2014年全国高考理数真题试卷（大纲卷）
一、选择题
1．（2014·大纲卷理）设z= ，则z的共轭复数为（ ）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
2．（2014·大纲卷理）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（ ）
A．（0，4] B．[0，4） C．[﹣1，0） D．（﹣1，0]
3．（2014·大纲卷理）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
4．（2014·大纲卷理）若向量 、 满足：| |=1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| |=（ ）
A．2 B．B C．1 D．
5．（2014·大纲卷理）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
6．（2014·大纲卷理）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为 ，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4 ，则C的方程为（ ）
A． =1 B． +y2=1 C． =1 D． =1
7．（2014·大纲卷理）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
8．（2014·大纲卷理）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
9．（2014·大纲卷理）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（ ）
A． B． C． D．
10．（2014·大纲卷理）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．（2014·大纲卷理）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB α，AB⊥l，A为垂足，CD β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2014·大纲卷理）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（ ）
A．y=g（x） B．y=g（﹣x）
C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x）
二、填空题
13．（2014·大纲卷理） 的展开式中x2y2的系数为 ．（用数字作答）
14．（2014·大纲卷理）设x、y满足约束条件 ，则z=x+4y的最大值为 ．
15．（2014·大纲卷理）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于 ．
16．（2014·大纲卷理）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（ ， ）是减函数，则a的取值范围是 ．
三、解答题
17．（2014·大纲卷理）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA= ，求B．
18．（2014·大纲卷理）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=10，a2为整数，且Sn≤S4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．（2014·大纲卷理）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．
（1）证明：AC1⊥A1B；
（2）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为 ，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．
20．（2014·大纲卷理）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（2）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
21．（2014·大纲卷理）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|= |PQ|．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
22．（2014·大纲卷理）函数f（x）=ln（x+1）﹣ （a＞1）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明： ＜an≤ ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵z= = ，
∴ ．
故选：D．
【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．
∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，
又N={x|0≤x≤5}，
∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）．
故选：B．
【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．
3．【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，
由正弦函数的单调性可知b＞a，
而c=tan35°= ＞sin35°=b，
∴c＞b＞a
故选：C
【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°= ＞sin35°，综合可得．
4．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得，（ + ） = + =1+ =0，∴ =﹣1；
（2 + ） =2 + =﹣2+ =0，∴b2=2，
则| |= ，
故选：B．
【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（ + ） =0，（2 + ） =0，由此求得| |．
5．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，
则不同的选法共有15×5=75种；
故选C．
【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
6．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：∵△AF1B的周长为4 ，
∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=4 ，
∴a= ，
∵离心率为 ，
∴ ，c=1，
∴b= = ，
∴椭圆C的方程为 =1．
故选：A．
【分析】利用△AF1B的周长为4 ，求出a= ，根据离心率为 ，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．
7．【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，
当x=1时，f′（1）=2，
即曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，
故选：C．
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．
8．【答案】A
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R2=（4﹣R）2+（ ）2，
∴R= ，
∴球的表面积为4π （ ）2= ．
故选：A．
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．
9．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，
∴e= ，即c=2a，
点A在双曲线上，
则|F1A|﹣|F2A|=2a，
又|F1A|=2|F2A|，
∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，
则由余弦定理得cos∠AF2F1= = = ．
故选：A．
【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．
10．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，
∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．
∴lga1+lga2+…+lga8
=lg（a1a2 … a8）
=
4lg10
=4．
故选：C．
【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．
11．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，
∵AE⊥l
∴∠EAC=90°
∵CD∥AF
又∠ACD=135°
∴∠FAC=45°
∴∠EAF=45°
在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE= a，
在Rt△AEF中，则EF=a，AF= a，
在Rt△BEF中，则BF=2a，
∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，
∴cos∠BAF= = = ．
故选：B．
【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．
12．【答案】D
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，
则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，
又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，
∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，
∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）
∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）
故选：D
【分析】设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得．
13．【答案】70
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解： 的展开式的通项公式为 Tr+1= （﹣1）r = （﹣1）r ，
令 8﹣ = ﹣4=2，求得 r=4，
故展开式中x2y2的系数为 =70，
故答案为：70．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．
14．【答案】5
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，
联立 ，解得C（1，1）．
化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得 ．
由图可知，当直线 过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．
此时zmax=1+4×1=5．
故答案为：5．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
15．【答案】
【知识点】平面内两直线的夹角与到角问题
【解析】【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A与圆心O之间的距离为OA= = ，
圆的半径为r= ，
∴sinθ= = ，
∴cosθ= ，tanθ= = ，
∴tan2θ= = = ，
故答案为： ．
【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ= 的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ= ，计算求得结果．
16．【答案】（﹣∞，2]
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx
=﹣2sin2x+asinx+1，
令t=sinx，
则原函数化为y=﹣2t2+at+1．
∵x∈（ ， ）时f（x）为减函数，
则y=﹣2t2+at+1在t∈（ ，1）上为减函数，
∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t= ．
∴ ，解得：a≤2．
∴a的取值范围是（﹣∞，2]．
故答案为：（﹣∞，2]．
【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．
17．【答案】解：∵3acosC=2ccosA，
由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，
∴3tanA=2tanC，
∵tanA= ，
∴2tanC=3× =1，解得tanC= ．
∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣ =﹣ =﹣1，
∵B∈（0，π），
∴B=
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理的应用
【解析】【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．
18．【答案】（1）解：由a1=10，a2为整数，且Sn≤S4得s3≤s4，s5≤s4，即s4﹣s3≥0，s5﹣s4≤0，
∴a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得﹣ ≤d≤﹣ ，
∴d=﹣3，
∴{an}的通项公式为an=13﹣3n．
（2）解：∵bn= = （ ﹣ ）=﹣ （ ﹣ ），
∴Tn=b1+b2+…+bn= （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= （ ﹣ ）= ．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由题意得a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得d=﹣3，即可写出通项公式；（2）利用裂项相消法求数列和即可．
19．【答案】（1）解：∵A1D⊥平面ABC，A1D 平面AA1C1C，
∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC
∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，
由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，
又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，
∴AC1⊥平面A1BC，AB1 平面A1BC，
∴AC1⊥A1B；
（2）解：∵BC⊥平面AA1C1C，BC 平面BCC1B1，
∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，
作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，
又直线AA1∥平面BCC1B1，
∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E= ，
∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E= ，
作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，
又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，
∴AB⊥平面A1DF，∵A1F 平面A1DF
∴A1F⊥AB，
∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，
由AD= =1可知D为AC中点，
∴DF= = ，
∴tan∠A1FD= = ，
∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（2）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．
20．【答案】（1）解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．
（2）解：X的可能取值为0，1，2，3，4
P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06
P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25
P（X=4）=P（A2 B C）=0.52×0.6×0.4=0.06，
P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，
P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．
故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】记Ai表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（1）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PXi，再利用数学期望公式计算即可．
21．【答案】（1）解：设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），
可得x0= ，∵点P（0，4），∴|PQ|= ．
又|QF|=x0+ = + ，|QF|= |PQ|，
∴ + = × ，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．
故C的方程为 y2=4x．
（2）解：由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），
设l的方程为 x=my+1（m≠0），
代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1 y2=﹣4．
∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|= |y1﹣y2|= =4（m2+1）．
又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣ y+2m2+3．
过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+ y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4= ，y3 y4=﹣4（2m2+3）．
故线段MN的中点E的坐标为（ +2m2+3， ），∴|MN|= |y3﹣y4|= ，
∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|，
∴ +DE2= MN2，
∴4（m2+1）2+ + = × ，化简可得 m2﹣1=0，
∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0= ，根据|QF|= |PQ|求得 p的值，可得C的方程．（2）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．
22．【答案】（1）解：函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）= ，
①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，
若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，
若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，
若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，
若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．
（2）解：由（1）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，
即ln（x+1）＞ ，（x＞0），
又由（1）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，
当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜ ，
下面用数学归纳法进行证明 ＜an≤ 成立，
①当n=1时，由已知
，故结论成立．
②假设当n=k时结论成立，即 ，
则当n=k+1时，an+1=ln（an+1）＞ln（ +1） ，
an+1=ln（an+1）＜ln（ +1） ，
即当n=k+1时， 成立，
综上由①②可知，对任何n∈N 结论都成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数学归纳法的原理；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（2）利用数学归纳法即可证明不等式．
1 / 12014年全国高考理数真题试卷（大纲卷）
一、选择题
1．（2014·大纲卷理）设z= ，则z的共轭复数为（ ）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵z= = ，
∴ ．
故选：D．
【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．
2．（2014·大纲卷理）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（ ）
A．（0，4] B．[0，4） C．[﹣1，0） D．（﹣1，0]
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．
∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，
又N={x|0≤x≤5}，
∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）．
故选：B．
【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．
3．（2014·大纲卷理）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，
由正弦函数的单调性可知b＞a，
而c=tan35°= ＞sin35°=b，
∴c＞b＞a
故选：C
【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°= ＞sin35°，综合可得．
4．（2014·大纲卷理）若向量 、 满足：| |=1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| |=（ ）
A．2 B．B C．1 D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得，（ + ） = + =1+ =0，∴ =﹣1；
（2 + ） =2 + =﹣2+ =0，∴b2=2，
则| |= ，
故选：B．
【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（ + ） =0，（2 + ） =0，由此求得| |．
5．（2014·大纲卷理）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，
则不同的选法共有15×5=75种；
故选C．
【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
6．（2014·大纲卷理）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为 ，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4 ，则C的方程为（ ）
A． =1 B． +y2=1 C． =1 D． =1
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：∵△AF1B的周长为4 ，
∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=4 ，
∴a= ，
∵离心率为 ，
∴ ，c=1，
∴b= = ，
∴椭圆C的方程为 =1．
故选：A．
【分析】利用△AF1B的周长为4 ，求出a= ，根据离心率为 ，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．
7．（2014·大纲卷理）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，
当x=1时，f′（1）=2，
即曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，
故选：C．
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．
8．（2014·大纲卷理）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
【答案】A
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R2=（4﹣R）2+（ ）2，
∴R= ，
∴球的表面积为4π （ ）2= ．
故选：A．
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．
9．（2014·大纲卷理）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，
∴e= ，即c=2a，
点A在双曲线上，
则|F1A|﹣|F2A|=2a，
又|F1A|=2|F2A|，
∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，
则由余弦定理得cos∠AF2F1= = = ．
故选：A．
【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．
10．（2014·大纲卷理）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，
∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．
∴lga1+lga2+…+lga8
=lg（a1a2 … a8）
=
4lg10
=4．
故选：C．
【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．
11．（2014·大纲卷理）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB α，AB⊥l，A为垂足，CD β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，
∵AE⊥l
∴∠EAC=90°
∵CD∥AF
又∠ACD=135°
∴∠FAC=45°
∴∠EAF=45°
在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE= a，
在Rt△AEF中，则EF=a，AF= a，
在Rt△BEF中，则BF=2a，
∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，
∴cos∠BAF= = = ．
故选：B．
【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．
12．（2014·大纲卷理）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（ ）
A．y=g（x） B．y=g（﹣x）
C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x）
【答案】D
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，
则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，
又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，
∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，
∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）
∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）
故选：D
【分析】设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得．
二、填空题
13．（2014·大纲卷理） 的展开式中x2y2的系数为 ．（用数字作答）
【答案】70
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解： 的展开式的通项公式为 Tr+1= （﹣1）r = （﹣1）r ，
令 8﹣ = ﹣4=2，求得 r=4，
故展开式中x2y2的系数为 =70，
故答案为：70．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．
14．（2014·大纲卷理）设x、y满足约束条件 ，则z=x+4y的最大值为 ．
【答案】5
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，
联立 ，解得C（1，1）．
化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得 ．
由图可知，当直线 过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．
此时zmax=1+4×1=5．
故答案为：5．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
15．（2014·大纲卷理）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于 ．
【答案】
【知识点】平面内两直线的夹角与到角问题
【解析】【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A与圆心O之间的距离为OA= = ，
圆的半径为r= ，
∴sinθ= = ，
∴cosθ= ，tanθ= = ，
∴tan2θ= = = ，
故答案为： ．
【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ= 的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ= ，计算求得结果．
16．（2014·大纲卷理）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（ ， ）是减函数，则a的取值范围是 ．
【答案】（﹣∞，2]
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx
=﹣2sin2x+asinx+1，
令t=sinx，
则原函数化为y=﹣2t2+at+1．
∵x∈（ ， ）时f（x）为减函数，
则y=﹣2t2+at+1在t∈（ ，1）上为减函数，
∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t= ．
∴ ，解得：a≤2．
∴a的取值范围是（﹣∞，2]．
故答案为：（﹣∞，2]．
【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．
三、解答题
17．（2014·大纲卷理）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA= ，求B．
【答案】解：∵3acosC=2ccosA，
由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，
∴3tanA=2tanC，
∵tanA= ，
∴2tanC=3× =1，解得tanC= ．
∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣ =﹣ =﹣1，
∵B∈（0，π），
∴B=
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理的应用
【解析】【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．
18．（2014·大纲卷理）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=10，a2为整数，且Sn≤S4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）解：由a1=10，a2为整数，且Sn≤S4得s3≤s4，s5≤s4，即s4﹣s3≥0，s5﹣s4≤0，
∴a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得﹣ ≤d≤﹣ ，
∴d=﹣3，
∴{an}的通项公式为an=13﹣3n．
（2）解：∵bn= = （ ﹣ ）=﹣ （ ﹣ ），
∴Tn=b1+b2+…+bn= （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= （ ﹣ ）= ．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由题意得a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得d=﹣3，即可写出通项公式；（2）利用裂项相消法求数列和即可．
19．（2014·大纲卷理）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．
（1）证明：AC1⊥A1B；
（2）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为 ，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．
【答案】（1）解：∵A1D⊥平面ABC，A1D 平面AA1C1C，
∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC
∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，
由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，
又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，
∴AC1⊥平面A1BC，AB1 平面A1BC，
∴AC1⊥A1B；
（2）解：∵BC⊥平面AA1C1C，BC 平面BCC1B1，
∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，
作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，
又直线AA1∥平面BCC1B1，
∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E= ，
∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E= ，
作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，
又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，
∴AB⊥平面A1DF，∵A1F 平面A1DF
∴A1F⊥AB，
∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，
由AD= =1可知D为AC中点，
∴DF= = ，
∴tan∠A1FD= = ，
∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（2）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．
20．（2014·大纲卷理）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（2）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
【答案】（1）解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．
（2）解：X的可能取值为0，1，2，3，4
P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06
P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25
P（X=4）=P（A2 B C）=0.52×0.6×0.4=0.06，
P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，
P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．
故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】记Ai表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（1）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PXi，再利用数学期望公式计算即可．
21．（2014·大纲卷理）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|= |PQ|．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
【答案】（1）解：设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），
可得x0= ，∵点P（0，4），∴|PQ|= ．
又|QF|=x0+ = + ，|QF|= |PQ|，
∴ + = × ，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．
故C的方程为 y2=4x．
（2）解：由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），
设l的方程为 x=my+1（m≠0），
代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1 y2=﹣4．
∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|= |y1﹣y2|= =4（m2+1）．
又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣ y+2m2+3．
过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+ y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4= ，y3 y4=﹣4（2m2+3）．
故线段MN的中点E的坐标为（ +2m2+3， ），∴|MN|= |y3﹣y4|= ，
∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|，
∴ +DE2= MN2，
∴4（m2+1）2+ + = × ，化简可得 m2﹣1=0，
∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0= ，根据|QF|= |PQ|求得 p的值，可得C的方程．（2）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．
22．（2014·大纲卷理）函数f（x）=ln（x+1）﹣ （a＞1）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明： ＜an≤ ．
【答案】（1）解：函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）= ，
①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，
若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，
若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，
若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，
若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．
（2）解：由（1）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，
即ln（x+1）＞ ，（x＞0），
又由（1）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，
当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜ ，
下面用数学归纳法进行证明 ＜an≤ 成立，
①当n=1时，由已知
，故结论成立．
②假设当n=k时结论成立，即 ，
则当n=k+1时，an+1=ln（an+1）＞ln（ +1） ，
an+1=ln（an+1）＜ln（ +1） ，
即当n=k+1时， 成立，
综上由①②可知，对任何n∈N 结论都成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数学归纳法的原理；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（2）利用数学归纳法即可证明不等式．
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