【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．
14．【答案】4
【知识点】圆的切线的判定定理的证明
【解析】【解答】解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，
∴△PAB∽△PCA，
∴ ，
∵PA=6，AC=8，BC=9，
∴ ，
∴PB=3，AB=4，
故答案为：4．
【分析】由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而 ，代入数据可得结论．
15．【答案】
【知识点】直线的参数方程
【解析】【解答】解：直线l的参数方程为 ，普通方程为y=x+1，
曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x，
直线l与曲线C联立可得（x﹣1）2=0，
∴x=1，y=2，
∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ= = ．
故答案为： ．
【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径．
16．【答案】[﹣1， ]
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：|2x﹣1|+|x+2|= ，
∴x= 时，|2x﹣1|+|x+2|的最小值为 ，
∵不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+ a+2对任意实数x恒成立，
∴a2+ a+2≤ ，
∴a2+ a﹣ ≤0，
∴﹣1≤a≤ ，
∴实数a的取值范围是[﹣1， ]．
故答案为：[﹣1， ]．
【分析】利用绝对值的几何意义，确定|2x﹣1|+|x+2|的最小值，然后让a2+ a+2小于等于它的最小值即可．
17．【答案】（1）解：由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴ =π，∴ω=2．
再根据图象关于直线x= 对称，可得 2× +φ=kπ+ ，k∈z．
结合﹣ ≤φ＜ 可得 φ=﹣ ．
（2）解：∵f（ ）= （ ＜α＜ ），
∴ sin（α﹣ ）= ，∴sin（α﹣ ）= ．
再根据 0＜α﹣ ＜ ，
∴cos（α﹣ ）= = ，
∴cos（α+ ）=sinα=sin[（α﹣ ）+ ]=sin（α﹣ ）cos +cos（α﹣ ）sin
= + =
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线x= 对称，结合﹣ ≤φ＜ 可得 φ 的值．（2）由条件求得sin（α﹣ ）= ．再根据α﹣ 的范围求得cos（α﹣ ）的值，再根据cos（α+ ）=sinα=sin[（α﹣ ）+ ]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．
18．【答案】（1）解：由古典概型的概率计算公式得所求概率为
P= ，
（2）解：由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且
P（X=1）= ，
P（X=2）= ，
P（X=3）= ，
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
所以E（X）=
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现．
19．【答案】（1）解：连接AC，BD，
∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，
故AC∩BD=O，且AC⊥BD，
以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，
∵AB=2，∠BAD= ，
∴OA=AB cos（ ∠BAD）= ，OB=AB sin（ ∠BAD）=1，
∴O（0，0，0），A（ ，0，0），B（0，1，0），C（﹣ ，0，0），
=（0，1，0）， =（﹣ ，﹣1，0），
又∵BM= ，
∴ =（﹣ ，﹣ ，0），
则 = + =（﹣ ， ，0），
设P（0，0，a），则 =（﹣ ，0，a）， =（ ，﹣ ，a），
∵MP⊥AP，
∴ = ﹣a2=0，
解得a= ，
即PO的长为 ．
（2）解：由（1）知 =（﹣ ，0， ）， =（ ，﹣ ， ）， =（ ，0， ），
设平面APM的法向量 =（x，y，z），平面PMC的法向量为 =（a，b，c），
由 ，得 ，
令x=1，则 =（1， ，2），
由 ，得 ，
令a=1，则 =（1，﹣ ，﹣2），
∵平面APM的法向量 和平面PMC的法向量 夹角θ满足：
cosθ= = =﹣
故sinθ= =
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，分别求出向量 ， 的坐标，进而根据MP⊥AP，得到 =0，进而求出PO的长；（2）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A﹣PM﹣C的正弦值
20．【答案】（1）解：∵函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）
∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，
由f′（x）为偶函数，可得2（a﹣b）（e2x﹣e﹣2x）=0，
即a=b，
又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，
即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，
故a=b=1；
（2）解：当c=3时，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2 =1＞0恒成立，
故f（x）在定义域R为均增函数；
（3）解：由（1）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，
而2e2x+2e﹣2x≥2 =4，当且仅当x=0时取等号，
当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；
当c＞4时，令t=e2x，方程2t+ ﹣c=0的两根均为正，
即f′（x）=0有两个根x1，x2，
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，
故当x=x1，或x=x2时，f（x）有极值，
综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；（2）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；（3）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案
21．【答案】（1）解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，
由 =2 ，得|DF1|= = c，
从而 = |DF1||F1F2|= c2= ，故c=1．
从而|DF1|= ，由DF1⊥F1F2，得 = + = ，
因此|DF2|= ，
所以2a=|DF1|+|DF2|=2 ，故a= ，b2=a2﹣c2=1，
因此，所求椭圆的标准方程为 +y2=1；
（2）解：设圆心在y轴上的圆C与椭圆 +y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，
y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，
由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以 =（x1+1，y1）， =（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣ + =0，
由椭圆方程得1﹣ = ，即3 +4x1=0，解得x1=﹣ 或x1=0．
当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；
当x1=﹣ 时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C．
由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，
故圆C的半径|CP1|= |P1P2|= |x1|=
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|= = ，|DF2|= ，从而可得2a=2 ，于是可求得椭圆的标准方程；（2）设圆心在y轴上的圆C与椭圆 +y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，
由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣ 或x1=0，分类讨论即可求得圆的半径．
22．【答案】（1）解：∵a1=1，an+1= +b，b=1，
∴a2=2，a3= +1；
又（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+1，
∴{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列；
∴（an﹣1）2=n﹣1，
∴an= +1（n∈N*）；
（2）解：设f（x）= ，则an+1=f（an），
令c=f（c），即c= ﹣1，解得c= ．
下面用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1．
n=1时，a2=f（1）=0，a3=f（0）= ﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立；
设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1
∵f（x）在（﹣∞，1]上为减函数，
∴c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，
∴1＞c＞a2k+2＞a2，
∴c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，
∴c＜a2k+3＜1，
∴a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1时结论成立，
综上，c= 使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立
【知识点】数列的递推公式；数学归纳法的原理；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）若b=1，利用an+1= +b，可求a2，a3；证明{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式；（2）设f（x）= ，则an+1=f（an），令c=f（c），即c= ﹣1，解得c= ．用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1即可．
1 / 12014年高考理数真题试卷（重庆卷）
一、选择题：在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2014·重庆理）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i
∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0
∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限
故选A．
【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．
2．（2014·重庆理）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（ ）
A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
【答案】D
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：A项中a3=a1 q2，a1 a9= q8，（a3）2≠a1 a9，故A项说法错误，
B项中（a3）2=（a1 q2）2≠a2 a6= q6，故B项说法错误，
C项中（a4）2=（a1 q3）2≠a2 a8= q8，故C项说法错误，
D项中（a6）2=（a1 q5）2=a3 a9= q10，故D项说法正确，
故选D．
【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．
3．（2014·重庆理）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 =3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A．=0.4x+2.3 B．y^=2x﹣2.4
C．y^=﹣2x+9.5 D．y^=﹣0.3x+4.4
【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：∵变量x与y正相关，
∴可以排除C，D；
样本平均数 =3， =3.5，代入A符合，B不符合，
故选：A．
【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．
4．（2014·重庆理）已知向量 =（k，3）， =（1，4）， =（2，1）且（2 ﹣3 ）⊥ ，则实数k=（ ）
A．﹣ B．0 C．3 D．
【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：∵ =（k，3）， =（1，4）， =（2，1）
∴2 ﹣3 =（2k﹣3，﹣6），
∵（2 ﹣3 ）⊥ ，
∴（2 ﹣3 ） =0'
∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，
解得，k=3．
故选：C．
【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．
5．（2014·重庆理）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）
A．s＞ B．s＞ C．s＞ D．s＞
【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：由程序框图知：程序运行的S= × ×…× ，
∵输出的k=6，∴S= × × = ，
∴判断框的条件是S＞ ，
故选：C．
【分析】程序运行的S= × ×…× ，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件．
6．（2014·重庆理）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0，q：“x＞0”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧（￢q）
C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）
【答案】D
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】解：p：根据指数函数的性质可知，对任意x∈R，总有2x＞0成立，即p为真命题，
q：“x＞0”是“x＞2”的必要不充分条件，即q为假命题，
则p∧￢q为真命题，
故选：D．
【分析】判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论．
7．（2014·重庆理）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（ ）
A．54 B．60 C．66 D．72
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：
三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，
三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，
∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5
∴几何体的表面积S= ×3×4+ ×3×5+ ×4+ ×5+3×5=60．
故选：B．
【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．
8．（2014·重庆理）设F1，F2分别为双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1| |PF2|= ab，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x
由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，
∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1| |PF2|= ab，
∴2ex=3b，（ex）2﹣a2= ab
∴ b2﹣a2= ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，
∴（3b﹣4a）（3b+a）=0
∴a= b，
∴c= = b，
∴e= = ．
故选：B．
【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a= b，从而c= = b，即可求出双曲线的离心率．
9．（2014·重庆理）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A．72 B．120 C．144 D．168
【答案】B
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：分2步进行分析：
先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，
因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分3种情况讨论：
①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，
排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是4×2=8种；
②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，
相声类节目放在2端，有2种情况，
此时有4种安排方法；
③将中间2个空位安排3个节目，
将一个小品类节目和相声类节目作为一个整体放在其中一个空位，剩下一个空位安排另一个小品类节目，
此时有C21×2×2=8种安排方法，
则中间空位的安排方法有8＋4＋8=20种，
则同类节目不相邻的排法种数是6×20=120种，
故选：B．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．
10．（2014·重庆理）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+ ，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（ ）
A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16
C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+ ，
∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+ ，
∴sin2A+sin2B+sin2C= ，
∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）= ，
2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））= ，
化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]= ，
∴sinAsinBsinC= ．
设外接圆的半径为R，
由正弦定理可得： =2R，
由S= ，及正弦定理得sinAsinBsinC= = ，
即R2=4S，
∵面积S满足1≤S≤2，
∴4≤R2≤8，即2≤R≤2 ，
由sinAsinBsinC= 可得 ，显然选项C，D不一定正确，
A．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，
B．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16 ，不一定正确，
故选：A
【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明即可得到结论．
二、填空题
11．（2014·重庆理）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（ UA）∩B= ．
【答案】{7，9}
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，
∴（ UA）={4，6，7，9}，∴（ UA）∩B={7，9}，
故答案为：{7，9}．
【分析】由条件利用补集的定义求得 UA，再根据两个集合的交集的定义求得（ UA）∩B．
12．（2014·重庆理）函数f（x）=log2 （2x）的最小值为 ．
【答案】-
【知识点】换底公式的应用；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】解：∵f（x）=log2 （2x）
∴f（x）= （ ） （2x）
= x （2x）
= x（ x+ 2）
= x（ x+2）
= ，
∴当 x+1=0
即x= 时，函数f（x）的最小值是- ．
故答案为：﹣
【分析】利用对数的运算性质可得f（x）= ，即可求得f（x）最小值．
13．（2014·重庆理）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a= ．
【答案】4±
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴圆心C到直线AB的距离d= ，
即d= ，
平方得a2﹣8a+1=0，
解得a=4± ，
故答案为：4±
【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．
三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分
14．（2014·重庆理）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB= ．
【答案】4
【知识点】圆的切线的判定定理的证明
【解析】【解答】解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，
∴△PAB∽△PCA，
∴ ，
∵PA=6，AC=8，BC=9，
∴ ，
∴PB=3，AB=4，
故答案为：4．
【分析】由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而 ，代入数据可得结论．
15．（2014·重庆理）已知直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ= ．
【答案】
【知识点】直线的参数方程
【解析】【解答】解：直线l的参数方程为 ，普通方程为y=x+1，
曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x，
直线l与曲线C联立可得（x﹣1）2=0，
∴x=1，y=2，
∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ= = ．
故答案为： ．
【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径．
16．（2014·重庆理）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+ a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】[﹣1， ]
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：|2x﹣1|+|x+2|= ，
∴x= 时，|2x﹣1|+|x+2|的最小值为 ，
∵不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+ a+2对任意实数x恒成立，
∴a2+ a+2≤ ，
∴a2+ a﹣ ≤0，
∴﹣1≤a≤ ，
∴实数a的取值范围是[﹣1， ]．
故答案为：[﹣1， ]．
【分析】利用绝对值的几何意义，确定|2x﹣1|+|x+2|的最小值，然后让a2+ a+2小于等于它的最小值即可．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2014·重庆理）已知函数f（x）= sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ≤φ＜ ）的图象关于直线x= 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（1）求ω和φ的值；
（2）若f（ ）= （ ＜α＜ ），求cos（α+ ）的值．
【答案】（1）解：由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴ =π，∴ω=2．
再根据图象关于直线x= 对称，可得 2× +φ=kπ+ ，k∈z．
结合﹣ ≤φ＜ 可得 φ=﹣ ．
（2）解：∵f（ ）= （ ＜α＜ ），
∴ sin（α﹣ ）= ，∴sin（α﹣ ）= ．
再根据 0＜α﹣ ＜ ，
∴cos（α﹣ ）= = ，
∴cos（α+ ）=sinα=sin[（α﹣ ）+ ]=sin（α﹣ ）cos +cos（α﹣ ）sin
= + =
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线x= 对称，结合﹣ ≤φ＜ 可得 φ 的值．（2）由条件求得sin（α﹣ ）= ．再根据α﹣ 的范围求得cos（α﹣ ）的值，再根据cos（α+ ）=sinα=sin[（α﹣ ）+ ]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．
18．（2014·重庆理）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）
【答案】（1）解：由古典概型的概率计算公式得所求概率为
P= ，
（2）解：由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且
P（X=1）= ，
P（X=2）= ，
P（X=3）= ，
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
所以E（X）=
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现．
19．（2014·重庆理）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD= ，M为BC上的一点，且BM= ，MP⊥AP．
（1）求PO的长；
（2）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．
【答案】（1）解：连接AC，BD，
∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，
故AC∩BD=O，且AC⊥BD，
以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，
∵AB=2，∠BAD= ，
∴OA=AB cos（ ∠BAD）= ，OB=AB sin（ ∠BAD）=1，
∴O（0，0，0），A（ ，0，0），B（0，1，0），C（﹣ ，0，0），
=（0，1，0）， =（﹣ ，﹣1，0），
又∵BM= ，
∴ =（﹣ ，﹣ ，0），
则 = + =（﹣ ， ，0），
设P（0，0，a），则 =（﹣ ，0，a）， =（ ，﹣ ，a），
∵MP⊥AP，
∴ = ﹣a2=0，
解得a= ，
即PO的长为 ．
（2）解：由（1）知 =（﹣ ，0， ）， =（ ，﹣ ， ）， =（ ，0， ），
设平面APM的法向量 =（x，y，z），平面PMC的法向量为 =（a，b，c），
由 ，得 ，
令x=1，则 =（1， ，2），
由 ，得 ，
令a=1，则 =（1，﹣ ，﹣2），
∵平面APM的法向量 和平面PMC的法向量 夹角θ满足：
cosθ= = =﹣
故sinθ= =
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，分别求出向量 ， 的坐标，进而根据MP⊥AP，得到 =0，进而求出PO的长；（2）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A﹣PM﹣C的正弦值
20．（2014·重庆理）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．
（1）确定a，b的值；
（2）若c=3，判断f（x）的单调性；
（3）若f（x）有极值，求c的取值范围．
【答案】（1）解：∵函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）
∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，
由f′（x）为偶函数，可得2（a﹣b）（e2x﹣e﹣2x）=0，
即a=b，
又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，
即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，
故a=b=1；
（2）解：当c=3时，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2 =1＞0恒成立，
故f（x）在定义域R为均增函数；
（3）解：由（1）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，
而2e2x+2e﹣2x≥2 =4，当且仅当x=0时取等号，
当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；
当c＞4时，令t=e2x，方程2t+ ﹣c=0的两根均为正，
即f′（x）=0有两个根x1，x2，
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，
故当x=x1，或x=x2时，f（x）有极值，
综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；（2）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；（3）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案
21．（2014·重庆理）如图，设椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2， =2 ，△DF1F2的面积为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．
【答案】（1）解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，
由 =2 ，得|DF1|= = c，
从而 = |DF1||F1F2|= c2= ，故c=1．
从而|DF1|= ，由DF1⊥F1F2，得 = + = ，
因此|DF2|= ，
所以2a=|DF1|+|DF2|=2 ，故a= ，b2=a2﹣c2=1，
因此，所求椭圆的标准方程为 +y2=1；
（2）解：设圆心在y轴上的圆C与椭圆 +y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，
y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，
由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以 =（x1+1，y1）， =（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣ + =0，
由椭圆方程得1﹣ = ，即3 +4x1=0，解得x1=﹣ 或x1=0．
当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；
当x1=﹣ 时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C．
由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，
故圆C的半径|CP1|= |P1P2|= |x1|=
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|= = ，|DF2|= ，从而可得2a=2 ，于是可求得椭圆的标准方程；（2）设圆心在y轴上的圆C与椭圆 +y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，
由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣ 或x1=0，分类讨论即可求得圆的半径．
22．（2014·重庆理）设a1=1，an+1= +b（n∈N*）
（1）若b=1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；
（2）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论．
【答案】（1）解：∵a1=1，an+1= +b，b=1，
∴a2=2，a3= +1；
又（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+1，
∴{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列；
∴（an﹣1）2=n﹣1，
∴an= +1（n∈N*）；
（2）解：设f（x）= ，则an+1=f（an），
令c=f（c），即c= ﹣1，解得c= ．
下面用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1．
n=1时，a2=f（1）=0，a3=f（0）= ﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立；
设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1
∵f（x）在（﹣∞，1]上为减函数，
∴c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，
∴1＞c＞a2k+2＞a2，
∴c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，
∴c＜a2k+3＜1，
∴a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1时结论成立，
综上，c= 使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立
【知识点】数列的递推公式；数学归纳法的原理；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）若b=1，利用an+1= +b，可求a2，a3；证明{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式；（2）设f（x）= ，则an+1=f（an），令c=f（c），即c= ﹣1，解得c= ．用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1即可．
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