上海市南汇中学11-12学年高二下学期期中考试数学试题

上海南汇中学2011学年第二学期期中考试
高二数学
满分：100分 完成时间：90分钟
一、填空题（每小题3分，共36分）
1、直线的倾斜角是 .
2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是，则椭圆的标准方程为____________.
3、经过点且与直线平行的直线的方程为 _.
4、双曲线的虚轴长是 _.
5、已知直线的夹角是 _.
6、直线被圆所截得的弦长等于 _.
7、已知方程 表示双曲线，则实数的取值范围为 _.
8、过点且与圆相切的直线的方程是 _.
9、已知双曲线的两个焦点分别为、,为双曲线上一点，且,则的面积是 .
10、设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若点， 的重心与抛物线的焦点重合，则边所在直线方程为 .
11、若方程只有一个解，则实数的取值范围是 _.
12、下列五个命题：①直线的斜率，则直线的倾斜角的范围是；
②直线与过，两点的直线相交，则或；
③如果实数满足方程，那么的最大值为；
④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是；
⑤方程表示圆的充要条件是或；
正确的是__________ _.
二、选择题（每小题3分，共12分）
13、直线与直线的位置关系是…………………………（ ）
（A）相交 （B）平行 （C）重合 （D）由决定
14、若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数为 …………（ ）
（A） 1 （B） （C） （D） 不确定
15、已知抛物线与直线，“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
16、已知曲线：，下列叙述中错误的是………………………………（ ）
（A）垂直于轴的直线与曲线只有一个交点
（B）直线（）与曲线最多有三个交点
（C）曲线关于直线对称
（D）若，为曲线上任意两点，则有
三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分）
17、已知△ABC的三个顶点是、、，求
边所在直线的一般式方程；(4分)
边上的高所在直线的一般式方程. (4分)
18、求经过,且与圆内切的圆的圆心的轨迹方程. (8分)
19、已知双曲线：
（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程；（5分）
（2）直线：分别交双曲线的两条渐近线于、两点。当时，求实数的值.（5分）
20、如图，弯曲的河流是近似的抛物线，公路恰好是的准线，上的点到的距离最近，且为千米，城镇位于点的北偏东处，千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路以便建立水陆交通网．
（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程；（5分）
（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头的位置），并求公路总长的最小值（精确到0.001千米）.（7分）
21、定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆.
若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；（4分）
写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？（6分）
如图：直线与两个“相似椭圆”和
分别交于点和点， 试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法。（不必证明）.（4分）
上海南汇中学2011学年第二学期期中考试
高二数学（答案）
满分：100分 完成时间：90分钟 命题人：吴世星 周华 审核人：潘静红
一、填空题（每小题3分，共36分）
1、直线的倾斜角 .
2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是，则椭圆的标准方程为____________.
3、经过点且与直线平行的直线的方程为 _.
4、双曲线的虚轴长是 9 _.
5、已知直线的夹角是 _.
6、直线被圆所截得的弦长等于 _.
7、已知方程 表示双曲线，则实数的取值范围为___ .
8、过点且与圆相切的直线的方程是 或_.
9、已知双曲线的两个焦点分别为、,为双曲线上一点，且,则的面积是 4 .
10、设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若点， 的重心与抛物线的焦点重合，则边所在直线方程为 .
11、若方程只有一个解，则实数的取值范围是 .
12、下列五个命题：①直线的斜率，则直线的倾斜角的范围是；
②直线与过，两点的直线相交，则或；
③如果实数满足方程，那么的最大值为；
④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是；
⑤方程表示圆的充要条件是或；
正确的是_____②_③_⑤___ _.
二、选择题（每小题3分，共12分）
13、直线与直线的位置关系是…………………………（ A ）
（A）相交 （B）平行 （C）重合 （D）由m决定
14、若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数为 …………（ C ）
（A） 1 （B） （C） （D） 不确定
15、已知抛物线与直线，“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（ B ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
16、已知曲线：，下列叙述中错误的是………………………………（ C ）
（A）垂直于轴的直线与曲线只有一个交点
（B）直线（）与曲线最多有三个交点
（C）曲线关于直线对称
（D）若，为曲线上任意两点，则有
三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分）
17、已知△ABC的三个顶点是、、，求
边所在直线的一般式方程；(4分)
边上的高所在直线的一般式方程. (4分)
解；（1）是BC边所在直线的方向向量
故，即 …………………………4分
（2）高AD所在直线的法向量
故，即…………………………8分
18、求经过,且与圆内切的圆的圆心的轨迹方程. (8分)
解：根据题意得，,……………………………………2分
由椭圆定义得，所以…………………………………………4分
所以所求的圆心的轨迹方程为……………………………………8分
19、已知双曲线：
（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程；（5分）
（2）直线：分别交双曲线的两条渐近线于、两点。当时，求实数的值.（5分）
解：（1）双曲线的焦点坐标是，………………………………………1分
设双曲线的标准方程为，则 解得…………………3分
所以双曲线的标准方程为 ……………………………………………5分
（2）双曲线的两条渐近线方程为……………………………………6分
由 得 由 得………………8分
，得……………………10分
20、如图，弯曲的河流是近似的抛物线，公路恰好是的准线，上的点到的距离最近，且为千米，城镇位于点的北偏东处，千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路以便建立水陆交通网．
（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程；（5分）
（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头的位置），并求公路总长的最小值（精确到0.001千米）.（7分）
解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系……1分
由题意得，……3分
所以，抛物线……5分
（2）设抛物线的焦点为 由题意得，……7分
根据抛物线的定义知，公路总长……10分
当为线段与抛物线的交点（如图）时，公路总长最小，…………11分
最小值为9.806千米……12分
21、定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆.
若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；（4分）
写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？（6分）
如图：直线与两个“相似椭圆”和
分别交于点和点， 试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法。（不必证明）.（4分）
（1）椭圆与相似。-------------------2分
因为椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为---------------4分
（2）椭圆的方程为：-------------------6分
设，点，中点为，
则，所以
则 -------------------8分
因为中点在直线上，所以有，-------------------9分
即直线的方程为：，
由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，
即方程有两个不同的实数解，
所以，即-------------------10分
（3）作法1：过原点作直线，交椭圆和椭圆于点和点，则和即为所求相似三角形，且相似比为。-------------------14分
作法2：过点A、点C分别做轴（或轴）的垂线，交椭圆和椭圆于点和点，则和即为所求相似三角形，且相似比为。-------------------14分